(易错题)高中数学选修1-1第四章《导数应用》检测题(包含答案解析)(4)

一、选择题
1．定义在[0,)+∞的函数()f x ，对任意0x ≥，恒有()()f x f x '>，(1)
f a e
=
，2(2)
f b e
=
，则a 与b 的大小关系为（ ） A ．a b >
B ．a b <
C ．a b =
D ．无法确定
2．已知函数()2
2ln 3f x x ax x =+-在2x =处取得极小值，则()f x 在1,32⎡⎤⎢⎥⎣⎦
的最大值
为（ ） A ．52
-
B ．92ln 32
-
C ．1-
D ．2ln 24-
3．已知函数2
44()ln -⎫⎛
=++ ⎪⎝
⎭x f x k x k x ，[1,)∈+∞k ，曲线()y f x =上总存在两点
()11,M x y ，()22,N x y 使曲线()y f x =在M ､N 两点处的切线互相平行，则12+x x 的
取值范围为（ ） A ．[4,)+∞
B ．(4,)+∞
C ．16,5⎡⎫
+∞⎪⎢
⎣⎭
D ．16,5⎛⎫
+∞
⎪⎝⎭
4．已知函数()()()()2
21ln 10,,2
a f x a x x a a x
b x a b =-+
+--+>∈∈R R .若函数()f x 有三个零点，则（ ）
A ．1a >，0b <
B ．01a <<，0b >
C ．0a <，0b >
D ．01a <<，0b <
5．已知函数()f x 的定义域为[)2-+∞，
，部分对应值如下表；()f x '为()f x 的导函数，函数()y f x '=的图象如下图所示.若实数a 满足()211f a +≤，则a 的取值范围是（ ） x
2-
0 4 ()f x
1
1-
1
A ．33,22⎛⎫
-
⎪⎝
⎭ B ．13,22⎛⎫
-
⎪⎝⎭
C ．33,22⎡⎤
-
⎢⎥⎣
⎦ D ．13,22⎡⎤
-
⎢⎥⎣⎦
6．已知函数()13
log x
f x e x =-,给出下列两个命题:命题:p 若01x ≥,则()0
3f x ≥;命题[)0:1,q x ∃∈+∞,()03f x =.则下列叙述错误的是( )
A ．p 是假命题
B ．p 的否命题是:若01x <,则()03f x <
C ．[):1,q x ⌝∀∈+∞,()3f x ≠
D ．q ⌝是真命题
7．()f x 是R 上的偶函数，当()0,x ∈+∞时，()()0xf x f x '->，且()30f =，则不等式
()
0f x x
>的解集为（ ） A ．()3,+∞
B ．()(),33,-∞-+∞
C ．()()3,03,-⋃+∞
D ．()
()3,00,3-
8．函数3()3f x x x =-在[0，]m 上最大值为2，最小值为0，则实数m 取值范围为（ ）
A ．[1
B ．[1，)+∞
C ．(1
D ．(1,)+∞
9．设()f x 是定义在R 上的偶函数，()f x '为其导函数，()20f =，当0x >时，有
()()'>xf x f x 恒成立，则不等式()0xf x <的解集为（ ）
A ．()2,2-
B ．()
(),20,2-∞-
C ．()
()2,00,2-
D ．()()2,02,-+∞
10．函数()2x
f x ae x =+在R 上有两个零点1x ，2x ，且2
1
2x x ≥，则实数a 的最小值为（ ） A ．ln 2
2
-
B ．ln 2-
C ．2e
-
D ．ln 2
11．若函数()x
x f x ax e e -=+-在R 上单调递减，则实数a 的取值范围为（ ）
A ．2a ≤
B ．1a ≤
C ．1a ≥
D ．2a ≥
12．已知函数()(
)()2
2ln 0f x a e x x
a =->，1,1D e ⎡⎤
=⎢
⎥⎣⎦
若所有点()(),s f t (s ，t D ∈)所构成的平面区域面积为2e 1-，则a =（ ） A ．e
B ．
1
e 2
- C ．1
D ．
2
e e - 二、填空题
13．已知函数1()ln (0)a
x f x x a x x a e
=++
-<，若()0f x ≥在[)2,x ∈+∞上恒成立，则实数a 的取值范围为___________.
14．若函数()ln 1f x x x =+的图象总在直线y ax =的上方，则实数a 的取值范围是______.
15．已知函数()3
x f x e -=，()1
ln 22
x
g x =
+，若()()f m g n =成立，则n m -的最小值为______.
16．设函数()f x 是定义在R 上的偶函数，'()f x 为其导函数，当0x >时，
()()0xf x f x +>'，且(2)0f =，则不等式()0f x >的解集为__________．
17．如图，现有一个圆锥形的铁质毛坯材料，底面半径为6，高为8.某工厂拟将此材料切割加工成一个圆柱形构件，并要求此材料的底面加工成构件的一个底面，则可加工出该圆柱形构件的最大体积为__________.
18．若函数2sin y x ax =+在[]0,2π上单调递增，则实数a 的取值范围为______.
19．已知函数()1ln x f x x
+=
，若关于x 的不等式()()2
0f x af x ->恰有两个整数解，则实数a 的取值范围是_______.
