2001年甘肃省高考理科数学真题

2001年甘肃高考理科数学真题及答案
本试卷分第I 卷(选择题)和第II 卷(非选择题)两部分。

第I 卷1至2页。

第II 卷3至9页。

共150分。

考试时间120分钟。

第I 卷(选择题60分)注意事项：
1.答第I 卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号、考试科目用铅笔涂写在答题卡上。

2.每小题选出答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案，不能答在试题卷上。

3.考试结束，监考人将本试卷和答题卡一并收回。

参考公式：
三角函数的积化和差公式
()()[]βαβαβα-++=
sin sin 21
cos sin ()()[]
βαβαβα--+=sin sin 21
sin cos ()()[]
βαβαβα-++=cos cos 21
cos cos ()()[]
βαβαβα--+-=cos cos 21
sin sin 正棱台、圆台的侧面积公式
()l c c S +'=
2
1
台侧其中c '、c 分别表示上、下底面周长，l 表示斜高或母线长
台体的体积公式
()
h S S S S V +'+'=
3
1
台体其中S '、S 分别表示上、下底面积，h 表示高一、选择题：本大题共12小题；第每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

(
)(1)若0cos sin >θθ，则θ在______。

(A)第一、二象限(B)第一、三象限(C)第一、四象限
(D)第二、四象限
(
)(2)过点()()1,11,1--B A 、且圆心在直线02=-+y x 上的圆的方程是______。

(A)()()4
132
2
=++-y x (B)()()4
132
2
=-++y x (C)()()4
112
2
=-+-y x (D)()()4
112
2
=+++y x (
)(3)设{}n a 是递增等差数列，前三项的和为12，前三项的积为48，则它的首项是______。

(A)1
(B)2
(C)4
(D)6
(
)(4)若定义在区间()01，-内的函数()()1log 2+=x x f a 满足0)(>x f ，则a 的取值范围是______。

(A)(0，
2
1)(B)(0，
2
1](C)(
2
1
，+∞)(D)(0，+∞)
(
)(5)极坐标方程)4
sin(2π
θρ+
=的图形是______。

o
(A)
(B)
(C)
(D)
(
)(6)函数)0(1cos ≤≤-+=x x y π的反函数是______。

(A))20)(1arccos(≤≤--=x x y (B))20)(1arccos(≤≤--=x x y π(C))
20)(1arccos(≤≤-=x x y (D))
20)(1arccos(≤≤-+=x x y π(
)(7)若椭圆经过原点，且焦点为)0,3(),0,1(21F F ，则其离心率为______。

(A)
4
3(B)
3
2(C)
2
1(D)
4
1(
)(8)若4
0π
βα<
<<，a =+ααcos sin ，b =+ββcos sin ，则______。

(A)b
a <(B)
b a >(C)1<ab (D)2
>ab (
)(9)在正三棱柱111C B A ABC -中，若12BB AB =
，则1AB 与B C 1所成的角的大小为______。

(A)60°
(B)90°
(C)105°
(D)75°
(
)(10)设)()(x g x f 、都是单调函数，有如下四个命题：
1若)(x f 单调递增，)(x g 单调递增，则)()(x g x f -单调递增；2若)(x f 单调递增，)(x g 单调递减，则)()(x g x f -单调递增；3若)(x f 单调递减，)(x g 单调递增，则)()(x g x f -单调递减；4若)(x f 单调递减，)(x g 单调递减，则)()(x g x f -单调递减；
其中，正确的命题是______。

(A)13(B)14(C)23(D)24
()(11)一间民房的屋顶有如图三种不同的盖法：①单向倾斜；②双向倾斜；③四向倾斜。

记三种盖法屋顶面积分别为321P P P 、、。

① ② ③
若屋顶斜面与水平面所成的角都是α，则______。

(A)123P P P >>(B)123P P P =>(C)1
23P P P >=(D)1
23P P P ==(
)(12)如图，小圆圈表示网络的结点，结点之间的连线表示它们有网线相联。

