河南省实验中学必修五第二章《解三角形》测试题(有答案解析)

一、选择题
1．在ABC 中，2
sin 22C a b a
-=，角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，则ABC 的形状为（ ） A ．等边三角形 B ．等腰三角形 C ．等腰直角三角形
D ．直角三角形
2．在ABC 中，30A =︒，BC 边上的高为1，则ABC 面积的最小值为（ ） A ．25-
B ．23-
C ．23+
D ．25+
3．如图，某人在一条水平公路旁的山顶P 处测得小车在A 处的俯角为30，该小车在公路上由东向西匀速行驶7.5分钟后，到达B 处，此时测得俯角为45．已知小车的速度是
20km/h ，且33
cos 8
AOB ∠=-
，则此山的高PO =（ ）
A ．1 km
B ．
2
km 2
C 3 km
D 2 km 4．在ABC ∆中，若sin (sin cos )sin 0A B B C +-=，sin cos 20B C +=，4a =，则
ABC ∆的面积为（ ）
A ．243+
B ．43+
C ．623+
D ．843+5．ABC ∆中，角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ．若13,3,60a b A ===︒，则边c =（ ） A ．1
B ．2
C ．4
D ．6
6．在△ABC 中，若2223a c b ab -+=，则C ＝( )． A ．45°
B ．30°
C ．60°
D ．120°
7．在ABC 中，,,a b c 分别是角,,A B C 的对边，以下四个结论中，正确的是（ ） A ．若a b c >>，则sin sin sin A B C >>
B ．若A B
C >>，则sin sin sin A B C << C ．cos cos sin a B b A c C +=
D ．若222a b c +<，则ABC 是锐角三角形
8．ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若2cos sin sin B A C =，则
ABC 的形状为（ ）
A ．直角三角形
B ．等腰三角形
C ．等边三角形
D ．等腰直角三角形
9．在ABC ∆中，角A B C ，，的对边分别是a b c ，，，若sin cos 0b A B =，且三边a b c ，，成等比数列，则2a c
b
+的值为（ ）
A ．
4
B ．
2
C ．1
D ．2
10．在ABC 中，角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c ，若角A 、B 、C 成等差数列，且2sin 2csin csin 2sin a A C a B b B +=+，则ABC 的面积的最大值为（ ）
A ．
B
C ．
D ．
11．在ABC 中，60A ∠=︒，1b =，ABC
S =2sin 2sin sin a b c
A B C
++=++（ ）
A B C D ．12．正三棱锥P ABC -中，若6PA =，40APB ∠=︒，点E 、F 分别在侧棱PB 、PC
上运动，则AEF 的周长的最小值为（ ）
A ．36sin 20︒
B ．
C ．12
D ．二、填空题
13．已知60A =︒，ABC 的三个内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，其中
7a =，sin sin B C +=
，则bc 的值为______.
14．在ABC 中，点M 是边BC 的中点，AM =2BC =，则2AC AB +的最大值为___________.
15．在ABC 中，角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，()2
26b a c =+-，
23
B π
=
，则ABC 的面积是______________. 16．在ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且
πsin cos 6b A a B ⎛
⎫=- ⎪⎝
⎭，则角B =______.
17．在ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，若6a =，2c b =，则
ABC 面积的最大值是______．
18．ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ．已知
sin sin 22sin sin b C c B a B C +=，2226b c a +-=，则ABC 的面积为_______． 19．若钝角三角形ABC 的三边长a ，8，b ()a b <成等差数列，则该等差数列的公差d
的取值范围是________.
20．如图，在四边形ABCD 中，已知AB BC ⊥，5AB =，7AD =，135BCD ∠=︒，
1
cos 7
A =
，则BC =________.
三、解答题
21．ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知
)
2cos cos b a C c A -=．
（1）求角C 的大小； （2）若2a =
()2
cos cos c a B b A b -=，求ABC 的面积．
22．在ABC 中，a ，b ，c 分别为角A ，B ，C 的对边，且3bcos A c ⋅=. （1）求角B ；
（2）若ABC 的面积为23BC 边上的高1AH =，求b ，c . 23．在ABC 中，已知角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若2b =，
3sin B b B =-．
（1）求角B 的大小；
（2）若BAC ∠的平分线AD 交BC 于点D ，△ACD 3BD 的长度． 24．ABC 的内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ．已知
222sin sin sin sin sin B A C A C --=．
（1）求B ；
（2）若3b =，当ABC 的周长最大时，求它的面积．
25．在ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c .请在①cos 3sin b b C c B +；②()2cos cos b a C c A -=；③2
2243
ABC
a b c +-=
这三个条件中任选一个，完成下列问题 （1）求角C ；
（2）若5a =，7c =，延长CB 到点D ，使cos 7
ADC ∠=，求线段BD 的长度. 注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分.