20．已知函数22(0)
()4(0)
x e x f x x x ⎧>=⎨+≤⎩，若x R ∀∈，()f x mx ≥，则实数m 的取值范围是
________． 三、解答题
21．已知()2
1ln f x ax x =--
（1）当2a =时，求()f x 的单调增区间； （2）若()0f x ≥，求实数a 的取值范围.
22．已知函数()ln(1)f x x a =++，()x a g x e -=，a R ∈.
（1）若0a =，曲线()y f x =在点()()
00,x f x 处的切线也是曲线()y g x =的切线，证明：()000
1
ln 1x x x ++=
； （2）若()()1g x f x -≥，求a 的取值范围. 23．已知函数()()x f x x a e =+，其中a 为常数.
（1）若函数()f x 在区间[1,)-+∞上是增函数，求实数a 的取值范围；
（2）若
3()x f x e xe ≥-在[0,1]x ∈时恒成立，求实数a 的取值范围.
24．已知函数()2
ln f x x a x =+.
（1）当2a =-时，求函数()f x 在点()()
11f ，处的切线方程； （2）若()()2
g x f x x
=+
在[1,+)∞上是单调增函数，求实数a 的取值范围. 25．已知函数2()ln (0)f x x a x a =->.
（1）若2a =，求曲线()y f x =的斜率等于3的切线方程； （2）若()y f x =在区间1,e e ⎡⎤⎢⎥⎣⎦
上恰有两个零点，求a 的取值范围.
26．已知函数()ln f x kx x =-（k ∈R ）.
（1）若函数()f x 在()()
1,1f 处的切线与x 轴平行，求函数()f x 的单调区间； （2）讨论函数()f x 的零点个数.
【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除
一、选择题 1．A 解析：A 【分析】
构造函数()()x f x g x e =，对其求导得''
()()()x
f x f x
g x e
-=，由()()f x f x '>，可得'()0g x <，从而可得()g x 在[0,)+∞上单调递减，进而可比较出a 与b 的大小
【详解】
解：令()()x f x g x e =，则''
()()()x
f x f x
g x e
-=， 因为()()f x f x '
>，所以'
()0g x <， 所以()g x 在[0,)+∞上单调递减， 因为12<，所以(1)(2)g g >，即2(1)(2)
f f e e
>，所以a b >， 故选：A 【点睛】
关键点点睛：此题考查导数的应用，考查数学转化思想，解题的关键是构造函数
()
()x f x g x e
=
，然后求导后可判断出()g x 在[0,)+∞上单调递减，从而可比较出a 与b 的
大小，属于中档题
2．B
解析：B 【分析】
由()20f '=求出a 的值，然后利用导数可求得函数()f x 在1,32⎡⎤⎢⎥⎣⎦
的最大值. 【详解】
()22ln 3f x x ax x =+-，则()2
23f x ax x
=
+-'， 由题意可得()2420f a '=-=，解得1
2a =
，则()212ln 32
f x x x x =+-， ()2232
3x x f x x x x
-+'=+-=
，令()0f x '=，可得1x =或2x =，列表如下：
所以，函数()f x 的极大值为()12
f =-，极小值为()22ln 24f =-， 又
1112ln 228f ⎛⎫
=-- ⎪⎝⎭
，()932ln 32f =-，
()()()95
312ln 32ln 322ln 31022
f f -=-+=-=->，则()()13f f <，
所以，()()max 932ln 32
f x f ==-. 故选：B. 【点睛】
思路点睛：利用导数求函数()y f x =在[],a b 上的最大值和最小值的步骤如下： （1）求函数()y f x =在(),a b 内的极值；
（2）将函数()y f x =的各极值与端点处的函数值()f a 、f b 比较，其中最大的一个是最大值，最小的一个是最小值.
