圆与圆锥曲线的邂逅——基于两道教材习题的探究与拓展

教材点击２０２３年７月上半月
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圆与圆锥曲线的邂逅
基于两道教材习题的探究与拓展
◉江苏省苏州市张家港市张家港高级中学㊀蔡怡欢
㊀㊀摘要:基于涉及动圆与两定圆相切背景的轨迹问题的两道教材习题,追根溯源,通过问题的反思,归纳出两定圆不同位置条件下不同相切类型的动圆圆心的轨迹变化,类比拓展并总结规律,归纳出一些优美结论,由此拓展学生思维,同时提升数学能力．
关键词:圆;椭圆;双曲线;圆锥曲线;轨迹
㊀㊀苏联数学教育家奥加涅相说过: 必须重视很多
习题潜在着进一步扩展其数学功能㊁发展功能和教育
功能的可行性． 特别是中学数学教材中的一些典型
例(习)题,往往凝聚了几代专家㊁学者的集体智慧和
成果结晶,以及经历了课堂教学的洗涤,经常也是高
考命题的 题源 所在,具有典型性㊁代表性㊁示范性㊁
迁移性㊁应用性与创新性等,隐藏着深远的背景,具有
丰富的内涵与意想不到的功能．
１源于教材
例题１㊀(人教版数学选择性必修第一册第１１５
页习题３．１第１０题)一动圆与圆x２＋y２＋６x＋５＝０
外切,同时与圆x２＋y２－６x－９１＝０内切,求动圆圆
心的轨迹方程,并说明它是什么曲线．
解析:由题中两个圆的方程配方可得(x＋３)２＋
y２＝４,(x－３)２＋y２＝１００,则两圆的圆心分别为
C１(－３,０),C２(３,０),半径分别为r１＝２,r２＝１０．
设动圆圆心为点M,依题可得|M C１|＋|M C２|＝
r１＋r２＝１２．
根据椭圆的定义可知,动圆圆心M的轨迹是以
C１(－３,０),C２(３,０)为焦点,长轴长为２a＝１２的椭
圆,其对应的标准方程为
x２
３６＋
y２
２７＝１．
例题２㊀[人教版数学选择性必修第一册第１４５
页复习参考题３第２题(２)]与圆x２＋y２＝１及圆
x２＋y２－８x＋１２＝０都外切的圆的圆心在(㊀㊀)．
A．椭圆上㊀㊀㊀㊀B．双曲线的一支上
C．抛物线上㊀㊀㊀D．圆上
解析:由x２＋y２－８x＋１２＝０,可得(x－４)２＋
y２＝４,则两圆的圆心分别为C１(０,０),C２(４,０),半径
分别为r１＝１,r２＝２．
设动圆圆心为点M,依题可得|M C２|－|M C１|＝
r２－r１＝１．
根据双曲线的定义可知,动圆圆心M的轨迹是
以C１(０,０),C２(４,０)为焦点,实轴长为２a＝１的双曲
线的左支．故选择答案:B．
反思:以上教材中的两道习题给出了两定圆的背
景条件,结合动圆与两定圆(两定圆内含)一内切一外
切,或与两定圆(两定圆相离)均外切,探求动圆圆心
的轨迹．那么随着两定圆位置关系的改变,以及动圆与
定圆相切方式的变化,动圆圆心轨迹又会发生怎样的
变化呢?是否具有一定的规律可循?
２类比拓展
变换两定圆(两圆心不重合)位置关系(内含㊁外
离㊁相交等)的背景条件,结合圆与圆的相切建立对应
的关系式并加以分析与转化,借助圆锥曲线的定义进
而更深层次地探求动圆圆心轨迹的变化情况,并合理
进行归纳㊁推广与总结．
２．１两定圆内含 椭圆
结论１㊀设两定圆C１,C２(两圆心不重合)的半径
分别为r１,r２(其中r１＜r２)且两圆内含,动圆M与两
定圆C１,C２都相切．
(１)若动圆M与定圆C１外切,与定圆C２内切,
则动圆圆心M的轨迹是以C１,C２为焦点,长轴长为
２a＝r１＋r２的椭圆．(此时就是例题１的一般性结论．)
(２)若动圆M与定圆C１,C２都内切,则动圆圆心
M的轨迹是以C１,C２为焦点,长轴长为２a＝r２－r１
的椭圆．
２．２两定圆外离 双曲线
结论２㊀设两定圆C１,C２(两圆心不重合)的半径
分别为r１,r２(其中r１＜r２)且两圆外离,动圆M与两
定圆C１,C２都相切．
(１)若动圆M与定圆C１,C２都外切,则动圆圆心
M的轨迹是以C１,C２为焦点,实轴长为２a＝r２－r１
的双曲线的一支(靠近点C１的一支)．(此时就是例题６
１
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２的一般性结论．)
(２)若动圆M与定圆C１,C２都内切,则动圆圆心M的轨迹是以C１,C２为焦点,实轴长为２a＝r２－r１的双曲线的一支(靠近点C２的一支)．