连线标注的数字表示该段
网线单位时间内可以通过的最大信息量。

现从结点A 向结点B 传递信息，信息可以分开沿不同的路线同时传递。

则单位时间内传递的最大信息量为______。

(A)26(B)24
(C)20
(D)19
第II 卷(非选择题
90分)
注意事项：
1.第II 卷共7页，用钢笔或圆珠笔直接答在试题卷中。

2.答卷前将密封线内的项目填写清楚。

二.填空题：本大题共4小题；每小题4分，共16分，把答案填在题中横线上。

(13)若一个椭圆的轴截面是等边三角形，其面积为3，则这个椭圆的侧面积是______。

(14)双曲线116
92
2=-y x 的两个焦点为21F F 、，点P 在双曲线上.若1PF ⊥2PF ，则点P 到x 轴的距
离为______。

(15)设{}n a 是公比为q 的等比数列，n S 是它的前n 项和。

若{}n S 是等差数列，则=q ______。

(16)圆周上有2n 个等分点(1>n )，以其中三个点为顶点的直角三角形的个数为______。

三、解答题：本大题共6小题；共74分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

(17)(本小题满分12分)
如图，在底面是直角梯形的四棱锥ABCD S -中，∠90=ABC °，SA ⊥面ABCD ，
1===BC AB SA ，2
1=
AD 。

(Ⅰ)求四棱锥ABCD S -的体积；
(Ⅱ)求面SCD 与面SBA 所成的二面角的正切值。

(18)(本小题满分12分)已知复数3
1)1(i i z -=。

(Ⅰ)求1arg z 及1z ；
(Ⅱ)当复数z 满足1=z ，求1z z -的最大值。

(19)(本小题满分12分)
设抛物线)0(22
>=p px y 的焦点为F ，经过点F 的直线交抛物线于B A 、两点.点C 在抛物线的准线上，且BC ∥x 轴。

证明直线AC 经过原点O 。

(20)(本小题满分12分)
已知n m i ,,是正整数，且n m i <≤<1。

(Ⅰ)证明i
n i
i
m i
P m P n <；(Ⅱ)证明m
n
n m )1()1(+>+。

(21)(本小题满分12分)
从社会效益和经济效益出发，某地投入资金进行生态环境建设，并以此发展旅游产业.根据规划，本年
度投入800万元，以后每年投入将比上年减少
5
1
.本年度当地旅游业收入估计为400万元，由于该项建设对旅游业的促进作用，预计今后的旅游业收入每年会比上年增加4
1。

(Ⅰ)设n 年内(本年度为第一年)总投入为n a 万元，旅游业总收入为n b 万元.写出n n b a ,的表达式；(Ⅱ)至少经过几年旅游业的总收入才能超过总投入?
(22)(本小题满分14分)
设)(x f 是定义在R 上的偶函数，其图象关于直线1=x 对称，对任意]2
1,0[,21∈x x ，都有
)()()(2121x f x f x x f ∙=+，且0)1(>=a f 。

(Ⅰ)求)21(f 及)4
1(f ；(Ⅱ)证明)(x f 是周期函数；(Ⅲ)记)21
2(n
n f a n +
=，求)(ln lim n n a ∞→。

参考解答及评分标准
说明：
一.本解答指出了每题要考查的主要知识和能力，并给出了一种或几种解法供参考，如果考生物解法与本解答不同，可根据试题的主要考查内容比照评分标准制订相应的评分细则.
二.对计算题，当考生的解答在某一步出现错误时，如果后继部分的解答未改变该题的内容和难度，可视影响的程度决定部分的给分，但不得超过该部分正确解答得分数的一半；如果后继部分的解答有较严重的错误，就不再给分.
三.解答右端所注分数，表示考生正确做到这一步应得的累加分数.四.只给整数分数.选择题和填空题不给中间分.
一.选择题：本题考查基本知识和基本运算.每小题5分，满分60分。