26．设ABC 的内角,,A B C 的对边长分别为,,a b c ，且2
1.2
b a
c = （1）求证：cos 34
B ≥
； （2）若cos()cos 1A C B -+=，求角B 的大小.
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一、选择题 1．D 解析：D 【分析】
利用二倍角公式、正弦定理可得出sin sin cos B A C =，利用两角和的正弦公式可得出
cos sin 0A C =，求出A 的值，即可得出结论.
【详解】
2
1cos sin 222C C a b a
--==，cos b a C ∴=，由正弦定理可得sin sin cos B A C =， 所以，()sin cos sin sin cos cos sin A C A C A C A C =+=+，则cos sin 0A C =，
0C π<<，则sin 0C >，cos 0A ∴=，
0A π<<，2
A π
∴=
，因此，ABC 为直角三角形.
故选：D. 【点睛】
方法点睛：在解三角形的问题中，若已知条件同时含有边和角，但不能直接使用正弦定理或余弦定理得到答案，要选择“边化角”或“角化边”，变换原则如下： （1）若式子中含有正弦的齐次式，优先考虑正弦定理“角化边”； （2）若式子中含有a 、b 、c 的齐次式，优先考虑正弦定理“边化角”； （3）若式子中含有余弦的齐次式，优先考虑余弦定理“角化边”； （4）代数式变形或者三角恒等变换前置；
（5）含有面积公式的问题，要考虑结合余弦定理求解；
（6）同时出现两个自由角（或三个自由角）时，要用到三角形的内角和定理.
2．B
解析：B
【分析】
根据题意，可求得
11
,
sin
sin
AB AC
B C
==，代入面积公式，可求得面积的表达式，设4sin sin
y B C
=，根据B、C的关系，利用两角差的正弦公式及辅助角公式，可得
2sin(2)3
3
y B
π
=-+，根据B的范围，即可求得
max
y，即可得答案.
【详解】
设BC边上的高为AD，则AD=1，AD BC
⊥，如图所示：
所以
11
sin,sin
AD AD
B C
AB AB AC AC
====,
所以
11
,
sin sin
AB AC
B C
==，
所以
111
sin
244sin sin
ABC
S AB AC A AB AC
B C
=⨯⨯⨯=⨯=，
设4sin sin
y B C
=，因为
6
A
π
=，则
5
6
B C
π
+=，
所以
555
4sin sin4sin sin()4sin sin cos cos sin
666 y B C B B B B B
πππ
⎛⎫==-=-
⎪
⎝⎭
=2
2sin cos23sin sin23cos23
B B B B B
+=
=2sin(2)3
3
B
π
-
因为
5
(0,)
6
B
π
∈，所以
4
2(,)
333
B
πππ
-∈-，
所以
3
sin(2)(
32
B
π
-∈-，则2sin(2)3(0,23]
3
y B
π
=-++，
所以
max
23
y=
所以ABC面积的最小值为
max
1
23
y
=
故选：B
【点睛】
解题的关键是将题干条件，转化为4sin sin
y B C
=，根据B的范围，结合三角函数的图
象与性质求解，考查分析理解，计算求值的能力，属中档题.
3．A
解析：A 【分析】
由题意作图可得60APO ∠=，45BPO ∠=，设PO h =，在Rt POA △，Rt POB 中 求出3AO h =，BO h =，在AOB 中，由余弦定理列方程即可求解. 【详解】
由题意可知：PO ⊥平面AOB ，903060APO ∠=-=，904545BPO ∠=-=，
7.5
20 2.560
AB =⨯
=km ， 设PO h =，在POA 中，tan AO APO PO ∠=，tan 60AO
h
=，所以3AO h =， 在POB 中，tan BO BPO PO ∠=
，tan 45BO
h
=，所以BO h =， 在AOB 中，由余弦定理可得：2222cos AB AO BO AO A BO OB =∠+-⨯，
所以)
22
22.532333h h h h =
+-⨯⎛ ⎝⎭
⨯，即2252544h =，解得：1h =， 所以山的高1PO =， 故选：A.
