【压轴卷】高中三年级数学下期中模拟试卷(附答案)(5)

【压轴卷】高中三年级数学下期中模拟试卷(附答案)(5)
一、选择题
1．已知x 、y 满足约束条件50
{03
x y x y x -+≥+≥≤，则24z x y =+的最小值是（ ）
A ．6-
B ．5
C ．10
D ．10-
2．等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，若36=2S =18S ，，则10
5
S S 等于( ) A ．－3
B ．5
C ．33
D ．－31
3．已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，点(,3)n n S +*()n N ∈在函数32x
y =⨯的图象上，等比数列{}n b 满足1n n n b b a ++=*
()n N ∈，其前n 项和为n T ，则下列结论正确的是（ ）
A ．2n n S T =
B ．21n n T b =+
C ．n n T a >
D ．1n n T b +<
4．ABC ∆中有：①若A B >，则sin sin A>B ；②若22sin A sin B =，则ABC ∆—定为等腰三角形；③若cos acosB b A c -=，则ABC ∆—定为直角三角形.以上结论中正确的个数有（ ） A ．0
B ．1
C ．2
D ．3
5．设x y ，满足约束条件70310,350x y x y x y +-⎧⎪
-+⎨⎪--⎩
，，………则2z x y =-的最大值为（ ）.
A ．10
B ．8
C ．3
D ．2
6．已知数列{a n }满足331log 1log ()n n a a n N +
++=∈且2469a a a ++=，则
15793
log ()a a a ++的值是( )
A ．－5
B ．－
15
C ．5
D ．
15
7．设x ，y 满足不等式组110750310x y x y x y +-≤⎧⎪
--≥⎨⎪--≤⎩
，若Z ax y =+的最大值为29a +，最小值为
2a +，则实数a 的取值范围是（ ）.
A ．(,7]-∞-
B ．[3,1]-
C ．[1,)+∞
D ．[7,3]--
8．若不等式组0220y x y x y x y a ⎧⎪+⎪
⎨-⎪⎪+⎩…
………表示的平面区域是一个三角形，则实数a 的取值范围是（ ）
A ．4,3⎡⎫
+∞⎪⎢⎣⎭
B ．(]0,1
C ．41,3
⎡⎤⎢⎥⎣⎦
D ．(]40,1,3⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭
U
9．若正数,x y 满足20x y xy +-=，则3
2x y
+的最大值为（ ） A ．
13
B ．38
C ．
37
D ．1
10．若不等式1221m x x
≤+-在()0,1x ∈时恒成立，则实数m 的最大值为（ ） A ．9
B ．
92
C ．5
D ．
52
11．等比数列{}n a 的前三项和313S =，若123,2,a a a +成等差数列，则公比q =（ ） A ．3或13
- B ．-3或
13
C ．3或
13
D ．-3或13
-
12．已知等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，11a =，且满足21,,n n n S S S ++成等差数列，则3a 等于( ) A ．
12
B ．12
-
C ．
14
D ．14
-
二、填空题
13．已知,x y 满足约束条件420y x x y y ≤⎧⎪
+≤⎨⎪+≥⎩
，则2z x y =+的最大值为__________．
14．已知数列{}n a ，11a =，1(1)1n n na n a +=++，若对于任意的[2,2]a ∈-，*n ∈N ，不等式
1
321
t n a a n +<-⋅+恒成立，则实数t 的取值范围为________ 15．数列{
}
21n
-的前n 项1,3,7..21n
-组成集合{
}(
)*
1,3,7,21n
n A n N
=-∈，从集合n
A
中任取()1,2,3?·
·n k k =个数，其所有可能的k 个数的乘积的和为（若只取一个数，规定乘积为此数本身），记12n n S T T T =++⋅⋅⋅+，例如当1n =时，{
}1111,1,1===A T S ；当2n =时，{}21221,2,13,13,13137A T T S ==+=⨯=++⨯=，试写出n S =___
16．设0a >，若对于任意满足8m n +=的正数m ，n ，都有114
1
a m n ++≤，则a 的取值范围是______.
