椭圆性质点差法
点差法求椭圆中点弦
用点差法解圆锥曲线的中点弦问题与圆锥曲线的弦的中点有关的问题，我们称之为圆锥曲线的中点弦问题。
解圆锥曲线的中点弦问题的一般方法是：联立直线和圆锥曲线的方程，借助于一元二次方程的根的判别式、根与系数的关系、中点坐标公式及参数法求解。
若设直线与圆锥曲线的交点（弦的端点）坐标为),(11y x A 、),(22y x B ，将这两点代入圆锥曲线的方程并对所得两式作差，得到一个与弦AB 的中点和斜率有关的式子，可以大大减少运算量。
我们称这种代点作差的方法为“点差法”。
本文用这种方法作一些解题的探索。
一、以定点为中点的弦所在直线的方程例1、过椭圆141622=+y x 内一点)1,2(M 引一条弦，使弦被M 点平分，求这条弦所在直线的方程。
解：设直线与椭圆的交点为),(11y x A 、),(22y x B)1,2(M 为AB 的中点 ∴421=+x x 221=+y y又A 、B 两点在椭圆上，则1642121=+y x ，1642222=+y x两式相减得0)(4)(22212221=-+-y y x x于是0))((4))((21212121=-++-+y y y y x x x x ∴21244)(421212121-=⨯-=++-=--y y x x x x y y 即21-=AB k ，故所求直线的方程为)2(211--=-x y ，即042=-+y x 。
例2、已知双曲线1222=-y x ，经过点)1,1(M 能否作一条直线l ，使l 与双曲线交于A 、B ，且点M 是线段AB 的中点。
若存在这样的直线l ，求出它的方程，若不存在，说明理由。
策略：这是一道探索性习题，一般方法是假设存在这样的直线 ，然后验证它是否满足题设的条件。
本题属于中点弦问题，应考虑点差法或韦达定理。
解：设存在被点M 平分的弦AB ，且),(11y x A 、),(22y x B则221=+x x ，221=+y y122121=-y x ，122222=-y x 两式相减，得0))((21))((21212121=-+--+y y y y x x x x ∴22121=--=x x y y k AB 故直线)1(21:-=-x y AB 由⎪⎩⎪⎨⎧=--=-12)1(2122y x x y 消去y ，得03422=+-x x ∴ 08324)4(2<-=⨯⨯--=∆这说明直线AB 与双曲线不相交，故被点M 平分的弦不存在，即不存在这样的直线l 。
椭圆的简单几何性质(4)--点差法
变式1:已知直线 过点 变式 已知直线l过点 已知直线 M(1,0.5), 且与椭圆 相交 且与椭圆C相交 两点， 于E,F两点，若EF的中点 两点 的中点 的方程. 为M，求直线 的方程 ，求直线l的方程
l F
O
y
M
x
E
变式2:已知直线 过点 且与椭圆C相交于 变式 已知直线l过点 已知直线 过点M(1,0.5),且与椭圆 相交于 且与椭圆 E,F两点，求弦 的中点的轨迹方程 两点， 的中点的轨迹方程. 两点 求弦EF的中点的轨迹方程 变式3:已知直线 与椭圆C相交于 变式 已知直线l:y=x+m (m∈R)与椭圆 相交于 已知直线 ∈ 与椭圆 E,F两点，求弦 的中点的轨迹方程 两点， 的中点的轨迹方程. 两点 求弦EF的中点的轨迹方程
y
点差法步骤： 点差法步骤： 1.设点 设点A(x1,y1),B(x2,y2); 设点 2.代入圆锥曲线方程作差 代入圆锥曲线方程作差; 代入圆锥曲线方程作差
A
O
M
x
B
3.利用平方差公式变形，把中点坐标与直线 利用平方差公式变形， 利用平方差公式变形 斜率代入得到式子. 斜率代入得到式子 点差法用途：可以解决与中点弦有关的一切问题 点差法用途：可以解决与中点弦有关的一切问题.
2 2
1 = (1 + 2 )[( y1 + y2 ) 2 − 4 y1 ⋅ y2 ] k
中心在原点、一个焦点为F( 3 ,0)的椭圆被 例 中心在原点、一个焦点为 的椭圆被 直线x-2y-2=0截得的弦的中点的横坐标为 ，求 截得的弦的中点的横坐标为1， 直线 截得的弦的中点的横坐标为 此椭圆的方程. 此椭 变式 已知直线l:y=x+m (m∈R)与椭圆 相交于 已知直线 ∈ 与椭圆 E,F两点，且OE⊥OF,求直线 的方程 两点， 求直线l的方程 两点 ⊥ 求直线 的方程.
《椭圆的点差法》专题
《椭圆的点差法》专题2018年（ ）月（ ）日 班级 姓名 从善如登,从恶如崩。
——《国语》平方差公式：a 2-b 2＝(a +b ) (a -b )中点坐标公式：x ＝x 1＋x 22，y ＝y 1＋y 22.斜率公式： k ＝y 2－y 1x 2－x 1.问题：设直线与椭圆相交于两点A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，弦AB 中点为M (x 0，y 0)，例1、过椭圆141622=+y x 内一点)1,2(M 引一条弦，使弦被M 点平分，求这条弦所在直线的方程。
例2、已知椭圆1257522=+x y 的一条弦的斜率为3，它与直线21=x 的交点恰为这条弦的 中点M ，求点M 的坐标。
例3、已知椭圆1257522=+x y ,求它的斜率为3的弦中点的轨迹方程。
例4、已知中心在原点，一焦点为)50,0(F 的椭圆被直线23:-=x y l 截得的弦的中点的横坐标为21，求椭圆的方程。
1. 已知椭圆x ²＋2y ²＝4，则椭圆上以(1, 1)为中点的弦所在的直线方程为 ．2. 椭圆x ²2＋y ²＝1的弦被点(12, 12)平分，则这条弦所在的直线方程为 ．3. 如果椭圆x ²36＋y ²9＝1的弦被点 A (4, 2)平分，那么这条弦所在的直线方程是 ．4. 已知直线y ＝－x ＋1与椭圆x ²a ²＋y ²b ²＝1 (a ＞b ＞0)相交于A , B 两点，且线段AB 的中点在直线l ：x －2y ＝0上，则此椭圆的离心率为 ．2013—理数—全国1卷10.已知椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的右焦点为F (3,0)，过点F 的直线交椭圆于A 、B 两点．若AB 的中点坐标为(1，－1)，则E 的方程为A ．x 245＋y 236＝1 B ．x 236＋y 227＝1 C ．x 227＋y 218＝1 D ．x 218＋y 29＝12014—理数—江西卷16.过点(1,1)M 作斜率为12-的直线与椭圆C ：22221(0)x y a b a b +=>>相交于,A B 两点，若M 是线段AB 的中点，则椭圆C 的离心率等于 ．2018—理数—全国3卷（同文数20题）20. 已知斜率为k 的直线l 与椭圆22143x y C +=：交于A ，B 两点，线段AB 的中点为()()10M m m >，．（1）证明：12k <-；（2）略．。
椭圆点差法
例1：已知椭圆
过点P(2，1)引2 16
(4
x)2
4(2
y)2
16
所以 x2+4y2=(4-x)2+4(2-y)2，整理得x+2y-4=0
从而A ,B在直线x+2y-4=0上
而过A,B两点的直线有且只有一条
解后反思：中点弦问题求解关键在于充分利用“中点” 这一条件，灵活运用中点坐标公式及韦达定理，
y
P P
o
x
P
2.弦长公式：
例1：已知椭圆
过点P(2，1)引一弦，使弦在
这点被平分，求此弦所在直线的方程.
解法一：
由
消去 y得:
例1：已知椭圆
过点P(2，1)引一弦，使弦在这点被
平分，求此弦所在直线的方程.
x12 x22
4 y12 4 y22
16 16
点 作差
点差法：利用端点在曲线上，坐标满足方程，作差 构造出中点坐标和斜率．
2、弦长的计算方法：（适用于任何曲线）
弦长公式：
| AB | 1 k2 • （x1 x2）2 4x1 x2
1
1 k2
•
（y1
y2） 4 y1 y2
3、弦中点问题的两种处理方法： （1）韦达定理法：联立方程组，消去一个未 知数，利用韦达定理；
（2）点差法：设两端点坐标，代入曲线方程 相减可求出弦的斜率。
1.
1.
例2一. ：如图：AB为椭圆
x2 a2
y2 b2
1( a b 0 )
的弦，
点P为弦AB的中点，求证： kOP
kAB
b2 a2
.
点差法
思例考一：若改为：AB为椭圆 x2 y2 1(a b 0) 的弦，
点差法解决椭圆的相关问题
相对两种方法的比较，传统方法亦可解决，但已经能够看出 点差法在计算方面的优势，因为点差法解决有关弦中点问题的题 较方便，点差法虽然好用，但也只是一种特殊方法，只能解决一 些特殊问题。
制作者：陈淑英
变式训练
已知椭圆 x2 y 2 1 ，求过点
两点，点 M (x0, y0) 是弦AB的中点，弦AB所在的直线的斜率为 kAB ，
则
.
k AB
b2 a2
x0 y0
2、在椭圆
x2 b2
y2 a2
1（a＞b＞0）中，若直线与椭圆相交于A、B两
点，点 M（x0, y0）是弦AB的中点，弦AB所在的直线的斜率为 kAB ，则
k ABLeabharlann a2 b2x0 y0
y12 y22 b2
0
作差
即
k
y12 x12
AB
y２2 y1x22
x1
y2 x2
b a
2 2
b2 a2
x1 y1
又有 y1 y2 x1 x2
x2 b2
y2
a2
2 y0 2 x0
x0 y0
y0 x0
.