3．B
解析：B 【分析】
求得()f x 的导数()f x '，由题意可得121()()(f x f x x '='，20x >，且12)x x ≠，化为
121244()()x x k x x k +=+，因此1216
4x x k k
+>+对[1k ∈，)+∞都成立，令4
()g k k k
=+，
[1k ∈，)+∞，根据对勾函数的性质求出最值即可得出．
【详解】
解：函数2
44()()x f x k lnx k x
-=++，导数2414()()1f x k k x x '=+--．
由题意可得121()()(f x f x x '='，20x >，且12)x x ≠． 即有22
112244
4411k k k k x x x x +
+
--=--， 化为12124
4()()x x k x x k
+=+，
而2
1212(
)2
x x x x +<， 2121244()()()2
x x
x x k k +∴+<+，
化为
12164x x k k
+>
+
对[1k ∈，)+∞都成立， 令4
()g k k k
=+
，[1,)∈+∞k ，则()g k 在[)1,2上单调减，在[2,)+∞上单调递增， 所以()()min 22442
g k g ==+
= ∴
6
164
414
k k
=+
， 124x x ∴+>，即12x x +的取值范围是()4,+∞．
故选：B ． 【点睛】
方法点晴：本题利用导数几何意义，函数的单调性与最值问题的等价转化方法、基本不等式的性质．
4．B
解析：B 【分析】
首先求出函数的导函数，要使函数()f x 有三个零点，则()0f x '=必定有两个正实数根，即可求出参数a 的取值范围，再求出函数的单调区间，从而得到()10f a ->，即可判断
b 的范围；
【详解】
解：因为()()()()2
21ln 10,,2
a f x a x x a a x
b x a b =-+
+--+>∈∈R R
所以
()
()()()()
()()222111111ax a a x a a ax x a f x ax a a x
x
x
+--+---+-'=
++--=
=
要使函数()f x 有三个零点，则()0f x '=必定有两个正实数根，即11
x a
=
，21x a =-，所以10
10a a
->⎧⎪
⎨>⎪⎩解得01a <<，此时111x a =>，211x a =-<，
令()0f x '>，解得01x a <<-或1x a >，即函数在()0,1a -和1,a ⎛⎫
+∞ ⎪⎝⎭
上单调递增，令()0f x '<，解得11a x a -<<
或1x a >，即函数在11,a a ⎛
⎫- ⎪⎝
⎭上单调递减，
所以()f x 在1x a =-处取得极大值，在1
x a
=
处取得极小值； 因为当0x →时，()f x →-∞；当x →+∞时，()f x →+∞，要使函数函数()f x 有三个零点，则()10f a ->，10f a ⎛⎫<
⎪⎝⎭
即()()()()()()2
211ln 11112
a f a a a a a a a
b -=--+
-+---+ ()()()()211ln 10
2a a a a b -+⎡⎤=--++>⎢⎥
⎣⎦
且()()2
211111ln 102a f a a a b a a a a ⎛⎫⎛⎫=-++--+< ⎪ ⎪⎝⎭
⎝⎭ 因为01a <<，所以011a <-<，20a -<，所以()()2102
a a -+<，()ln 10a -<，
所以()()()()211ln 10
2
a a a a -+⎡⎤--+
<⎢⎥
⎣
⎦
，
又()()()()211ln 10
2
a a a a
b -+⎡⎤--+
+>⎢⎥⎣
⎦
，所以0b >
故选：B 【点睛】
导数是研究函数的单调性、极值(最值)最有效的工具，而函数是高中数学中重要的知识点，对导数的应用的考查主要从以下几个角度进行： (1)考查导数的几何意义，往往与解析几何、微积分相联系． (2)利用导数求函数的单调区间，判断单调性；已知单调性，求参数． (3)利用导数求函数的最值(极值)，解决生活中的优化问题． (4)考查数形结合思想的应用．
5．A
解析：A 【分析】
由导函数的图象得到导函数的符号，利用导函数的符号与函数单调性的关系得到()f x 的单调性，结合函数的单调性即可求得a 的取值范围. 【详解】
由导函数的图象知：()2,0x ∈-时，()0f x '<，()0,x ∈+∞时，()0f x '>， 所以()f x 在()2,0-上单调递减，在()0,∞+上单调递增， 因为()211f a +≤，()21f -=，()41f =， 所以2214a -<+<，
可得：3322
a -
<<， 故选：A. 【点睛】
本题主要考查了利用导函数的符号判断原函数的单调性，以及利用函数的单调性解不等式，属于中档题.
6．D
解析：D 【分析】
分析函数()13
log x
f x e x =-为增函数，若0
1x ≥，求出[)1,x ∈+∞时函数的值域，结合命题间的基本关系即可得答案. 【详解】
由函数的解析式可得函数的定义域为： ()0,∞+,
且导函数()1
0ln 3
x
f x e x '+
=>， 则函数单调递增，
结合
()1
13
1log 1e f e =-=， 可得当1≥x 时，函数的值域为[),e +∞.
据此可知p 是假命题， q 是真命题， q ⌝是假命题. 结合全称命题与特称命题的关系可得：
p 的否命题是：若01x <,则()03f x <.
[):1,q x ⌝∀∈+∞，()3f x ≠
故选：D 【点睛】
本题通过考查函数的单调性和极值来考查命题间的基本关系，属于中档型综合题.
7．C
解析：C 【分析】 构造函数()()
f x
g x x
=，求导，利用()g x 的单调性和奇偶性解不等式． 【详解】 设()()
f x
g x x
=（0x ≠）， 则()()()
2
xf x f x g x x
'-'=
， ∵当()0,x ∈+∞时，()()0xf x f x '->， ∴()0g x '>，即()g x 在()0,∞+上单调递增， 又()f x 是R 上的偶函数， ∴()()()
()f x f x g x g x x x
--=
=-=--， 即()g x 是()(),00,-∞⋃+∞上的奇函数， ∴()g x 在(),0-∞上单调递增， ∵()30f =， ∴()()()
33303
f g g -=-=-=. 而不等式
()
0f x x
>等价于()0g x >， ∴30x -<<或3x >. 故选：C. 【点睛】
本题主要考查函数的单调性与奇偶性的应用，利用条件构造函数，然后利用导数研究函数的单调性是解决本题的关键，属于中档题．
8．A
解析：A 【分析】
求导得()3(1)(1)f x x x =+-'，从而知函数()f x 的单调性，再结合(0)0f =，f （1）
2=，即可得解 【详解】
.