17．数列{}n a 满足11a =，对任意的*n N ∈都有11n n a a a n +=++，则
122016
111a a a +++=L _________．
18．我国古代数学名著《九章算术》里有问题：今有良马与驽马发长安至齐，齐去长安一千一百二十五里，良马初日行一百零三里，日增十三里；驽马初日行九十七里，日减半里；良马先至齐，复还迎驽马，二马相逢，问：__________日相逢？
19．如图在平面四边形ABCD 中，∠A ＝∠B ＝∠C ＝75°，BC ＝2，则AB 的取值范围是___________．
20．设变量,x y 满足约束条件：21y x
x y x ≥⎧⎪
+≤⎨⎪≥-⎩，则3z x y =-的最小值为__________．
三、解答题
21．在ABC △中，,,A B C 对应的边为,,a b c .已知1
cos 2
a C c
b +=. （Ⅰ）求A ；
（Ⅱ）若4,6b c ==，求cos B 和()cos 2A B +的值. 22．已知在ABC ∆中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，
sin tan cos sin tan cos b B C b B a A C a A -=-． （1）求证：A B =；
（2）若3c =3
cos 4
C =，求ABC ∆的周长．
23．设n S 为等差数列{}n a 的前n 项和，公差d ∈N ，25a =，且53545S <<. （1）求{}n a 的通项公式；
（2）设数列{}237n S n -的前n 项和为n T ，若m n T T ≤，对n *∈N 恒成立，求m . 24．已知a ，b ，c 分别为ABC △三个内角A ，B ，C 的对边，
cos 3sin 0a C a C b c --=．
（1）求A ．
（2）若2a =，ABC △3b ，c ．
25．已知向量113
,sin 222x x a ⎛⎫+ ⎝=⎪ ⎪
⎭
v 与()1,b y =v 共线，设函数()y f x =. （1）求函数()f x 的最小正周期及最大值.
（2）已知锐角ABC ∆的三个内角分别为,,A B C ，若有33f A π⎛
⎫
-
= ⎪⎝
⎭
，边
21
7,sin 7
BC B
==
，求ABC ∆的面积. 26．已知数列{}n a 满足11
1
,221
n n n a a a a +==+. （1）证明数列1n a ⎧⎫
⎨⎬⎩⎭
是等差数列，并求{}n a 的通项公式；
（2）若数列{}n b 满足1
2n n n
b a =
g ，求数列{}n b 的前n 项和n S .
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一、选择题 1．A 解析：A 【解析】 【分析】 【详解】
作出不等式50
{03
x y x y x -+≥+≥≤所表示可行域如图所示，
作直线:24l z x y =+，则z 为直线l 在y 轴上截距的4倍，
联立3{
x x y =+=，解得3{
3
x y ==-，结合图象知，
当直线l 经过可行域上的点()3,3A -时，直线l 在y 轴上的截距最小， 此时z 取最小值，即()min 23436z =⨯+⨯-=-，故选A. 考点：线性规划
2．C
解析：C 【解析】 【分析】
由等比数列的求和公式结合条件求出公比，再利用等比数列求和公式可求出10
5
S S . 【详解】
设等比数列{}n a 的公比为q （公比显然不为1），则
()(
)
6
163
6333111119111a q S q q q S q
a q q
---===+=---，得2q =， 因此，()(
)
10
11055
10555111111233111a q S q q q S q a q
q
---===+=+=---，故选C. 【点睛】
本题考查等比数列基本量计算，利用等比数列求和公式求出其公比，是解本题的关键，一般在求解等比数列问题时，有如下两种方法：
（1）基本量法：利用首项和公比列方程组解出这两个基本量，然后利用等比数列的通项公式或求和公式来进行计算；
（2）性质法：利用等比数列下标有关的性质进行转化，能起到简化计算的作用．
3．D
解析：D 【解析】 【分析】 【详解】
由题意可得：332,323n n
n n S S +=⨯=⨯- ，
由等比数列前n 项和的特点可得数列{}n a 是首项为3，公比为2的等比数列，数列的通项
公式：1
32n n a -=⨯ ，
设11n n
b b q -= ，则：111132n n n b q b q --+=⨯ ，解得：11,2b q == ，
数列{}n b 的通项公式12n n
b -= ，
由等比数列求和公式有：21n
n T =- ，考查所给的选项：
13,21,,n n n n n n n n S T T b T a T b +==-<< .
