浅议小学数学命题的开放

‘学科教学探索
浅议小学数学命题的开放
马甫波
(宁波市鄞州区鄞江镇中心小学，浙江宁波315151)
摘要：命题是检测学生学习效果的标准，但如何让命题开放得有“价值”，的确是值得教师深思的问题。

本文以玻璃鱼缸的“价值”为例，浅析小学数学命题的开放。

关键词：数学命题；开放；价值中图分类号：G 623．5文献标识码：A 文章编号：1009-010X (2008)09—0054_03
检测学生学习的效果，常用的途径是通过命题来检查，因而命题需要考查学生掌握、运用知识的水平与能力。

下面通过一个实例，说明笔者对小学数学命题开放的一些思考。

实例：做一个长方体玻璃鱼缸，要求长是50厘米，宽是35厘米，高30厘米，至少需要(
)平方厘米的玻璃?
学生解答中出现了8600平方厘米和6850平方厘米两种答案。

显然，答案的差异是由玻璃鱼缸“有盖的还是无盖的”引起的，我们平行班的老师都以“无盖”的为准确答案。

在试卷的评解中，A 教师问学生：“为什么你会认为玻璃鱼缸是有盖的呢?”学生纷纷表达我们见过。

A 教师问：“你见到有盖的玻璃鱼缸中是养鱼吗?”大部分学生有点迷惑了，还有的学生说确实看到过这样的鱼缸养鱼，有的还举例在宾馆中见过，在超市中见过，里面有一个氧气管子……B 教师也同样问了这两个问题，结果这个班级的学生还是坚持自己看见过，B 教师还进一步地调查自己任教的两个班学生答案情况：一个班55个同学有34个同学选择“有盖的”，另一个班级54个同学有24个同学选择“有盖的”。

事后A 、B 教师在交流对这个问题的看法时，C 教师
听见了表态：“事实上的确存在着鱼缸是有盖的，这就是开
放题了，因此，我认为这两种答案都应是对的。

”……
这次“意外”的结果引起了我的思索，这次的“意外”能算是开放题吗?这样的开放题有“价值”吗?怎样体现命题开放的“价值”呢?
一、疑惑中的反思
(一)这次的“意外”能算是开放题吗?
对于什么是“开放题”，目前有许多定义。

通常，一些学者把问题条件不固定，答案不唯一，这样的问题叫开放题。

另外，有的学者把有不同解法，多种解答的问题叫做开放题。

也有学者认为，开放题不是绝对意义下的开放，而是相对于特定对象、特定目的、特定设问方式而言的。

前苏联学
者B ．A ．奥加涅相在研究习题理论时曾运用的“要素分析
法”，数学的问题可看成一个系统：{Y ，0，P ，z}，系统中的
各要素分别是：Y 表示条件；O 表示解题的依据；P 表示解
题的方法；z 表示问题的结论。

根据学生对这四个要素知道的多少，数学问题可以分为四类：
标准型题：四个要素均为已知。

训练型题：四个要素有一个未知或不完备。

探索型题：四个要素有两个未知或不完备。

问题型题：四个要素有三个未知或不完备。

现行课本上的习题大多数都具有完备的条件和固定的答案，解题的依据也在学生主体已有知识的范围内，基本上属于标准型或训练型题，统称为“封闭题”，而探索型题和问题型题，统称为“开放题”。

综上所述，这次意外的题可以算是开放题了。

(二)这样的命题开放有“价值”吗?
美国加利福尼亚州教育部于1989年指出了开放性问
．题的五个功能：1．为学生提供了自己进行思考并用自己的数学观点来表达的机会，这和他们的数学发展是一致的。

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2．要求构建他们自己的反映，而不是选择一个简单的答案。

3．允许学生表达他们对问题的深层次理解，这在多项
选择中是无法做到的。

4．鼓励学生用不同的法来解决问题，反过来提示老师用不同的法解释
学概念。

5．开放
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性问题的模式是数学课堂教学的基本成分。

不难发现开放题是作为一种教学模式为广大教育工作者所接受，国内的开放题研究都主要建立在开放式教学的基础上，作为开放题显然是为开放式教学服务。

依照上述想法，我对上面的题目进行了分析：
从学生角度看，选择“有盖”答案的同学中实测有两种情况，一种是考试时确实根据自己生活中看到的“有盖鱼缸”的经验，然后结合长方体的表面积的知识点解答出来，另一种是没有考虑鱼缸有5个面还是6个面，就无意识地(或粗心地)选择有盖的解题思路，而且有很多原本数学成绩好的同学也选择了“有盖”的思路(上面的片断就是一个见证)。

