石龙区第四高级中学2018-2019学年高二上学期第二次月考试卷数学

石龙区第四高级中学2018-2019学年高二上学期第二次月考试卷数学
班级__________ 姓名__________ 分数__________
一、选择题
1． 已知数列{}n a 为等差数列，n S 为前项和，公差为d ，若201717
100201717
S S -=，则d 的值为（ ） A ．
120 B ．110
C ．10
D ．20 2． i 是虚数单位，i 2015等于（ ）
A ．1
B ．﹣1
C ．i
D ．﹣i
3． 如图，棱长为的正方体1111D ABC A B C D -中，,E F 是侧面对角线11,BC AD 上一点，若 1BED F 是菱形，则其在底面ABCD 上投影的四边形面积（ ）
A ．
12 B ．34 C. 2
D ．34-
4． 在△ABC 中，a ，b ，c 分别是角A ，B ，C 的对边，a=5，b=4，cosC=，则△ABC 的面积是（ ） A ．16
B ．6
C ．4
D ．8
5． 一个空间几何体的三视图如图所示，其中正视图为等腰直角三角形，侧视图与俯视图为正方形， 则该几何体的体积为（ ）
A ．64
B ．32
C ．
643 D ．32
3
6． 如图，已知双曲线
﹣
=1（a ＞0，b ＞0）的左右焦点分别为F 1，F 2，|F 1F 2|=4，P 是双曲线右支上一点，
直线PF 2交y 轴于点A ，△AF 1P 的内切圆切边PF 1于点Q ，若|PQ|=1，则双曲线的渐近线方程为（ ）
A ．y=±x
B ．y=±3x
C ．y=±x
D ．y=±x
7． 已知x ∈R ，命题“若x 2＞0，则x ＞0”的逆命题、否命题和逆否命题中，正确命题的个数是（ ） A ．0
B ．1
C ．2
D ．3
8． 已知双曲线﹣
=1的右焦点与抛物线y 2=12x 的焦点重合，则该双曲线的焦点到其渐近线的距离等于
（ ）
A ．
B ．
C ．3
D ．5
9． 已知函数f （x ）满足：x ≥4，则f （x ）=；当x ＜4时f （x ）=f （x+1），则f （2+log 23）=（ ）
A ．
B ．
C ．
D ．
10．已知f （x ）是定义在R 上周期为2的奇函数，当x ∈（0，1）时，f （x ）=3x ﹣1，则f （log 35）=（ ）
A ．
B ．﹣
C ．4
D ．
11．圆C 1：（x+2）2+（y ﹣2）2=1与圆C 2：（x ﹣2）2+（y ﹣5）2=16的位置关系是（ ） A ．外离 B ．相交 C ．内切 D ．外切
12．《算数书》竹简于上世纪八十年代在湖北省江陵县张家山出土，这是我国现存最早的有系统的数学典籍，其中记载有求“囷盖”的术：置如其周，令相乘也，又以高乘之，三十六成一，该术相当于给出了由圆锥的底面
周长L 与高h ，计算其体积V 的近似公式V ≈L 2h ，它实际上是将圆锥体积公式中的圆周率π近似取为3，
那么，近似公式V ≈L 2h 相当于将圆锥体积公式中的π近似取为（ ）
A ．
B ．
C ．
D ．
二、填空题
13．记等比数列{a n }的前n 项积为Πn ，若a 4•a 5=2，则Π8= ． 14．要使关于x 的不等式2
064x ax ≤++≤恰好只有一个解，则a =_________. 【命题意图】本题考查一元二次不等式等基础知识，意在考查运算求解能力. 15．已知集合{}|03,A x x x R =<∈≤，{}|12,B x x x R =-∈≤≤，则A ∪B ＝ ▲ ．
16．下列命题：
①集合{},,,a b c d 的子集个数有16个； ②定义在R 上的奇函数()f x 必满足(0)0f =；
③2()(21)2(21)f x x x =+--既不是奇函数又不是偶函数； ④A R =，B R =，1
:||
f x x →，从集合A 到集合B 的对应关系f 是映射； ⑤1
()f x x
=
在定义域上是减函数． 其中真命题的序号是 ．
17．已知f （x ）=，则f （﹣）+f （）等于 ．
18．已知函数f （x ）=，g （x ）=lnx ，则函数y=f （x ）﹣g （x ）的零点个数为 ．
三、解答题
19．（本小题满分13分） 已知函数32()31f x ax x =-+， （Ⅰ）讨论()f x 的单调性；
（Ⅱ）证明：当2a <-时，()f x 有唯一的零点0x ，且01(0,)2
x ∈．
20．已知函数x
x x f --
-=713)(的定义域为集合A ，{x |210}B x =<<，{x |21}C a x a =<<+
（1）求A B ，B A C R ⋂)(；
（2）若B C B =，求实数a 的取值范围.