本题选择D 选项.
4．C
解析：C 【解析】 【分析】
①根据正弦定理可得到结果；②根据A B =或,2
A B π
+=可得到结论不正确；③可由余弦
定理推得222a b c =+，三角形为直角三角形. 【详解】
①根据大角对大边得到a>b,再由正弦定理
sin sin a b A B =知sinA sinB >，①正确；②22sin A sin B =，则A B =或,2
A B π
+=ABC ∆是直角三角形或等腰三角形；所以②错
误；③由已知及余弦定理可得222222
22a c b b c a a b c ac bc
+-+--=，化简得222a b c =+，
所以③正确. 故选C. 【点睛】
本题主要考查正弦定理及余弦定理的应用以及三角形面积公式，在解与三角形有关的问题时，正弦定理、余弦定理是两个主要依据,解三角形时，有时可用正弦定理，有时也可用余弦定理，应注意用哪一个定理更方便、简捷一般来说 ,当条件中同时出现ab 及2b 、2a 时，往往用余弦定理，而题设中如果边和正弦、余弦函数交叉出现时，往往运用正弦定理将边化为正弦函数再结合和、差、倍角的正余弦公式进行解答.
5．B
解析：B 【解析】 【分析】
作出可行域，化目标函数为直线方程的斜截式，数形结合得到最优解，联立方程组求得最优解的坐标，代入目标函数即可求解. 【详解】 作出可行域如图：
化目标函数为2y x z =-，
联立70
310
x y x y +-=⎧⎨-+=⎩，解得5,2A
（）. 由图象可知，当直线过点A 时，直线在y 轴上截距最小，z 有最大值25-28⨯=. 【点睛】
本题主要考查了简单的线性规划，数形结合的思想，属于中档题.
6．A
解析：A 【解析】
试题分析：331313log 1log log log 1n n n n a a a a +++=∴-=Q 即13
log 1n n a a +=13n n
a
a +∴= ∴数列{}n a 是公比为3的等比数列335579246()393a a a q a a a ∴++=++=⨯=
15793
log ()5a a a ∴++=-．
考点：1．等比数列的定义及基本量的计算；2．对数的运算性质．
7．B
解析：B 【解析】 【分析】
作出不等式组对应的平面区域，利用目标函数的几何意义，利用数形结合确定z 的最大值. 【详解】
作出不等式组110750310x y x y x y +-≤⎧⎪
--≥⎨⎪--≤⎩
对应的平面区域（如图阴影部分），
目标函数z ax y =+的几何意义表示直线的纵截距，即y ax z =-+，
（1）当0a <时，直线z ax y =+的斜率为正，要使得z 的最大值、最小值分别在,C A 处取得，
则直线z ax y =+的斜率不大于直线310x y --=的斜率， 即3a -≤，
30a ∴-≤<.
（2）当0a >时，直线z ax y =+的斜率为负，易知最小值在A 处取得，
要使得z 的最大值在C 处取得，则直线z ax y =+的斜率不小于直线110x y +-=的斜率
1a -≥-， 01a ∴<≤.
（3）当0a =时，显然满足题意. 综上：31a -≤….
故选：B . 【点睛】
本题主要考查线性规划的应用，结合目标函数的几何意义，利用数形结合的数学思想是解决此类问题的基本方法，确定目标函数的斜率关系是解决本题的关键.
