江苏省兴泰高补中心数学月考(三)苏教版

兴泰高补中心第三次月考试卷数 学
一、填空题（本大题共14小题，每小题5分，共70分，请将答案填写在答题卷相应的位置上） 1.函数()()
12sin π4
f x x =+的最小正周期是 .
2．已知函数f(x)对任意x,y ∈R 都有f(x+y)=f(x)+f(y), 且f(2)=4,则f(-1)= .
3.如果实数x ，y 满足不等式组110220x x y x y ≥⎧⎪
-+≤⎨⎪--≤⎩
，则z=x+2y 最小值为 .
4.命题“220x x ∃∈-=Q ，”的否定是 .
5.已知向量a
=
，b ⊥a ，且|b |=2，则向量b 的坐标是 .
6.若函数()4ln f x x =，点(,)P x y 在曲线'()y f x =上运动，作PM x ⊥轴，垂足为M ，则△POM （O 为坐标原点）的周长的最小值为 .
7.设,αβ为互不重合的两个平面，,m n 为互不重合的两条直线，给出下列四个命题： ①若,m n αα⊥⊂，则m n ⊥；②若,,m n m αα⊂⊂∥β，n ∥β，则α∥β ③若,,,m n n m αβα
βα⊥=⊂⊥，则n β⊥
④若,m ααβ⊥⊥，m ∥n ，则n ∥β 其中所有正确命题的序号是 .
8.在等比数列{}n a 中，若33813
a a a =243，则2
910
a 的值为 .
9.若函数2()5f x mx x =++在[2)-+∞，
上是增函数，则m 的取值范围是 . 10.若关于x 的方程kx －ln x =0有解，则k 的取值范围是 .
11.设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若22,,m n m n S n S m ≠==，则m n S += . 12.设()f x 是定义在(]2-∞，上的减函数，且22(sin 1)(cos )f a x f a x --+≤对一切x ∈R 都成立，则a 的取值范围是 .
13.某地区为了了解70～80岁老人的日平均睡眠时间（单位：h ），随机选择了50位老人进行调查. 下表是这50位老人日睡眠时间的频率分布表：
在上述统计数据的分析中，一部分计算见算法流程图，则输出的S 的值是 . 14.已知集合{M P =|P 是棱长为1的正方体1111ABCD A B C D -表面上的点，
且
}AP =，则集合M 中所有点的轨迹的长度是 .
二、解答题：（本大题共6道题，计90分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤） 15．已知△ABC
的面积为()
18AC AB CB ⋅-=，向量(tan tan sin 2)A B C =+，
m 和 (1cos cos )A B =，n 是共线向量.
（1）求角C 的大小；
（2）求△ABC 的三边长.
16.如图，在底面为菱形的直四棱柱1111ABCD A BC D -中，
E F 、分 别为11A B 、11B C 的中点，G 为DF 的中点.
（1）求证：EF ⊥平面11B BDD ；（2）求证：EG ∥平面11AA D D .
17.随着机构改革工作的深入进行，各单位要减员增效，有一家公司 现有职员a 2人（140<a 2<420，且a 为偶数），每人每年可创利b 万
元.据评估，在经营条件不变的前提下， 每裁员．．．1人，则留岗职员每人每年．．．．多创利b 01.0万元，但公司需付下岗职员每人每年b 4.0万元的生活费，并且该公司正常运转所需人数不得小于现有职员的4
3
，为获得最大的经济效益，该公司应裁员多少人？
18．已知直线l 的方程为2x =-，且直线l 与x 轴交于点M ，圆22:1O x y +=与x 轴交于,A B 两
A
B C
D
A 1
B 1
C 1
D 1
E G
F
点（如图）．
（I ）过M 点的直线1l 交圆于P Q 、两点，且圆孤PQ 恰为圆周的
1
4
，求直线1l 的方程； （II ）求以l 为准线，中心在原点，且与圆O 恰有两个公共点的椭圆方程；
（III ）过M 点作直线2l 与圆相切于点N,设（II ）中椭圆的两个焦点分别为F 1,F 2,求21F NF ∆ 面
积。

19．设n T 为数列{}n a 的前n 项之积，满足)(1*∈-=N n a T n n ． (1)设n
n T b 1
=
，证明数列{}n b 是等差数列，并求n b 和n a ； (2)设2
2
22
1n n T T T S +++= 求证：4
1211-≤<-+n n n a S a ．
20．已知函数()sin f x a x x b =-+(a ，b 均为正常数). （1）求证：函数f (x )在(0，a +b ]内至少有一个零点； （2）设函数在3
x π=处有极值.
