苏教版高考一轮数学理正弦定理和余弦定理的应用举例一轮复习限时提分训练基础到提升含精细解析Word版含答案

正弦定理和余弦定理的应用举例
分层训练A 级 基础达标演练 (时间：30分钟 满分：60分)
一、填空题(每小题5分，共30分)
1．若渡轮以15 km/h 的速度沿与水流方向成120°角的方向行驶，水流速度为4 km/h ，则渡
轮实际航行的速度为(精确到0.1 km/h)________． 答案 13.5 km/h
2．江岸边有一炮台高30 m ，江中有两条船，船与炮台底部在同一水面上，由炮台顶部测得俯
角分别为45°和60°，而且两条船与炮台底部连线成30°角，则两条船相距________m. 解析 如图，OM ＝AO tan 45°＝30 (m)，
ON ＝AO tan 30°＝
3
3
×30＝10 3 (m)， 由余弦定理得，
MN ＝ 900＋300－2×30×103×
32
＝300＝10 3 (m)． 答案 10 3
3．某人向正东方向走x km 后，他向右转150°，然后朝新方向走3 km ，结果他离出发点恰
好 3 km ，那么x 的值为________．
解析 如图，在△ABC 中，AB ＝x ，BC ＝3，AC ＝3，∠ABC ＝30°，由余弦定理得(3)2
＝32
＋x 2
－2×3x ×cos 30°，即x 2
－33x ＋6＝0，解得x 1＝3，x 2＝23，经检测均合题意． 答案
3或2 3
4.如图所示，为了测量河对岸A ，B 两点间的距离，在这一岸定一基线CD ，现已测出CD ＝a 和∠ACD ＝60°，∠BCD ＝30°，∠BDC ＝105°，∠ADC ＝60°，则AB 的长为________． 解析 在△ACD 中，已知CD ＝a ，∠ACD ＝60°，∠ADC ＝60°， 所以AC ＝a .①
在△BCD 中，由正弦定理可得BC ＝
a sin 105°
sin 45°
＝
3＋1
2
a .② 在△ABC 中，已经求得AC 和BC ，又因为∠ACB ＝30°， 所以利用余弦定理可以求得A ，B 两点之间的距离为
AB ＝AC 2＋BC 2－2AC ·BC ·cos 30°＝
22
a . 答案
22
a 5．(2013·新课标全国卷)在△ABC 中，D 为边BC 上一点，BD ＝1
2
CD ，∠ADB ＝120°，AD ＝2，
若△ADC 的面积为3－3，则∠BAC ＝________. 解析 由A 作垂线AH ⊥BC 于H .
因为S △ADC ＝12DA ·DC ·sin 60°＝12×2×DC ·3
2＝3－3，所以DC ＝2(3－1)，又因为AH
⊥BC ，∠ADH ＝60°，所以DH ＝AD cos 60°＝1，∴HC ＝2(3－1)－DH ＝23－3. 又BD ＝1
2CD ，∴BD ＝3－1，∴BH ＝BD ＋DH ＝ 3.又AH ＝AD ·sin
60°＝3，所以在Rt △ABH 中AH ＝BH ，∴∠BAH ＝45°. 又在Rt △AHC 中tan ∠HAC ＝
HC AH ＝23－33
＝2－3， 所以∠HAC ＝15°.又∠BAC ＝∠BAH ＋∠CAH ＝60°， 故所求角为60°. 答案 60°
6.如图，为测得河对岸塔AB 的高，先在河岸上选一点C ，使C 在塔底B 的正东方向上，测得点A 的仰角为60°，再由点
C 沿北偏东15°方向走10米到位置
D ，测得∠BDC ＝45°，
则塔AB 的高是________米．
解析 在△BCD 中，CD ＝10(米)，∠BDC ＝45°，∠BCD ＝15°＋90°＝105°，∠DBC ＝30°，BC
sin 45°
＝
CD
sin 30°
，BC
＝
CD sin 45°
sin 30°
＝102(米)．在Rt △ABC 中，tan 60°＝AB
BC
，AB ＝BC tan 60°＝106(米)．
答案 10 6
二、解答题(每小题15分，共30分)
7．(2013·常州七校联考)如图，在半径为3、圆心角为60°
的扇形的弧上任取一点P ，作扇形的内接矩形PNMQ ，使点Q 在OA 上，点N 、M 在OB 上，设矩形PNMQ 的面积为y ， (1)按下列要求写出函数的关系式： ①设PN ＝x ，将y 表示成x 的函数关系式；
②设∠POB ＝θ，将y 表示成θ的函数关系式； (2)请你选用(1)中的一个函数关系式，求出y 的最大值． 解 (1)①∵ON ＝OP 2
－PN 2
＝3－x 2
，OM ＝3
3
x ， ∴MN ＝3－x 2
－
3
3
x ， ∴y ＝x ⎝
⎛⎭
⎪⎫3－x 2－
33x ，x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，32.
②∵PN ＝3sin θ，ON ＝3cos θ，OM ＝3
3
×3sin θ＝sin θ， ∴MN ＝ON －OM ＝3cos θ－sin θ， ∴y ＝3sin θ(3cos θ－sin θ)，
即y ＝3sin θcos θ－3sin 2
θ，θ∈⎝
⎛⎭⎪⎫0，π3.
(2)选择y ＝3sin θcos θ－3sin 2
θ＝3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2θ＋π6－32，
∵θ∈⎝
⎛⎭⎪⎫0，π3，∴2θ＋π6∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π6，5π6，∴y max ＝32.
