台安县第四中学校2018-2019学年高二上学期第二次月考试卷数学

台安县第四中学校2018-2019学年高二上学期第二次月考试卷数学
班级__________ 姓名__________ 分数__________
一、选择题
1．如图所示是一样本的频率分布直方图，则由图形中的数据，可以估计众数与中位数分别为（）
A．10 13 B．12.5 12 C．12.5 13 D．10 15
2．若一个球的表面积为12π，则它的体积为（）
A．B．C．D．
3．5名运动员争夺3项比赛冠军（每项比赛无并列冠军），获得冠军的可能种数为（）
A．35B．C．D．53
4．如图，函数f（x）=Asin（2x+φ）（A＞0，|φ|＜）的图象过点（0，），则f（x）的图象的一个对称中心是（）
A．（﹣，0）B．（﹣，0）C．（，0）D．（，0）
5．已知点A（0，1），B（3，2），向量=（﹣4，﹣3），则向量=（）
A．（﹣7，﹣4）B．（7，4）C．（﹣1，4）D．（1，4）
6．已知全集U=R，集合M={x|﹣2≤x﹣1≤2}和N={x|x=2k﹣1，k=1，2，…}的关系的韦恩（Venn）图如图所示，则阴影部分所示的集合的元素共有（）
A．3个B．2个C．1个D．无穷多个
7．3名医生和6名护士被分配到3所学校为学生体检，每校分配1名医生和2名护士．不同的分配方法共有（）
A．90种B．180种C．270种D．540种
8．袋中装有红、黄、蓝三种颜色的球各2个，无放回的从中任取3个球，则恰有两个球同色的概率为（）
A．B．C．D．
9．已知函数f（x）=是R上的增函数，则a的取值范围是（）
A．﹣3≤a＜0 B．﹣3≤a≤﹣2 C．a≤﹣2 D．a＜0
10．在△ABC中，内角A，B，C的对边分别是a，b，c，若a2﹣b2=bc，sinC=2sinB，则A=（）
A．30°B．60°C．120°D．150°
11．在高校自主招生中，某学校获得5个推荐名额，其中清华大学2名，北京大学2名，复旦大学1名．并且北京大学和清华大学都要求必须有男生参加．学校通过选拔定下3男2女共5个推荐对象，则不同的推荐方法共有（）
A．20种B．22种C．24种D．36种
12．已知点P（x，y）的坐标满足条件，（k为常数），若z=3x+y的最大值为8，则k的值为（）
A．B．C．﹣6 D．6
二、填空题
13．（x﹣）6的展开式的常数项是（应用数字作答）．
14．刘老师带甲、乙、丙、丁四名学生去西安参加自主招生考试，考试结束后刘老师向四名学生了解考试情况．四名学生回答如下：
甲说：“我们四人都没考好．”
乙说：“我们四人中有人考的好．”
丙说：“乙和丁至少有一人没考好．”
丁说：“我没考好．”
结果，四名学生中有两人说对了，则这四名学生中的两人说对了．
15．抛物线24x y =的焦点为F ，经过其准线与y 轴的交点Q 的直线与抛物线切于点P ，则FPQ ∆ 外接圆的标准方程为_________.