同理可证结论2成立，即
k AB
a2 b2
x0 y0
例 :已知椭圆
过点P(2，1)引一弦，使弦在这点被
2
P 1 ，1 且被
2 2
点P平分的弦所在的直线方程
．
小结
方法一为传统解法：联立方程组，消去一个未知数，利用韦 达定理解决问题。
方法二为点差法：设两端点坐标，代入曲线方程相减可求出 弦的斜率。
点差法的思想：常用设而不求的思想方法。
点差法巧解椭圆中的范围问题
（λｘ０ ）２ ＋２（λｙ０ ＋２ －２λ） ２ ＝２．
消去
ｘ０ ，得
λ ＝５
３ －４
ｙ０
．而
－１
≤
ｙ０
≤ １，则
１ ３
≤ λ≤ ３，
又且 Ｍ 在 ＤＮ 之间，则 λ＜１．
所以 λ的取值范围为 １ ≤ λ＜１． ３
本题就是点差法由中点弦问题推广到弦的一般分点问题，
运用点差法简化 了 解 题 过 程．在 处 理 解 析 几 何 中 的 范 围 问 题
２．根据待证不等式所含“ 元” 的个数 我们提出“元” 数分析法，这里的“ 元” 指独立变化的字母，
当一个字母能用另一个字母表示时，只能算一个元． 以上我们介绍了用“构造函数法” 证明不等式时构造辅助
函数的六种方法，指向性十分明确．如果面对的是另类的陌生 情境，题目本身没有给出所用方法的暗示，那么我们就需要根 据问题的特征机智巧妙地选择证法．总之，在面对一个个具体 问题时，我们不应肓目地套用已有模式，而应根据题目，灵活变 通，多管齐下，多法并用．
路，迅速建立参数与坐标之间的函数关系，从而迅速解决我们
学生普遍觉得困难、麻烦的范围问题，是点差法的一种巧用．
磼 １．从待证不等式形式变化的角度 前文已总结出 ６ 种方法，即直接法、换元法、和谐法、主元
法、转化法、联想法．其中直接法、主元法、联想法操作性最强， 换元法、和谐法次之，转化法对含有指数式或超越式的不等式， 提出了具体的操作方法．
的两个交点，并把交点代入圆锥曲线的方程，作差，求出直线的
斜率，然后利用中点求出直线方程．其特点是计算简便，尤其是
在椭圆中，运用起来方便、快捷，可以达到“ 设而不求” 的目的，
同时降低解题的运算量，优化解题过程．该方法的原型为：
点差法求椭圆中点弦
与圆锥曲线的弦的中点有关的问题，我们称之为圆锥曲线的中点弦问题。
解圆锥曲线的中点弦问题的一般方法是：联立直线和圆锥曲线的方程，借助于一元二次方程的根的判别式、根与系数的关系、中点坐标公式及参数法求解。
若设直线与圆锥曲线的交点（弦的端点）坐标为),(11y x A 、),(22y x B ，将这两点代入圆锥曲线的方程并对所得两式作差，得到一个与弦AB 的中点和斜率有关的式子，可以大大减少运算量。
我们称这种代点作差的方法为“点差法”。
本文用这种方法作一些解题的探索。
一、以定点为中点的弦所在直线的方程例1、过椭圆141622=+y x 内一点)1,2(M 引一条弦，使弦被M 点平分，求这条弦所在直线的方程。
解：设直线与椭圆的交点为),(11y x A 、),(22y x BΘ )1,2(M 为AB 的中点 ∴421=+x x 221=+y yΘ又A 、B 两点在椭圆上，则1642121=+y x ，1642222=+y x两式相减得0)(4)(22212221=-+-y y x x于是0))((4))((21212121=-++-+y y y y x x x x ∴21244)(421212121-=⨯-=++-=--y y x x x x y y 即21-=AB k ，故所求直线的方程为)2(211--=-x y ，即042=-+y x 。
例2、已知双曲线1222=-y x ，经过点)1,1(M 能否作一条直线l ，使l 与双曲线交于A 、B ，且点M 是线段AB 的中点。
若存在这样的直线l ，求出它的方程，若不存在，说明理由。
策略：这是一道探索性习题，一般方法是假设存在这样的直线 ，然后验证它是否满足题设的条件。
本题属于中点弦问题，应考虑点差法或韦达定理。
解：设存在被点M 平分的弦AB ，且),(11y x A 、),(22y x B则221=+x x ，221=+y y122121=-y x ，122222=-y x 两式相减，得0))((21))((21212121=-+--+y y y y x x x x ∴22121=--=x x y y k AB 故直线)1(21:-=-x y AB 由⎪⎩⎪⎨⎧=--=-12)1(2122y x x y 消去y ，得03422=+-x x ∴ 08324)4(2<-=⨯⨯--=∆这说明直线AB 与双曲线不相交，故被点M 平分的弦不存在，即不存在这样的直线l 。
3.1.2椭圆的简单几何性质第二课时(直线与椭圆的位置关系和点差法解决中点弦长)课件-高二上学期数学
又m 0且m 5. m的范围是 [4,5) (5,).
椭圆定 线不定
变式.无论k取何值, 直线y
kx 1与曲线 x2 9
y2 4
1的交点个数是 __1_或__2.
析 : 直线所过定点(0,1)在椭圆上 或联立消y得(4 9k 2 )x2 36kx 0
362 k 2 0
变式.直线y kx 1与椭圆 x2 y2 1总有公共点,则m的范围是 __ . 5m
l
(2) 它到直线l的距离最大？最大距离是多少？
解2: 设椭圆上任一点的坐标为P(5cos , 3sin ).
•P
∴点P到直线l的距离为
F• 1 O
d | 20cos 15sin 40 | | 25cos( ) 40 | (其中tan 3)
42 52
41
4
•
F2
x
当cos( ) 1时，dmin
此时 cos cos
6 , sin sin
3.
∴P( 2
3 ,
3 ).
3
3
33
椭圆上存在点P( 2 3 , 3 )到直线l的距离最小, 且最小距离为 2 2 6 .
33
2
总结：判断直线与椭圆的位置关系的方法 [注意] 方程组解的个数与直线与椭圆的公共点的个数之间是等价关系．
椭圆的弦长
回忆：直线与圆的位置关系 问题1：直线与圆的位置关系有哪几种？
问题2：怎么判断它们之间的位置关系？
几何法： d>r
d=r
d<r
代数法： ∆<0
∆=0
∆>0
类比思考
1.直线与椭圆的位置关系有哪几种?
相交
相切
相离
椭圆中点弦问题点差法(微教案)
1. 知识与技能：让学生掌握椭圆中点弦问题的解法——点差法，能运用点差法解决相关问题。
2. 过程与方法：通过引导学生发现中点弦的性质，培养学生观察、分析、解决问题的能力。
3. 情感态度价值观：激发学生对数学的兴趣，培养学生的团队合作精神。
二、教学重点与难点1. 教学重点：椭圆中点弦问题的解法——点差法。
2. 教学难点：如何灵活运用点差法解决实际问题。
三、教学方法1. 引导发现法：引导学生发现中点弦的性质，自主探究解法。
2. 案例分析法：通过分析具体案例，让学生学会点差法的应用。
3. 小组讨论法：分组讨论，培养学生的团队合作精神。
四、教学过程1. 导入新课：回顾椭圆的基本性质，引导学生关注椭圆的中点弦问题。
2. 自主探究：让学生尝试解决椭圆中点弦问题，发现解题规律。
3. 讲解点差法：根据学生的探究结果，讲解点差法的原理和步骤。
4. 案例分析：分析具体案例，让学生学会点差法的应用。
5. 巩固练习：布置练习题，让学生巩固所学知识。
6. 拓展提高：引导学生思考如何将点差法应用于其他几何问题。
7. 总结：对本节课的内容进行总结，强调重点知识点。
8. 作业布置：布置作业，巩固所学知识。
课后对本节课的教学进行反思，了解学生的掌握情况，针对性地调整教学方法和策略。
关注学生的个体差异，力求让每个学生都能在课堂上发挥潜能。
六、教学评价1. 课堂表现：观察学生在课堂上的参与程度、提问回答情况，了解学生的学习兴趣和积极性。
2. 练习反馈：分析学生的练习作业，评估学生对点差法的掌握程度及应用能力。
3. 小组讨论：评价学生在小组讨论中的合作精神和问题解决能力。
七、教学拓展1. 对比教学：对比椭圆与其他圆锥曲线的性质，探讨它们的中点弦问题解法。
2. 实际应用：引导学生关注椭圆中点弦问题在实际生活中的应用，如地球卫星轨道等。
八、教学资源1. PPT课件：制作精美的PPT课件，辅助讲解和展示椭圆中点弦问题的解法。
2. 练习题库：准备一定数量的练习题，供学生巩固所学知识。
高中数学椭圆点差法
P P
o
x
P
1
2
2.弦长公式：
3
例1：已知椭圆
过点P(2，1)引一弦，使弦在
这点被平分，求此弦所在直线的方程.
解法一：
由
消去 y得:
4
例1：已知椭圆
过点P(2，1)引一弦，使弦在这点被
平分，求此弦所在直线的方程.
x12 x22
4 y12 4 y22
16 16
点 作差
点差法：利用端点在曲线上，坐标满足方程，作差
10
1.
11
1.
12
解后反思：中点弦问题求解关键在于充分利用“中点” 这一条件，灵活运用中点坐标公式及韦达定理， 7
例2一. ：如图：AB为椭圆
x2 a2
y2 b2
1( a b 0 )
的弦，
点P为弦AB的中点，求证： kOP
kAB
b2 a2
.
点差法
思例考一：若改为：AB为椭圆 x2 y2 1(a b 0) 的弦，
构造出中点坐标和斜率．
6
例1：已知椭圆
过点P(2，1)引一弦，使弦在这点被
平分，求此弦所在直线的方程.
x2 4 y2 16
(4
x)2
4(2
y)2
16
所以 x2+4y2=(4-x)2+4(2-y)2，整理得x+2y-4=0
从而A ,B在直线x+2y-4=0上
而过A,B两点的直线有且只有一条
b2 a2
点P为弦AB的中点，则： kOP k AB .
