高考数学课标通用(理科)一轮复习真题演练：第二章函数概念与基本初等函数Ⅰ2-3Word版含解析

真题操练集训
1．[2015 ·福建卷 ] 以下函数为奇函数的是 ()
A ．y＝x B．y＝|sin x|
C．y＝cos x D．y＝e x－e－x
答案： D
分析：对于 D，f(x)＝e x－e－x的定义域为R，f(－x)＝e－x－e x＝－
f(x)，故 y＝e x－e－x为奇函数．而 y＝x的定义域为 { x|x≥0} ，不拥有
对称性，故 y＝x为非奇非偶函数． y＝|sin x|和 y＝cos x 为偶函数．2．[2014 ·新课标全国卷Ⅰ]设函数 f(x)，g(x)的定义域都为R，且 f(x)是奇函数， g(x)是偶函数，则以下结论中正确的选项是()
A ．f(x)g(x)是偶函数
B．|f(x)|g(x)是奇函数
C．f(x)|g(x)|是奇函数
D．|f(x)g(x)|是奇函数
答案： C
分析： A：令 h(x)＝f(x)g(x)，
则 h(－x)＝f(－x) ·g(－x)＝－ f(x)g(x)＝－ h(x)，
∴h(x)是奇函数， A 错．
B：令 h(x)＝|f(x)|g(x)，则 h(－x)＝ |f(－x)| g(·－ x)＝|－f(x)|g(x)＝|f(x)|g(x)＝h(x)，
∴h(x)是偶函数， B 错．
C：令 h(x)＝f(x)|g(x)|，则 h(－x)＝f(－x)|g(－x)|＝－ f(x)|g(x)|，∴h(x)是奇函数， C 正确．
D：令h(x)＝|f(x)g(x)|，则 h(－x)＝|f(－x)g(－x)|＝|－f(x)g(x)|＝
|f(x)g(x)|＝h(x)，∴h(x)是偶函数， D 错．
3．[2016 ·山东卷 ] 已知函数 f(x)的定义域为R.当 x＜0 时，f(x)＝x3
－1；当－ 1≤x≤1 时， f(－x)＝－ f(x)；当 x＞1
时，
f＋1＝f
x －1，
2x22则 f(6)＝()
A．－2B．－ 1
C．0D．2
答案： D
1分析：由题意可知，当－ 1≤x≤1 时，f(x)为奇函数，且当 x>2时，
f(x＋1)＝f(x)，因此 f(6)＝f(5×1＋1)＝f(1)．而 f(1)＝－ f(－1)＝－ [( －1)3－1]＝2，因此 f(6)＝2.应选 D.
4．[2015 ·新课标全国卷Ⅰ]若函数 f(x)＝xln(x＋a＋x2)为偶函数，则 a＝________.
答案： 1
分析：∵f(x)为偶函数，∴f(－x)－f(x)＝ 0 恒建立，∴－xln( －x＋a＋x2)－xln( x＋a＋x2)＝0 恒建立，∴xln a＝0 恒建立，
∴ln a＝0，即 a＝1.
5．[2016 ·四川卷 ] 已知函数 f(x)是定义在R上的周期为 2 的奇函
数，当 0<x<1 时， f(x)＝4x，则 f －5
2＋f(1)＝________.
答案：－2
分析：由于 f(x)是定义在R上的奇函数，
因此 f(0)＝0.又 f(x)＝－f(－x)，f(x＋2)＝f(x)，因此 f(x＋1)＝－ f(1－x)，
令 x＝0，得 f(1)＝－ f(1)，因此 f(1)＝0.
5
f －2 ＝f
1
－2－2 ＝f
1
－2
1
＝－ f 2＝－ 2，
5
因此 f －2＋f(1)＝－ 2.