16．圆柱形玻璃杯高8cm ，杯口周长为12cm ，内壁距杯口2cm 的点A 处有一点蜜糖．A 点正对面的外壁（不是A 点的外壁）距杯底2cm 的点B 处有一小虫．若小虫沿杯壁爬向蜜糖饱食一顿，最少要爬多少 cm ．（不计杯壁厚度与小虫的尺寸）
17．已知一个算法，其流程图如图，则输出结果是 ．
18．已知，是空间二向量，若=3，||=2，|﹣|=，则与的夹角为 ．
三、解答题
19．在直角坐标系xOy 中，以原点O 为极点，以x 轴正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线C 1的极坐标方程为
ρ（sin θ+cos θ）=1，曲线C 2的参数方程为
（θ为参数）．
（Ⅰ）求曲线C 1的直角坐标方程与曲线C 2的普通方程；
（Ⅱ）试判断曲线C 1与C 2是否存在两个交点？若存在，求出两交点间的距离；若不存在，说明理由．
20．如图，在三棱柱111ABC A B C -中，111,A A AB CB A ABB =⊥． （1）求证：1AB ⊥平面1A BC ；
（2）若15,3,60AC BC A AB ==∠=，求三棱锥1C AA B -的体积．
21．【2017-2018学年度第一学期如皋市高三年级第一次联考】已知二次函数()f x 为偶函数且图象经过原点，其导函数()'f x 的图象过点()12，． （1）求函数()f x 的解析式； （2）设函数()()()'g x f x f x m =+-，其中m 为常数，求函数()g x 的最小值．
22．如图，四边形ABCD 是圆内接四边形，BA 、CD 的延长线交于点P ，且AB=AD ，BP=2BC （Ⅰ）求证：PD=2AB ；
（Ⅱ）当BC=2，PC=5时．求AB 的长．
23．△ABC中，角A，B，C所对的边之长依次为a，b，c，且cosA=，5（a2+b2﹣c2）=3ab．（Ⅰ）求cos2C和角B的值；
（Ⅱ）若a﹣c=﹣1，求△ABC的面积．
24f x=sinωx+φω00φ2π
（2）求函数g（x）=f（x）+sin2x的单调递增区间．
台安县第四中学校2018-2019学年高二上学期第二次月考试卷数学（参考答案）一、选择题
1．【答案】C
【解析】解：众数是频率分布直方图中最高矩形的底边中点的横坐标，
∴中间的一个矩形最高，故10与15的中点是12.5，众数是12.5
而中位数是把频率分布直方图分成两个面积相等部分的平行于Y轴的直线横坐标
第一个矩形的面积是0.2，第三个矩形的面积是0.3，故将第二个矩形分成3：2即可
∴中位数是13
故选：C．
【点评】用样本估计总体，是研究统计问题的一个基本思想方法．频率分布直方图中小长方形的面积=组距
×，各个矩形面积之和等于1，能根据直方图求众数和中位数，属于常规题型．
2．【答案】A
【解析】解：设球的半径为r，
因为球的表面积为12π，
所以4πr2=12π，所以r=，
所以球的体积V==4π．
故选：A．
【点评】本题考查球的表面积、体积公式的应用，考查计算能力．
3．【答案】D
【解析】解：每一项冠军的情况都有5种，故5名学生争夺三项冠军，获得冠军的可能的种数是53，
故选：D．
【点评】本题主要考查分步计数原理的应用，属于基础题．
4．【答案】B
【解析】解：由函数图象可知：A=2，由于图象过点（0，），
可得：2sinφ=，即sinφ=，由于|φ|＜，
解得：φ=，
即有：f（x）=2sin（2x+）．
由2x+=kπ，k∈Z可解得：x=，k∈Z，
故f（x）的图象的对称中心是：（，0），k∈Z
当k=0时，f（x）的图象的对称中心是：（，0），
故选：B．
【点评】本题主要考查由函数y=Asin（ωx+φ）的部分图象求函数的解析式，正弦函数的对称性，属于中档题．
5．【答案】A
【解析】解：由已知点A（0，1），B（3，2），得到=（3，1），向量=（﹣4，﹣3），
则向量==（﹣7，﹣4）；
故答案为：A．
【点评】本题考查了有向线段的坐标表示以及向量的三角形法则的运用；注意有向线段的坐标与两个端点的关系，顺序不可颠倒．
6．【答案】B
【解析】解：根据题意，分析可得阴影部分所示的集合为M∩N，
又由M={x|﹣2≤x﹣1≤2}得﹣1≤x≤3，
即M={x|﹣1≤x≤3}，
在此范围内的奇数有1和3．
所以集合M∩N={1，3}共有2个元素，
故选B．
7．【答案】D
【解析】解：三所学校依次选医生、护士，不同的分配方法共有：C31C62C21C42=540种．
故选D．
8．【答案】B
【解析】解：从红、黄、蓝三种颜色的球各2个，无放回的从中任取3个球，共有C63=20种，
其中恰有两个球同色C31C41=12种，
故恰有两个球同色的概率为P==，
故选：B．