如果两种答案都对的开放，这就不能很好地反映出学生的思考程度，再者，开放题需要个体的积极参与、个体因群体交流而产生的领悟从而达到理解的加深，本命题没有很好地表现出个体的思想，这就缺少了开放的价值。

从教师角度看，这道题命题者的意愿是想让学生理解掌握求长方体表面积的方法，并能根据实际情况(无盖)选择正确的方法，存在知识与能力的切入点。

显然，让两种答案都对的话，教师不能很好地了解学生掌握该知识点的情况，体现学生的能力。

从思维角度看，选择有盖的答案，解题的思路停留在低层次的思维维度上，选择无盖的答案的思维比前一种解法有进一步的提升，然而实际上这道题还存在更进一步的思维层次，就是比较两种答案哪种更加合理。

从题意可知，所求的是“至少()平方厘米的玻璃?”因而要针对两种玻璃鱼缸的有盖无盖的不同现象进行比较分析，做哪种鱼缸才能达到用最少的材料。

这样就能表达出学生对此问题的深层次的理解，显然，答案只有两种不能表达出学生的见解。

依上所述，我认为本命题由于隋景的开放而产生不同的答案，但在考试中不能很好地反映出其题目的开放价值，本道命题只能算是一个好的命题，而且，我在讲评中发现，由于学生积极参与“鱼缸是有盖的还是无盖的”的争论，已自然地选择出心目中的答案，但是这种效果是学生在做试卷时是无法达到的，即开放题的效果是在课外才体现的，因此我想开放的命题出现在试卷的“填空题”上合适吗?怎么样的命题开放会有更高的价值呢?
二、命题开放的“价值”体现
作为命题其功能主要是检查学生所学，是站在教师的角度上，因此试卷命题的开放价值应偏向教师评价学生的学能力。

再者开放题是为开放教学服务的，表现为“提出问题—个体参与_群体交流_+个体领悟”，在试卷中是无法体现“群体交流”功能的(只能是事后交流)，因此试卷的命题开放价值应偏重于表现出学生的个体特征和个体的思维品质上。

具体表现为：
(一)体现命题的卷外价值。

1．在试卷中引入开放题只是政策导向。

因为开放题具有巨大的教学价值，在试卷中出现开放题是为了“在教学中倡导开放题，打破传统封闭题一统天下的局面”，促使教师在教学中设计开放的问题进行课堂教学。

例如五年级考试中有一道题要求学生证明某个图形是正方形。

学生初次见到不知怎么回答，但只要围着正方形的特征，先测量，然后用如果怎么样就怎么样的语言进行表达，虽然中间的证明过程可能是多种多样，但学生做几次后，就能正确解答了。

随着教学改革的深入，这类命题的价值逐渐减退。

2．在试卷中引入开放题只为课后交流。

合作交流是开放教学的特征之一。

肖伯纳说：“倘若你有一个苹果，我也有一个苹果，那么，你和我仍然是各有一个苹果。

但是，倘若你有一种思想，我也有一种思想，而我们彼此交流这些思想，那么，我们每个人将至少有两种思想。

”同理，学生解答了某道开放题后，与同学交换解法时，会产生新的思想火花，上述案例的事后有盖无盖的争论中就是最好的证明，价值就诞生在交流之中，便于学生学会学习，这种价值是长久的。

(二)体现命题的固有价值。

命题固有价值表现在要落实到知识点上，应有利于知识的综合，展示数学思想方法的良好载体，展示学生个体各方面的能力，能有效地反映出高层次思维，要能更好地培养学生独立思考和探索精神，具体可包含下面几点思想：
1．命题要适合学生的个性。

命题的选择要符合学生的学习生活经验。

在上述的案例中，命题者固有的认为玻璃鱼缸是无盖的，因为鱼的存活是需要氧气的，所以玻璃鱼缸是没有盖的，却不曾考虑随着科学的进步，氧气已可用氧气泵产生，鱼缸加个盖子更有利家居的布置，可见命题开放时要充分考虑学生的已有生活经验。

命题的开放要适合不同程度的学生。

题目要适度，层次丰富些，可从低点切入，高点深究，让不同的学生体验到成功的喜悦，激发学生的参与，培养学生的兴趣。

2．命题要体现学生的思维品质。

一般认为，开放题在考查学生潜质，特别在考查一些与记忆性的基础知识和操作性的基本技能相比具有更高
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层次的思维能力，因而特别借助命题来体现思维的各方面品质。