21．已知函数上为增函数，且
θ∈（0，π），，m∈R．
（1）求θ的值；
（2）当m=0时，求函数f（x）的单调区间和极值；
（3）若在上至少存在一个x0，使得f（x0）＞g（x0）成立，求m的取值范围．
22．若函数f（x）=sinωxcosωx+sin2ωx﹣（ω＞0）的图象与直线y=m（m为常数）相切，并且切点的横
坐标依次构成公差为π的等差数列．
（Ⅰ）求ω及m的值；
（Ⅱ）求函数y=f（x）在x∈[0，2π]上所有零点的和．
23．一个几何体的三视图如图所示，已知正（主）视图是底边长为1的平行四边形，侧（左）视图
1的矩形，俯视图为两个边长为1的正方形拼成的矩形．
（1）求该几何体的体积V；111]
（2）求该几何体的表面积S．
24．提高过江大桥的车辆通行能力可改善整个城市的交通状况，在一般情况下，大桥上的车流速度v（单位：千米/小时）是车流密度x（单位：辆/千米）的函数，当桥上的车流密度达到200辆/千米时，造成堵塞，此时车流速度为0；当车流密度不超过20辆/千米时，车流速度为60千米/小时，研究表明：当20≤x≤200时，车流速度v是车流密度x的一次函数．
（Ⅰ）当0≤x≤200时，求函数v（x）的表达式；
（Ⅱ）当车流密度x为多大时，车流量（单位时间内通过桥上某观测点的车辆数，单位：辆/小时）f（x）=x•v （x）可以达到最大，并求出最大值．（精确到1辆/小时）．
石龙区第四高级中学2018-2019学年高二上学期第二次月考试卷数学（参考答案） 一、选择题
1． 【答案】B 【解析】
试题分析：若{}n a 为等差数列，
()
()111212n
n n na S d a n n
n -+
==+-⨯，则n S n ⎧⎫⎨⎬⎩⎭
为等差数列公差为2d ,
2017171
100,2000100,201717210
S S d d ∴
-=⨯==,故选B. 考点：1、等差数列的通项公式；2、等差数列的前项和公式. 2． 【答案】D
【解析】解：i 2015=i 503×4+3=i 3
=﹣i ，
故选：D
【点评】本题主要考查复数的基本运算，比较基础．
3． 【答案】B 【解析】
试题分析：在棱长为的正方体1111D ABC A B C D -
中，11BC AD ==AF x =
x
解得x =
，即菱形1BED F
=
，则1BED F 在底面ABCD 上的投影四边形是底边为34，高为的平行四边形，其面积为3
4
，故选B. 考点：平面图形的投影及其作法. 4． 【答案】D
【解析】解：∵a=5，b=4，
cosC=，可得：
sinC=
=，
∴S △ABC
=
absinC==8．
故选：D ．
5． 【答案】B 【解析】
试题分析：由题意可知三视图复原的几何体是一个放倒的三棱柱，三棱柱的底面是直角边长为的等腰直角三角形，高为的三棱柱, 所以几何体的体积为:
1
444322
⨯⨯⨯=，故选B.
考点：1、几何体的三视图；2、棱柱的体积公式.