8．D
解析：D 【解析】 【分析】
要确定不等式组0220y x y x y x y a
⎧⎪+⎪
⎨-⎪⎪+⎩…
……
…表示的平面区域是否一个三角形，我们可以先画出
0220y x y x y ⎧⎪
+⎨⎪-⎩
…
……，再对a 值进行分类讨论，找出满足条件的实数a 的取值范围． 【详解】
不等式组0220y x y x y ⎧⎪
+⎨⎪-⎩
…
……表示的平面区域如图中阴影部分所示．
由22
x y x y =⎧⎨
+=⎩得22,33A ⎛⎫
⎪⎝⎭，
由0
22
y x y =⎧⎨
+=⎩得()10
B ,． 若原不等式组0220y x y x y x y a ⎧⎪+⎪
⎨-⎪⎪+⎩…
………表示的平面区域是一个三角形，则直线x y a +=中a 的取值范
围是(]40,1,3a ⎡⎫
∈+∞⎪⎢⎣⎭
U
故选：D 【点睛】
平面区域的形状问题是线性规划问题中一类重要题型，在解题时，关键是正确地画出平面区域，然后结合分类讨论的思想，针对图象分析满足条件的参数的取值范围．
9．A
解析：A 【解析】 【分析】
根据条件可得出2x >，212
y x =+-，从而33
222(2)52
x y x x =+-++-，再根据基本不
等式可得出3123x y ≤+，则32x y +的最大值为1
3
.
【详解】
0x Q >，0y >，20x y xy +-=， 2
122
x y x x ∴=
=+--，0x >， 333
222212(2)522
x y x x x x ∴
==
+++-++--，
22(2)5592x x -+
+≥=-Q ， 当且仅当1
22x x -=-，即3x =时取等号， 31
232(2)52
x x ∴≤
-++-，即3123
x y ≤+，
32x y ∴+的最大值为13
. 故选：A. 【点睛】
本题考查了利用基本不等式求最值的方法，注意说明等号成立的条件，考查了计算和推理能力，属于中档题.
10．B
解析：B 【解析】 【分析】
设f （x ）1221x x
=+-，根据形式将其化为f （x ）()1
1522
21x x x x
-=++-．利用基本不等式求最值，可得当且仅当x 13
=时()1
122
1x x x x
-+-的最小值为2，得到f （x ）的最小值为f
（
13）92=，再由题中不等式恒成立可知m ≤（12
21x x
+-）min ，由此可得实数m 的最大
值． 【详解】
解：设f （x ）11
222211x x x x
=+=+--（0＜x ＜1） 而122
1x x
+=
-[x +（1﹣x ）]（1221x x +-）()1
152221x x x x -=++- ∵x ∈（0，1），得x ＞0且1﹣x ＞0
∴()1122
1x x x x -+≥-
=2， 当且仅当()112211x x x x -==-，即x 13=时()1
122
1x x x x -+-的最小值为2 ∴f （x ）1221x x =+-的最小值为f （13）92= 而不等式m 1221x x ≤+-当x ∈（0，1）时恒成立，即m ≤（1221x x
+-）min 因此，可得实数m 的最大值为9
2
故选：B ． 【点睛】
本题给出关于x 的不等式恒成立，求参数m 的取值范围．着重考查了利用基本不等式求函数的最值和不等式恒成立问题的处理等知识，属于中档题．
11．C
解析：C 【解析】
很明显等比数列的公比1q ≠，由题意可得：(
)2
31113S a q q =++=，①
且：()21322a a a +=+，即()2
11122a q a a q +=+，②
①②联立可得：113a q =⎧⎨=⎩或1
9
13a q =⎧⎪⎨=
⎪⎩
，
综上可得：公比q =3或13
. 本题选择C 选项.
12．C
解析：C 【解析】
试题分析：由21,,n n n S S S ++成等差数列可得，212n n n n S S S S +++-=-，即
122n n n a a a ++++=-，也就是2112n n a a ++=-，所以等比数列{}n a 的公比1
2q =-，从而
223111
1()24
a a q ==⨯-=，故选C.