(1)体现数学思维的深刻性。

所谓数学思维的深刻性，即对具体数学材料进行概括，对具体数量关系和空间形式进行抽象，以及在推理过程中思考的广度、深度、难度和严谨性水平的集中反映。

例如有这样一道命题：“你妈妈今年()岁”，这道题就是要求学生关心自己的家长，留意身边的数学问题，表现出学生的个体特征，像这类是否“存在”的开放题，思维深度浅，每个学生即使不知道妈妈的年龄，只有接近都算正确了，因为教师在批改时不可能知道学生妈妈的确切年龄，只能取上下限内的岁数。

由此这类命题不能显示思维的深度，在试卷中几次出现后就失去了意义，因为学生知道只要我大概的写一个，不超出范围就行了，这样由于思维的深度造成开放题的失败。

(2)体现数学思维的广阔性。

数学思维的广阔性是指学生数学思维活动的范围，以及能从几个方面，或从几个角度思考同一个问题，它是学生数学思维全面性程度的一个度量。

例如：策略开放题“修一条长1500米的水渠，前5天修了全长的2，3，剩下的几天修完?(要求写出三种以上的解法)。

”学生可以从具体的工作总量、工作时间和工作效率数量关系人手，也可从“全长的天数为单位‘l”’人手，也可从“倍比”关系人手……，角度很多，即使同样的角度解法也很多，这样体现了学生综合知识的能力，又体现了学生选择最佳方法的能力。

(3)体现数学思维的敏捷性。

数学思维的敏捷性是学生数学思维活动中，思考的方向、过程与思维技巧的即时转换性水平的集中反映。

从某种角度说，思维的敏捷性就表现在选择上。

例如“把10个长9厘米，宽5．5厘米，高2．3厘米的长方体用包装纸包起来，最少要用多少平方米的纸?”包装的形状是开放的，如能再加上生活的影子“香烟的包装”，就能迅速地确定包装的形状，从而快速地解决问题。

(4)体现数学思维的完备性。

数学思维的完备性是指数学
思路分析的完整性，或指解题者
能否给出全部的不同答案或答案
类型。

例如找出图中的四边形个
数(见图)。

学生按着有序的思路，先找由1个图形组成的四边形，再找由2个图形组成的四边形，……或者再加上能用符号来表示所找的图形，那样就表明学生已掌握了有序思考和形结合的学思想。

(5)体现数学思维的批判性。

数学思维的批判性，是指学生在思维活动中，正确估计思维材料、精细检查思维过程、自我控制和凋节思维方向与过程的能力水平的集中反映。

通过自我监控，实现人脑对信息的输人、加工、储存、输出的自动控制系统的控制。

以此来提高思维活动的效率，使思维过程更加主动，减少盲目性，使思维结果更正确。

例如在上面包装的例子中，学生在快速解答出结论后，就可怀疑包装的形状，试想有无比现有包装面积更小的包装，在批判中验证所思，提升各个思维品质的提升。

(6)体现数学思维的创新性。

数学思维的创新性是数学思维各方面品质的集中体现，是思维火花的理性表现。

如“让学生拿一根12米长的绳子围起一个活动场地，怎样围面积最大?”学生通过画图计算，得出围成圆形面积最大，正方形图形其次，然而有位小朋友借助墙壁围成半圆形的面积最大，居然想到了利用生活的情景来思考，这的确让人敬佩，也让人看到开放题的巨大价值。

3．命题要便于评价。

开放题提倡学生个性化的解答，因此注重结果的评价，也要注重思维过程的评价。

可根据学生解决问题策略的数目、策略的实施情况和得到的答案三个维度，制定相应地评分标准。

一般来说，解决问题的策略越多，策略的实施越齐全，得分就越高，答案越多，得分就越高。

不过并不是答案多了，分数就一定高。

因为有的答案是处于同一种水平，要注意策略、答案的多样化、完备性和深刻性。

4．命题要选择合适的题形。

从小学数学常见的命题形式看，填空题、选择题、判断题不易选用开放题，因为较难显示学生的思维过程。

因而开放题多见于图形操作题和应用题，有利于学生表达自己的观点。

题型、解答方式可作一些创新，如解答时，可通过画图说明，可短文描述数学活动，可操作表现等，不管怎么变化，总是要有助于学生展示思维。

参考文献：。

‘
[1]田鹏．教学开放题的评价[J]．海南师范学院学报(自然科学版)。

2004．(3)．
[2]王林平．中学数学开放题开发研究[J]．上海师范大学学位论文，
2005，5．
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