(1)B.(2)C.(3)B.(4)A.(5)C (6)A.(7)C.(8)A.
(9)B.
(10)C
(11)D.
(12)D
二.填空题：本题考查基本知识和基本运算。

每小题4分，满分16分。

(13)2π
(14)
5
16(15)1(16)2n (n －1)
三.解答题：
(17)本小题考查线面关系和棱锥体积计算，以及空间想象能力和逻辑推理能力。

满分12分。

解：
(Ⅰ)直角梯形ABCD 的面积是M 底面()4
3125.0121
=⨯+=⋅+=
AB AD BC ，……2分∴四棱锥S —ABCD 的体积是
⨯⨯=
SA V 31
M 底面43131⨯⨯=4
1
=.……4分(Ⅱ)延长BA 、CD 相交于点E ，连结SE 则SE 是所求二面角的棱.……6分∵AD ∥BC ，BC =2AD ，∴EA =AB =SA ，∴SE ⊥SB ，
∵SA ⊥面ABCD ，得SEB ⊥面EBC ，EB 是交线，又BC ⊥EB ，∴BC ⊥面SEB ，故SB 是CS 在面SEB 上的射影，∴CS ⊥SE ，
所以∠BSC 是所求二面角的平面角.……10分∵22AB SA SB +=
2=，BC =1，BC ⊥SB ，
∴tan ∠BSC =
2
2
=SB BC .即所求二面角的正切值为
2
2
.……12分(18)本小题考查复数基本性质和基本运算，以及分析问题和解决问题的能力.满分12分.解：(Ⅰ)z 1=i (1－i )3=2－2i ，将z 1化为三角形式，得
⎪⎭
⎫
⎝
+=47sin
47cos 221ππi z ，∴4
7arg 1π
=
z ，221=z .……6分(Ⅱ)设z =cos α＋i sin α，则z －z 1=(cos α－2)＋(sin α＋2)i ，
()()
2
2
2
1
2sin 2cos ++-=-ααz z sin 249+=(4
π
α-
)，……9分当sin(4
πα-
)=1时，2
1z z -取得最大值249+.从而得到1z z -的最大值为122+.……12分
(19)本小题考查抛物线的概念和性质，直线的方程和性质，运算能力和逻辑推理能力.满分12分.
证明一：因为抛物线y 2=2px (p ＞0)的焦点为F (
2
p
，0)，所以经过点F 的直线的方程可设为2
p
my x +
=；……4分代入抛物线方程得y 2－2pmy －p 2=0，
若记A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则y 1，y 2是该方程的两个根，所以y 1y 2=－p 2.……8分
因为BC ∥x 轴，且点c 在准线x =－
2p 上，所以点c 的坐标为(－2
p
，y 2)，故直线CO 的斜率为
11
1222
x y y p p y k ==-=
.即k 也是直线OA 的斜率，所以直线AC 经过原点O .……12分
证明二：如图，记x 轴与抛物线准线l 的交点为E ，过A 作AD ⊥l ，D 是垂足.则
AD ∥FE ∥BC .……2分
连结AC ，与EF 相交于点N ，则
AB
BF AC CN AD EN =
=
，
，AB
AF BC
NF =……6分
根据抛物线的几何性质，AD AF =，
BC BF =，……8分
∴NF AB
BC AF AB
BF AD EN =⋅=
⋅=
，
即点N 是EF 的中点，与抛物线的顶点O 重合，所以直线AC 经过原点O .……12分(20)本小题考查排列、组合、二项式定理、不等式的基本知识和逻辑推理能力.满分12分.
(Ⅰ)证明：对于1＜i ≤m 有
i
m
p =m ·…·(m －i ＋1)，⋅
-⋅=m
m m m m p i i m 1
…m i m 1+-⋅，同理⋅-⋅=n n n n n
p i
i
n 1…n i n 1+-⋅，……4分由于m ＜n ，对整数k =1，2…，i －1，有
m
k
m n k n ->
-，
所以i
i m i i n m
p n p >，即i
m i i n i p n p m >.……6分(Ⅱ)证明由二项式定理有
()i
n n