考点：1.等差数列的定义；2.等比数列的通项公式及其前n 项和.
二、填空题
13．10【解析】【分析】画出不等式组表示的可行域由得平移直线根据的几何意义求出最优解进而得到所求的最大值【详解】画出不等式组表示的可行域如图阴影部分所示由得平移直线结合图形可得当直线经过可行域内的点A 时
解析：10 【解析】 【分析】
画出不等式组表示的可行域，由2z x y =+得2y x z =-+，平移直线2y x z =-+，根据z 的几何意义求出最优解，进而得到所求的最大值．
【详解】
画出不等式组表示的可行域，如图阴影部分所示．
由2z x y =+得2y x z =-+．
平移直线2y x z =-+，结合图形可得，当直线经过可行域内的点A 时，直线在y 轴上的截距最大，此时z 取得最大值．
由40
2x y y +-=⎧⎨=-⎩
，解得62x y =⎧⎨=-⎩，
故点A 的坐标为(6,2)-，
所以max 26210z =⨯-=． 故答案为10． 【点睛】
用线性规划求目标函数的最值体现了数形结合在数学中的应用，解题时要先判断出目标函数中z 的几何意义，然后再结合图形求解，常见的类型有截距型、斜率型和距离型三种，其中解题的关键是正确画出不等式组表示的可行域．
14．【解析】【分析】由题意可得运用累加法和裂项相消求和可得再由不等式恒成立问题可得恒成立转化为最值问题可得实数的取值范围【详解】解：由题意数列中即则有则有又对于任意的不等式恒成立即对于任意的恒成立恒成立 解析：(,1]-∞-
【解析】 【分析】 由题意可得
11111(1)1n n a a n n n n n n +-==-+++，运用累加法和裂项相消求和可得11
n a
n ++，再由不等式恒成立问题可得232t a ≤-⋅恒成立，转化为最值问题可得实数t 的取值范围． 【详解】
解：由题意数列{}n a 中，1(1)1n n na n a +=++， 即1(1)1n n na n a +-+=
则有11111(1)1n n a a n n n n n n +-==-+++ 则有
11111111n n n
n n n a a a a a a n n n
n n n ++--⎛⎫⎛⎫⎛=-+-+- ⎪ ⎪ ++--⎝⎭⎝⎭⎝2211122n a a a a n -⎫⎛⎫
+⋯+-+ ⎪⎪
-⎝⎭⎭
(1
1111111121n n n n n n ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+-+-+⋯+ ⎪ ⎪ ⎪
+---⎝⎭⎝⎭⎝⎭
11)12221n -+=-<+ 又对于任意的[2,2]a ∈-，*n ∈N ，不等式
1
321
t n a a n +<-⋅+恒成立， 即232t a ≤-⋅对于任意的[2,2]a ∈-恒成立，
21t a ∴⋅≤，[2,2]a ∈-恒成立，
∴2211t t ⋅≤⇒≤-， 故答案为：(,1]-∞- 【点睛】
本题考查了数列递推公式，涉及数列的求和，注意运用裂项相消求和和不等式恒成立问题的解法，关键是将1(1)1n n na n a +=++变形为
111
11
n n a a n n n n +-=-++． 15．【解析】【分析】通过计算出并找出的共同表示形式进而利用归纳推理即可猜想结论【详解】当时则由猜想：故答案为：【点睛】本题考查元素与集合关系的判断以及数列前项和的归纳猜想属于中档题 解析：1()2
2
1n n +-
【解析】 【分析】
通过计算出3S ，并找出1S 、2S 、3S 的共同表示形式，进而利用归纳推理即可猜想结论． 【详解】
当3n =时,{}31,3,7A =，
则113711T =++=,213173731T =⨯+⨯+⨯=,313721T =⨯⨯=,
∴312311312163S T T T =++=++=,
由121
2
1
1212
1S ⨯==-=-，
233
2
27212
1S ⨯==-=-，
346
2
363212
1S ⨯==-=-，
⋯
猜想：(1)2
2
1n n n S +=-.