①对于一切π02x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，
，不等式()
π()4f x x +恒成立，求b 的取值范围；
②若函数f (x )在区间()
121ππm m --，上是单调增函数，求实数m 的取值范围.
兴泰高补中心第三次月考试卷答案
数学 附加题 2010.12.11
21．【选做题】在A 、B 、C 、D 四小题中只能选做两题．．．．，每小题l0分，共计20分．请在答． 题卡指定区域．．．．．．
内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤． A.选修4一l ：几何证明选讲
如图，圆O 是△ABC 的外接圆，过点C 的切线交AB 的延长线于点D ，CD=27， AB=BC=3．求BD 以及AC 的长．
B.选修4—2：矩阵与变换 设a ,b ∈R，若矩阵A=01a b ⎡⎤
⎢⎥-⎣⎦
把直线l ：2x+y 一7=0变换为另一直线l '：9x+y 一91=0,试 求a ,b 的值.
C.选修4—4：坐标系与参数方程。

若两条曲线的极坐标方程分别为1ρ=与2cos()3
π
ρθ=+，它们相交于A ，B 两点，求线段
AB 的长．
D ．选修4—5：不等式选讲
设x,y,z 为正数，证明：2(x 3+y 3+z 3)≥x 2(y+z)+ y 2(x+z)+ z 2
(x+y).
【必做题】第22题、第23题，每题10分，共20分．请在答题卡指定区域．．．．．．．内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
22．如图，在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 为矩形，侧棱PA ⊥底面ABCD
，AB =1BC =，2PA =，E 为PD 的中点． （Ⅰ）求直线AC 与PB 所成角的余弦值；
（Ⅱ）在侧面PAB 内找一点N ，使NE ⊥面PAC ，并求出点N 到AB 和AP 的距离．
C
23．盒子中装着标有数字1,2,3,4,5的卡片各2张，从盒子中任取3张卡片，按3张卡片上最大数字的8倍计分，每张卡片被取出的可能性都相等，用ξ表示取出的3张卡片上的最大数字，求：
（1）取出的3张卡片上的数字互不相同的概率； （2）随机变量ξ的概率分布和数学期望； （3）计分不小于20分的概率．
兴泰高补中心第三次月考试卷答案
数 学 2010.12.11
一、填空题（本大题共14小题，每小题5分，共70分，请将答案填写在答题卷相应的位置上） 1.函数()()
12sin π4
f x x =+的最小正周期是 . 2
2．已知函数f(x)对任意x,y ∈R 都有f(x+y)=f(x)+f(y), 且f(2)=4,则f(-1)= . {6}
3.如果实数x ，y 满足不等式组1
10220x x y x y ≥⎧⎪
-+≤⎨⎪--≤⎩
，则z=x+2y 最小值为 . 5
4.命题“220x x ∃∈-=Q ，”的否定是 . 220x x ∀∈-≠Q ，
5.已知向量a
=
，b ⊥a ，且|b |=2，则向量b 的坐标是
.
