课时作业1：10.1.1 复数的概念

§10.1复数及其几何意义
10．1.1复数的概念
1．如果C，R，I分别表示复数集，实数集和纯虚数集，其中C为全集，则() A．C＝R∪I B．R∪I＝{0}
C．R＝C∩I D．R∩I＝∅
答案 D
解析复数包括实数与虚数，
所以实数集与纯虚数集无交集，
所以R∩I＝∅，故选D.
2．给出下列三个命题：
①若z∈C，则z2≥0；
②2i－1的虚部是2i；
③2i的实部是0.
其中正确命题的个数为()
A．0 B．1 C．2 D．3
答案 B
解析①错误，例如z＝i，则z2＝－1；
②错误，因为2i－1虚部是2；
③正确，因为2i＝0＋2i.
3．若复数z＝(x2－1)＋(x－1)i为纯虚数，则实数x的值为()
A．－1 B．0 C．1 D．－1或1
答案 A
解析 由题意，知⎩⎪⎨⎪⎧
x 2－1＝0，x －1≠0， 故x ＝－1.
4．(多选)若a ，b ∈R ，i 是虚数单位，a 2＋2 020i ＝4－b i ，则a ＋b i 等于( )
A ．2 020＋2i
B ．2 020－2i
C ．2－2 020i
D ．－2－2 020i 答案 CD
解析 因为a 2＋2 020i ＝4－b i ，
所以a 2＝4，－b ＝2 020，
即a ＝±2，b ＝－2 020，
所以a ＋b i ＝2－2 020i 或－2－2 020i.
5．下列命题中，正确命题的个数是( )
①若x ，y ∈C ，则x ＋y i ＝1＋i 的充要条件是x ＝y ＝1；
②若a ，b ∈R 且a >b ，则a ＋i>b ＋i ；
③若x 2＋y 2＝0，x ，y ∈C ，则x ＝y ＝0.
A ．0
B ．1
C ．2
D ．3
答案 A
解析 对于①，由于x ，y ∈C ，所以x ，y 不一定是x ＋y i 的实部和虚部，故①是假命题； 对于②，由于两个虚数不能比较大小，故②是假命题；
③是假命题，如12＋i 2＝0，但1≠0，i ≠0.
6．设i 为虚数单位，若复数z ＝(m 2＋2m －3)＋(m －1)i 是纯虚数，则实数m ＝________. 答案 －3
解析 依题意有⎩⎪⎨⎪⎧
m 2＋2m －3＝0，m －1≠0，解得m ＝－3. 7．以3i －2的虚部为实部，以3i 2＋2i 的实部为虚部的复数是________．
答案 3－3i
解析 3i －2的虚部为3,3i 2＋2i ＝－3＋2i 的实部为－3，所以所求的复数是3－3i.
8．若(m 2－1)＋(m 2－2m )i>1，则实数m 的值为________．
答案 2
解析 由题意得⎩⎪⎨⎪⎧
m 2－2m ＝0，m 2－1>1，解得m ＝2. 9．已知复数z ＝(m 2＋3m ＋2)＋(m 2－m －6)i ，则当实数m 为何值时，复数z
(1)是实数；(2)是虚数；(3)是纯虚数．
解 z ＝(m 2＋3m ＋2)＋(m 2－m －6)i.
(1)令m 2－m －6＝0⇒m ＝3或m ＝－2，
即m ＝3或m ＝－2时，z 为实数．
(2)令m 2－m －6≠0，解得m ≠－2且m ≠3，
所以m ≠－2且m ≠3时，z 是虚数．
(3)由⎩⎪⎨⎪⎧
m 2＋3m ＋2＝0，m 2－m －6≠0， 解得m ＝－1.
所以m ＝－1时，z 是纯虚数．
10．已知M ＝{1，(m 2－2m )＋(m 2＋m －2)i}，P ＝{－1,1,4i}，若M ∪P ＝P ，求实数m 的值． 解 ∵M ∪P ＝P ，∴M ⊆P ，
即(m 2－2m )＋(m 2＋m －2)i ＝－1，
或(m 2－2m )＋(m 2＋m －2)i ＝4i.