故答案为：1()2
2
1n n +-.
【点睛】
本题考查元素与集合关系的判断以及数列前n 项和的归纳猜想,属于中档题.
16．【解析】【分析】由题意结合均值不等式首先求得的最小值然后结合恒成立的条件得到关于a 的不等式求解不等式即可确定实数a 的取值范围【详解】由可得故：当且仅当即时等号成立故只需又则即则的取值范围是【点睛】在 解析：[)1,+∞
【解析】 【分析】
由题意结合均值不等式首先求得
141
m n ++的最小值，然后结合恒成立的条件得到关于a 的不等式，求解不等式即可确定实数a 的取值范围. 【详解】
由8m n +=可得19m n ++=，故：
()1411411411419191n m m n m n m n m n +⎛⎫⎛⎫+=+++=+++ ⎪ ⎪+++⎝⎭⎝
⎭11419⎛⨯++= ⎝≥， 当且仅当12141n m
n m m
n +=⎧⎪
+⎨=⎪+⎩，即3m =，5n =时等号成立，
故只需
1
1a
≤，又0a >，则1a ≥. 即则a 的取值范围是[
)1,+∞. 【点睛】
在应用基本不等式求最值时，要把握不等式成立的三个条件，就是“一正——各项均为正；二定——积或和为定值；三相等——等号能否取得”，若忽略了某个条件，就会出现错误．
17．【解析】试题分析：所以所以考点：累加法；裂项求和法 解析：
4032
2017
【解析】
试题分析：111,n n n n a a n a a n +--=+-=，所以
()11221112
n n n n n n n a a a a a a a a ---+=-+-++-+=
L ，所以11121n a n n ⎛⎫=- ⎪+⎝⎭
，122016111140322120172017a a a ⎛
⎫+++=-= ⎪⎝⎭
L . 考点：累加法；裂项求和法.
18．9【解析】解：由题意可知：良马与驽马第天跑的路程都是等差数列设路程为由题意有：故：满足题意时数列的前n 项和为由等差数列前n 项和公式可得：解得：即二马相逢需9日相逢点睛：本题考查数列的实际应用题(1)
解析：9 【解析】
解：由题意可知：良马与驽马第n 天跑的路程都是等差数列，设路程为{}{},n n a b ，
由题意有：()()1111031131390,97197222n n
a n n
b n n ⎛⎫
=+-⨯=+=+-⨯-=-+ ⎪⎝⎭
， 故：11
187
1222
n n n c a b n =+=+ ， 满足题意时，数列{}n c 的前n 项和为112522250n S =⨯= ，
由等差数列前n 项和公式可得：11111871218712222222502
n n ⎛
⎫⎛⎫+++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⨯= ，
解得：9n = .
即二马相逢，需9日相逢
点睛：本题考查数列的实际应用题. (1)解决数列应用题的基本步骤是：
①根据实际问题的要求，识别是等差数列还是等比数列，用数列表示问题的已知； ②根据等差数列和等比数列的知识以及实际问题的要求建立数学模型； ③求出数学模型，根据求解结果对实际问题作出结论． (2)数列应用题常见模型：
①等差模型：如果增加(或减少)的量是一个固定量，该模型是等差数列模型，增加(或减少)的量就是公差；
②等比模型：如果后一个量与前一个量的比是一个固定的数，该模型是等比数列模型，这
个固定的数就是公比；
③递推数列模型：如果题目中给出的前后两项之间的关系不固定，随项的变化而变化时，应考虑是a n 与a n －1的递推关系，或前n 项和S n 与S n －1之间的递推关系．
19．（）【解析】如图所示延长BACD 交于E 平移AD 当A 与D 重合与E 点时AB 最长在△BCE 中∠B=∠C=75°∠E=30°BC=2由正弦定理可得即解得=平移AD 当D 与C 重合时AB 最短此时与AB 交于F 在△B
解析：（62-，6+2） 【解析】
如图所示，延长BA ，CD 交于E ，平移AD ，当A 与D 重合与E 点时，AB 最长，在△BCE 中，∠B=∠C=75°，∠E=30°，BC=2，由正弦定理可得
sin sin BC BE
E C
=∠∠，即
o o
2sin 30sin 75BE
=，解得BE =6+2，平移AD ，当D 与C 重合时，AB 最短，此时与
AB 交于F ，在△BCF 中，∠B=∠BFC=75°，∠FCB=30°，由正弦定理知，
sin sin BF BC
FCB BFC =∠∠，即o o
2sin 30sin 75
BF =，解得BF=62-，所以AB 的取值范围为（62-，6+2）.