或(
6.若函数()4ln f x x =，点(,)P x y 在曲线'()y f x =上运动，作PM x ⊥轴，垂足为M ，则△POM （O 为坐标原点）的周长的最小值为 . 2cos 22y x =-
7.设,αβ为互不重合的两个平面，,m n 为互不重合的两条直线，给出下列四个命题： ①若,m n αα⊥⊂，则m n ⊥；②若,,m n m αα⊂⊂∥β，n ∥β，则α∥β ③若,,,m n n m αβα
βα⊥=⊂⊥，则n β⊥
④若,m ααβ⊥⊥，m ∥n ，则n ∥β
其中所有正确命题的序号是 . ①③
8.在等比数列{}n a 中，若33813
a a a =243，则2
910
a a 的值为 . 2+22
9.若函数2()5f x mx x =++在[2)-+∞，上是增函数，则m 的取值范围是 . 104⎡⎤⎢⎥⎣⎦，
10.若关于x 的方程kx －ln x =0有解，则k 的取值范围是 . (
1e ⎤-∞⎥⎦
，
11.设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若22,,m n m n S n S m ≠==，则m n S += . 2()m n -+ 12.设()f x 是定义在(]2-∞，上的减函数，且22(sin 1)(cos )f a x f a x --+≤对一切x ∈R 都成立，则a 的取值范围是
. ⎡⎢⎣
⎦
13.某地区为了了解70～80岁老人的日平均睡眠时间（单位：h ），随机选择了50位老人进行
调查. 下表是这50位老人日睡眠时间的频率分布表：
在上述统计数据的分析中，一部分计算见算法流程图，则输出的S 的值是 . 6.42 14.已知集合{M P =|P 是棱长为1的正方体1111ABCD A B C D -表面上的点，
且
}AP =，则集合M 中所有点的轨迹的长度是 . 2
3
π
二、解答题：（本大题共6道题，计90分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤） 15．已知△ABC
的面积为()
18AC AB CB ⋅-=，向量(tan tan sin 2)A B C =+，
m 和 (1cos cos )A B =，n 是共线向量.
（1）求角C 的大小；
（2）求△ABC 的三边长.
【解】（1）因为向量(tan tan sin 2)A B C =+，
m 和(1cos cos )A B =，n 是共线向量，
所以()cos cos tan tan sin 20A B A B C +-=， …………………………2分 即sin A cos B +cos A sin B －2sin C cos C =0，
化简得sin C －2sin C cos C =0，即sin C (1－2cos C )=0. ……………………4分 因为0πC <<，所以sin C >0，从而1cos 2C =，π.3C = …………………………6分
（2）()()
2
18AC AB CB AC BC
BA AC =⋅-=⋅-=，于是
AC =. ………………
8分
因为△ABC 的面积为
1
sin 2
CA
CB C ⋅，
即1
π
sin 23
CB ⋅
，解得CB = (11)
分 在△ABC 中，由余弦定理得
((2
2
22212cos 254.2
AB CA CB CA CB C
=+-⋅=+-⨯=
所以AB = ……………… 14分 16.如图，在底面为菱形的直四棱柱1111ABCD A BC D -中，E F 、分
别为11A B 、11B C 的中点，G 为DF 的中点.
（1）求证：EF ⊥平面11B BDD ；（2）求证：EG ∥平面11AA D D .
证明：（1）在111A B C ∆中，因为E F 、分别为11A B 、11B C 的中点，所以11//EF AC ，
因为底面1111A B C D 为菱形，所以1111AC B D ⊥，所以11EF B D ⊥，
（3分）
因为直四棱柱1111ABCD A BC D -，所以11111DD A B C D ⊥平面，
又因为1111EF A BC D ⊂平面，所以1DD EF ⊥； 又11
11B D DD D =，所以EF ⊥平面11B BDD .
（7分）
（2）延长FE 交11D A 的延长线于点H ，连接DH ， 因为E F 、分别为11A B 、11B C 的中点，
所以11EFB EHA ∆≅∆，所以HE EF =， 在FDH ∆中，
因为G F 、分别为DF 、HF 的中点， 所以//GE DH ， （10分）
又DA D A GE 11平面⊄，DA D A DH 11平面⊂，
A
B C
D A 1 B 1
C 1
D 1
E G
F C
A
B A 1
B 1
C 1
D 1
E
G
F
H
D
故EG ∥平面11AA D D .