8
小 结：
1、直线与椭圆的三种位置关系及判断方法；
9
2、弦长的计算方法：（适用于x2）2 4x1 x2
点差法计算方法
点差法计算方法解决圆锥曲线的中点弦问题的一般方法是联立直线和圆锥曲线的方程，利用一元二次方程的根的判别式、根与系数的关系、中点坐标公式及参数法来求解。
点差法是一种代点作差的方法，可以将直线和圆锥曲线的方程中的点代入并作差，从而得到一个与弦的中点和斜率有关的式子，可以减少运算量。
对于以定点为中点的弦所在直线的方程，可以通过点差法来解决。
例如，在过椭圆$\frac{x^2}{4}+\frac{y^2}{9}=1$内一点M(2,1)引一条弦，使弦被M点平分的问题中，设直线与椭圆的交点为A(x1,y1)、B(x2,y2)，利用中点坐标公式可得到$x_1+x_2=4$和$y_1+y_2=2$。
由于A、B两点在椭圆上，因此$x_1+4y_1=16$和$x_2+4y_2=16$。
将这两个式子相减得到$(x_1-x_2)^2+4(y_1-y_2)^2=4$，因此$k_{AB}=-\frac{1}{2}$，所求直线的方程为$y-1=-(x-2)$，即$x+2y-4=0$。
对于探索性问题，如已知双曲线$x^2-y^2=1$，点M(1,1)能否作一条直线l，使l与双曲线交于A、B，且点M是线段AB的中点，可以假设存在这样的直线，然后验证它是否满足题设的条件。
由于这是一道中点弦问题，可以考虑点差法或韦达定理。
假设存在被点M平分的弦AB，且A(x1,y1)、B(x2,y2)，则$x_1+x_2=2$，$y_1+y_2=2$，$y_2=\frac{x_1-1}{x_2}$，$y_2=\frac{x_2+2}{x_1}$。
将这两个式子相减得到$2x^2-4x+3=0$，根据双曲线的方程$x^2-y^2=1$可知，直线AB与双曲线不相交，因此被点M平分的弦不存在，即不存在这样的直线l。
设弦端点P(x1,y1)、Q(x2,y2)，弦PQ的中点M(x,y)，则有：x = (x1 + x2)/2.y = (y1 + y2)/2又根据椭圆的性质可知，有：x1 - x2)^2/a^2 + (y1 - y2)^2/b^2 = 1又因为直线y = 3x - 2过点M，所以有：y = 3x - 2将y带入椭圆方程，得到：x1 - x2)^2/a^2 + (9x1 - 9x2 + 4)^2/b^2 = 1将x带入直线方程，得到：y = 3x - 2将y带入椭圆方程，得到：x^2/25 + (3x - 2)^2/75 = 1化简得到：4x^2 - 12x + 7 = 0解得x = 1/2或x = 7/4当x = 1/2时，y = 3x - 2 = -3/2，此时P在椭圆上，Q不在椭圆上，不符合题意。
椭圆的几何性质知识点归纳及典型例题及练习(付答案)
（一）椭圆的定义：1、椭圆的定义：平面内与两个定点1F 、2F 的距离之和等于定长（大于12||F F ）的点的轨迹叫做椭圆。
这两个定点 1F 、2F 叫做椭圆的焦点，两焦点的距离12||F F 叫做椭圆的焦距。
对椭圆定义的几点说明： （1）“在平面内”是前提，否则得不到平面图形（去掉这个条件，我们将得到一个椭球面）；（2）“两个定点”的设定不同于圆的定义中的“一个定点”，学习时注意区分； （3）作为到这两个定点的距离的和的“常数”，必须满足大于| F 1F 2|这个条件。
若不然，当这个“常数”等于| F 1F 2|时，我们得到的是线段F 1F 2；当这个“常数”小于| F 1F 2|时，无轨迹。
这两种特殊情况，同学们必须注意。
（4）下面我们对椭圆进行进一步观察，发现它本身具备对称性，有两条对称轴和一个对称中心，我们把它的两条对称轴与椭圆的交点记为A 1， A 2， B 1， B 2，于是我们易得| A 1A 2|的值就是那个“常数”，且|B 2F 2|+|B 2F 1|、|B 1F 2|+|B 1F 1|也等于那个“常数”。
同学们想一想其中的道理。
（5）中心在原点、焦点分别在x 轴上，y 轴上的椭圆标准方程分别为：22222222x y y x 1(a b 0),1(a b 0),a b a b +=>>+=>> 相同点是：形状相同、大小相同；都有 a > b > 0 ，222a cb =+。
不同点是：两种椭圆相对于坐标系的位置不同，它们的焦点坐标也不同（第一个椭圆的焦点坐标为（－c ，0）和（c ，0），第二个椭圆的焦点坐标为（0，－c ）和（0，c ）。
椭圆的焦点在 x 轴上⇔标准方程中x 2项的分母较大；椭圆的焦点在 y 轴上⇔标准方程中y 2项的分母较大。
（二）椭圆的几何性质：椭圆的几何性质可分为两类：一类是与坐标系有关的性质，如顶点、焦点、中心坐标；一类是与坐标系无关的本身固有性质，如长、短轴长、焦距、离心率．对于第一类性质，只要2222x y 1(a b 0)a b +=>>的有关性质中横坐标x 和纵坐标y 互换，就可以得出2222y x 1(a b 0)a b +=>>的有关性质。
椭圆中点差法与中点弦专题
椭圆中点差法的运用1.如图，直线b kx y l +=:与椭圆1:2222=+by a x C 交于B A ,两点，M 为弦AB 的中点.设),(11y x A ，),(22y x B ，),(00y x M由⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+=+②①11222222221221b y a x b y a x ⇒-②①02222122221=-+-byy a x x化简可得：2222212221ab x x y y -=--结论1：椭圆上任意两点的纵坐标平方差与横坐标平方差之比为定值，即2222212221ab x x y y -=--由))(())((2121212122212221x x x x y y y y x x y y -+-+=--且AB k x x y y =--2121，0212y y y =+，0212x x x =+由结论一可得：2200a b k x y AB -=⋅⇒0202y a x b k AB -= 结论2：在椭圆中，弦中点),(00y x ，弦所在直线的斜率k 与22ab 知二求一，即0202y a x b k AB -=易知OM k x y =00，由2200a b k x y AB -=⋅⇒22ab k k AB OM -=⋅ 结论3：在椭圆中，弦所在直线的斜率和弦中点与原点连线斜率之积为定值，即22ab k k AB OM -=⋅以上结论只适用于焦点在x 轴上的椭圆，对于焦点在y 轴上的椭圆，只需把结论中的b a ,位置互换即可，后面的结论4—结论6也是如此2.如图，B A ,是椭圆C 上关于原点对称的两点，P 为椭圆上异于B A ,的点(且PB PA ,的斜率均存在)设),(11y x A ，),(11y x B --，),(22y x P 易知1212x x y y k PA --=，1212x x y y k PB ++=21222122x x y y k k PB PA --=⋅⇒，有结论1可知，22ab k k PBPA -=⋅⇒结论4：椭圆上关于原点对称的两点与椭圆上第三点连线的斜率之乘积为定值，即22ab k k PB PA -=⋅3.如图，点),(00y x P 为椭圆C 上的点（不在x 轴上），直线l 为椭圆在点P 处的切线 在结论二中，当直线AB 向外移动到与椭圆相切时，可理解为中点变成切点（极限思想）202y a x b k P -=⇒切（可通过联立方程组，由0=∆得证）⇒直线l ：)(002020x x y a x b y y --=-化简可得：12020=+byy a x x 结论5：椭圆上一点),(00y x P 处的切线方程为12020=+byy a x x ，斜率（存在时）020y a k P -=切4.如图，过椭圆C 外一点),(00y x P 引椭圆的两条切线，切点分别为),(),,(2211y x B y x A ， 由结论5可知，PA 所在直线的方程为12121=+b y y a x x ，PB 所在直线的方程为12222=+byy a x x 由),(00y x P 既在PA 上，也在PB 上，将),(00y x P 代入两直线方程 得：1201201=+b y y a x x 且1202202=+by y a x x上面的方程又可理解为),(),,(2211y x B y x A 均在直线12020=+byy a x x 上所以切点弦AB 所在直线方程为12020=+byy a x x （直线系的理解）结论6：过椭圆C 外一点),(00y x P ba 注意：对于上述六个结论，选填可以直接用，大题需要有一定的证明过程巩固练习1.如果椭圆193622=+y x 的弦被点)2,4(平分，则这条弦所在的直线方程是（ ）A ．02=-y xB ．042=-+y xC ．01232=-+y xD ．082=-+y x2.已知椭圆)0(12222>>=+b a by a x 的一条弦所在的直线方程是05=+-y x ，弦的中点坐标)1,4(-M ，则椭圆的离心率是（ ） A ．21 B ．22 C ．23 D ．55 3.中心在原点，焦点坐标为)0,2(±的椭圆被直线1+=x y 截得的弦中点横坐标为32-，则椭圆方程为（ ）A ．14622=+y xB ．14822=+y xC ．14222=+y xD ．12422=+y x4.已知椭圆1257522=+x y 的一条弦的斜率为3，它与直线21=x 的交点恰为这条弦的中点M ，求点M的坐标（ ） A ．)21,21(B ．)2523,21(+ C ．)21,21(-D ．)2523,21(- 5．已知以)0,2()0,2(21F F ，-为焦点的椭圆与直线043=++y x 有且仅有一个交点，则椭圆的长轴长为（ ） A ．23B ．62C ．72D ．246.过点)1,1(M 作斜率为21-的直线与椭圆)0(1:2222>>=+b a by a x C 相交于B A ，两点，若M 是线段AB 的中点，则椭圆C 的离心率等于7.已知椭圆1416:22=+y x C 截直线l 所得线段的中点坐标为)2,1(，则直线l 的方程为8.椭圆143422=+y x 上点)1,1(P 处的切线方程为9.过)2,2(引椭圆1422=+y x 的两条切线，切点分别为B A ,，则AB 所在直线方程为10.过)0,4(引椭圆143422=+y x 的切线方程为11.已知椭圆)0(9:222>=+m m y x C ，直线l 不过原点O 且不平行于坐标轴，l 与C 有两个交点B A ，，线段AB 的中点为M ．证明：直线OM 的斜率与l 的斜率的乘积为定值.12.已知椭圆1222=+y x ．（1）求过点)21,21(P 且被点P 平分的弦所在直线的方程；（2）求斜率为2的直线与椭圆相交所得的弦的中点的轨迹．（3）过点)1,2(A 引直线与椭圆交于C B 、两点，求截得的弦BC 中点的轨迹方程．13.已知椭圆124:22=+y x C ，过坐标原点的直线交C 于Q P ，两点，点P 在第一象限，x PE ⊥轴，垂足为E ，连结QE 并延长交C 于点G ． 证明：PQG ∆是直角三角形.14.已知椭圆13422=+y x ，试确定m 的取值范围，使得对于直线m x y +=4，椭圆C 上有不同的两点关于该直线对称．参考答案1-5 DCDCC 6.227.042=-+y x 8.043=-+y x9.024=-+y x 10.043=-+y x 或043=--y x11.点差法进行证明，注意焦点位置 12.（1）0342=-+y x （2）04=+y x （3434<<-x ）（3）)22(022222≤≤-=-+-x y y x x 13.利用结论4进行证明 14.1313213132<<-m。