3()3f x x x =-，2()333(1)(1)f x x x x ∴=-=+-'，
令()0f x '=，则1x =或1-(舍负)，
当01x <时，()0f x '>，()f x 单调递增；当1x >时，()0f x '<，()f x 单调递减. 函数()f x 在[0，]m 上最大值为2，最小值为0，且(0)(3)0f f ==，f （1）2=，
13m ∴≤≤
故选：A. 【点睛】
本题考查利用导数研究函数的最值问题，理解原函数的单调性与导函数的正负性之间的联系是解题的关键，考查学生的逻辑推理能力和运算能力，属于基础题.
9．B
解析：B 【分析】 构造函数()()
f x
g x x
=
，易知()g x 在()0,∞+上单调递增，由()f x 是定义在R 上的偶函数可推出()g x 是定义在()(),00,-∞⋃+∞上的奇函数，故()g x 在(),0-∞上也单调递增，且()()220g g =-=.而不等式()0xf x <的解可等价于即()0g x <的解，从而得解. 【详解】
解：设()()f x g x x =，0x ≠，则()()()'2xf x f x g x x
-'=， ∵当0x >时，有()()'
xf x f x >恒成立，∴当0x >时，()0g x '>，()g x 在()0,∞+上
单调递增，
∵()f x 是定义在R 上的偶函数， ∴()()()()f x f x g x g x x x
--=
==---，即()g x 是定义在()(),00,-∞⋃+∞上的奇函数， ∴()g x 在(),0-∞上也单调递增. 又()20f =，∴()()
2202
f g =
=，∴()20g -=. 不等式()0xf x <的解可等价于即()0g x <的解，
∴02x <<或2x <-，
∴不等式的解集为()
(),20,2-∞-.
故选：B .
【点睛】
本题主要考查函数奇偶性的应用，考查函数的单调性，利用了构造思想，导函数的运用，属于中档题． 10．B
解析：B
【分析】
函数()2x f x ae x =+，变形为2x x a e =-，令()2x x g x e
=-，利用导数求函数的最值，可得20a e
-<<，结合212x x ≥，可得212x x =时，a 取得最小值，再把1x ，2x 代入20x ae x +=，求解1x ，再代入112x ae x =-，即可求得a 的最小值
【详解】
函数()2x f x ae x =+，变形为2x x a e =-，令()2x x g x e =-，得()()21x
x g x e -'=， 当(),1x ∈-∞时，0g x
，当()1,∈+∞x 时，0g x ，可得1x =时，函数()g x 取得最小值2e
-. 又当x →-∞时，()g x →+∞，当x →+∞时，()0g x <， 且函数()2x
f x ae x =+在R 上有两个零点1x ，2x ，得20a e -<<. 由21
2x x ≥，可得212x x =时，a 取得最小值. 由112x ae x =-，222x ae
x =-，得1214x ae x =-，∴12x e =，解得1ln 2x =. 代入112x ae x =-，解得ln 2a =-.∴a 的最小值为ln 2-.
故选：B.
【点睛】
此题考查利用导数研究函数的单调性与最值，考查化归与转化的数学思想，考查计算能力，属于中档题
11．A
解析：A
【分析】
由()x x f x ax e e -=+-在R 上单调递减，可得：导函数()0x x f x a e e -'=--≤在R 上恒成立，参变分离后，求最值即可的解.
【详解】
由()x x f x ax e e -=+-在R 上单调递减，
可得：导函数()0x x f x a e
e -'=--≤在R 上恒成立，
因为0x e >， 参变分离可得：min (+)x x a e e -≤，
+2x x e e -≥=
2a ≤
故选：A
【点睛】
本题考查了利用函数单调性求参数范围，考查了恒成立思想和基本不等式的应用，属于中档题.
12．D
解析：D
【分析】
求得导函数()'f x ，确定()f x 在1,1e ⎡⎤
⎢⎥⎣⎦上的单调性，()f x 在1,1e ⎡⎤⎢⎥⎣⎦
上的值域，从而可得题中平面区域面积，解之可得a .
【详解】
解：()()2222a e x f x a e x x -⎛⎫'=-= ⎪⎝
⎭，因为1,1x e ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，0a >， 所以()0f x '>，()f x 在1,1e ⎡⎤
⎢⎥⎣⎦
上单调递增， 则()f x 在1,1e ⎡⎤⎢⎥⎣⎦
上的值域为()22,a e e a ⎡⎤+⎣⎦， 因为所有点()(),s f t (s ，t D ∈)所构成的平面区域面积为2e 1-，
所以()22
1211a e e e e ⎛
⎫---=- ⎪⎝⎭， 解得2
e a e =
-， 故选：D .
【点睛】 本题考查用导数求函数的值域，解题方法是求出导函数，用导数确定函数的单调性，求得值域区间，然后可计算出题设平面区域面积，得出结论．
二、填空题
13．【分析】根据不等式恒成立得到在上恒成立令函数对其求导判定其在区间
上的单调性得到在上恒成立再令利用导数的方法求出其最大值即可得出结果
【详解】由在上恒成立得：在上恒成立易知当时令函数则在上恒成立则单调递 解析：[,0)e -
【分析】
根据不等式恒成立，得到ln ln a a x x x x e e ---≥-在[2,)x ∈+∞上恒成立，令函数()ln (01)g t t t t =-<<，对其求导，判定其在区间[2,)+∞上的单调性，得到ln x a x ≥-在[2,)x ∈+∞上恒成立，再令()(2)ln x F x x x
=-
≥，利用导数的方法求出其最大值，即可得出结果.