（14分）
17.随着机构改革工作的深入进行，各单位要减员增效，有一家公司现有职员a 2人（140<a 2<420，且a 为偶数），每人每年可创利b 万元.据评估，在经营条件不变的前提下， 每裁员．．．1人，则留岗职员每人每年．．．．多创利b 01.0万元，但公司需付下岗职员每人每年b 4.0万元的生活费，并且该公司正常运转所需人数不得小于现有职员的4
3
，为获得最大的经济效益，该公司应裁员多少人？
解：设裁员x 人，可获得的经济效益为y 万元，则 bx bx b x a y 4.0)01.0)(2(-+-=
=ab x a x b
2])70(2[100
2+---
……………………………6分 依题意 x a -2≥a 243⋅， ∴0<x ≤2
a
又140<a 2<420， 70<a <210. ……………………………10分
(1)当0<70-a ≤2a
，即70<a ≤140时，70-=a x ， y 取到最大值
(2)当70-a >2a ，即140<a <210时，2
a
x = ， y 取到最大值；…………13分
综上所述，当70<a ≤140时，应裁员70-a 人；当140<a <210时，应裁员2
a
人…14分
18．已知直线l 的方程为2x =-，且直线l 与x 轴交于点M ，圆22:1O x y +=与x 轴交于,A B 两点（如图）．
（I ）过M 点的直线1l 交圆于P Q 、两点，且圆孤PQ 恰为圆周的
1
4
，求直线1l 的方程； （II ）求以l 为准线，中心在原点，且与圆O 恰有两个公共点的椭圆方程；
（III ）过M 点作直线2l 与圆相切于点N,设（II ）中椭圆的两个焦点分别为F 1,F 2,求21F NF ∆ 面
积。

解：（I ）
PQ 为圆周的1,.4
POQ π
∴∠=O ∴
设1l 的方程为21
(2),.7y k x k =+=∴=1l ∴的方程为2).y x =+…5分 （II ）设椭圆方程为22221(0)x y a b a b +=>>，半焦距为c ，则
2
2.a c
=椭圆与圆O 恰有两个不同的公共点，则1a =或 1.b = ………………………………7分
当1a =时，22213,,24c b a c ==-=∴所求椭圆方程为22413y x +=；当1b =时，222222,1,2.
b c c c a b c +=∴=∴=+= ∴所求椭圆方程为2
2 1.2
x y += ………………………………1１分
（III ）设切点为N ，则由题意得，在Rt MON ∆中，2,1MO ON ==，则30NMO ∠=，
N 点的坐标为)2
3,21(-
，……………………1２分 若椭圆为2
2 1.2
x
y +=其焦点F 1,F 2 分别为点A,B 故2
32322121=⨯⨯=
∆F NF S ， 若椭圆为2
2413y
x +=，其焦点为
0,21(),0,21(21F F -此时4
3
2312121=
⨯⨯=∆F NF S ………………………………1６分 19．设n T 为数列{}n a 的前n 项之积，满足)(1*∈-=N n a T n n ． (1)设n
n T b 1
=
，证明数列{}n b 是等差数列，并求n b 和n a ； (2)设2
2
22
1n n T T T S +++= 求证：4
1211-≤<-+n n n a S a ． 解：(1)∵)2(,),(11
≥=
∈-=-*
n T T a N n a T n n
n n n ，
∴数列{}n b 是以2为首项，以1为公差的等差数列，
∴1)1(2+=-+=n n b n ，……………………………………………………6分
∴1
1
1+=
=
n b T n n ， ∴1
1
11+-=-=n T a n n …………………………………………………… 8分 (2)2
222
2
22
1)
1(1
3121++++=
+++=n T T T S n n ， ∵
21
21)2)(1(14
31321)1(13121222+-
=++++⨯+⨯>++++n n n n 2
1
1-
=+n a …………………………………………………………11分 ∴n n S a <-
+2
1
1 ……………………………………………………………12分 当2≥n 时，
)1(1
3
2121)1(131212222++
+⨯+<++++n n n 4
1
112141-=+-+=
n a n ，……………………………………………………14分 当1=n 时，4
14112
11-===a T S ，………………………………………15分
∴4
1
-≤n n a S .……………………………………………………………………16分
20．已知函数()sin f x a x x b =-+(a ，b 均为正常数). （1）求证：函数f (x )在(0，a +b ]内至少有一个零点； （2）设函数在3
x π=处有极值.