椭圆中应用点差法解弦长有关问题2012
x1 x2 2x ，
y1 y2 2 y
又 y12 x12 1， y2 2 x2 2 1
75 25
75 25
两式相减得 25( y1 y2 )( y1 y2 ) 75(x1 x2 )(x1 x2 ) 0
即 2 y0 ( y1 y2 ) 3(x1 x2 ) 0
y1 y2 3
x1 x2
2 y0
k y1 y2 3 x1 x2
3
2 y0
3 ，即 y0
1 2
点 M 的坐标为 (1 , 1 ) 22
已知椭圆 y2 x2 1,求它的斜率为 3 的弦中点的轨迹方程 75 25
75 25
2
求点 M 的坐标。
解：设弦端点
P( x1 ,
y1 ) 、
Q(x2 ,
y2 ) ，弦
PQ 的中点
M
(x0 ,
y0 ) ，则
x0
1 2
x1 x2 2x0 1 ， y1 y2 2 y0
又 y12 x12 1， y2 2 x2 2 1
75 25
75 25
两式相减得 25( y1 y2 )( y1 y2 ) 75(x1 x2 )(x1 x2 ) 0
3 2
,
5
3 2
)
点 M 在椭圆内
它的斜率为 3 的弦中点的轨迹方程为 x y 0( 5 3 x 5 3 )
2
2
已知中心在原点，一焦点为 F (0, 50) 的椭圆被直线 l : y 3x 2 截得的弦的中点的横
椭圆点差法
椭圆点差法
点差法是处理椭圆和直线之间的关系中常常会使用到的一
种方法，在平时解题的时候，多运用点差法可以大大提高解题效率，省掉许多繁杂的计算过程，减少出错概率。
同时，点差法在解决椭圆中点弦长问题中用到的场合也比较多，该专题是高考的高频考点之一。
当然不管任何解题方法，都是需要去不断通过练习，加深对其的理解，只有彻底理解透彻，甚至能够倒推公式了。
这样做题才能够达到熟练运用的状态。
附上点差法公式图片：。
第7讲 点差法(解析版)
第7讲 点差法1. 点差法适用范围 （1）中点弦（2）圆锥曲线有三点P 、A 、B 且A 、B 关于原点对称 2.点差法在中点弦中推导过程1122002211222222222222121222222122221221212212120AB0x x x y 1a b x y 1a b x x y y (2)0a b y y b x x a (y y )(y y )b (x x )(x x )a 2y k k 2x ⎧+=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩---=-⇔=---+⇔=--+⇔=设直线与圆锥曲线交于A 、B 两点，且A （x ,y )、B （,y )AB 的中点为M （,y )以焦点在x 轴的椭圆为例分析推导过程（1）代点：作差：222200AB AB AB 0M 2200y y 0b c a k k k e 1x x 0a a--===-=-=--3点差法在对称中的推导过程1122000M PBpA OB pA PB222pA OB pA PB222222pA OB pA PB222x x O M AB PA k k k k k k b e 1x a k k k k a1-y be 1b e 1x a k k k k a 1y be 1∴==⎧-=-⇔⎪⎪∴==⎨⎪=⇔⎪-⎩⎧=-⇔⎪⎪==⎨⎪=⇔⎪-⎩设A （x ,y )、B （,y )PA 的中点为M （,y )、分别是、的中点根据中点弦的推导可得焦点在轴椭圆：焦点在轴焦点在轴双曲线：焦点在轴4.点差法在圆锥曲线中的结论2220ABAB 0M 2222220ABAB 0M 222AB 0AB 00AB 0ABb e 1x a y k k k x a1-y be 1b e 1x a y k k k x a 1y b e 1p k y pk y x k p x k p ⎧-=-⇔⎪⎪==⎨⎪=⇔⎪-⎩⎧=-⇔⎪⎪==⎨⎪=⇔⎪-⎩⎧=⇔⎪⎪⎪=-⇔⎪⎪⎨⎪=⇔⎪⎪⎪=-⇔⎪⎩焦点在轴椭圆：焦点在轴焦点在轴双曲线：焦点在轴开口向右开口向左抛物线：开口向上开口向下总结：小题可以直接利用结论解题，解答题需要写推导过程技巧1 点差法在椭圆在的应用【例1】（1）（2020·全国高三专题练习）直线1y kx =+与椭圆2214x y +=相交于,A B 两点，若AB 中点的横坐标为1，则k =（ ） A ．2-B ．1-C ．12-D ．1(2)2．（2020·高密市教育科学研究院高三其他模拟）已知椭圆2222:1(0)x y G a b a b+=>>的右焦点为F (3,0)，过点F 的直线交椭圆于A ,B 两点.若AB 的中点坐标为（1，-1），则G 的方程为（ ）A ．2214536x y +=B ．2213627x y +=C ．2212718x y +=D ．221189x y +=（3）．（2020·黑龙江哈尔滨市·哈九中高三三模（文））已知斜率为1k ()10k ≠的直线l 与椭圆2214y x +=交于A ，B 两点，线段AB 的中点为C ，直线OC （O 为坐标原点）的斜率为2k ，则12k k ⋅=（ ） A ．14-B ．4-C ．12-D ．2-（4）．（2020·全国高三专题练习）已知椭圆22221(0,0)x y a b a b+=>>与直线40x y -+=交于A ，B 两点，过原点与线段AB 中点所在的直线的斜率为13-，则椭圆的离心率为（ ）ABCD【答案】（1）C （2）D （3）B （4）B【解析】（1）设()()1122,,,A x y B x y 把1y kx =+代入2214x y +=得()221480k x kx ++=，122814k x x k +=-+，因为AB 中点的横坐标为1，所以24114k k -=+，解得12k =-.故选:C （2）设()()1122,,,A x y B x y ，则22112222222211x y a b x y a b ⎧+=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩，两式相减并化简得2121221212y y y y b a x x x x +--=⋅+-， 即()22222201111213122b b a b a a ----=⨯=-⇒=⇒=-,由于222a b c =+且3c =，由此可解得2218,9a b ==，故椭圆E 的方程为221189x y +=.故选：D.（3）设()11,A x y ，()22,B x y ，AB 的中点()00,C x y ， 则1202x x x +=，1202y y y +=.因为A ，B 两点在椭圆上，所以221114y x +=，222214y x +=. 两式相减得：()22222112104x y x y -+=-，()()()()11112222104x x y y x x y y +-+-+=， ()()0122011202x y x y y x --+=，()()2102011202y y y x x x --+=， 即121202k k +⋅=，解得124k k ⋅=-.故选：B （4）设()11,A x y ，()22,B x y ，中点坐标()00,M x y ，代入椭圆方程中，得到2211221x y a b +=，2222221x y a b+=， 两式子相减得到22221212220x x y y a b --+=，()()()()222121212222121212y y y y y y b a x x x x x x -+-=-=---+， 结合12121y y x x -=-，1202x x x +=，1202y y y +=，且0013y x =-，代入上面式子得到2213b a =，3e ===，故选：B.【举一反三】1．（2020·广东珠海市·高三一模）已知椭圆22221(0)x y a b a b +=>>的右焦点为F，离心率2，过点F的直线l 交椭圆于,A B 两点，若AB 中点为(1,1)，则直线l 的斜率为（ ） A ．2 B ．2-C ．12-D ．12【答案】C【解析】由题得222222242,4()2,2c c a a b a a b a =∴=∴-=∴=. 设1122(,),(,)A x y B x y ，由题得1212+=2+=2x x y y ，，所以2222221122222222b x a y a b b x a y a b ⎧+=⎨+=⎩， 两式相减得2212121212()()a ()()0b x x x x y y y y +-++-=， 所以2212122()2a ()0b x x y y -+-=，所以221212()240()y y b bx x -+=-，所以1120,2k k +=∴=-. 故选：C2．（2020·安徽安庆市·高三其他模拟）已知椭圆22:1(0)2x y E m m m+=>的右焦点为F ，过点F 的直线交椭圆E 于A ，B 两点，若AB 的中点坐标为（1，-1），则椭圆E 的方程为（ ）A ．221189x y +=B ．2212718x y +=C ．2213627x y +=D ．2214536x y +=【答案】A【解析】设11(,)A x y ，22(,)B x y ，(),0F c所以221122221212x y mmx y m m⎧+=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩，相减得2222221202x x y y m m --+=， ∴1212121202x x y y y y m x x m +-++⋅=-， 即1212121212y y y y x x x x +-⋅=-+-，又∵122x x +=，122y y +=-， 所以121210111AB y y k x x c c ---===---，即1112c =-， 解得3c =，又22c m m =-， ∴9m =．即椭圆E 的方程为221189x y +=.故选：A ．3．（2020·全国高三专题练习）椭圆()2210,0ax by a b +=>>与直线1y x =-交于,A B 两点，过原点与线段AB中点的直线的斜率为2，则b a 的值为（ ）ABCD．27【答案】B【解析】设()11,A x y ，()22,B x y ，由题知：()22212101ax by a b x bx b y x ⎧+=⇒+-+-=⎨=-⎩，122bx x a b +=+. 设线段AB 中点为C ，则C bx a b=+. 将C b x a b =+代入1y x =-得到C a y a b=+.因为OC aa ab k b b a b+===+，故b a =.故选：B4．（2019·北大附中深圳南山分校高三）已知椭圆222:1(02)4x y C b b+=<<，作倾斜角为34π的直线交椭圆C 于A B 、两点，线段AB 的中点为M O ，为坐标原点，若直线OM 的斜率为12，则b =（ ） A ．1 BCD．2【答案】B【解析】设()11,,A x y ()22,,B x y ()00,M x y ，则2211214x y b +=，2222214x y b+=，两式相减，得()()()()12121212204x x x x y y y y b -+-++=．A B 、两点直线的倾斜角为34π∴12121y y x x -=--，∴1212204x x y y b ++-=，即00204x y b-=，∴2004y b x =——① 直线OM 的斜率为12∴0012y x =——② 由①②可得∴22b =得b =B ．5．（2020·湖南长沙市·浏阳一中高三）已知椭圆2222:1(0)x y E a b a b+=>>的右焦点为(3,0)F ，过点F的直线交E 于A 、B 两点．若AB 的中点坐标为(1,1)-，则椭圆E 的离心率为（ ）A ．