【点评】本题考查了排列组合和古典概率的问题，关键是求出基本事件和满足条件的基本事件的种数，属于基础题．
9．【答案】B
【解析】解：∵函数是R上的增函数
设g（x）=﹣x2﹣ax﹣5（x≤1），h（x）=（x＞1）
由分段函数的性质可知，函数g（x）=﹣x2﹣ax﹣5在（﹣∞，1]单调递增，函数h（x）=在（1，+∞）单调递增，且g（1）≤h（1）
∴
∴
解可得，﹣3≤a≤﹣2
故选B
10．【答案】A
【解析】解：∵sinC=2sinB，∴c=2b，
∵a2﹣b2
=bc，∴cosA===
∵A是三角形的内角
∴A=30°
故选A．
【点评】本题考查正弦、余弦定理的运用，解题的关键是边角互化，属于中档题．
11．【答案】C
【解析】解：根据题意，分2种情况讨论：
①、第一类三个男生每个大学各推荐一人，两名女生分别推荐北京大学和清华大学，
共有=12种推荐方法；
②、将三个男生分成两组分别推荐北京大学和清华大学，其余2个女生从剩下的2个大学中选，
共有=12种推荐方法；
故共有12+12=24种推荐方法；
故选：C．
12．【答案】B
【解析】解：画出x，y满足的可行域如下图：z=3x+y的最大值为8，
由，解得y=0，x=，
（，0）代入2x+y+k=0，∴k=﹣，
故选B．
【点评】如果约束条件中含有参数，可以先画出不含参数的几个不等式对应的平面区域，分析取得最优解是哪两条直线的交点，然后得到一个含有参数的方程（组），代入另一条直线方程，消去x，y后，即可求出参数的值．
二、填空题
13．【答案】﹣160
【解析】解：由于（x﹣）6展开式的通项公式为T r+1=•（﹣2）r•x6﹣2r，
令6﹣2r=0，求得r=3，可得（x﹣）6展开式的常数项为﹣8=﹣160，
故答案为：﹣160．
【点评】本题主要考查二项式定理的应用，二项式系数的性质，二项式展开式的通项公式，求展开式中某项的系数，属于基础题．
14．【答案】乙 ，丙
【解析】【解析】
甲与乙的关系是对立事件，二人说话矛盾，必有一对一错，如果选丁正确，则丙也是对的，所以丁错误，可得丙正确，此时乙正确。

故答案为：乙，丙。

15．【答案】()2
212x y -+=或()2
2
12x y ++=
【解析】
试题分析：由题意知()0,1F ，设2001,
4P x x ⎛⎫
⎪⎝⎭
，由1'2y x =，则切线方程为()20001142y x x x x -=-，代入
()0,1-得02x =±，则()()2,1,2
,1P -，可得PF FQ ⊥，则FPQ ∆外接圆以PQ 为直径，则()2
212
x y -+=或()2212x y ++=.故本题答案填()2212x y -+=或()22
12x y ++=．1
考点：1.圆的标准方程；2.抛物线的标准方程与几何性质． 16．【答案】 10 cm
【解析】解：作出圆柱的侧面展开图如图所示，设A 关于茶杯口的对称点为A ′，
则A ′A=4cm ，BC=6cm ，∴A ′C=8cm ，
∴A ′B=
=10cm ．
故答案为：10．
【点评】本题考查了曲面的最短距离问题，通常转化为平面图形来解决．
17．【答案】 5 ．
【解析】解：模拟执行程序框图，可得 a=1，a=2
不满足条件a 2
＞4a+1，a=3
不满足条件a2＞4a+1，a=4
不满足条件a2＞4a+1，a=5
满足条件a2＞4a+1，退出循环，输出a的值为5．
故答案为：5．
【点评】本题主要考查了循环结构的程序框图，依次正确写出每次循环得到的a的值是解题的关键，属于基本知识的考查．
18．【答案】60°．
【解析】解：∵|﹣|=，
∴
∴=3，
∴cos＜＞==
∵
∴与的夹角为60°．
故答案为：60°
【点评】本题考查平面向量数量积表示夹角和模长，本题解题的关键是整理出两个向量的数量积，再用夹角的表示式．
三、解答题
19．【答案】
【解析】解：（Ⅰ）由曲线C1的极坐标方程为ρ（sinθ+cosθ）=1，可得它的直角坐标方程为x+y=1，
根据曲线C2的参数方程为（θ为参数），可得它的普通方程为+y2=1．
（Ⅱ）把曲线C1与C2是联立方程组，化简可得5x2﹣8x=0，显然△=64＞0，
故曲线C1与C2是相交于两个点．
解方程组求得，或，可得这2个交点的坐标分别为（0，1）、（，﹣）．
【点评】本题主要考查把极坐标方程化为直角坐标方程，把参数方程化为普通方程的方法，求两条曲线的交点，属于基础题．
20．【答案】（1）证明见解析；（2）【解析】
试题分析：（1）有线面垂直的性质可得1BC AB ⊥，再由菱形的性质可得11AB A B ⊥，进而有线面垂直的判定定理可得结论；（2）先证三角形1A AB 为正三角形，再由于勾股定理求得AB 的值，进而的三角形1A AB 的面积，又知三棱锥的高为3BC =，利用棱锥的体积公式可得结果.