①对于一切π0x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，，不等式()
π()f x x +恒成立，求b 的取值范围；
②若函数f (x )在区间()
121ππ33m m --，上是单调增函数，求实数m 的取值范围.
【证】（1）因为(0)0f b =>，
[]()sin()()sin()10f a b a a b a b b a a b +=+-++=+-≤，
所以函数f (x )在(0，a +b ]内至少有一个零点. …………………………4分
【解】（2）()cos 1f x a x '=-. …………………………6分 因为函数在x π=处有极值，所以()
π03
f '=，即πcos 103a -=，所以a =2.
于是()2sin f x x x b =-+. …………………………8分
()
πsin cos 4
x x x +=+，
于是本小题等价于cos sin b x x x >+-对一切π02x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，恒成立. 记()cos sin g x x x x =+-
，则()
π()1sin cos 1.4
g'x x x x =--=-+
因为π02x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，，所以ππ3π444x +≤≤
()
πsin 14x +≤，
所以(
)
π14x +()0g'x ≤，即g (x )在π02⎡⎤⎢⎥⎣
⎦，上是减函数. 所以[]max ()(0)1g x g ==，于是b >1，故b 的取值范围是(1).+∞，………………… 12分 ②()
1()2cos 12cos 2
f x x x '=-=-，
由()f x '≥0得1cos x ≥，即ππ2π2π.33
k x k k -++∈Z ≤≤， ……………………… 14分
因为函数f (x )在区间(
)121ππm m --，上是单调增函数， 所以()121ππππ2π2π3333m m k k k --⎡⎤⊆-++∈⎢⎥⎣⎦
Z ，，，，
则有1ππ2π21ππ2π33121π<π3
3m k m k k m m -⎧+⎪⎪⎪
-+∈⎨⎪
--⎪⎪⎩Z ≥-，
≤，，， 即6310k m k k m +⎧∈⎨>⎩Z ≤≤，，，
只有k =0时，01m <≤适合，故m 的取值范围是(]01.，
……………………… 16分
兴泰高补中心第三次月考试卷答案
数学 附加题 2010.12.11
21．【选做题】在A 、B 、C 、D 四小题中只能选做两题．．．．，每小题l0分，共计20分．请在答． 题卡指定区域．．．．．．
内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤． A.选修4一l ：几何证明选讲
如图，圆O 是△ABC 的外接圆，过点C 的切线交AB 的延长线于点D ，CD=27， AB=BC=3．求BD 以及AC 的长． 解：由切割线定理得:2
DB DA DC ⋅=，………………2分 2
()DB DB BA DC
+=， 23280
DB DB +-=，
4DB =．………………6分
A BCD ∠=∠，∴ DBC ∆∽DCA ∆，………………………8分
∴
BC DB CA DC =
，得BC DC AC DB ⋅==分 B.选修4—2：矩阵与变换 设a ,b ∈R，若矩阵A=01a b ⎡⎤
⎢
⎥-⎣⎦
把直线l ：2x+y 一7=0变换为另一直线l '：9x+y 一91=0,试 求a ,b 的值.
解：取l 上两点（0,7）和（3.5，0）， …………………………………………………2分
则⎥⎦⎤⎢⎣⎡=⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎥⎦⎤⎢⎣⎡-b b a 707010，⎥⎦
⎤
⎢⎣⎡-=⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎥⎦⎤⎢⎣⎡-5.35.305.310a b a ， ………………………………………6分
由题意知)5.3,5.3(),7,0(-a b 在直线'l ：9x ＋y －91＝0上， ∴7910
31.5 3.5910
b a -=⎧⎨
--=⎩ …………………………………………8分
∴3,13a b == ………………………………………………10分 C.选修4—4：坐标系与参数方程。

C
若两条曲线的极坐标方程分别为1ρ=与2cos()3
π
ρθ=+，它们相交于A ，B 两点，求线段
AB 的长．
解：由1ρ=得221x y +=， ………………………………………………2分
又
22cos()cos ,cos sin 3
π
ρθθθρρθθ=+=∴=-
220x y x ∴+-=，………………………………………………………………4分
由2222
10
x y x y x ⎧+=⎪⎨+-+=⎪⎩
得1(1,0),(,2A B -, …………………………………8分
AB ∴==．………………………………………………10分 D ．选修4—5：不等式选讲
设x,y,z 为正数，证明：2(x 3+y 3+z 3)≥x 2(y+z)+ y 2(x+z)+ z 2
(x+y).