4．C
解析：C 【分析】
在ABC ∆中，()sin sin B A C +=，化简sin (sin cos )sin 0A B B C +-=可得4
A π
=
，又
sin cos 20B C +=和34
B C π+=
，解得3B π
=，512C π=，最后通过正弦定理求出
2(31)c =，再根据三角形面积公式得到面积.
【详解】
由sin (sin cos )sin 0A B B C +-=得：
sin sin sin cos sin cos cos sin sin sin cos sin 0A B A B A B A B A B A B ⋅+⋅-⋅-⋅=⋅-⋅=，
∴sin cos A A =，又0()A π∈，，则4
A π
=
，则34
B C π+=
， 又3sin cos 2sin 22B C C π⎛⎫
=-=-
⎪⎝⎭，则3222B C k ππ=-+或222B C k ππ=-+， (0)B C π∈、，，则322B C π+=
或22C B π-=，又34
B C π+=，则取22C B π
-=，
得3
B π
=
，512
C π=
，又4a =，根据正弦定理，sin 1)sin a C
c A ⋅=
=，
∴1
sin 62
ABC S ac B ∆=⋅=+ 故选C. 【点睛】
思路点睛：在三角形中，由于A B C π++=,根据诱导公式，()sin sin A B C +=，
()sin sin A C B +=,()sin sin C B A +=，()cos cos A B C +=-,
()cos cos A C B +=-,()cos cos C B A +=-等，以上常见结论需要非常熟练. 5．C
解析：C 【解析】
试题分析：2222cos a c b cb A =+-213923cos60c c ⇒=+-⨯⨯︒，即2340c c --=，解得4c =或1c =-（舍去）． 考点：余弦定理，正弦定理．
6．B
解析：B 【分析】
根据余弦定理，可以求出C 角的余弦值，进而根据C 为三角形内角，解三角方程可以求出
C 角．
【详解】
∵
222a c b -+=，
∴2222a b c cosC ab +-==
. 又∵C 为三角形内角
∴30C =︒. 故选B ． 【点睛】
本题考查余弦定理的应用，属基础题．
7．A
解析：A
【分析】
由正弦定理
2sin sin sin a b c
R A B C
===，可判定A 正确；由大边对大角定理和正弦定理可判定B 错误；由正弦定理，可判定C 错误；根据余弦定理，可判定D 错误． 【详解】
对于A 中，由于a b c >>，由正弦定理
2sin sin sin a b c
R A B C
===， 可得sin sin sin A B C >>，故A 正确；
对于B 中，A B C >>，由大边对大角定理可知，则a b c >>，
由正弦定理
2sin sin sin a b c
R A B C
===，可得sin sin sin A B C >>，故B 错误； 对于C 中，由正弦定理可得cos cos 2(sin cos sin cos )a B b A R A B B A +=+
2sin()2sin()2sin R A B R C R C c π=+=-==，故C 错误；
对于D 中，由2
2
2
a b c +<，根据余弦定理可得222
cos 02a b c C ab
+-=<，
因为(0,)C π∈，可得C 是钝角，故D 错误．
故选：A. 【点睛】
本题主要考查了以解三角形为背景的命题真假判定问题，其中解答中熟记解三角形的正弦定理、余弦定理，合理推算是解答的关键，着重考查推理与运算能力，属于基础题.
8．B
解析：B 【分析】
利用正弦定理、余弦定理将角化为边，即可得到,a b 之间的关系，从而确定出三角形的形状. 【详解】
因为2cos sin sin B A C =，所以222
22a c b a c ac
+-⋅⋅=，
所以22a b =，所以a b =，所以三角形是等腰三角形， 故选：B. 【点睛】
本题考查利用正、余弦定理判断三角形的形状，难度一般.本例还可以直接利用
()sin sin C A B =+，通过三角函数值找到角之间的联系从而判断三角形形状. 9．C
解析：C 【分析】
先利用正弦定理边角互化思想得出3
B π
=
，再利余弦定理1
cos 2
B =
以及条件2b ac =得出
a c =可得出ABC ∆是等边三角形，于此可得出
2a c
b
+的值． 【详解】
sin cos 0b A B =，由正弦定理边角互化的思想得
sin sin cos 0A B A B =，
sin 0A >，sin 0B B ∴=，tan B ∴=，则3
B π
=
.