12B．2CD．3【答案】B【解析】令AB 的中点为M ，坐标为(1,1)-，则()011312AB MF k k --===-，1OM k =-因为A 、B 两点是直线与椭圆的交点，且焦点在x 轴，所以2112AB OM k k e ⋅=-=-则2e =故选：B 技巧2 点差法在双曲线在的应用【例2】（1）（2020·全国高三专题练习）已知双曲线E ：24x －22y ＝1，直线l 交双曲线于A ，B 两点，若线段AB 的中点坐标为1,12⎛⎫- ⎪⎝⎭，则直线l 的方程为（ ）A ．4x ＋y －1＝0B ．2x ＋y ＝0C ．2x ＋8y ＋7＝0D ．x ＋4y ＋3＝0（2）（2020·沙坪坝区·重庆一中高三）在平面直角坐标系xOy 中，双曲线()2222:10,0x y E a b a b-=>>的离心率为2，，过点()2,1P 的直线m 与双曲线E 交于A ，B 两点.若P 是AB 的中点，则直线m 的斜率为（ ） A ．2B ．4C ．6D ．8（3）．（2020·河南鹤壁市·鹤壁高中高三）已知直线l :30x y -+=与双曲线C :22221x y a b-=(0a >,0b >)交于A ,B 两点,点()1,4P 是弦AB 的中点,则双曲线C 的离心率为( ) A ．43B ．2 CD（4）（2020·全国高三专题练习）已知双曲线E 的中心为原点，(3,0)P 是E 的焦点，过F 的直线l 与E 相交于A ，B 两点，且AB 的中点为(12,15)N --,则E 的方程式为A ．22136x y -=B ．22145x y -=C ．22163x y -=D ．22154x y -=【答案】（1）C （2）C （3）D （4）B【解析】（1）依题意，设点A （x 1，y 1），B （x 2，y 2），则有22112222142142x y x y ⎧-=⎪⎪⎨⎪-=⎪⎩ 两式相减得22124x x -＝222y y -，即1212y y x x --＝12×1212x x y y ++.又线段AB 的中点坐标是1,12⎛⎫-⎪⎝⎭，因此x 1＋x 2＝1，y 1＋y 2＝（－1）×2＝－2， 所以1212y y x x --＝－14，即直线AB 的斜率为－14，直线l 的方程为y ＋1＝11()42x --，即2x ＋8y ＋7＝0.故选：C ．（2）由题,双曲线E 中2ca =,又焦点(),0c 到渐近线0ax by ±=的距离d b ===且222c a b =+,解得2221,3,4a b c ===.故双曲线22:13y E x -=. 设()()1122,,,A x y B x y 则221122221313y x y x ⎧-=⎪⎪⎨⎪-=⎪⎩,两式相减得 ()221222121212121233x x y y y yx x x x y y +---=⇒=-+ .又AB 中点()2,1,故()121212123322621x x y y k x x y y +-⨯⨯====-+⨯.故选：C（3）设()()1122,,,A x y B x y 点()1,4P 是弦AB 的中点根据中点坐标公式可得:12122,8x x y y +=⎧⎨+=⎩A ,B 两点在直线l :30x y -+=根据两点斜率公式可得:12121y y x x -=- ,A B 两点在双曲线C 上∴22112222222211x y a b x y a b ⎧-=⎪⎪⎨⎪-=⎪⎩ ∴222212122210x x y y a b ---=,即()()()()2221212122221212128142y y y y y y b a x x x x x x +--===⨯=-+- 解得:2b a =∴c e a ===:D. （4）∵k AB =015312++=1,∴直线AB 的方程为y=x-3.由于双曲线的焦点为F(3,0),∴c=3,c 2=9. 设双曲线的标准方程为22x a -22y b =1(a>0,b>0),则22x a -()223x b -=1.整理,得(b 2-a 2)x 2+6a 2x-9a 2-a 2b 2=0.设A(x 1,y 1),B(x 2,y 2),则x 1+x 2=2226a a b -=2×(-12),∴a 2=-4a 2+4b 2,∴5a 2=4b 2. 又a 2+b 2=9,∴a 2=4,b 2=5.∴双曲线E 的方程为24x -25y =1.故选B.【举一反三】1．（2019·陕西宝鸡市·高考模拟）双曲线221369x y -=的一条弦被点(4,2)P 平分，那么这条弦所在的直线方程是（ ） A ．20x y --=B ．2100x y +-=C ．20x y -=D ．280x y +-=【答案】C【解析】设弦的两端点1(A x ，1)y ，2(B x ，2)y ，斜率为k ，则22111369x y -=，22221369x y -=， 两式相减得12121212()()()()369x x x x y y y y -+-+=，即121212129()98136()3642y y x x k x x y y -+⨯====-+⨯， ∴弦所在的直线方程12(4)2y x -=-，即20x y -=．故选C 2．（2019·广东佛山市·佛山一中高三期中）已知双曲线C ：22221x y a b-=(a>0，b>0)，斜率为1的直线与C 交于两点A ，B ，若线段AB 的中点为(4，1)，则双曲线C 的渐近线方程是 A ．2x ±y ＝0 B ．x ±2y ＝0Cx ±y ＝0D ．xy ＝0【答案】B【解析】设直线方程为y x m =+，联立22221x y a b y x m ⎧-=⎪⎨⎪=+⎩，消去y ，得22222222()20b a x a mx a m a b ----=，设1122(,),(,)A x y B x y ，因为线段AB 的中点为(4,1)，所以212122228,822a mx x y y m b a +==+=+=-，解得3m =-，所以22268a b a-=-，所以2a b =，所以双曲线C 的渐近线方程为12y x =±，即20x y ±=，故选B. 3．（2020·吉林长春市·高三月考）双曲线()2222:10,0x y E a b a b-=>>被斜率为4的直线截得的弦AB 的中点为()2,1,则双曲线E 的离心率为（ ） ABC ．2D【答案】B【解析】设()()1122,,,A x y B x y 代入双曲线方程作差有:()()()()1112121222x x x x y y y y a b -+-+=，有2121221212()()2()()y y y y b a x x x x -+==-+，所以223c a=，e =B ．4．（2020·全国高三专题练习）过点P (4，2)作一直线AB 与双曲线C ：22x －y 2＝1相交于A ，B 两点，若P为线段AB 的中点，则|AB |＝（ ） A ．B ．C ．D ．【答案】D【解析】解法一：由题意可知，直线AB 的斜率存在．设直线AB 的斜率为k ，则直线AB 的方程为y ＝k (x －4)＋2.由22(4)2,12y k x x y =-+⎧⎪⎨-=⎪⎩消去y 并整理，得(1－2k 2)x 2＋8k (2k －1)x －32k 2＋32k －10＝0.设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)．因为P (4，2)为线段AB 的中点，所以x 1＋x 2＝－28(21)12k k k --＝8，解得k ＝1.所以x 1x 2＝2232321012k k k-+--＝10. 所以|AB |＝故选:D.解法二：设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则221112x y -= ， ①222212x y -=. ② ①－②得12(x 1－x 2)(x 1＋x 2)－(y 1－y 2)(y 1＋y 2)＝0. 因为P (4，2)为线段AB 的中点，所以x 1＋x 2＝8，y 1＋y 2＝4.所以4(x 1－x 2)－4(y 1－y 2)＝0，即x 1－x 2＝y 1－y 2，所以直线AB 的斜率k ＝1212y y x x --＝1.则直线AB 的方程为y ＝x －2.由222,12y x x y =-⎧⎪⎨-=⎪⎩消去y 并整理，得x 2－8x ＋10＝0，所以x 1＋x 2＝8，x 1x 2＝10.所以|AB |＝. 故选：D5．（2020·全国高三专题练习）已知斜率为1的直线l 与双曲线C ：22221x y a b -=(0a >，0b >)相交于B 、D 两点，且BD 的中点为3(1)M ，.则C 的离心率为（ ） A ．2 BC ．3D．2【答案】A【解析】设()()1122,,,B x y D x y22112222222211x y a b x y a b ⎧-=⎪⎪⎨⎪-=⎪⎩，两式做差得()()()()12121212220x x x x y y y y a b -+-+-=整理得()()()()2121221212y y y y b a x x x x -+=-+，而12121BD y y k x x --==，122x x +=，126y y +=，代入有223b a =，即2223c a a-= 可得2ce a==． 故选：A.技巧3 点差法在抛物线在的应用【例3】（1）（2020·云南昆明市·昆明一中高三月考）已知抛物线2:4C y x =，以()1,1为中点作C 的弦，则这条弦所在直线的方程为（ ） A ．210x y --= B ．210x y -+= C ．230x y +-=D ．230x y ++=（2）（2020·贵州高三其他模拟）已知抛物线2:2(0)C y px p =>，倾斜角为6π的直线交C 于,A B 两点.若线段AB中点的纵坐标为p 的值为（ ） A ．12B ．1C ．2D ．4【答案】（1）A （2）C【解析】（1）设过点()1,1的直线交抛物线C 于()11,A x y 、()22,B x y 两点. 若直线AB 垂直于x 轴，则线段AB 的中点在x 轴上，不合乎题意.所以，直线AB 的斜率存在，由于点()1,1为线段AB 的中点，则121222x x y y +=⎧⎨+=⎩，由于点()11,A x y 、()22,B x y 在抛物线C 上，可得21122244y x y x ⎧=⎨=⎩，两式作差得()()()22121212124y y y y y y x x -=+⋅-=-，所以，直线AB 的斜率为12121242AB y y k x x y y -===-+，因此，直线AB 的方程为()121y x -=-，即210x y --=.故选：A.（2）设直线方程为y x m =+，联立223y px y x m ⎧=⎪⎨=+⎪⎩20y y m -+=， 设()()1122,,,A x y B x y，则12y y +=，因为线段AB中点的纵坐标为12y y +=2p =.故选：C. 【举一反三】1．（2020·全国高三专题练习）直线l 过点(1,1)P 与抛物线24y x =交于,A B 两点，若P 恰为线段AB 的中点，则直线l 的斜率为（ ） A ．2 B ．2-C ．12D ．12-【答案】A【解析】设()()1122,,,A x y B x y ，21122244y x y x ⎧=⎨=⎩，两式相减得()2212124y y x x -=-，即()()()1212124y y y y x x +-=-， 当12x x ≠时，()1212124y y y y x x -+=-，因为点()1,1P 是AB 的中点，所以122y y +=，24k =， 解得：2k = 故选：A2．