课外拓展阅读
四招打破抽象函数问题
抽象函数是指没有给出函数的详细分析式，只给出了一些表现函数特点的式子的一类函数．抽象函数问题的解决，常常要从函数的奇偶性、单一性、周期性以及函数的图象下手，下边我们从4 个不一样的方面来探访一些做题的规律．
1．抽象函数的定义域
抽象函数的定义域是依据已知函数的定义域，利用代换法获得不等式 (组)进行求解的，此外，还要知足分式的分母不为0、被开方数非负、对数的真数大于0 等一些惯例的要求．
[ 典例 1] 已知函数 y＝ f(x) 的定义域是 [0,8] ，则函数 g(x) ＝ f x2－1
2－log2x＋1的定义域为 ________．
[ 思路剖析 ]
0≤x2－1≤8，
[ 分析 ]要使函数存心义，须使x＋1>0，
2－log2 x＋1 ≠0，
1≤x2≤9，
即x>－1，解得1≤x<3，
x≠3，
因此函数 g(x)的定义域为 [1,3)．
[ 答案 ][1,3)
方法研究
求解复合函数y＝f(g(x))的定义域，经常经过换元设t＝g(x)，根据函数 y＝f(t)的定义域，获得 g(x)的范围，进而解出 x 的范围．同时，在求函数的定义域时要兼备函数的整体构造，要使函数各部分都存心义．
2．抽象函数的函数值
赋值法是抽象函数求函数值的重要方法，经过察看与剖析抽象函数问题中已知与未知的关系找寻实用的取值，发掘出函数的性质，特别是借助函数的奇偶性和周期性来转变解答．
[典例 2]若定义在实数集 R 上的偶函数f(x)知足f(x)>0，f(x＋2) 1
＝f x，对随意 x∈R恒建立，则 f(2015)＝()
A ．4B．3
C．2D．1
[ 思路剖析 ]
1
[ 分析 ]由于 f(x)>0，f(x＋2)＝f x，
因此 f(x＋4)＝f((x＋2)＋2)
1 1
＝
f x＋2＝
1
＝f(x)，
f x
即函数 f(x)的周期是 4.
因此 f(2 015)＝f(504×4－1)＝f(－1)，由于函数 f(x)为偶函数，
因此 f(2 015)＝f(－1)＝f(1)．
1
当 x＝－ 1 时， f(－1＋2)＝，得
f－1
1
f(1)＝f 1 .
即 f(1)＝1，因此 f(2 015)＝f(1)＝1.
[答案 ]D
方法研究
对于抽象函数，经常利用适合赋值解答问题，在赋值时要注意观察变量与所求问题之间的关系，有时需要进行多次赋值．
3．抽象函数的奇偶性
抽象函数的奇偶性就是要判断－ x 对应的函数值与 x 对应的函数值之间的关系，进而获得函数图象对于原点或y 轴对称，再联合函数的图象作出进一步的判断．
[ 典例 3] 已知函数 f(x)对随意 x，y∈R，都有 f(x＋y)＋f(x－y)＝
2f(x)f(y)，且 f(0)≠0，求证： f(x)是偶函数．
[ 思路剖析 ]
[ 证明 ]已知对随意 x，y∈R，都有 f(x＋y)＋f(x－y)＝2f(x)f(y)，
不如取 x＝0，y＝0，则有 2f(0)＝2[f(0)]2，
由于 f(0)≠0，因此 f(0)＝1.
取 x＝0，得 f(y)＋f(－y)＝2f(0)f(y)＝2f(y)，
因此 f(y)＝f(－y)．
又 y∈R，因此函数 f(x)是偶函数．
方法研究
在利用函数奇偶性的定义进行判断时，假如等式中还有其余的量未解决，比如此题中的f(0)，就需要令 x，y 取特别值进行求解．4．抽象函数的单一性与抽象不等式
抽象函数的单一性向来是高考考察的难点，常出此刻一些综合性问题中，需要先对所含的参数进行分类议论或依据已知条件确立出参
数的范围，再依据单一性求解或证明抽象不等式．
[ 典例 4]设函数f(x)是定义在(0，＋∞)上的增函数，且知足f(xy)＝f(x)＋f(y)．若 f(3)＝1，且 f(a)>f(a－1)＋2，务实数 a 的取值范围．[ 思路剖析 ]
[ 解] 由于 f(xy)＝f(x)＋f(y)，且 f(3)＝1，
因此 2＝2f(3)＝f(3)＋f(3)＝f(9)．
又 f(a)>f(a－1)＋2，因此 f(a)>f(a－1)＋f(9)．
再由 f(xy)＝f(x)＋f(y)，可知 f(a)>f(9(a－1))．
由于 f(x)是定义在 (0，＋∞ )上的增函数，
a>0，
9 a－1 >0，9
进而有解得 1<a<8.
a>9 a－1 ，
9
故所务实数 a 的取值范围为1，8 .
易错提示
解答此类抽象不等式问题，不单要注意函数单一性的应用，还要注意定义域的限制，以保证转变的等价性．如此题中很多同学简单漏
a>0，
掉而直接利用单一性得出a>9(a－1)．
9 a－1 >0，。