a 、
b 、
c 成等比数列，则2b ac =，由余弦定理得
222221
cos 222
a c
b a
c ac B ac ac +-+-===，
化简得2220a ac c -+=，a c ∴=，则ABC ∆是等边三角形，12a c
b
+∴=，故选C ． 【点睛】
本题考查正弦定理边角互化思想的应用，考查余弦定理的应用，解题时应根据等式结构以及已知元素类型合理选择正弦定理与余弦定理求解，考查计算能力，属于中等题．
10．B
解析：B 【分析】
由等差数列性质得3
B π
=
，应用正弦定理边角转换、余弦定理由已知可求得三角形外接圆
半径R ，从而边,a c 可用角表示，最后用角表示出三角形面积，结合三角函数恒等变换、正弦函数性质得出最大值． 【详解】
∵角A 、B 、C 成等差数列，∴2B A C =+， 又A B C π++=，∴3
B π
=，23
C A π
=
-，2(0,)3A π∈，
由正弦定理
2sin sin sin a b c R A B C
===得sin ,sin ,sin 222a b c A B C R R R ===， ∵2sin 2csin csin 2sin a A C a B b B +=+，
∴2sin 2sin 2sin a A c C b B +-=
，
即2222a b c ac R R R +-=，2222cos 2a c b ac B
ac R R
+-==
，∴3R =
又由正弦定理得2sin ,a R A A c C ===，
∴112sin sin sin()2233333
ABC S ac B A C A A △ππ
=
=⨯⨯⨯=-
21sin )cos 2sin )2A A A A A A =
+=
+21cos 2)A A =+
-)6A π=-+
∵2(0,
)3A π∈，∴3
A π=时，sin(2)16A π
-=，即ABC
S
取得最大值
33
+= 故选：B ． 【点睛】
本题以我们熟知的三角形为背景，探究的是三角形面积的最大值，结合等差数列的性质，利用正弦定理进行边角转换，考查目的是让考生发现、揭示问题本质的关联点，从而有效的激发考生学习兴趣，本题同时考查了考生的逻辑推理能力、直观想象能力，本题属于中档题．
11．B
解析：B 【分析】
由三角形的面积公式可得，4c =
，再由余弦定理可得a ，最后由正弦定理可得结果. 【详解】
11c sin6042︒=⋅⋅⋅=∴=ABC
S
c
由余弦定理可得：222
1
2cos 1612413,2
=+-=+-⨯⨯
=∴=a b c bc A a
由正弦定理可得：2sin sin sin 2sin sin 3++=====
++a b c a b c sinA B C A B C 故选：B 【点睛】
本题考查了正弦定理和余弦定理的应用，考查了运算求解能力，属于基础题目. 12．D
解析：D 【分析】
画出正三棱锥P ABC -侧面展开图，将问题转化为求平面上两点间的距离最小值问题，不难求得结果． 【详解】
将三棱锥由PA 展开，如图，
正三棱锥P ABC -中，40APB ∠=︒，则图中1120APA ∠=︒， 当点A 、E 、F 、1A 位于同一条直线上时，AEF ∆的周长最小，
故1AA 为AEF ∆的周长的最小值， 又
1PA PA =，1PAA ∴∆为等腰三角形， 6PA =，16PA ∴=，
221
66266cos12063AA ∴=+-⨯⨯⨯︒=，
AEF ∴∆的最小周长为：63．
故选：D ． 【点睛】
本题考查的知识点是棱锥的结构特征，其中将三棱锥的侧面展开，将空间问题转化为平面上两点之间的距离问题，是解答本题的关键．
二、填空题
13．40【分析】首先根据正弦定理求并表示最后根据余弦定理求的值【详解】根据正弦定理可知根据余弦定理可知得解得：故答案为：40【点睛】方法点睛：(1)在解有关三角形的题目时要有意识地考虑用哪个定理更适合或
解析：40 【分析】
首先根据正弦定理求2R ，并表示sin sin 22b c B C R R
+=+，最后根据余弦定理求bc 的值. 【详解】
143
22sin 3
a R R A =⇒==， 根据正弦定理可知
1331322b c b c R R +=⇒+=， 根据余弦定理可知()2
22222
2cos 3a b c bc A b c bc b c bc =+-=+-=+-，