【方法点睛】本题主要考查利几何体的三视图、棱柱的体积公式，属于难题.三视图问题是考查学生空间想象能力及抽象思维能力的最常见题型，也是高考热点.观察三视图并将其“翻译”成直观图是解题的关键，解题时不但要注意三视图的三要素“高平齐，长对正，宽相等”，还要特别注意实线与虚线以及相同图形的不同位置对几何体直观图的影响.
6．【答案】D
【解析】解：设内切圆与AP切于点M，与AF1切于点N，
|PF1|=m，|QF1|=n，
由双曲线的定义可得|PF1|﹣|PF2|=2a，即有m﹣（n﹣1）=2a，①
由切线的性质可得|AM|=|AN|，|NF1|=|QF1|=n，|MP|=|PQ|=1，
|MF2|=|NF1|=n，
即有m﹣1=n，②
由①②解得a=1，
由|F1F2|=4，则c=2，
b==，
由双曲线﹣=1的渐近线方程为y=±x，
即有渐近线方程为y=x．
故选D．
【点评】本题考查双曲线的方程和性质，考查切线的性质，运用对称性和双曲线的定义是解题的关键．
7．【答案】C
【解析】解：命题“若x2＞0，则x＞0”的逆命题是“若x＞0，则x2＞0”，是真命题；
否命题是“若x2≤0，则x≤0”，是真命题；
逆否命题是“若x≤0，则x2≤0”，是假命题；
综上，以上3个命题中真命题的个数是2．
故选：C
8．【答案】A
【解析】解：抛物线y2=12x的焦点坐标为（3，0）
∵双曲线的右焦点与抛物线y2=12x的焦点重合
∴4+b2=9
∴b2=5
∴双曲线的一条渐近线方程为，即
∴双曲线的焦点到其渐近线的距离等于
故选A．
【点评】本题考查抛物线的性质，考查时却显得性质，确定双曲线的渐近线方程是关键．
9．【答案】A
【解析】解：∵3＜2+log23＜4，所以f（2+log23）=f（3+log23）
且3+log23＞4
∴f（2+log23）=f（3+log23）
=
故选A．
10．【答案】B
【解析】解：∵f（x）是定义在R上周期为2的奇函数，
∴f（log35）=f（log35﹣2）=f（log3），
∵x∈（0，1）时，f（x）=3x﹣1
∴f（log3）═﹣
故选：B
11．【答案】D
【解析】解：由圆C1：（x+2）2+（y﹣2）2=1与圆C2：（x﹣2）2+（y﹣5）2=16得：
圆C1：圆心坐标为（﹣2，2），半径r=1；圆C2：圆心坐标为（2，5），半径R=4．
两个圆心之间的距离d==5，而d=R+r，所以两圆的位置关系是外切．
故选D
12．【答案】B
【解析】解：设圆锥底面圆的半径为r ，高为h ，则L=2πr ，
∴=
（2πr ）2
h ，
∴π=
．
故选：B ．
二、填空题
13．【答案】 16 ．
【解析】解：∵等比数列{a n }的前n 项积为Πn ，
∴Π8=a 1•a 2a 3•a 4•a 5a 6•a 7•a 8=（a 4•a 5）4=24
=16．
故答案为：16．
【点评】本题主要考查等比数列的计算，利用等比数列的性质是解决本题的关键．
14．【答案】±.
【解析】分析题意得，问题等价于264x ax ++≤只有一解，即2
20x ax ++≤只有一解，
∴2
80a a ∆=-=⇒=±，故填：±. 15．【答案】1－1，3] 【解析】
试题分析：A ∪B ＝{}{}|03,|12,x x x R x x x R <∈-∈≤≤≤＝1－1，3]
考点：集合运算 【方法点睛】
1.用描述法表示集合，首先要弄清集合中代表元素的含义，再看元素的限制条件，明确集合类型，是数集、点集还是其他的集合．
2.求集合的交、并、补时，一般先化简集合，再由交、并、补的定义求解．
3.在进行集合的运算时要尽可能地借助Venn 图和数轴使抽象问题直观化．一般地，集合元素离散时用Venn 图表示；集合元素连续时用数轴表示，用数轴表示时要注意端点值的取舍． 16．【答案】①② 【解析】
试题分析：子集的个数是2n
，故①正确.根据奇函数的定义知②正确.对于③()2
41f x x =-为偶函数，故错误.