（2020·河北衡水市·衡水中学高三）已知直线l 与抛物线26y x =交于A 、B 两点，直线l 的斜率为3，线段AB 的中点M 的横坐标为12，则AB =（ ） ABCD【答案】B【解析】设()11,A x y 、()22,B x y \01,2M y ⎛⎫ ⎪⎝⎭， 则2116y x =，2226y x =，两式相减得()()()1212126y y y y x x +-=-，所以12121263AB y y k x x y y -===-+，解得122y y +=，得01y =，所以1,12M ⎛⎫⎪⎝⎭， 得直线1:32l y x =-，联立21326y x y x⎧=-⎪⎨⎪=⎩，得219904x x -+=，819720∆=-=>，由韦达定理得121x x =+，12136x x =，所以AB ===故选：B.1．（2020·全国高三专题练习）已知椭圆22221(0)x y a b a b+=>>的右焦点为F (3，0)，过点F 的直线交椭圆于A ．B 两点．若AB 的中点坐标为(1，－1)，则E 的方程为（ ）A ．2214536x y +=B ．2213627x y +=C ．2212728x y +=D ．221189x y +=【答案】D【解析】设1122(,),(,)A x y B x y ，则12x x +=2，12y y +=－2， 2211221x y a b +=， ① 2222221x y a b+=， ② ①－②得1212121222()()()()0x x x x y y y y a b +-+-+=，∴AB k =1212y y x x --=212212()()b x x a y y +-+=22b a ，又AB k =0131+-=12，∴22b a =12，又9=2c =22a b -，解得2b =9，2a =18，∴椭圆方程为221189x y +=，故选：D ．2．（2020·全国高三专题练习）椭圆2249144x y +=内有一点(3,2)P ，则以P 为中点的弦所在直线的斜率为( ) A ．23-B ．32-C ．49-D ．94-【答案】A【解析】设以点P 为中点的弦所在直线与椭圆相交于点1(A x ，1)y ，2(B x ，2)y ，斜率为k ． 则221149144x y +=，222249144x y +=，两式相减得121212124()()9()()0x x x x y y y y +-++-=， 又126x x +=，124y y +=，1212y y k x x -=-，代入解得462943k =-⨯=-．故选：A ．3．（2020·黑龙江哈尔滨市·哈九中高三三模）已知斜率为()110k k ≠的直线l 与椭圆2214y x +=交于A ，B 两点，线段AB 的中点为C ，直线OC (O 为坐标原点)的斜率为2k ，则12k k ⋅=（ ）A ．14-B ．4-C ．12-D ．2-【答案】B【解析】设A ()()1122,,,x y B x y ，()00,C x y ，则12012022x x x y y y +⎧=⎪⎪⎨+⎪=⎪⎩，11002212,y y y k k x x x -==- A ()()1122,,,x y B x y ，代入椭圆方程2214y x +=得：222212121144y y x x +=+=，，两式相减可得：()()()()1212121204y y y y x x x x +--++=，化简可得：()()010*******y y y x x x -+=-，即：()()202011104y y y x x x -+=-，12104k k ⋅∴+= 124k k ∴⋅=-故选：B4．（2020·全国高三专题练习）已知离心率为12的椭圆()222210y x a b a b+=>>内有个内接三角形ABC ，O 为坐标原点，边AB BC AC 、、的中点分别为D E F 、、，直线AB BC AC 、、的斜率分别为123k k k ，，，且均不为0，若直线OD OE OF 、、斜率之和为1，则123111k k k ++=（ ） A ．43-B ．43C ．34-D ．34【答案】C【解析】由题意可得12c a =，所以2243,b a =不妨设为22143y x +=.设1(A x ，1)y ，2(B x ，2)y ，3(C x ，3)y ，222211221,14343y x y x +=+=， 两式作差得21212121()()()()34x x x x y y y y -+-+=-，则21212121()3()()4()x x y y y y x x +-=-+-，134OD AB k k =-， 同理可得1313,44OF OE AC BC k k k k =-=-，所以12311133()44OD OE OF k k k k k k ++=-++=-， 故选：C ．5．（2020·全国高三专题练习）中心为原点，一个焦点为F （）的椭圆，截直线y ＝3x －2所得弦中点的横坐标为12，则该椭圆方程为（ ） A ．222217525x y +=B ．2217525x y +=C ．2212575x y +=D ．222212575x y +=【答案】C【解析】由已知得c ＝，设椭圆的方程为2222150x y a a +=-，联立得222215032x ya ay x ⎧+=⎪-⎨⎪=-⎩， 消去y 得（10a 2－450）x 2－12（a 2－50）x ＋4（a 2－50）－a 2（a 2－50）＝0， 设直线y ＝3x －2与椭圆的交点坐标分别为（x 1，y 1），（x 2，y 2）， 由根与系数关系得x 1＋x 2＝()22125010450a a --，由题意知x 1＋x 2＝1，即()22125010450a a --＝1，解得a 2＝75，所以该椭圆方程为2212575x y +=.故选：C6．（2020·全国高三专题练习）椭圆mx 2＋ny 2＝1与直线y ＝1－x 交于M ，N 两点，连接原点与线段MN 中点所得直线的斜率为2，则m n 的值是（ ）ABCD【答案】A【解析】由2211mx ny y x⎧+=⎨=-⎩得(m ＋n )x 2－2nx ＋n －1＝0.设M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2)，则x 1＋x 2＝2n m n +，所以y 1＋y 2＝2mm n+， 所以线段MN 的中点为P (,)n m m n m n++，. 由题意知，k OP，所以m n = 故选：A.7．（2020·黑龙江哈尔滨市·哈师大附中高三）已知双曲线C ：()222210,0x y a b a b-=>>，斜率为2的直线与双曲线C 相交于点A 、B ，且弦AB 中点坐标为()1,1，则双曲线C 的离心率为（ ） A ．2 BCD ．3【答案】B【解析】设11(,)A x y 、22(,)B x y ，则2211221x y a b -=，2222221x y a b -=，所以2222121222x x y y a b--=，所以2121221212y y x x b x x a y x -+=⨯-+， 又弦AB 中点坐标为()1,1，所以122x x +=，122y y +=，又12122y y x x --=，所以22222b a =⨯，即222b a=，所以双曲线的离心率c e a ======. 故选：B.8．（2020·青海西宁市·高三二模）已知倾斜角为π4的直线与双曲线C ：22221x y a b-=（0a >，0b >）相交于A ，B 两点，(4,2)M 是弦AB 的中点，则双曲线的离心率为（ ）ABC ．32D．2【答案】D【解析】因为倾斜角为π4的直线与双曲线C ：22221x y a b-=（0a >，0b >）相交于A ，B 两点，所以直线的斜率tan14πk ==， 设()()1122,,,A x y B x y ，则2211221x y a b -=①2222221x y a b-=②由①-②得()()()()1212121222x x x x y y y y a b -+-+=则2121221212y y b x x k x x a y y -+==⋅-+因为(4,2)M 是弦AB 的中点，12128,4x x y y ∴+=+=因为直线的斜率为122814b a ∴=⋅即222211,22b b a a==所以2222112c a b a ⎛⎫=+=+ ⎪⎝⎭232e ∴=，则e =，故选：D9．（2020·银川三沙源上游学校高三）已知直线l :30x y -+=与双曲线C :22221x y a b-=(0a >，0b >)交于A ，B 两点，点()1,4P 是弦AB 的中点，则双曲线C 的离心率为（ ） A ．43B ．2 CD【答案】D【解析】设()()1122,,,A x y B x y ，因为()1,4P 是弦AB 的中点，根据中点坐标公式得121228x x y y +=⎧⎨+=⎩.直线l :30x y -+=的斜率为1，故12121y y x x -=-. 因为,A B 两点在双曲线上，所以22112222222211x y a b x y a b ⎧-=⎪⎪⎨⎪-=⎪⎩， 两式相减并化简得()()()()21212212128142y y y y b a x x x x +-==⨯=+-， 所以2b a =，所以e ==故选：D10．（2020·齐齐哈尔市第八中学校高三）已知A ，B 为双曲线2222x y a b-=1（a ＞0，b ＞0）上的两个不同点，M 为AB 的中点，O 为坐标原点，若k AB •k OM 12=，则双曲线的离心率为（ ） A．3BC ．2D．2【答案】D【解析】设()11,A x y ，()22,B x y ，则12x x +＝2M x ，12y y +＝2M y ，由22112222222211x y a bx y a b ⎧-=⎪⎪⎨⎪-=⎪⎩可得()()()()1212121222x x x x y y y y a b -+-+=．∴ 2121221212y y y y b x x x x a -+⋅=-+， 即2212AB OMb k k a⋅==，则双曲线的离心率为e ==．故选：D ． 11．（2020·甘肃兰州市·高三月考）过点()42P ，作一直线AB 与双曲线22:12x C y -=相交于A 、B 两点，若P 为AB 中点，则AB =( ) A．B．C．D．【答案】D【解析】易知直线AB 不与y 轴平行，设其方程为y ﹣2＝k （x ﹣4）代入双曲线C ：2212x y -=，整理得（1﹣2k 2）x 2+8k （2k ﹣1）x ﹣32k 2+32k ﹣10＝0设此方程两实根为1x ，2x ，则12x x +()282121k k k -=-又P （4，2）为AB 的中点，所以()282121k k k -=-8，解得k ＝1当k ＝1时，直线与双曲线相交，即上述二次方程的△＞0，所求直线AB 的方程为y ﹣2＝x ﹣4化成一般式为x ﹣y ﹣2＝0．12x x +＝8，12x x ＝10 |AB|=12x x -|==故选D ．12．（2020·全国高三专题练习）已知F 是抛物线C ：y 2=2px (p >0)的焦点，过点R (2，1)的直线l 与抛物线C 交于A ，B 两点，R 为线段AB 的中点.若|FA |+|FB |=5，则直线l 的斜率为（ ）A ．3B ．1C ．2D ．12【答案】B【解析】由于R (2，1)为AB 中点，设A (x A ，y A )，B (x B ，y B ).根据抛物线的定义|FA |+|FB |=x A +x B +p =2×2+p =5，解得p =1，抛物线方程为y 2=2x .2222A A B By x y x ⎧=⎨=⎩，两式相减并化简得22121B A B A A B y y x x y y -===-+⨯，即直线l 的斜率为1. 