i i n
C m m ∑==+01，()
i m m
i i m
C n n ∑==+01，……8分由(Ⅰ)知i
n i p m ＞i
m i p n (1＜i ≤m ＜n ＝，
而!i p C i m i
m
=，!
i p C i n i
n =，……10分
所以，i
m i i n i C n C m >(1＜i ≤m ＜n ＝.因此，
∑∑==>m
i i
m i m
i i n
i
C n C
m 2
2.又10
==m n C n C m ，mn nC mC m n ==1
1
，()n i m C m i
n i
≤<>0.
∴
∑∑==>m
i i
m i n
i i
n
i
C n C
m 0
.即(1＋m )n ＞(1＋n )m .……12分
(21)本小题主要考查建立函数关系式、数列求和、不等式等基础知识；考查综合运用数学知识解决实际问题的能力.满分12分.
解：(Ⅰ)第1年投入为800万元，第2年投入为800×(1－
51)万元，……，第n 年投入为800×(1－5
1
)n －1
万元.
所以，n 年内的总投入为a n =800＋800×(1－
51)＋…＋800×(1－5
1)n －
1∑=--⨯=n
k k 1
1
)51
1(800=4000×[1－(
5
4)n
]；……3分第1年旅游业收入为400万元，第2年旅游业收入为400×(1＋
4
1
)万元，……，第n 年旅游业收
入为400×(1＋
4
1)n －1
万元.所以，n 年内的旅游业总收入为b n =400＋400×(1＋
41)＋…＋400×(1＋4
1)n －
1∑=-⨯=n
k k 1
1
)45
(400=1600×[(
5
4)n
－1].……6分(Ⅱ)设至少经过n 年旅游业的总收入才能超过总投入，由此
b n －a n ＞0，
即1600×[(45)n －1]－4000×[1－(54
)n ]＞0.化简得5×(54)n ＋2×(54
)n －7＞0，……9分
设=x (5
4
)n ，代入上式得
5x 2－7x ＋2＞0，解此不等式，得
52
<
x ，x ＞1(舍去).即(54)n ＜52，
由此得
n ≥5.
答：至少经过5年旅游业的总收入才能超过总投入.……12分
(22)本小题主要考查函数的概念、图像，函数的奇偶性和周期性以及数列极限等基础知识；考查运算能力和逻辑思维能力.满分14分.
(Ⅰ)解：因为对x 1，x 2∈[0，
2
1
]，都有f (x 1＋x 2)=f (x 1)·f (x 2)，所以=)(x f f (2x )·f (2x
)≥0，x ∈[0，1].∵=)1(f f (2121+)=f (21)·f (21)=[f (2
1
)]2，
f (21)=f (4141+)=f (41)·f (41)=[f (41
)]2.……3分0)1(>=a f ，
11∴f (21)21a =，f (41)41
a =.……6分
(Ⅱ)证明：依题设y =f (x )关于直线x =1对称，
故f (x )=f (1＋1－x )，
即f (x )=f (2－x )，x ∈R.……8分
又由f (x )是偶函数知f (－x )=f (x )，x ∈R ，
∴f (－x )=f (2－x )，x ∈R ，
将上式中－x 以x 代换，得
f (x )=f (x ＋2)，x ∈R.
这表明f (x )是R 上的周期函数，且2是它的一个周期.……10分(Ⅲ)解：由(Ⅰ)知f (x )≥0，x ∈[0，1].
∵f (21)=f (n ·n 21)=f (n 21＋(n －1)·n 21
)
=f (n 21
)·f ((n －1)·n
21)
=f (n 21)·f (n 21)·…·f (n 21
)
=[f (n 21
)]n ，
f (21
)=21
a ，
∴f (n 21)=n a 21
.
∵f (x )的一个周期是2，
∴f (2n ＋n 21)=f (n 21
)，因此a n =n a 21
，……12分
∴()∞→∞→=n n n a lim ln lim (a n ln 21)=0.……14分。