得249133bc =-，解得：40bc =. 故答案为：40
【点睛】
方法点睛：(1)在解有关三角形的题目时，要有意识地考虑用哪个定理更适合，或是两个定理都要用，要抓住能够利用某个定理的信息，一般地，如果式子中含有角的余弦或边的二次式，要考虑用余弦定理；如果遇到的式子中含有角的正弦或边的一次式时，则考虑用正弦定理；以上特征都不明显时，则要考虑两个定理都有可能用到；(2)解题中注意三角形内角和定理的应用及角的范围限制．
14．【分析】用余弦定理表示出求出后利用余弦函数性质可得最大值【详解】记则在中同理在中可得∴设则其中是锐角显然存在使得∴的最大值为故答案为：【点睛】关键点点睛：本题考查余弦定理考查换元法求最值解题方法是用
解析：
【分析】
用余弦定理表示出,AC AB ，求出2AC AB +后利用余弦函数性质可得最大值． 【详解】
记AMC α∠=，则AMB πα∠=-， 在AMC 中，
2222cos 314AC AM MC AM MC ααα=+-⋅=+-=-，
同理在AMB 中可得24AB α=+，
∴
228AB AC +=，设AB x =，AC x =，(0,
)2
x π
∈．
则1
2cos )cos )
2AC AB x x x x x x +=+=+=+
)x θ=+，其中cos
θθ=
=θ是锐角， 显然存在0(0,)22
x π
π
θ=
-∈，使得0sin()1x θ+=，
∴2AC AB +
的最大值为．
故答案为：． 【点睛】
关键点点睛：本题考查余弦定理，考查换元法求最值．解题方法是用余弦定理表示出
,AB AC
，得出228AB AC +=，利用三角换元法AB x =，AC x =，
(0,)2
x π
∈．这里注意标明x 的取值范围．在下面求最值时需确认最值能取到，然后结合
三角函数的性质求最值．
15．【分析】利用余弦定理求出的值再利用三角形的面积公式可求得的面积【详解】由余弦定理可得可得则解得因此的面积是故答案为：【点睛】方法点睛：在解三角形的问题中若已知条件同时含有边和角但不能直接使用正弦定理
【分析】
利用余弦定理求出ac 的值，再利用三角形的面积公式可求得ABC 的面积. 【详解】
由余弦定理可得222222cos b a c ac B a c ac =+-=++，222a c b ac ∴+-=-，
()2
222626b a c a c ac =+-=++-，可得222260a c b ac +-+-=，则
260ac ac --=，解得6ac =，
因此，ABC 的面积是11sin 62222
ABC S ac B ==⨯⨯=
△.
故答案为：2
【点睛】
方法点睛：在解三角形的问题中，若已知条件同时含有边和角，但不能直接使用正弦定理或余弦定理得到答案，要选择“边化角”或“角化边”，变换原则如下： （1）若式子中含有正弦的齐次式，优先考虑正弦定理“角化边”； （2）若式子中含有a 、b 、c 的齐次式，优先考虑正弦定理“边化角”； （3）若式子中含有余弦的齐次式，优先考虑余弦定理“角化边”； （4）代数式变形或者三角恒等变换前置；
（5）含有面积公式的问题，要考虑结合余弦定理求解；
（6）同时出现两个自由角（或三个自由角）时，要用到三角形的内角和定理.
16．【分析】由正弦定理及可得结合两角差余弦公式可得进而可得到值【详解】由正弦定理及可得：在中∴即∴又B 为三角形内角∴=故答案为:【点睛】本题考查三角形中求角的问题涉及到正弦定理两角差余弦公式考查计算能力 解析：π3
B =
【分析】
由正弦定理及πsin cos 6b A a B ⎛⎫=-
⎪⎝
⎭可得πsin sin sin cos 6B A A B ⎛
⎫=- ⎪⎝⎭
，结合两角差
余弦公式可得tanB =B 值. 【详解】
由正弦定理及πsin cos 6b A a B ⎛⎫=- ⎪⎝
⎭
可得：πsin sin sin cos 6B A A B ⎛⎫
=- ⎪⎝
⎭
,在ABC 中，sin 0A ≠， ∴πsin cos 6B B ⎛⎫=-
⎪⎝
⎭,即ππ
sin cos cos sin sin 66
B B B =+
∴tanB =B 为三角形内角， ∴B =
3
π 故答案为:3
π. 【点睛】
本题考查三角形中求角的问题，涉及到正弦定理，两角差余弦公式，考查计算能力，属于基础题.