故选：B13．（2020·湖北武汉市·高三三模）设直线:2AB y kx =-与抛物线28y x =交于A ，B 两点，若线段AB中点横坐标为2，则直线的斜率k =（ ）. A ．2 B ．1- C ．2- D ．1-或2【答案】A【解析】联立直线:2AB y kx =-与抛物线28y x =，消y 整理可得()224840k x k x -++=，设()11,A x y ，()22,B x y ，由题意()()()22122484401482222k k x x k k ⎧⎡⎤∆=-+-⨯>⎣⎦⎪⎨++==⎪⎩， 解()1可得1k >-，解()2可得2k =或1k =-， 综上可知，2k =. 故选：A14．（2020·全国高三月考（理））已知圆22:3O x y +=与抛物线2:2(0)C y px p =>相交于,A B 两点，且||AB =C 上存在关于直线:20l x y --=对称的相异两点P 和Q ，则线段PQ 的中点坐标为（ ）A ．(1,1)-B ．(2,0)C ．13,22⎛⎫-⎪⎝⎭D ．(1,1)【答案】A【解析】因为,A B 关于x 轴对称，所以,A B纵坐标为 横坐标为1，代入22(0)y px p =>， 可得22y x =.设点()11,P x y ，()22,Q x y .则2112222,2,y x y x ⎧=⎨=⎩则()()()1212122y y y y x x -+=-，122PQ k y y ∴=+，又,P Q 关于直线l 对称.1PQ k ∴=-，即122y y +=-，1212y y +∴=-， 又PQ ∵的中点一定在直线l 上，12122122x x y y ++∴=+=. ∴线段PQ 的中点坐标为(1,1)-.故选:A.15．（2020·全国高三月考）已知抛物线2:2C y px =(0)p >的焦点到准线的距离为1，若抛物线C 上存在关于直线:20l x y --=对称的不同两点P 和Q ，则线段PQ 的中点坐标为（ ） A ．()1,1- B ．()2,0C ．13,22⎛⎫-⎪⎝⎭D ．()1,1【答案】A【解析】因为焦点到准线的距离为p ，则1p =， 所以22y x =．设点()11,P x y ，()22,Q x y ．则21122222y x y x ⎧=⎨=⎩，则()()()1212122y y y y x x -+=-， 122PQ k y y ∴=+，又P ，Q 关于直线l 对称．1PQ k ∴=-，即122y y +=-，1212y y +∴=-，又PQ ∵的中点一定在直线l 上，12122122x x y y ++∴=+=． ∴线段PQ 的中点坐标为()1,1-．故选：A.16．（2020·全国高三专题练习）已知直线l 过抛物线2:8C y x =的焦点，并交抛物线C 于A 、B 两点，|16|AB =，则弦AB 中点M 的横坐标是（ ）A ．3B ．4C ．6D ．8【答案】C【解析】直线l 过抛物线2:8C y x =的焦点, 交抛物线C 于A 、B 两点 则其焦点坐标为()2,0F ,准线方程为2x =-过A 向准线作垂直交准线于P 点,过B 向准线作垂直交准线于Q 点,过M 向准线作垂直交准线于N ,交y 轴于H ,如下图所示:设()()1122,,,A x y B x y由抛物线定义可知,,AF AP BF BQ ==由16AB =,可知16AB AF BF AP BQ =+=+= 因为M 为AB 的中点,由梯形的中位线性质可知()1116822MN AP BQ =+=⨯= 则826MH MN NH =-=-= 即M 的横坐标是6 故选:C17．（2020·河北衡水市·衡水中学高三月考）抛物线方程为24x y =，动点P 的坐标为()1,t ，若过P 点可以作直线与抛物线交于,A B 两点，且点P 是线段AB 的中点，则直线AB 的斜率为（ ） A ．12B ．12-C ．2D ．2-【答案】A【解析】设1122(,),(,)A x y B x y ,由题得2111212122224,()()4()4x y x x x x y y x y ⎧=∴+-=-⎨=⎩， 所以212112y y k x x -==-，故选：A18．（2020·全国高三专题练习）过椭圆221164x y +=内的一点(21)M ，引一条弦，使弦被M 点平分，求这条弦所在的直线方程 . 【答案】240x y +-=【解析】解：设直线与椭圆的交点为1(A x ，1)y 、2(B x ，2)y)1(2,M 为AB 的中点124x x ∴+=，122y y +=又A 、B 两点在椭圆上，则2211416x y +=，2222416x y +=两式相减得22221212()4()0x x y y -+-=于是12121212()()4()()0x x x x y y y y +-++-=∴12121212414()422y y x x x x y y -+=-=-=--+⨯，即12AB k =-，故所求直线的方程为11(2)2y x -=--，即240x y +-=． 故答案为：240x y +-=19．（2020·全国高三专题练习）已知双曲线E 的中心为原点，(30)F ，是E 的焦点，过F 的直线l 与E 相交于A 、B 两点，且AB 的中点为(1215)N --，，求双曲线E 的方程 . 【答案】22145x y -=【解析】设双曲线的方程为22221x y a b-=(0a >，0b >)，由题意知3c =，229a b +=，设11()A x y ，、22()B x y ，则有：2211221x y a b -=，2222221x y a b-=，两式作差得：22121222121245y y x x b b x x a y y a -+=⋅=-+，又AB 的斜率是1501123--=--， ∴2254b a =，代入229a b +=得，24a =，25b =，∴双曲线标准方程是22145x y -=.20．（2020·全国高三专题练习）直线m 与椭圆22x ＋y 2＝1交于P 1，P 2两点，线段P 1P 2的中点为P ，设直线m 的斜率为k 1(k 1≠0)，直线OP 的斜率为k 2，则k 1k 2的值为________.【答案】12-【解析】设()()111222,,,P x y P x y ，中点()00,P x y ，则满足221122221212x y x y ⎧+=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩，两式相减得()()()()1212121202x x x x y y y y -++-+=，整理得12121212102y y y y x x x x -++⋅=-+，即012120102y y y x x x -+⋅=-，即12102k k +⋅=，1212k k ∴=-.故答案为：12-.21．（2020·全国高三其他模拟）已知直线3y x m =-与椭圆()2222:10x y C a b a b+=>>相交于P ，Q 两点，若PQ 中点的横坐标恰好为2m ，则椭圆C 的离心率为______.【解析】设()11,P x y ，()22,Q x y ，代入椭圆方程得2211221x y a b +=，2222221x y a b +=，两式作差得22221212220x x y y a b --+=，整理得122122121222y y y y b x x x x a +-⋅=-+-， 因为1222x x m +=，所以12123322y y x m x mm +-+-==-， 又因为12121PQ y y k x x -==-，所以2212m b m a-⨯=-，所以2212b a =，所以2c e a ======2212ca=.故答案为：2. 22．（2019·浙江宁波市·镇海中学高三开学考试）已知椭圆r ：()222210x y a b a b +=>>△ABC 的三个顶点都在椭圆r 上，设△ABC 三条边AB 、BC 、AC 的中点分别为D 、E 、M ，且三条边所在直线的斜率分别为1k 、2k 、3k 且均不为0，O 为坐标原点，若直线OD 、OE 、OM 的斜率之和为2，则123111k k k ++=___________． 【答案】8-【解析】由椭圆r ：()222210x y a b a b +=>>的离心率为2，设2a m = ，则b m =∴ 椭圆的标准方程为：222214x y m m += 设112233112233(,),(,),(,),(,),(,),(,)A x y B x y C x y D s t E s t M s t 因为边AB 、BC 、AC 的中点分别为D 、E 、M ， 故323213131212112233,,,,,222222x x y y x x y y x x y y s t s t s t ++++++====== ， 由,A B 在椭圆上，则2221144x y m += ，2222244x y m +=两式相减化简得：1212121214y y x x x x y y -+=-⋅-+ ，所以1212111212111,44y y x x s k x x y y t -+==-⋅=-⋅-+ 即：11114t k s =-⋅ 同理得：322233114,4t t k s k s =-⋅=-⋅，所以 又因为312123,,,OD OE OM t t tk k k s s s === 3121231231114()8t t t k k k s s s ++=-⨯++=- 故答案为：8-23．（2020·四川成都市·高三二模）设直线:1l y x =-与抛物线()220y px p =>相交于,A B 两点，若弦AB 的中点的横坐标为2,则p 的值为___________． 【答案】1【解析】联立直线:1l y x =-与抛物线22y px =，得2220y py p --=，则122y y p +=，又12122422y y x x +=+-=-=，故22p =，1p =. 故答案为：1.24．（2020·全国高三月考）已知椭圆()2222:10x y C a b a b+=>>的右焦点为()2,0F ，过点F 的直线交椭圆于A 、B 两点.若AB 的中点坐标为11,2⎛⎫ ⎪⎝⎭，则椭圆C 的方程为______.【答案】22331164x y +=【解析】设()11,A x y ，()22,B x y ，则122x x +=，121y y +=，2211221x y a b +=①，2222221x y a b+=②， 由①－②得22221212220x x y y a b--+=，即2221222212y y b x x a -=-- 所以()()2212122212122b x x y y b x x a y y a+-=-=--+， 又12121012122ABy y kx x --===---， 所以22212b a =，即224a b =，又2224c a b =-=，解得243b =，2163a =，所以椭圆方程为22331164x y +=．25．（2020·江苏）椭圆221(0,0)ax by a b +=>>与直线y ＝1－x 交于A ，B 两点，过原点与线段AB 中点b a 的值为________．【答案】3【解析】设()()1122,,,A x y B x y ，线段AB 的中点为1212,22x x y y M ++⎛⎫⎪⎝⎭则222211221,1ax by ax by +=+=，即()2222221212122212,1by by ax ax by by ax ax --=--=-- ()()()()121212121b y y y y a x x x x -+∴=--+12121AB y y k x x -==--，121212122220OMy y y y k x x x x ++=+-==-+(1)1b a ∴⨯-=-b a ∴=故答案为：326．