[推荐学习]高中数学人教A版选修1-2习题：第二章推理与证明2.2.1.2

第2课时分析法
课时过关·能力提升
基础巩固
1命题“对于任意角θ,cos4θ-sin4θ=cos 2θ”的证明:“cos4θ-sin4θ=(cos2θ-sin2θ)(cos2θ+sin2θ)=cos2θ-sin2θ=cos 2θ”,其过程应用了()
A.分析法
B.综合法
C.综合法、分析法综合使用
D.间接证法
,是从已知条件入手,经过推导得出结论,符合综合法的证明思路.
2欲证√2−√3<√6−√7成立,只需证()
A.(√2−√3)2<(√6−√7)2
B.(√2−√6)2<(√3−√7)2
C.(√2+√7)2<(√3+√6)2
D.(√2−√3−√6)2<(−√7)2
,欲证√2−√3<√6−√7,只需证√2+√7<√3+√6,即证(√2+√7)2<(√3+√6)2.故选C.
3在不等边三角形中,a为最大边,要想得到∠A为钝角的结论,三边a,b,c应满足()
A.a2<b2+c2
B.a2=b2+c2
C.a2>b2+c2
D.a2≤b2+c2
4已知a,b是不相等的正数,x=√a+√b
√2
,y=√a+b,则y与y的大小关系为()
A.x>y
B.x<y
C.x=y
D.不确定
a,b>0,所以x>0,y>0.
要比较x与y的大小,只需比较x2与y2的大小,即比较a+b+2√ab
2
与a+b的大小.
因为a,b为不相等的正数,所以2√ab<y+y,
所以a+b+2√ab
2
<y+y,即x2<y2,所以x<y.
5分析法又叫执果索因法,若使用分析法证明:设a>b>c,且a+b+c=0,求证:√b2-ac<√3y,则证明的依据应是()
A.a-b>0
B.a-c>0
C.(a-b)(a-c)>0
D.(a-b)(a-c)<0
b2-ac<3a2⇔(a+c)2-ac<3a2⇔(a-c)(2a+c)>0⇔(a-c)(a-b)>0.故选C.
6将下面用分析法证明a 2+b2
2
≥ab的步骤补充完整:要证明a
2+b2
2
≥ab,只需证明a2+b2≥2ab,也就
是证明,即证明,由于显然成立,因此原不等式成立.
2+b2-2ab≥0(a-b)2≥0(a-b)2≥0
7若y√a>y√b,则实数y,y应满足的条件是.
y√a>y√b成立,只需(y√a)2>(y√b)2,
只需a3>b3≥0,即a,b应满足a>b≥0.
≥0
8在△ABC中,∠C=60°,a,b,c分别为∠A,∠B,∠C的对边,则a
b+c +b
c+a
=.
∠C=60°,所以a2+b2=c2+ab.所以(a2+ac)+(b2+bc)=c2+ab+ac+bc =(a+c)(b+c),
所以a
b+c +b
c+a
=(a2+ac)+(b
2+bc)
(b+c)(c+a)
=1.
9设a,b∈(0,+∞),且a≠b,求证:a3+b3>a2b+ab2.
,且不易发现与已知条件间的联系,直接应用综合法证明的思路不明显,故先采用分析法证明.
(分析法):要证a3+b3>a2b+ab2成立,
即需证(a+b)(a2-ab+b2)>ab(a+b)成立.
又因a+b>0,故只需证a2-ab+b2>ab成立,
即需证a2-2ab+b2>0成立,
即需证(a-b)2>0成立.
而依题设a≠b,则(a-b)2>0显然成立.
由此命题得证.
方法二(综合法):a≠b⇔a-b≠0⇔(a-b)2>0⇔a2-2ab+b2>0⇔a2-ab+b2>ab.
∵a,b∈(0,+∞),∴a+b>0,
∴(a+b)(a2-ab+b2)>ab(a+b).
∴a3+b3>a2b+ab2.
10已知a,b,c是不全相等的正数,且0<x<1.
求证:log y a+b
2+log y b+c
2
+log y a+c
2
<log yy+log yy+log yy.
log y a+b
2+log y b+c
2
+log y a+c
2
<log yy+log yy+log yy,
只需要证明
log y[(a+b)
2·(b+c)
2
·(a+c)
2
]<log y(yyy).
由已知0<x<1,
只需证明a+b
2·b+c
2
·a+c
2
>yyy.
由公式知a+b
2≥√ab>0,b+c
2
≥√bc>0,a+c
2
≥√ac>0.
因为a,b,c不全相等,上面三式相乘,
可得a+b
2·b+c
2
·a+c
2
>√a2b2c2=yyy,
即a+b
2·b+c
2
·a+c
2
>yyy成立.
所以log y a+b
2+log y b+c
2
+log y a+c
2
<log yy+log yy+log yy成立.
能力提升
1如果正数a,b,c,d满足a+b=cd=4,那么()
A.ab≤c+d,且等号成立时,a,b,c,d的取值唯一
B.ab≥c+d,且等号成立时,a,b,c,d的取值唯一
C.ab≤c+d,且等号成立时,a,b,c,d的取值不唯一
D.ab ≥c+d ,且等号成立时,a ,b ,c ,d 的取值不唯一
a+b=cd=4,由基本不等式,得a+b ≥2√ab,
故ab ≤4.又cd ≤
(c+d )2
4
, 所以c+d ≥4,所以ab ≤c+d ,
当且仅当a=b=c=d=2时,等号成立.故选A .