【详解】 由()0f x ≥在[2,)x ∈+∞上恒成立，得：ln ln a a x x x x e e ---≥-在[2,)x ∈+∞上恒成立，易知当[2,)x ∈+∞，0a <时，01a x <<，01x e -<<，
令函数()ln (01)g t t t t =-<<，则1()10g t t '=->在()0,1t ∈上恒成立，则()g t 单调递增，
故有a x x e -≥，则log ln x x x a e
x -≥=-在[2,)x ∈+∞上恒成立， 令()(2)ln x F x x x
=-≥，则21ln ()(ln )x F x x '-=，由()0F x '=得x e =， 所以()2x e ∈,时，()0F x '>，则()F x 单调递增；,)[x e ∈+∞时，()0F x '<，则()F x 单调递减；
故max ()()F x F e e ==-，则a e ≥-，所以0e a -≤<.
故答案为：[,0)e -.
【点睛】
方法点睛：
由不等式恒成立（或能成立）求参数时，一般可对不等式变形，分离参数，根据分离参数后的结果，构造函数，由导数的方法求出函数的最值，进而可求出结果；有时也可根据不等式，直接构成函数，根据导数的方法，利用分类讨论求函数的最值，即可得出结果. 14．【分析】根据图象关系利用分离变量法将问题转化为恒成立问题令利用导数可求得则【详解】图象总在上方恒成立定义域为恒成立令当时；当时在上单调递减在上单调递增即实数的取值范围为故答案为：【点睛】结论点睛：分 解析：(),1-∞
【分析】 根据图象关系，利用分离变量法将问题转化为1ln a x x
<+恒成立问题，令
()()1ln 0g x x x x
=+
>，利用导数可求得()()min 1g x g =，则()1a g <. 【详解】 ()f x 图象总在y ax =上方，ln 1x x ax ∴+>恒成立，
()f x 定义域为()0,∞+，1ln a x x
∴<+恒成立， 令()()1ln 0g x x x x =+>，()22111x g x x x x
-'∴=-=， 当()0,1x ∈时，()0g x '<；当()1,x ∈+∞时，()0g x '>，
()g x ∴在()0,1上单调递减，在()1,+∞上单调递增，()()min 11g x g ∴==， 1a ∴<，即实数a 的取值范围为(),1-∞.
故答案为：(),1-∞.
【点睛】
结论点睛：分离变量法是处理恒成立问题的基本方法，若()a f x ≤恒成立，则()min a f x ≤；若()a f x ≥恒成立，则()max a f x ≥.
15．【分析】根据得到mn 的关系利用消元法转化为关于t 的函数构造函数求函数的导数利用导数研究函数的最值即可得到结论【详解】解：不妨设∴()∴即故()令()所以在上是增函数且当时当时即当时取得极小值同时也是
解析：ln21-
【分析】
根据()()f m g n t ==得到m ，n 的关系，利用消元法转化为关于t 的函数，构造函数，求函数的导数，利用导数研究函数的最值即可得到结论.
【详解】
解：不妨设()()f m g n t ==， ∴31ln 22
m n e t -=+=，(0t >) ∴3ln m t -=，即3ln m t =+，122t n e -=⋅， 故1223ln t n m e t --=⋅--(0t >)，
令()1
223ln t h t e t -=⋅--(0t >)，
()1
212t h t e t
-'=⋅-，()1221''20t h t e t -=⋅+> 所以()h t '在()0,∞+上是增函数，且102h ⎛⎫'= ⎪⎝⎭
，
当12
t >时，()0h t '>， 当102t <<
时，()0h t '<， 即当12
t =时，()h t 取得极小值同时也是最小值， 此时1123ln ln 2122h ⎛⎫⎛⎫=-+=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝
⎭，即n m -的最小值为ln21-， 故答案为：ln21-.
【点睛】
本题考查利用导数求函数的最小值，考查化归转化思想与运算能力，是中档题. 16．【详解】设则恒成立所以函数在上是增函数又因为是定义在上的偶函数所以上上的奇函数所以函数在上是增函数因为所以即所以化为当时不等式等价于即解得；当时不等式等价于即解得；综上不等式的解集为点睛：本题考查了 解析：(,2)(2,)-∞-+∞
【详解】
设()()g x xf x =，则()()()0g x f x xf x ''=+>恒成立，
所以函数()g x 在(0,)+∞上是增函数，
又因为()f x 是定义在R 上的偶函数，所以()()g x xf x =上R 上的奇函数，
所以函数()g x 在(,0)-∞上是增函数，
因为()20f =，所以()20f -=，即()()20,20g g =-=，
所以()0xf x >化为()0g x >，
当0x >时，不等式()0f x >等价于()0g x >，即()()2g x g >，解得2x >； 当0x <时，不等式()0f x >等价于()0g x <，即()()2g x g <-，解得2x <-； 综上，不等式()0f x >的解集为(,2)(2,)-∞-+∞.
点睛：本题考查了与函数有关的不等式的求解问题，其中解答中涉及到利用条件构造新函数和利用导数研究函数的单调性，以及根据单调性和奇偶性的关系对不等式进行转化，解答中一定要注意函数值为零时自变量的取值，这是题目的一个易错点，试题综合性强，属于中档试题.