对于④0x =没有对应，故不是映射.对于⑤减区间要分成两段，故错误. 考点：子集，函数的奇偶性与单调性．
【思路点晴】集合子集的个数由集合的元素个数来决定，一个个元素的集合，它的子集的个数是2n
个；对于
奇函数来说，如果在0x =处有定义，那么一定有()00f =，偶函数没有这个性质；函数的奇偶性判断主要根据定义()()()(),f x f x f x f x -=-=-，注意判断定义域是否关于原点对称.映射必须集合A 中任意一个
元素在集合B 中都有唯一确定的数和它对应；函数的定义域和单调区间要区分清楚，不要随意写并集.1 17．【答案】 4 ．
【解析】解：由分段函数可知f （）=2×=．
f （﹣）=f （﹣+1）=f （﹣）=f （﹣）=f （）=2×=，
∴f （）+f （﹣）=+
．
故答案为：4．
18．【答案】 3
【解析】解：令g （x ）=f （x ）﹣log 4x=0得f （x ）=log 4x
∴函数g （x ）=f （x ）﹣log 4x 的零点个数即为函数f （x ）与函数y=log 4x 的图象的交点个数， 在同一坐标系中画出函数f （x ）与函数y=log 4x 的图象，如图所示， 有图象知函数y=f （x ）﹣log 4 x 上有3个零点． 故答案为：3个．
【点评】此题是中档题．考查函数零点与函数图象交点之间的关系，体现了转化的思想和数形结合的思想，体现学生灵活应用图象解决问题的能力．
三、解答题
19．【答案】（本小题满分13分）
解：（Ⅰ）2()363(2)f x ax x x ax '=-=-， （1分）
①当0a >时，解()0f x '>得2x a >
或0x <，解()0f x '<得20x a <<， ∴()f x 的递增区间为(,0)-∞和2(,)a
+∞，()f x 的递减区间为2
(0,)a ． （4分）
②当0a =时，()f x 的递增区间为(,0)-∞，递减区间为(0,)+∞． （5分）
③当0a <时，解()0f x '>得20x a
<<，解()0f x '<得0x >或2
x a <
∴()f x 的递增区间为2(,0)a ，()f x 的递减区间为2
(,)a
-∞和(0,)+∞． （7分）
（Ⅱ）当2a <-时，由（Ⅰ）知2(,)a -∞上递减，在2
(,0)a
上递增，在(0,)+∞上递减．
∵2
2
240a f a a -⎛⎫=> ⎪⎝⎭
，∴()f x 在(,0)-∞没有零点． （9分） ∵()010f =>，11
(2)028
f a ⎛⎫=+< ⎪⎝⎭，()f x 在(0,)+∞上递减，
∴在(0,)+∞上，存在唯一的0x ，使得()00f x =．且01
(0,)2x ∈ （12分）
综上所述，当2a <-时，()f x 有唯一的零点0x ，且01
(0,)2
x ∈． （13分）
20．【答案】（1）{}210A B x =<<U ，(){}
2310R C A B x x x =<<≤<I 或7；（2）1a ≤-或9
22
a ≤≤。

【解析】
试题分析：（1）由题可知：30
70
x x -≥⎧⎨
->⎩，所以37x ≤<，因此集合{}37A x x =≤<，画数轴表示出集合A ，
集合B ，观察图形可求，{}210A B x =<<U ，观察数轴，可以求出{}
37R C A x x x =<≥或，则
(){}2310R C A B x x x =<<≤<I
或7；（2）由B C B =U 可得：C B ⊆，分类讨论，当B φ=时，
21a a ≥+，解得：1a ≤-，当B φ≠时，若C B ⊆，则应满足21
22110a a a a <+⎧⎪
≥⎨⎪+≤⎩，即1292
a a a ⎧