考点：正余弦定理；数形结合思想
20．-10【解析】作出可行域如图所示：由得平移直线由图象可知当直线经过点时直线的截距最大此时最小由得此时故答案为
解析：-10 【解析】
作出可行域如图所示：
由3z x y =-得33x z y =
-，平移直线33
x z
y =-，由图象可知当直线经过点A 时，直线33
x z
y =-的截距最大，此时z 最小
由1{2
x x y =-+=得(1,3)A -，此时13310z =--⨯=- 故答案为10-
三、解答题
21．（Ⅰ）π
3A =（Ⅱ）1114
- 【解析】 【分析】
（Ⅰ）先根据正弦定理化边为角，再根据两角和正弦公式化简得结果，（Ⅱ）根据余弦定
理求a ，代入条件求得sin
B =，解得cos B =，最后根据两角和余弦定理得结果.
【详解】
（Ⅰ）解：由条件1cos 2a C c b +
=，得1
sin sin sin sin 2
A C C
B +=，又由()sin sin B A
C =+，得1
sin cos sin sin cos cos sin 2
A C C A C A C +=+.
由sin 0C ≠，得1cos 2A =，故π
3
A =.
（Ⅱ）解：在ABC V 中，由余弦定理及π
4,6,3
b c A ===，
有2222cos a b c bc A =+-，故a =
由sin sin b A a B =得sin
B =，因为b a <，故cos B =.
因此sin22sin cos B B B ==
，2
1cos22cos 17B B =-=.
所以()11cos 2cos cos2sin sin214
A B A B A B +=-=-. 【点睛】
解三角形问题，多为边和角的求值问题，这就需要根据正、余弦定理结合已知条件灵活转化边和角之间的关系，从而达到解决问题的目的.
22．（1）证明见解析；（2）． 【解析】 【分析】
（1）利用三角函数恒等变换的应用化简已知等式可求in 0()s A B -=，可得
()A B k k Z π-=∈，结合范围A ，(0,)B π∈，即可得证A B =．
（2）由（1）可得a b =，进而根据余弦定理可求a b ==ABC ∆的周长．
【详解】
（1）sin tan cos sin tan cos b B C b B a A C a A -=-Q ，
∴
sin sin sin sin cos cos cos cos b B C a A C
b B a A C C
-=-，
sin sin cos cos sin sin cos cos b B C b B C a A C a A C ∴-=-， cos()cos()a A C b B C ∴+=+，
又A B C π++=Q ，
cos cos a B b A ∴-=-，sin cos sin cos A B B A ∴-=-， sin()0A B ∴-=，()A B k k Z π∴-=∈，
又A Q ，(0,)B π∈，A B ∴=． （2）Q 由（1）可知A B =，可得a b =，
又c =
Q 3cos 4
C =
，
∴2
232342a a
-==，
226a b ∴==，可得a b ==
ABC ∆∴的周长a b c ++=
【点睛】
本题考查三角函数恒等变换的应用、余弦定理在解三角形中的综合应用，考查函数与方程思想、转化与化归思想，考查逻辑推理能力、运算求解能力，求解时注意三角函数求值时，要先写出角的范围．
23．（1）31n a n =-；（2）11m =或12m = 【解析】 【分析】
(1)由5335545S a <=<可解得3d =,进而求出1a ,得到31n a n =-;
(2)由(1)可求出n S ,进而求出237n S n -,即可求出其前n 项和的最小值,从而得出结论. 【详解】
(1)()()5325555S a a d d ==+=+Q ,