17．【分析】利用几何体的轴截面进行计算结合导数求得圆柱形构件的最大体积【详解】画出圆锥及圆柱的轴截面如下图所示其中四边形为矩形设圆柱的底面半径为即则即所以圆柱的体积为由于所以在区间上单调递增；区间上单调 解析：1283
π 【分析】
利用几何体的轴截面进行计算，结合导数求得圆柱形构件的最大体积.
【详解】
画出圆锥及圆柱的轴截面如下图所示.
其中8,6AG GC GB ===，AG BC ⊥，四边形HIDE 为矩形.
设圆柱的底面半径为()06x x <<，即GI GH x ==， 则AG DI CG IC =，即()844686633
DI DI x x x =⇒=-=--. 所以圆柱的体积为()()22332444886333V x x x x x x x πππ⎛
⎫⎛⎫=⨯⨯-=⨯-=-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝
⎭，06x <<.
()()()()'22431244443
V x x x x x x x πππ=-+=-⨯-=-⨯⨯-， 由于06x <<，所以()V x 在区间()0,4上()'
0V x >，()V x 单调递增；区间()4,6上()'0V x <，()V x 单调递减.
所以()V x 在4x =处取得极大值也即是最大值为：
()()()3244412824646496323333
V ππππ=-+⨯=-+=⨯=. 故答案为：1283
π
【点睛】
本小题主要考查圆锥的最大内接圆柱有关计算，考查利用导数求最值，属于中档题. 18．【分析】求出函数的导数问题转化为即可得到本题答案【详解】由题得因为函数在递增所以在恒成立即又当时所以故答案为：【点睛】本题主要考查根据函数的单调区间确定参数的取值范围考查学生的转化能力和运算求解能力 解析：[)2,+∞
【分析】
求出函数的导数，问题转化为()max 2cos a x ≥-，即可得到本题答案.
【详解】
由题，得2cos y x a '=+，
因为函数在[]0,2π递增，
所以2cos 0y x a '=+≥在[]0,2π恒成立，
即()max 2cos a x ≥-，
又当[]0,2x π∈时，22cos 2x -≤-≤，
所以2a ≥，
故答案为：
[)2,+∞
【点睛】
本题主要考查根据函数的单调区间确定参数的取值范围，考查学生的转化能力和运算求解能力. 19．【分析】先对函数求导判定其单调性分别讨论三种情况即可得出结果【详解】因为所以由得；由得；所以函数在上单调递增在上单调递减；画出函数的大致图象如下当时由得或为使满足关于的不等式恰有两个整数解只需即；当 解析：1ln 31ln 2,32++⎡⎫⎪⎢⎣⎭
【分析】
先对函数()1ln x f x x
+=
求导，判定其单调性，分别讨论0a >，0a =，0a <三种情况，即可得出结果.
【详解】 因为()1ln x f x x
+=， 所以()22
11ln ln x x f x x x --'==-， 由()0f x '>得01x <<；由()0f x '<得1x >；
所以函数()f x 在()0,1上单调递增，在()1,+∞上单调递减；
画出函数()f x 的大致图象如下，
当0a >时，由()()20f x af x ->得()f x a >或()0f x <，为使满足关于x 的不等式
()()20f x af x ->恰有两个整数解，只需()()
23f a f a ⎧>⎪⎨≤⎪⎩， 即1ln 31ln 2,3
2a ++⎡⎫∈⎪⎢⎣⎭； 当0a =时，由()()20f x af x ->得()20f x >，即()0f x >或()0f x <，所以
1≥x ，不能满足题意；
当0a <时，由()()20f
x af x ->得()f x a <-或()0f x >，所以1≥x ，不能满足题
意； 综上，1ln 31ln 2,3
2a ++⎡⎫∈⎪⎢⎣⎭. 故答案为：1ln 31ln 2,3
2a ++⎡⎫∈⎪⎢
⎣⎭. 【点睛】
本题主要考查导数的方法研究不等式能成立的问题，熟记导数的方法研究函数的单调性即可，属于常考题型. 20．【分析】由函数的解析式分类讨论利用分离参数结合导数和基本不等式即可求解【详解】由题意函数（1）当时由可得即设可得当时单调递减；当时单调递增所以即；（2）当时由可得当时显然成立；当时可得因为当且仅当时 解析：[4,2]e -
【分析】
由函数的解析式，分类讨论，利用分离参数，结合导数和基本不等式，即可求解.
【详解】
由题意，函数22,0,()4,0,
x e x f x x x ⎧>=⎨+≤⎩， （1）当0x >时，由()f x mx ≥，可得2x
e mx ≥，即2x
e m x ≤， 设2()x e g x x =，可得22(21)()x e x g x x
-'=，
当102x <<时，()0g x '<，()g x 单调递减；当12
x >时，()0g x '>，()g x 单调递增， 所以min 1()22g x g e ⎛⎫==
⎪⎝⎭，即2m e ≤； （2）当0x ≤时，由()f x mx ≥，可得24x mx +≥，
当0x =时显然成立；
当0x <时，可得4m x x ≥+，因为444x x x x ⎛⎫+=--+≤- ⎪-⎝⎭
，当且仅当1x =-时取等号，
所以4m ≥-.