2要证√a 3−√b 3<√a -b 3
成立,y ,y 应满足的条件是( ) A.ab<0,且a>b B.ab>0,且a>b C.ab<0,且a<b
D.ab>0,且a>b 或ab<0,且a<b
√a 3
−√b 3
<√a -b 3
,
只需证(√a 3
−√b 3
)3<(√a -b 3
)3, 即证a-b-3√a 2b 3
+3√ab 23
<y −y , 即证√ab 23
<√a 2b 3,
只需证ab 2<a 2b ,即证ab (b-a )<0. 只需ab>0,且b-a<0或ab<0,且b-a>0. 故选D .
3设a ,b ,c ,d 均为正实数,若a+d=b+c ,且|a-d|<|b-c|,则有( ) A .ad=bc
B .ad<bc
C .ad>bc
D .ad ≤bc
a+d=b+c ,∴(a+d )2=(b+c )2,
∴a 2+d 2-b 2-c 2=2bc-2ad. ∵|a-d|<|b-c|,∴(a-d )2<(b-c )2, ∴a 2+d 2-b 2-c 2<2ad-2bc. ∴2bc-2ad<2ad-2bc ,∴ad>bc.
4“a=1”是“对任意正数x ,2x +a
x ≥1”的( ) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件
D.既不充分也不必要条件
a=1时,2x +a x
=2y +1x
≥2√2x ·1x
=2√2>1成立,当且仅当2x =1x
,即x =
√2
2
时,等号成立.
若对任意正数x ,2x +a
x ≥1,即
2x 2-x+a
x
≥0恒成立,则有2x 2-x+a ≥0在x>0时恒成立,得a ≥1
8.
当a ≥1
8时,命题成立,不一定有a=1.
故“a=1”是“对任意正数x ,2x +a
x ≥1”的充分不必要条件.
5
如图所示,在直四棱柱A1B1C1D1-ABCD中,当底面四边形ABCD满足条件时,有A1C⊥B1D1(注:填上你认为正确的一个条件即可,不必考虑所有可能的情形).
,要证A1C⊥B1D1,只需证B1D1垂直于A1C所在的平面A1CC1.
因为该四棱柱为直四棱柱,所以B1D1⊥CC1.
故只需证B1D1⊥A1C1即可,而BD∥B1D1,AC∥A1C1,故只需AC⊥BD.
,如AC⊥BD
★6若a>b>c,n∈N*,且1
a-b +1
b-c
≥n
a-c
恒成立,则y的最大值为.
a>b>c,得a-b>0,b-c>0,a-c>0,
要使1
a-b +1
b-c
≥n
a-c
恒成立,
只需a-c
a-b +a-c
b-c
≥n恒成立.
只需(a-b)+(b-c)
a-b +(a-b)+(b-c)
b-c
≥n恒成立.
显然2+b-c
a-b +a-b
b-c
≥4(当且仅当b-c=a-b时等号成立).
所以只需n≤4成立,即n能取的最大值为4.
7已知△ABC的三边a,b,c的倒数成等差数列,试分别用分析法和综合法证明∠B为锐角.
△ABC中,要证∠B为锐角,只要证cos B>0,结合余弦定理可解决问题.
分析法)要证明∠B为锐角,只需证cos B>0.
∵cos B=a 2+c2-b2 2ac
,
∴只需证明a2+c2-b2>0,即a2+c2>b2.又a2+c2≥2ac,∴只需证明2ac>b2.
由已知2
b
=1
a
+1
c
,即2ac=b(a+c),
∴只需证明b(a+c)>b2,即只需证明a+c>b.而a+c>b成立,∴∠B为锐角.
综合法)由题意,得2
b =1
a
+1
c
=a+c
ac
,则b=2ac
a+c
,∴y(y+y)=2yy.
∵a+c>b,∴2ac=b(a+c)>b2.
∴cos B=a 2+c2-b2
2ac
≥2ac-b
2
2ac
>0.
又0<∠B<π,
∴0<∠B<π
2
,即∠B为锐角.
★8已知α,β≠kπ+π
2(y∈Z),且sin θ+cos θ=2sin α,sin θcos θ=sin2β.求证:1-tan2α
1+tan2α
=1-tan2β
2(1+tan2β)
.
1-tan2α1+tan2α=1-tan2β
2(1+tan2β)
成立,
即证1-sin
2α
cos2α
1+sin
2α
cos2α
=
1-sin
2β
cos2β
2(1+sin
2β
cos2β
)
,
即证cos2α-sin2α=1
2
(cos2y−sin2y),
即证1-2sin2α=1
2
(1−2sin2y),
即证4sin2α-2sin2β=1.
因为sin θ+cos θ=2sin α,sin θcos θ=sin2β, 所以(sin θ+cos θ)2
=1+2sin θcos θ=4sin2α.
所以1+2sin2β=4sin2α,
即4sin2α-2sin2β=1.故原等式成立.。