()355545d <∴+<,即24d <<, d ∈N Q ,3d ∴=,
则122a a d =-=,
故()21331n a n n =+-⨯=-;
(2)由(1)知,()()2313122
n n n n n S +-+=
=
, 则2
237336n S n n n -=-,
令2370n S n -≤,解得012n ≤≤, 则()1211min n T T T ==, 故11m =或12m =. 【点睛】
本题考查求等差数列的通项公式及其性质的应用,属于中档题. 24．(1)60A =︒；(2)2b c ==. 【解析】 试题分析：
（1）由题意利用正弦定理边化角可得
()
sinAcosC sinB sinC sin A C sinC =+=++，化简可得
()1
302
sin A -︒=
，则60A =︒．
（2）由题意结合三角形面积公式可得1
2
S bc sinA =⋅=4bc =，结合余弦定理计算可得4b c +=，则2b c ==． 试题解析：
（1）∵在ABC V 中，0acosC b c --=，
利用正弦定理可得()sinAcosC sinB sinC sin A C sinC =+=++，
1cosA -=， 即()1302
sin A -︒=
， ∴3030A -︒=︒， ∴60A =︒．
（2）若2a =，ABC V
则12S bc sinA =
⋅== ∴4bc =，
又由余弦定理可得()2
222234a b c bccosA b c bc =+-=+-=， ∴4b c +=， 故2b c ==．
25．(1) 2,T π=当2,6x k k Z π
π=+∈时，()max 2f x = (2) 2
ABC S ∆= 【解析】
【分析】 【详解】
（1）因为a r
与b r
共线，所以11(sin )0222
y x x -+= 则()2sin 3y f x x π⎛
⎫
==+ ⎪⎝
⎭
，所以()f x 的周期2T π= 当26
x k π
π=+
，k Z ∈，max 2f =
（2
）∵3f A π⎛
⎫
-= ⎪⎝
⎭
∴2sin 3
3A π
π⎛⎫
-+
= ⎪⎝
⎭
∴sin 2
A = ∵02
A π
<<
∴3
A π
=
由正弦定理得sin sin BC AC
A B
=
又sin B = ∴sin 2sin BC B AC A =
=
，且sin C =
∴1sin 2ABC S AC BC C ∆=
=
26．（1）12n a n
=；（2）1242n n n
S -=-+.
【解析】
分析：（1）121n n n a a a +=
+两边取倒数可得1112n n
a a +-=，从而得到数列1n a ⎧⎫
⎨⎬⎩⎭
是等差数
列，进而可得{}n a 的通项公式；（2）22n n
n
b =，利用错位相减法求和即可. 详解：（1）∵121n n n a a a +=
+，∴
111
2n n
a a +-=， ∴1n a ⎧⎫
⎨⎬⎩⎭
是等差数列，
∴()1
11122n n n a a =+-=， 即12n a n
=； （2）∵22n n
n b =， ∴1221231222n n n n S b b b -=+++=+
+++L L ， 则23112322222
n n n S =++++L ， 两式相减得
23111111112122222222n n n n n n n S L -⎛⎫=+++++-=-- ⎪⎝⎭， ∴1242
n n n S -+=-. 点睛：用错位相减法求和应注意的问题(1)要善于识别题目类型，特别是等比数列公比为负数的情形；(2)在写出“S n ”与“qS n ”的表达式时应特别注意将两式“错项对齐”以便下一步准确写出“S n －qS n ”的表达式；(3)在应用错位相减法求和时，若等比数列的公比为参数，应分公比等于1和不等于1两种情况求解.。