考
点：1、线面垂直的判定定理；2、勾股定理及棱锥的体积公式. 21．【答案】（1）()2
f x x =；（2）1m -
【解析】（2）
据题意，()()()2
'2g x f x f x m x x m =+-=+-，即()2222{
22
m x x m x g x m
x x m x -+<
=+-≥，，，，
①若12m <-，即2m <-，当2m x <时，()()22
211g x x x m x m =-+=-+-，故()g x 在2m ⎛⎫-∞ ⎪⎝
⎭，上
单调递减；当2m x ≥时，()()22
211g x x x m x m =+-=+--，故()g x 在12m ⎛⎫- ⎪⎝⎭
，上单调递减，在
()1-+∞，
上单调递增，故()g x 的最小值为()11g m -=--． ②若112m -≤
≤，即22m -≤≤，当2m x <时，()()211g x x m =-+-，故()g x 在2m ⎛
⎫-∞ ⎪⎝⎭，上单调递减； 当2m x ≥时，()()211g x x m =+--，故()g x 在2m ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭
，上单调递增，故()g x 的最小值为
2
24m m
g ⎛⎫=
⎪⎝⎭． ③若12m >，即2m >，当2
m x <时，()()22
211g x x x m x m =-+=-+-，故()g x 在()1-∞，上单调递
减，在12m ⎛⎫ ⎪⎝⎭，上单调递增；当2m x ≥时，()()22
211g x x x m x m =+-=+--，故()g x 在2m ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭
，上
单调递增，故()g x 的最小值为()11g m =-．
综上所述，当2m <-时，()g x 的最小值为1m --；当22m -≤≤时，()g x 的最小值为2
4
m ；当2m >时，
()g x 的最小值为1m -．
22．【答案】
【解析】（Ⅰ）证明：∵四边形ABCD 是圆内接四边形， ∴∠PAD=∠PCB ， ∴∠APD=∠CPB ， ∴△APD ∽△CPB ，
∴
=
，
∵BP=2BC ∴PD=2AD ， ∴AB=AD ， ∴PD=2AB ；
（Ⅱ）解：由题意，BP=2BC=4，设AB=t ，由割线定理得PD •PC=PA •PB ，
∴2t ×5=（4﹣t ）×4
∴t=，即AB=．
【点评】本题考查三角形相似的判断，考查割线定理，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．
23．【答案】
【解析】解：（I ）由∵cosA=，0＜A ＜π，
∴sinA=
=， ∵5（a 2+b 2﹣c 2
）=3
ab ，
∴cosC==，
∵0＜C ＜π，
∴sinC=
=，
∴cos2C=2cos 2
C ﹣1=，
∴cosB=﹣cos （A+C ）=﹣cosAcosC+sinAsinC=﹣×+×=﹣
∵0＜B ＜π，
∴B=．
（II ）∵=，
∴a==c ，
∵a ﹣c=﹣1，
∴a=
，c=1，
∴S=acsinB=×
×1×
=．
【点评】本题主要考查了正弦定理和余弦定理的综合运用，两角和与差的正弦公式等知识．考查学生对基础知识的综合运用．
24．【答案】
【解析】（本题满分12分）
解：（1）由表格给出的信息知，函数f （x ）的周期为T=2（﹣0）=π．
所以ω=
=2，由sin （2×0+φ）=1，且0＜φ＜2π，所以φ=
．
所以函数的解析式为f（x）=sin（2x+）=cos2x…6分
（2）g（x）=f（x）+sin2x=sin2x+cos2x=2sin（2x+），
令2k≤2x+≤2k，k∈Z则得kπ﹣≤x≤kπ+，k∈Z
故函数g（x）=f（x）+sin2x的单调递增区间是：，k∈Z…12分
【点评】本题主要考查了由y=Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式，正弦函数的单调性，周期公式的应用，属于基本知识的考查．。