17．【分析】先根据余弦定理求出结合平方关系求得利用三角形的面积公式及二次函数可求面积的最大值【详解】∵∴可得∴由可得即则的面积当且仅当时即时取等号故答案为：【点睛】本题主要考查三角形的面积最值常见求解思 解析：12
【分析】
先根据余弦定理求出cos A ，结合平方关系求得sin A ，利用三角形的面积公式及二次函数可求ABC 面积的最大值. 【详解】
∵6a =，2c b =，
∴2
2
2
2
644cos b b b A =+-，可得22
536
cos 4b A b -=，
∴
sin A ==()2223043600b --≥，可得2436b ≤≤，即26b ≤≤，
则ABC
的面积
221
sin sin 122
S bc A b A b ====
≤，
当且仅当23
60b =时，即b =
故答案为：12． 【点睛】
本题主要考查三角形的面积最值，常见求解思路是建立关于三角形面积的表达式结合二次函数或者基本不等式的知识求解，侧重考查数学运算的核心素养.
18．【分析】由正弦定理得由平方关系和余弦定理可得再利用面积公式即可得解【详解】由已知条件及正弦定理可得易知所以又所以所以所以即所以的面积故答案为：【点睛】本题考查了正弦定理余弦定理和三角形面积公式的应用
解析：3
2
【分析】
由正弦定理得sin A =
32
bc =，再利用面积公式1
sin 2
S bc A =
即可得解. 【详解】
由已知条件及正弦定理可得2sin sin sin sin B C A B C =，
易知sin sin 0B C ≠，所以sin A =
， 又2
2
2
6b c a +-=，所以2223
cos 2b c a A bc bc
+-==，
所以cos 0A >，所以cos A =，即32
bc =，bc =，
所以ABC 的面积113
sin 2222
S bc A ==⨯=． 故答案为：3
2
. 【点睛】
本题考查了正弦定理、余弦定理和三角形面积公式的应用，属于中档题.
19．【分析】由题意结合余弦定理可得再根据三角形三边关系可得即可得解【详解】由题意得且三角形为钝角三角形即即又由三角形三边关系可得即故答案为：【点睛】本题考查了余弦定理的应用和等差数列性质的应用属于中档题 解析：24d <<
【分析】
由题意结合余弦定理可得22640a b +-<，再根据三角形三边关系可得8b a -<，即可得解. 【详解】
由题意得16a b +=且8a b <<， 三角形ABC 为钝角三角形，
∴222cos 02a c b B ac
+-=<即22640a b +-<，
∴2264b a ->即()1664b a ->， ∴4b a ->，
又由三角形三边关系可得8b a -<，
∴48b a <-<即428d <<， ∴24d <<.
故答案为：24d <<.
【点睛】
本题考查了余弦定理的应用和等差数列性质的应用，属于中档题.
20．【分析】由余弦定理可得由诱导公式可得进而可得由三角恒等变换得再由正弦定理即可得解【详解】在中由余弦定理得所以所以又所以所以所以在中由正弦定理得所以故答案为：【点睛】本题考查了正弦定理和余弦定理解三角
解析：)
4
1
【分析】
由余弦定理可得8BD =、1
cos 2ABD ∠=
，由诱导公式可得1sin 2
CBD ∠=
，进而可得cos 2
CBD ∠=
，由三角恒等变换得sin BDC ∠，再由正弦定理即可得解. 【详解】
在ABD △中，由余弦定理得2222cos 64BD AB AD AB AD A =+-⋅⋅=， 所以8BD =，
所以2221
cos 22
AB BD AD ABD AB BD +-∠==⋅，
又AB BC ⊥，所以1sin cos 2CBD ABD ∠=∠=，0,2CBD π⎛⎫
∠∈ ⎪⎝⎭
，
所以cos 2
CBD ∠==
， 所以()sin sin sin cos cos sin BDC BCD CBD BCD CBD BCD CBD ∠=∠+∠=∠∠+∠∠
122224
=
-=
， 在BCD △
中，由正弦定理得sin sin 2
BC BD BDC BCD ===∠∠
所以)
41BC BDC =∠==.