由(m 2－2m )＋(m 2＋m －2)i ＝－1，
得⎩⎪⎨⎪⎧
m 2－2m ＝－1，m 2＋m －2＝0，解得m ＝1； 由(m 2－2m )＋(m 2＋m －2)i ＝4i ，
得⎩
⎪⎨⎪⎧ m 2－2m ＝0，m 2＋m －2＝4，解得m ＝2. 综上可知，m ＝1或m ＝2.
11．已知关于x 的方程x 2＋(m ＋2i)x ＋2＋2i ＝0(m ∈R )有实根n ，且z ＝m ＋n i ，则复数z 等于
( )
A ．3＋i
B ．3－i
C ．－3－i
D ．－3＋i 答案 B
解析 由题意，知n 2＋(m ＋2i)n ＋2＋2i ＝0，
即n 2＋mn ＋2＋(2n ＋2)i ＝0，
所以⎩⎪⎨⎪⎧ n 2＋mn ＋2＝0，2n ＋2＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧
m ＝3，n ＝－1， 所以z ＝3－i.
12．若复数z ＝⎝⎛⎭⎫sin θ－35＋⎝⎛⎭⎫cos θ－45i 是纯虚数，则tan ⎝⎛⎭
⎫θ－π4的值为( ) A ．－7 B ．－17 C ．7 D ．－7或－17
答案 A
解析 ∵复数z 是纯虚数，
∴⎩⎨⎧ sin θ－35＝0，cos θ－45≠0，
∴sin θ＝35且cos θ≠45
， ∴cos θ＝－45，∴tan θ＝sin θcos θ＝－34
. ∴tan ⎝⎛⎭⎫θ－π4＝tan θ－11＋tan θ＝－34－11－34
＝－7，故选A. 13．设复数z ＝1m ＋5
＋(m 2＋2m －15)i 为实数，则实数m 的值是________． 答案 3
解析 依题意有⎩⎪⎨⎪⎧
m 2＋2m －15＝0，m ＋5≠0，解得m ＝3. 14．使不等式m 2－(m 2－3m )i<(m 2－4m ＋3)i ＋10成立的实数m 的取值集合是________． 答案 {3}
解析 由已知，得⎩⎪⎨⎪⎧ m 2－3m ＝0，m 2－4m ＋3＝0，
m 2<10，
解得m ＝3，
所以所求的实数m 的取值集合是{3}．
15．如果log 12(m ＋n )－(m 2－3m )i>－1，m ，n ∈N ，则m ＝________，n ＝________.
答案 0 1
解析 因为log 12
(m ＋n )－(m 2－3m )i>－1，
所以log 12
(m ＋n )－(m 2－3m )i 是实数，
从而有⎩⎪⎨⎪⎧
m 2－3m ＝0， ①log 12
(m ＋n )>－1， ② 由①得m ＝0或m ＝3，
当m ＝0时，代入②得n <2，又m ＋n >0，所以n ＝1；
当m ＝3时，代入②得n <－1，与n 是自然数矛盾， 综上可得m ＝0，n ＝1.
16．已知复数z 1＝4－m 2＋(m －2)i ，z 2＝λ＋2sin θ＋(cos θ－2)i(其中i 是虚数单位，m ，λ，θ∈R )．
(1)若z 1为纯虚数，求实数m 的值；
(2)若z 1＝z 2，求实数λ的取值范围．
解 (1)∵z 1为纯虚数，
则⎩⎪⎨⎪⎧
4－m 2＝0，m －2≠0， 解得m ＝－2.
(2)由z 1＝z 2，得⎩⎪⎨⎪⎧
4－m 2＝λ＋2sin θ，m －2＝cos θ－2， ∴λ＝4－cos 2θ－2sin θ＝sin 2θ－2sin θ＋3
＝(sin θ－1)2＋2.
∵－1≤sin θ≤1，
∴当sin θ＝1时，λmin ＝2，
当sin θ＝－1时，λmax ＝6，
∴实数λ的取值范围是[2,6]．。