(３)若动圆M与定圆C１外切,与定圆C２内切,则动圆圆心M的轨迹是以C１,C２为焦点,实轴长为２a＝r１＋r２的双曲线的一支(靠近点C２的一支);
若动圆M与定圆C２外切,与定圆C１内切,则动圆圆心M的轨迹是以C１,C２为焦点,实轴长为２a＝r１＋r２的双曲线的一支(靠近点C１的一支)．２．３两定圆相交 椭圆或双曲线
结论３㊀设两定圆C１,C２(两圆心不重合)的半径分别为r１,r２(其中r１＜r２)且两圆相交,动圆M与两定圆C１,C２都相切．
(１)若动圆M与定圆C１外切,与定圆C２内切,则动圆圆心M的轨迹是以C１,C２为焦点,长轴长为２a＝r１＋r２的椭圆的一部分(靠近点C２的部分);
若动圆M与定圆C１内切,与定圆C２外切,则动圆圆心M的轨迹是以C１,C２为焦点,长轴长为２a＝r１＋r２的椭圆的另一部分(靠近点C１的部分)．(２)若动圆M与定圆C１,C２都外切,则动圆圆心M的轨迹是以C１,C２为焦点,实轴长为２a＝r２－r１的双曲线的一支在两圆外的部分(靠近点C１的一支)．
(３)若动圆M在两圆公共部分内与定圆C１,C２都内切,则动圆圆心M的轨迹是以C１,C２为焦点,实轴长为２a＝r２－r１的双曲线的一支在两圆公共部分内的一部分(靠近点C１的一支);
若动圆M在两圆公共部分外与定圆C１,C２都内切,则动圆圆心M的轨迹是以C１,C２为焦点,实轴长为２a＝r２－r１的双曲线的一支(靠近点C２的一支)．３试题链接
例１㊀与圆x２＋y２＝１和圆x２＋y２－８x＋７＝０都相切的圆的圆心轨迹是(㊀㊀)．
A．椭圆
B．椭圆和双曲线的一支
C．双曲线和一条直线(去掉几个点)
D．双曲线的一支和一条直线(去掉几个点)
解析:由x２＋y２－８x＋７＝０,可得(x－４)２＋y２＝９,画出圆O:x２＋y２＝１和圆C:x２＋y２－８x＋７＝０的图形．设动圆圆心为M,半径为r．
当动圆M与两圆外切时,可知|M C|＝r＋３, |M O|＝r＋１,则|M C|－|M O|＝２＜４,所以点M的轨迹为以O,C为焦点的双曲线的左支;
当动圆M与两圆内切时,可知|M C|＝r－３, |M O|＝r－１,则|M O|－|M C|＝２＜４,所以点M的轨迹为以O,C为焦点的双曲线的右支;
当动圆与两圆其中一个内切一个外切时,M的轨迹为直线y＝０除掉线段O C上的点．
故选:C．
例２㊀已知双曲线C:x２a２－y２b２＝１(a＞０,b＞０)的左㊁右焦点分别是F１(－c,０),F２(c,０),P是双曲线C 左支上一点,满足øF１P F２＝６０ʎ,若以点P为圆心,r 为半径的圆与圆F１:(x＋c)２＋y２＝９a２内切,与圆F２:(x－c)２＋y２＝a２外切,其中０＜r＜３a,则双曲线C的离心率为(㊀㊀)．
A．２㊀㊀㊀B．３２㊀㊀㊀C．７２㊀㊀㊀D．１５２
解析:由题意可得圆F１的半径为３a,圆F２半径为a．
由圆P与圆F１内切,得|P F１|＝３a－r,圆P与圆F２外切,得|P F２|＝a＋r,则|P F１|＋|P F２|＝４a．由双曲线的定义及点P在双曲线的左支上,可得|P F２|－|P F１|＝２a,所以|P F２|＝３a,|P F１|＝a．在әP F１F２中,由øF１P F２＝６０ʎ,结合余弦定理得c o søF１P F２＝|P F１|２＋|P F２|２－|F１F２|２
２|P F１||P F２|＝a２＋９a２－４c２
２ˑaˑ３a＝
５a２－２c２
３a２＝
１
２,可得４c２＝７a２．所以离心率e＝
c
a＝
７
２．故选:C．
４教学启示
４．１回归教材,精研典例
随着新高考改革的不断深入与推进,高中数学教材中的典型例(习)题越来越受到大众的关注与重视．事实证明,新高考命题越来越强调高中数学教材的利用,很多题目背景源于课本的例(习)题,很多解法源于课本例习题的解题方法,同时又高于课本．课堂教学与复习备考都应围绕高中数学教材来进行,精心选取典型例(习)题,合理研究,深入拓展,总结规律．４．２以本为本,提升能力
高中数学教材中的例(习)题是数学知识在背景㊁思想㊁方法㊁技巧与策略等方面的体现与展示．在平时课堂教学与学习中,要充分以高中数学教材为蓝本与典范,以本为本,吃准吃透,正确构建起高中数学相关知识的网络体系与知识框架,不断挖掘数学知识的本源,渗透数学的相关思想方法和核心素养,让平时的数学教学与数学学习真正为高考提供有效的动力与能力支持,全面提升能力．Z
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