故答案为：)
41.
【点睛】
本题考查了正弦定理和余弦定理解三角形的应用，考查了三角恒等变换的应用及运算求解能力，属于中档题.
三、解答题
21．（1）4
π；（2）12.
【分析】
（1）利用正弦定理化边为角，利用三角恒等变换公式化简，得到cos 2
C =
，从而求得C 的大小；
（2）利用余弦定理化简()2
cos cos c a B b A b -=，得到222a b =，求出b ，再计算面积
即可. 【详解】
解：（1cos sin cos sin cos B C A C C A -=．
∴
()cos sin cos cos sin sin B C A C A C A C =+=+．
∵πA C B +=-，∴()sin sin A C B +=． ∴
cos sin B C B =．
又∵sin 0B ≠，∴cos C =． ∵()0,πC ∈，∴π4
C =
． （2）由已知及余弦定理，得222222
222a c b b c a ac bc b ac bc +-+-⋅-⋅=．
222222
222
a c
b b
c a b +-+--= 化简，得222a b =．
又∵a =∴1b =．
∴
ABC 的面积111
sin 12222
ABC ab C S =
=⨯=△． 【点睛】
在处理三角形中的边角关系时，一般全部化为角的关系，或全部化为边的关系．题中若出现边的一次式一般采用到正弦定理，出现边的二次式一般采用到余弦定理．应用正、余弦定理时，注意公式变式的应用．解决三角形问题时，注意角的限制范围．
22．（1）6
π
；（2）b =2c =. 【分析】
（1）化角为边，化简得222c a b +-=，再利用余弦定理求角B ； （2）由正弦定理算出c ，由面积公式算出a ，由余弦定理计算b 中即可. 【详解】
解：（1）因为cos b A c =-，所以2222b c a b c bc +-⋅=-，
所以22222b c a c +-=，即222c a b +-=.
由余弦定理可得222cos 2c a b B ac +-==
， 因为(0,)B π∈，所以6
B π
=.
（2）由正弦定理可得sin sin 22sin sin
6
AH AH AHB
c B
π
π
∠=
=
=.
因为ABC
的面积为
11
sin 22
ac B a ==
a =
由余弦定理可得2222cos b a c ac B =+-
=4842228+-⨯⨯=，
则b = 【点睛】
在处理三角形中的边角关系时，一般全部化为角的关系，或全部化为边的关系．题中若出现边的一次式一般采用到正弦定理，出现边的二次式一般采用到余弦定理．应用正、余弦定理时，注意公式变式的应用．解决三角形问题时，注意角的限制范围． 23．（1）6
B π
=；（2
）BD =
【分析】
（1）有已知条件，结合正弦定理边角关系、辅助角公式得sin 13B π⎛⎫
+= ⎪⎝
⎭
，根据三角形内角的性质，即可求角B ．
（2）由题设，应用正弦定理得1
sin 2
AD BD θ⋅=
，结合三角形面积公式有sin AD θ=BD 的长度．
【详解】
（1）由2b =
sin B b B =-，
∴sin 2B B =
，即1sin 122
B B +=，得sin 13B π⎛⎫+= ⎪⎝⎭，又()0,B π∈， ∴4,333
B π
ππ⎛⎫
+
∈ ⎪
⎝⎭
，可知32B ππ+=，解得6B π=． （2）设BAD θ∠=，由AD 是BAC ∠的平分线，有CAD θ∠=， 在△ABD 中，由正弦定理得sin sin 6
BD AD
πθ=
，所以1sin 2AD BD θ⋅=．
又△ACD
1
sin sin 2
b AD AD θθ⋅==
∴
1
2
BD BD = 【点睛】 关键点点睛：
（1）综合应用正弦定理边角互化，辅助角公式，三角形内角的性质求角； （2）应用正弦定理及三角形面积公式求边长.