证明：22
20x y xy +≥≥ (2)
分
()()()3322x y x y x xy y xy x y +=+-+≥+ 4分
同理()33y z yz y z +≥+,()33z x zx z x +≥+ ………………………………………8分 三式相加即可得()
()()()3332x y z xy x y yz y z zx z x ++≥+++++ 又因为()()()()()()222xy x y yz y z zx z x x y z y x z z x y +++++=+++++
所以()
()()()3332222x y z x y z y x z z x y ++≥+++++ ……………………………10分 【必做题】第22题、第23题，每题10分，共20分．请在答题卡指定区域．．．．．．．内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
22．如图，在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 为矩形，侧棱PA ⊥底面ABCD
，AB =1BC =，2PA =，E 为PD 的中点． （Ⅰ）求直线AC 与PB 所成角的余弦值；
（Ⅱ）在侧面PAB 内找一点N ，使NE ⊥面PAC ，并求出点N 到AB 和AP 的距离．
解：（Ⅰ）建立如图所示的空间直角坐标系，则,,,,,A B C D P E 的坐标为(0,0,0)A 、
B
、,0)C 、(0,1,0)D 、(0,0,2)P 、1
(0,,1)2
E ， 2分
从而).2,0,3(),0,1,3(-==PB AC 4分 设PB AC 与的夹角为θ，则：
,14
7
37
23cos =
=
=
θ ∴AC 与PB 所成角的余弦值为
14
7
3. 6分
（Ⅱ）由于N 点在侧面PAB 内，故可设N 点坐标为(,0,)x z ，则
)1,2
1
,(z x --=，由NE ⊥面PAC 可得，
7分
⎪⎩⎪⎨⎧=+-=-⎪⎪⎩
⎪⎪⎨⎧
=⋅--=⋅--⎪⎩⎪⎨⎧=⋅=⋅.021
3,01.0)0,1,3()1,21,(,0)2,0,0()1,21,(.
0,0x z z x z x AC NE AP NE 化简得即 8分
∴ 1.x z ⎧=
⎪⎨⎪=⎩
9分 即N 点的坐标为)1,0,6
3(，从而N 点到AB 和AP
的距离分别为1,
6
. 10分 23．盒子中装着标有数字1,2,3,4,5的卡片各2张，从盒子中任取3张卡片，按3张卡片上最大数字的8倍计分，每张卡片被取出的可能性都相等，用ξ表示取出的3张卡片上的最大数字，求：
（1）取出的3张卡片上的数字互不相同的概率； （2）随机变量ξ的概率分布和数学期望；
（3）计分不小于20分的概率． 解：（１）记＂一次取出的３张卡片上的数字互不相同的事件＂为Ａ，
则.32
)(3
10
1
2121235==C C C C C A P ………………………………………………２分 （２）由题意ξ有可能的取值为：２，３，４，５
==)2(ξP .30131022121222=+C C C C C ==)3(ξP .152
310
22141224=+C C C C C ==)4(ξP .10331022161226=+C C C C C ==)5(ξP .158
310
2
2181228=+C C C C C ………５分 所以随机变量ξ的概率分布为：
所以ξ的数学期望为Ｅξ＝⨯
230
1＋⨯3152＋⨯4103＋⨯5158＝313 ……８分
（３）＂一次取出的３张卡片所得分不低于２０分＂为事件Ｃ
30
29
3011)2(1)(=-
==-=ξP C P 答： 略 …………………１０分。