综上可得，实数m 的取值范围是[4,2]e -，
故答案为：[4,2]e -.
【点睛】
本题主要考查了函数的恒成立问题的求解，以及分段函数的性质的应用，其中解答中根据分段函数的分段条件，合理分类讨论，利用分离参数，结合导数和基本不等式求解是解答的关键，着重考查了转化思想，分类讨论思想，以及推理与运算能力. 三、解答题
21．（1）1,2⎛⎫+∞
⎪⎝⎭
；（2）12a e ≥. 【分析】
（1）求出导函数()'f x ，在定义域内由()0f x '>得增区间； （2）分离参数得21ln x a x +≥
.设()21ln x g x x
+=，由导数求得()g x 最大值即可得结论． 【详解】 （1）当2a =时，()()221ln ,0,f x x x x =--∈+∞.
由()()()221211414x x x f x x x x x
+--'=-==， 令()0f x '>，得12
x >， 所以()f x 的单调增区间为1,2⎛⎫+∞
⎪⎝⎭. （2）由()21ln 0f x ax x =--≥，则21ln x a x +≥
. 设()21ln x g x x +=，则()312ln x g x x
--'=. 令()0g x '=，得12x e -=，
且当120,x e -⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，()0g x '>；当12,x e -⎛⎫∈+∞ ⎪⎝⎭
时，()0g x '<， 所以()g x 在120,e -⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递增，在12e ,-⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭
上单调递减， 所以当12x e -=到时，()g x 取得最大值为12
e ， 所以12
a e ≥
. 【点睛】 方法点睛：本题考查用导数求函数的单调区间，研究不等式恒成立问题．不等式恒成立问题的解题方法通常是利用分离参数法分离参数，然后引入新函数，利用导数求得新函数的最值，则可得参数范围．
22．（1）证明见解析；（2）(,0]-∞.
【分析】
（1）求出导函数()'f x ，()'g x ，求出()f x 在00(,())x f x 切线方程，利用切线斜率求得
()y g x =的切点坐标，得切线方程，由两条切线方程是相同的，可证结论；
（2）令()()()ln(1)x a h x g x f x e x a -=-=-+-，求得()h x '，确定单调性，最小值，由
最小值不小于1可得a 的范围．
【详解】
（1）若0a =，则()ln(1)f x x =+，()x g x e =. 所以1()1
f x x '=+，()x
g x e '=， 曲线()y f x =在点()()00,x f x 处的切线方程为()()0001ln 11y x x x x =
-+++， 令01()1x g x e x '==+，则01ln 1
x x =+， 曲线()y g x =在点0011ln ,11x x ⎛⎫ ⎪++⎝⎭处的切线方程为()000
11ln 111y x x x x ⎡⎤=+++⎣⎦++， 由题意知()()()000000
111ln 1ln 1111x x x x x x x x ⎡⎤-++=+++⎣⎦+++， 整理可得()000ln 111
x x x +=+，00x =显然不满足， 因此()0001ln 1x x x ++=.
（2）令()()()ln(1)x a h x g x f x e x a -=-=-+-
若0a >，0(0)01a h e a e -=-<-=，不符合条件；
若0a =，()ln(1)x h x e x =-+，1()1x h x e x '=-
+， 当(1,0)x ∈-时，()0h x '<，()h x 单调递减，
当(0,)x ∈+∞时，()0h x '>，()h x 单调递增，
所以()(0)1h x h ≥=，符合条件；
若0a <，则()ln(1)ln(1)1x a x h x e x a e x -=-+->-+≥，符合条件.
所以a 的取值范围是(,0]-∞.
【点睛】
思路点睛：本题考查导数的几何意义，考查用导数研究不等式恒成立问题．求切线方程时要注意是函数图象在某点处的切线，还是过某点的切线，由导数得斜率得切线方程，若不知切点时一般需设出切点坐标，写出切线方程，代入所过点的坐标求出切点，再得切线方程，不能弄错．
23．（1）0a ≥；（2）3[,)e
+∞.
【分析】
（1）求导函数()'f x ，令()0f x '≥恒成立，可求参数范围； （2）变量分离转化为32x a e x -≥-，求函数3()2x g x e
x -=-最大值.
【详解】 （1）由函数()()x f x x a e =+，得()(1)x f x x a e '=++，
∵函数()f x 在区间[1,)-+∞上是增函数，
∴()(1)0x f x x a e '=++≥，即1a x ≥--在区间[1,)-+∞上恒成立，
∴当[1,)x ∈-+∞时，1(,0]x --∈-∞，
∴0a ≥.
（2）3()x f x e xe ≥-在[0,1]x ∈时恒成立，等价于32x a e x -≥-在[0,1]x ∈时恒成立，
令3()2x g x e x -=-，则max ()a g x ≥，∵3()20x g x e -'=--<，
∴()g x 在[0,1]上单调递减， ∵()g x 在区间[0,1]上的最大值3max
()(0)g x g e ==，∴3a e ≥， 即实数a 的取值范围是3[,)e
+∞.
【点睛】
关键点睛：变量分离，转化为不等式恒成立问题，进而求又一函数的最值.