24．（1）23B π=；（2）ABC S =
△. 【分析】
（1）利用正弦定理角化边，整理求得cos B ，由B 的范围可得结果；
（2）利用余弦定理和基本不等式可求得当3a c ==时周长最大，由三角形面积公式可求得结果. 【详解】
（1）由正弦定理得：2
2
2
b a
c ac --=，2221
cos 22
a c
b B a
c +-∴==-，
()0,B π∈，23
B π
∴=
； （2）由余弦定理得：()()2
2
222
2cos 29b a c ac B a c ac ac a c ac =+-=+-+=+-=，
()2
2
92a c ac a c +⎛⎫∴=+-≤ ⎪
⎝⎭
（当且仅当a c =时取等号），6a c ∴+≤，
∴当3a c ==时，ABC 取得最大值，此时19sin 2224
ABC
S
ac B =
=⨯=
. 【点睛】
方法点睛：求解与边长相关的最值或取值范围类问题通常有两种方法：
①利用正弦定理边化角，将所求式子转化为与三角函数值域有关的问题的求解，利用三角恒等变换和三角函数的知识来进行求解；
②利用余弦定理构造方程，结合基本不等式求得基本范围；应用此方法时，需注意基本不等式等号成立的条件.
25．（1）条件选择见解析，3
C π
=；（2）5BD =.
【分析】
（1）利用所选条件，应用正余弦定理的边角关系、三角形面积公式，化简条件等式，结合三角形内角的性质，求角C ；
（2）由正余弦定理，结合诱导公式及两角和正弦公式求CD ，进而求BD 的长度. 【详解】
（1）若选①：∵
cos sin b b C B +=，
∴
sin sin cos sin B B C C B +=，又sin 0B ≠，
∴1cos C C +=，即1sin 62
C π⎛⎫
-= ⎪⎝
⎭，又0C π<<， ∴56
6
6C π
π
π-
<-
<
，即66C ππ-=，故3
C π=. 若选②：∵()2cos cos b a C c A -=， ∴()2sin sin cos sin cos B A C C A -=，
即()2sin cos sin cos sin cos sin sin B C A C C A A C B =+=+=， 又sin 0B ≠，∴1
cos 2
C =，又0C π<<， ∴3
C π
=
，
若选③
：由2223
ABC
a b c S +-=
，则有1
2cos sin 32
ab C ab C =
，
∴tan C =0C π<<， ∴3
C π
=
.
（2）ABC 中，由余弦定理：2
2525cos 493
AC AC π
+-⋅⋅=，
得8AC =或3AC =- (舍)，
由cos 7
ADC ∠=
，可得sin ADC ∠=，
△ACD 中，
()(
)1sin sin sin 72CAD C ADC C ADC π∠=--∠=+∠=
+=
由正弦定理得：sin sin CD AC
CAD ADC
=∠∠
=，解得10CD =，
∴5BD CD BC =-=.
【点睛】
关键点点睛：
（1）根据所选条件，应用正余弦定理的边角关系、三角形性质求角；
（2）利用正余弦定理及三角恒等变换求边长.
26．（1）证明见解析；（2）
6π. 【分析】
（1）由余弦定理结合212
b a
c =，利用基本不等式求解. （2）由cos()cos 1A C B -+=，利用两角和与差的余弦公式得到1sin sin 2A C =
，再由 212
b a
c =，利用正弦定理求解. 【详解】 （1）由余弦定理得222
12cos 2b a c ac B ac =+-=， 所以221324o 4
c s a c ac B +=-≥，当且仅当 a =c 时等号成立. （2）因为cos()cos 1A C B -+=，
所以()cos()cos 1A C A C --+=，
()cos cos sin sin cos cos sin sin 1A C A C A C A C +--=， 所以1sin sin 2A C =
， 又因为212
b a
c =， 所以()221(2sin )2sin sin 2
R B R A C =，
所以21(sin )4B =
， 所以1sin 2
B =±， 由（1）知B 为锐角， 所以6B π
=.
【点睛】
方法点睛：在解有关三角形的题目时，要有意识地考虑用哪个定理更适合，或是两个定理都要用，要抓住能够利用某个定理的信息，一般地，如果式子中含有角的余弦或边的二次式，要考虑用余弦定理；如果遇到的式子中含有角的正弦或边的一次式时，则考虑用正弦定理；以上特征都不明显时，则要考虑两个定理都有可能用到．。