（2020·湖北黄冈市·黄冈中学高三其他模拟）已知双曲线C 的中心在原点，()2,0F -是一个焦点，过F 的直线l 与双曲线C 交于A ，B 两点，且AB 的中点为()3,1N --，则C 的方程是______.【答案】2213x y -=【解析】由F ，N 的坐标得1lk .设双曲线方程为()222210,0x y a b a b-=>>，则224a b +=.设()11,A x y ，()22,B x y ， 则126x x +=-，122y y +=-，12121l y y k x x -==-.由2211221x y a b -=，2222221x y a b -=得()()()()12121212220x x x x y y y y a b +-+--=， 即22260lk a b-+=， ∴223a b .于是23a =，21b =，所以C 的方程为2213x y -=.故答案为：2213x y -=27．（2020·广东广州市·高三月考）已知直线l 与双曲线2221yx -=交于,A B 两点，当,A B 两点的对称中心坐标为()1,1时，直线l 的方程为________.【答案】210x y --= 【解析】设()11,A x y ，()22,B x y ，则221122222121y x y x ⎧-=⎨-=⎩， 相减得到()()()()1212121220y y y y x x x x +--+-=，即240k -=，2k =.故直线方程为：21y x =-，即210x y --=.故答案为：210x y --=.【点睛】本题考查了双曲线中的点差法，意在考查学生的计算能力和综合应用能力.28．（2020·西藏拉萨市·拉萨中学高三月考）已知双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>上存在两点A ，B 关于直线8y x =-对称，且线段AB 的中点在直线2140x y --=上，则双曲线的离心率为_________.【答案】2【解析】点A ，B 关于直线8y x =-对称，线段AB 的中点在直线2140x y --=上所以82140y x x y =-⎧⎨--=⎩得()2,6C -， 设()()1122,,,A x y B x y ，所以1212412x x y y +=⎧⎨+=-⎩ 将()()1122,,,A x y B x y 代入双曲线，则有22112222222211x y a b x y a b ⎧-=⎪⎪⎨⎪-=⎪⎩ 两式相减得()()()()2212121212a x x x x y y y y b-+=-+. ∵210x x -≠，∴2212122121y y y y b x x x x a -+⋅=-+，∴22124AB k ab -⨯=. ∵点A ，B 关于直线8y x =-对称∴1AB k =-，所以()2213b a-⨯-=，即223b a =.∴双曲线的离心率为2c e a ===. 故答案为：229．（2020·全国高三月考）过点()1,1P 作直线l 与双曲线222y x λ-=交于A ，B 两点，若点P 恰为线段AB 的中点，则实数λ的取值范围是______.【答案】()1,00,2⎛⎫-∞⋃ ⎪⎝⎭【解析】因为双曲线方程为222y x λ-= 则0λ≠设()11,A x y ,()22,B x y因为点P 恰为线段AB 的中点则12122,2x x y y +=+= 则2211222222y x y x λλ⎧-=⎪⎪⎨⎪-=⎪⎩,两式相减并化简可得1212121222y y x x x x y y -+=⨯=-+ 即直线l 的斜率为2所以直线l 的方程为21y x =- 22212y x y x λ=-⎧⎪⎨-=⎪⎩,化简可得224210x x λ-++=因为直线l 与双曲线有两个不同的交点所以()1642210λ∆=-⨯⨯+> 解得12λ<且0λ≠ 所以λ的取值范围为()1,00,2⎛⎫-∞⋃ ⎪⎝⎭故答案为: ()1,00,2⎛⎫-∞⋃ ⎪⎝⎭30．（2019·云南玉溪市·高三月考）已知抛物线22(0)y px p =>，焦点到准线的距离为1，若抛物线上存在关于直线20x y --=对称的相异两点A ，B ，则线段AB 的中点坐标为_________.【答案】()1,1- 【解析】焦点到准线的距离为1，∴1p =， 设()11,A x y ，()22,B x y ，AB 中点()00,M x y ，21122222y px y px ⎧=∴⎨=⎩①②，①-②得：()2212122y y p x x -=-，即()1212122y y y y p x x -⋅+=-，即022AB k y p ⋅= 故01y p =-=-，又因为()00,M x y 在直线20x y --=上，所以01x =，从而线段AB 的中点坐标为()1,1-.故答案为：()1,1-.。
中学数学解析几何点差法椭圆中点问题
一道椭圆客观题的变式探索过点M （1，1）作斜率为﹣12的直线与椭圆C ：22221(0)x y a b a b +=>>相交于A ，B 两点，若M 是线段AB 的中点，则椭圆C 的离心率等于 ． 分析：利用点差法，结合M 是线段AB 的中点，斜率为﹣12，即可求出椭圆C 的离心率． 解析：设A （x 1，y 1），B （x 2，y 2），则221122 1.x y a b +=，222222 1.x y a b+=，∵过点M （1，1）作斜率为﹣12的直线与椭圆C ：22221(0)x y a b a b +=>>相交于A ，B 两点，M 是线段AB 的中点，∴两式相减可得22212().02a b +-=，a ∴=∴c b ==，∴2c e a ==．故答案为：2． 点评：若设直线与圆锥曲线的交点（弦的端点）坐标为),(11y x A 、),(22y x B ，将这两点代入圆锥曲线的方程并对所得两式作差，得到一个与弦AB 的中点和斜率有关的式子，可以大大减少运算量。
我们称这种代点作差的方法为“点差法”。
一般用于已知斜率与中点坐标两者之一或两者都已知或未知，进而求解求解其它参数（离心率）的情况．结论：在椭圆22221(0)x y a b a b +=>>中，若直线l 与椭圆相交于M,N 两点，点P （x 0，y 0）是弦MN 中点，弦MN 所在的直线l 的斜率是MN K ,则有：MN K .2020y b x a=-.变式一：已知直线与椭圆22194x y +=交于A ，B 两点，设线段AB 的中点为P ，若直线的斜率为k 1，直线OP 的斜率为k 2，则k 1k 2等于分析：利用“平方差法”、线段中点坐标公式、斜率计算公式即可得出． 解析：设A （x 1，y 1），B （x 2，y 2），P （x 0，y 0）．则1202x x x +=，1202y y y +=， 21121y y k x x -=-，020y k x =，∴2211 1.94x y +=2222 1.94x y +=两式作差并化简得∴121212129()()()()04x x x x y y y y +-++-=∴001922.04x y k +⨯=，∴12904k k +=，∴k 1k 2=﹣94．故答案为：94- 点评：本题考查了“平方差法”、设而不求，以及线段中点坐标公式、斜率计算公式的应用，属于中档题．如果知道上面的结论可以直接求解即可。
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1.中心在原点的椭圆C 的右焦点为F (15，0)，直线y ＝x 与椭圆的一个交点的横坐标为2，则椭圆方程为( )
A.x 216＋y 2＝1 B ．x 2＋y 216＝1 C.x 220＋y 25＝1
D.x 25＋y 220＝1
2.如图，已知椭圆E 的方程为x 2a 2＋y 2
b 2＝1(a >b >0)，A 为椭圆的左顶点，B ，C 在椭圆上，若四边形OABC 为平行四边形，且∠OAB ＝30°，则椭圆的离心率等于________
3. (2013·辽宁)已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2
b 2＝1(a ＞b ＞0)的左焦点为F ，C 与过原点的直线相交于A 、B 两点，连结AF ， BF . 若|AB |＝10，|BF |＝8，cos ∠ABF ＝45，则C 的离心率为( )
A.35
B.57
C.45
D.67
4.已知椭圆的焦点是F 1,F 2,P 是椭圆上的一个动点,如果延长F 1P 到Q ,使得|PQ|=|PF 2|,那么动点Q 的轨迹是( )
A.圆
B.椭圆
C.抛物线
D.无法确定
5.F 1、F 2是椭圆x 2a 2＋y 2
b 2＝1(a >b >0)的两焦点，P 是椭圆上任一点，从任一焦点引∠F 1PF 2的外角平分线的垂线，垂足为Q ，则点Q 的轨迹为 ( )
A ．圆
B ．椭圆
C ．双曲线
D ．抛物线
6.(2013·课标全国Ⅱ)设椭圆x 2a 2＋y 2
b 2＝1(a ＞b ＞0)的左、右焦点分别是F 1、F 2，P 是C 上的点，PF 2⊥F 1F 2，∠PF 2F 2＝30°，则C 的离心率为 ( ) A.
36 B.13 C.12 D.33
7.已知F 1、F 2是椭圆C 的左、右焦点，点P 在椭圆上，且满足|PF 1|＝2|PF 2|，∠PF 1F 2＝30°，则椭圆的离心率______
8.如图所示，A ，B 是椭圆的两个顶点，C 是AB 的中点，F 为椭圆的右焦点，OC 的延长线交椭圆于点M ，且|OF | ＝2，若MF ⊥OA ，则椭圆的方程为________．
9.椭圆的一个顶点为()02，
A ，其长轴长是短轴长的2倍，求椭圆的标准方程
10.已知椭圆15922=+y x 内有一点)1,1(A ，1F 、2F 分别是椭圆的左、右焦点，点P 是椭圆上一点．求1PF PA +的最大值、最小值及对应的点P 坐标
点差法：椭圆122
22=+b
y a x 与直线m kx y +=相交于A,B 两点，设相交弦的中点为()00,y x M ，探究直线斜率 k 与中点的关系
第一步，设点： 设()()212211,,,x x y x B y x A ≠且
则1221221=+b y a x （1） 1222222=+b
y a x （2） 第二步，做差： ()()0:2-12222122221
=-+-b
y y a x x 得 第三步，求k ： ()()2122122121y y a x x b x x y y ++-=-- ()()0
2022122122121y a x b y y a x x b x x y y k AB -=++-=--=所以 椭圆点差法的一般性结论： 0
202y a x b k AB -= 1.过椭圆14
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2=+y x 内一点()1,2M 引一条弦使弦被M 点平分，求这条弦所在直线方程
2.(2014江西)过点(1,1)M 作斜率为12
-的直线与椭圆C ：22221(0)x y a b a b +=>>相交于,A B ，若M 是线段AB 的中点，则椭圆C 的离心率为
3.过()0,6-点，斜率为AB k 的直线交椭圆18
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2=+y x 与B A ,两点，求B A ,的中点为M ，原点与M 点组成的直线的斜率为OM k .则AB k =⋅OM k。