⎪>-⎪≥⎨⎪⎪≤
⎩，所以922a ≤≤，因此满足
B C B =U 的实数a 的取值范围是：1a ≤-或9
22
a ≤≤。

试题解析：（1）：由3070
x x -≥⎧⎨
->⎩得：
37x ≤<
A={x|3x<7}≤
A B {x |2x 10}=<<， B A C R ⋂)(={x|2<x<3x<10}
≤或7
（2）当B=φ时，21,a -1a a ≥+≤
当B φ≠时，21
22110
a a a a <+⎧⎪
≥⎨⎪+≤⎩
，922a ≤≤
即-1a ≤或922
a ≤≤。

考点：1.函数的定义域；2.集合的运算；3.集合间的关系。

21．【答案】
【解析】解：（1）∵
函数上为
增函数， ∴g ′（x ）=
﹣
+
≥0在，mx
﹣
≤0，﹣2lnx
﹣
＜0，
∴在上不存在一个x 0，使得f （x 0）＞g （x 0）成立． ②当m ＞0时，F ′（x ）
=m+
﹣
=，
∵x ∈，∴2e ﹣2x ≥0，mx 2
+m ＞0，
∴F ′（x ）＞0在恒成立． 故F （x ）在上单调递增， F （x ） max=F （e ）=me
﹣﹣4，
只要me
﹣
﹣4＞0，解得m
＞
．
故m
的取值范围是（
，+∞）
【点评】本题考查利用导数求闭区间上函数的最值，考查运算求解能力，推理论证能力；考查化归与转化思想．对数学思维的要求比较高，有一定的探索性．综合性强，难度大，是高考的重点．解题时要认真审题，仔细解答．
22．【答案】
【解析】解：（Ⅰ）∵f （x ）=sin ωxcos ω
x+
sin 2ωx
﹣
=ωx+（1﹣cos2ωx ）﹣=2ωx ﹣2ωx=sin （2ωx ﹣），
依题意得函数f （x ）的周期为π且ω＞0，
∴2ω=
，
∴ω=1，则m=±1；
（Ⅱ）由（Ⅰ）知f （x ）=sin （2ωx ﹣），∴
，
∴
．
又∵x ∈[0，2π]，
∴
．
∴y=f （x ）在x ∈[0，2π]上所有零点的和为
．
【点评】本题主要考查三角函数两倍角公式、辅助角公式、等差数列公差、等差数列求和方法、函数零点基础知识，考查运算求解能力、推理论证能力，考查函数与方程思想、数形结合思想、化归转化思想，是中档题．
23．【答案】（12）6+． 【解析】
（2）由三视图可知，
该平行六面体中1A D ⊥平面ABCD ，CD ⊥平面11BCC B ， ∴12AA =，侧面11ABB A ，11CDD
C 均为矩形，
2(11112)6S =⨯++⨯=+ 1
考点：几何体的三视图；几何体的表面积与体积．
【方法点晴】本题主要考查了空间几何体的三视图、解题的表面积与体积的计算，其中解答中涉及到几何体的表面积和体积公式的应用，着重考查了推理和运算能力及空间想象能力，属于中档试题，解答此类问题的关键是根据三视图的规则“长对正、宽相等、高平齐”的原则，还原出原几何体的形状是解答的关键．24．【答案】
【解析】解：（Ⅰ）由题意：当0≤x≤20时，v（x）=60；当20＜x≤200时，设v（x）=ax+b
再由已知得，解得
故函数v（x）的表达式为．
（Ⅱ）依题并由（Ⅰ）可得
当0≤x＜20时，f（x）为增函数，故当x=20时，其最大值为60×20=1200
当20≤x≤200时，
当且仅当x=200﹣x，即x=100时，等号成立．
所以，当x=100时，f（x）在区间（20，200]上取得最大值．
综上所述，当x=100时，f（x）在区间[0，200]上取得最大值为，
即当车流密度为100辆/千米时，车流量可以达到最大值，最大值约为3333辆/小时．
答：（Ⅰ）函数v（x）的表达式
（Ⅱ）当车流密度为100辆/千米时，车流量可以达到最大值，最大值约为3333辆/小时．。