24．（1）1y =；（2）0a ≥.
【分析】
（1）利用导数的几何意义可求得结果；
（2）转化为()0g x '≥，即222a x x
≥
-在[1,+)∞上恒成立，再构造函数求出最大值即可得解.
【详解】 （1）当2a =-时，()2
2f x x lnx =-，定义域为(0,)+∞， 2222()2x f x x x
x -'=-=，所以函数()f x 在点()()11f ，处的切线的斜率为2212(1)01
f ⨯-'==， 又(1)1201f =-⨯=，
所以函数()f x 在点()()11f ，处的切线方程为1y =
（2）因为()()2g x f x x
=+22ln x a x x =++在[1,+)∞上是单调增函数， 所以322222()2a x ax g x x x x x
+-'=-+=0≥在[1,+)∞上恒成立， 即222a x x
≥-在[1,+)∞上恒成立， 因为222y x x =
-在[1,+)∞上为单调递减函数，所以当1x =时，222y x x
=-取得最大值0， 所以0a ≥.
【点睛】
结论点睛：本题考查不等式的恒成立与有解问题，可按如下规则转化：
①若()k f x ≥在[,]a b 上恒成立，则max ()k f x ≥；
②若()k f x ≤在[,]a b 上恒成立，则min ()k f x ≤；
③若()k f x ≥在[,]a b 上有解，则min ()k f x ≥；
④若()k f x ≤在[,]a b 上有解，则max ()k f x ≤；
25．（1）322ln 20x y ---=；（2）(
22,e e ⎤⎦． 【分析】
（1）求出导函数，令()3f x '=求得切点坐标后可得切线方程；
（2）求导函数()'f x ，确定()f x 在定义域内只有一个极值点，因此这个极值点必在区间
1e e ⎛⎫ ⎪⎝⎭,上，然后得函数在1,e e ⎡⎤⎢⎥⎣⎦
上的极小值，由极小值小于0，区间两个端点处函数值大于或等于0可得结论．
【详解】
由已知函数()f x 定义域是(0,)+∞，
（1）2()2ln f x x x =-，22(1)(1)()2x x f x x x x '+-=-
=， 由2()23f x x x
'=-=解得2x =（12x =-舍去）， 又()422ln 2f =-，所以切线方程为(42ln 2)3(2)y x --=-，即
322ln 20x y ---=；
（2
）222()2x x a x a f x x x x x
⎛-+ -⎝⎭⎝⎭'=-==， 易知()f x
()f x
有两个零点，则1e e <<，即2222a e e
<<，
此时在1e ⎛ ⎝上()0f x '<，()f x
递减，在e ⎫⎪⎪⎭
上()0f x '>，
()f x 递增， ()f x
在x =
时取得极小值2a f a =-，
所以22111ln 0()ln 002f a e e e f e e a e a f a ⎧⎛⎫⎪=-≥ ⎪⎪⎝⎭⎪=-≥⎨⎪⎪=-<⎪⎩解得22e a e <≤．
综上a 的范围是(
22,e e ⎤⎦． 【点睛】
关键点点睛：本题考查导数的几何意义，考查用导数研究函数的零点问题．函数在某个区间上的零点，解题时先从大处入手，由导数确定函数的极值点，利用单调区间上的零点最多只有一个，因此函数的极值点必在给定区间内，从而缩小参数的a 范围，在此范围内计算()f x 的单调性与极值，结合零点存在定理可得结论．
26．（1）函数()f x 的单调递增区间是()1,+∞，单调递减区间是()0,1；（2）当1k e >时，函数()f x 没有零点；当1k e =
或0k ≤时，函数()f x 有1个零点；当1k e
<<0时，函数()f x 有2个零点.
【分析】
（1）由题得()10f '=，进而得1k =，再根据导数求解单调区间即可；
（2）根据题意将问题转化为函数()ln g x x =与y kx =的交点个数问题，再讨论过原点的函数()ln g x x =的切线方程的斜率，进而求解.
【详解】
解：（1）因为函数()f x 在()()1,1f 处的切线与x 轴平行，()1'f x k x =-， 所以()10f '=，即10k -=，求得1k =，
所以()ln f x x x =-，()111x f x x x
-'=-=（0x >）， 令()'0f x >，则1x >；令()'0f x <，则01x <<，
∴函数()f x 的单调递增区间是()1,+∞，单调递减区间是()0,1.
（2）函数()f x 的零点个数可等价于函数()ln g x x =与y kx =的交点个数.
设()00,P x y 是函数()ln g x x =上的一点，
由()ln g x x =得，()1g x x
'=， ∴()g x 在点()00,P x y 处的切线方程为()0001ln y x x x x -=
-， 令0x y ==则0x e =，
∴过原点所作的函数()ln g x x =的切线方程为1y x e =
， 故由图可知，
故当1k e >
时，函数()f x 没有零点； 当1k e
=或0k ≤时，函数()f x 有1个零点； 当1k e <<
0时，函数()f x 有2个零点. 【点睛】
本题第二问解题的关键在于根据题意将问题转化为函数()ln g x x =与y kx =的交点个数问
g x x
=的切线方程的斜率，数形结合即可求解.考查化归转题，再讨论过原点的函数()ln
化思想和运算求解能力，是中档题.。