8．某港口O 要将一件重要物品用小艇送到一艘正在航行的轮船上．在小艇出发时，轮船位于
港口O 北偏西30°且与该港口相距20海里的A 处，并正以30海里/时的航行速度沿正东方向匀速行驶．假设该小艇沿直线方向以v 海里/时的航行速度匀速行驶，经过t 小时与轮船相遇．
(1)若希望相遇时小艇的航行距离最小，则小艇航行速度的大小应为多少？
(2)假设小艇的最高航行速度只能达到30海里/时，试设计航行方案(即确定航行方向和航行速度的大小)，使得小艇能以最短时间与轮船相遇，并说明理由． 解 (1)设相遇时小艇航行的距离为S 海里，则
S ＝900t 2＋400－2·30t ·20·cos 90°－30°
＝900t 2
－600t ＋400＝
900⎝ ⎛⎭
⎪⎫t －132
＋300. 故当t ＝1
3时，S min ＝103(海里)，
此时v ＝103
13
＝303(海里/时)．
即，小艇以303海里/时的速度航行，相遇时小艇的航行距离最小．
(2)设小艇与轮船在B 处相遇，则v 2t 2＝400＋900t 2
－2·20·30t · cos(90°－30°)，
故v 2
＝900－600t ＋400t
2，∵0＜v ≤30，
∴900－600t ＋400t 2≤900，即2t 2－3t ≤0，解得t ≥2
3.
又t ＝2
3
时，v ＝30海里/时．
故v ＝30海里/时时，t 取得最小值，且最小值等于2
3
.
此时，在△OAB 中，有OA ＝OB ＝AB ＝20海里，故可设计航行方案如下：
航行方向为北偏东30°，航行速度为30海里/时，小艇能以最短时间与轮船相遇．
分层训练B 级 创新能力提升
1．据新华社报道，强台风“珍珠”在广东饶平登陆．台风中心最大风力达到12级以上，大
风降雨给灾区带来严重的灾害，不少大树被大风折断．某路边一树干被台风吹断后，折成与地面成45°角，树干也倾斜为与地面成75°角，树干底部与树尖着地处相距20米，则折断点与树干底部的距离是________米．
解析 如图所示，设树干底部为O ，树尖着地处为B ，折断点为A ，则∠ABO ＝45°，∠AOB ＝75°，∴∠OAB ＝60°.由
正弦定理知，AO sin 45°＝20
sin 60°
，
∴AO ＝2063(米)．
答案
206
3
2．(2013·南京29中月考)如图，飞机的航线和山
顶在同一个铅垂面内，若飞机的高度为海拔18 km ，速度为1 000 km/h ，飞行员先看到山顶的俯角为30°，经过1 min 后又看到山顶的俯角为75°，则山顶的海拔高度为(精确到0.1 km)________．
解析 AB ＝1 000×1 000×
160＝50 0003
(m)， ∴BC ＝AB sin 45°·sin 30°＝50 000
32
(m)．
∴航线离山顶h ＝50 000
32×sin 75°≈11.4 (km)．
∴山高为18－11.4＝6.6 (km)． 答案 6.6 km
3．(2013·南通调研)已知等腰三角形腰上的中线长为3，则该三角形的面积的最大值是
________．
解析 如图，设AB ＝AC ＝2x ，
则在△ABD 中，由余弦定理，得3＝x 2
＋4x 2
－4x 2
cos A ， 所以cos A ＝5x 2
－3
4x 2
.所以sin A ＝1－cos 2
A ＝
－9x 4
＋30x 2
－9
4x
2
，所以S △ABC
＝
12(2x )2
sin A ＝12
－9x 4＋30x 2－9.故当x 2
＝53时，
(S △ABC )max ＝1
2
－9·⎝ ⎛⎭
⎪⎫532
＋30·53－9＝1216＝2.
答案 2
4．(2013·无锡市期末考试)已知△ABC 中，B ＝45°，AC ＝4，则△ABC 面积的最大值为________．
解析 法一 如图，设△ABC 的外接圆为圆O ，其直径2R ＝
AC sin ∠ABC ＝4
sin 45°
＝4 2.取AC 的中点M ，则OM ＝R cos 45°
＝2，则AC ＝4.过点B 作BH ⊥AC 于H ，要使△ABC 的面积最大，当且仅当BH 最大．而BH ≤BO ＋OM ，所以BH ≤R ＋
2
2
R ＝22＋2，所以(S △ABC )max ＝12AC ·BH max ＝1
2×4×(2＋22)＝4＋42，当
且仅当BA ＝BC 时取等号．
法二 如图，同上易知，△ABC 的外接圆的直径2R ＝4 2.S △ABC ＝12
AB ·BC ·sin B ＝2R 2
sin
A sin
B sin
C ＝82sin A sin C ＝42⎣⎢⎡⎦
⎥⎤
cos 135°－2C ＋
22.当A ＝C ＝67.5°时，(S △ABC )max
＝4＋4 2.
答案 4＋4 2
5.如图，当甲船位于A 处时获悉，在其正东方向相距20海里的B 处有一艘渔船遇险等待营救．甲船立即前往救援，同时把消息告知在甲船的南偏西30°相距10海里C 处的乙船，接到信号后乙
船朝北偏东θ方向沿直线前往B 处救援，问θ的正弦值为多少？ 解 如题图，在△ABC 中，AB ＝20海里，AC ＝10海里，∠BAC ＝120°，
由余弦定理知BC 2＝AB 2＋AC 2－2AB ·AC cos 120°＝202＋102
－2×20×10×⎝ ⎛⎭
⎪⎫－12＝700.∴
BC ＝107海里．
由正弦定理AB sin ∠ACB ＝BC
sin ∠BAC ，
∴sin ∠ACB ＝AB BC
·sin∠BAC ＝
20107
·sin 120°＝
217
. ∴sin θ＝sin(30°＋∠ACB )＝sin 30°cos∠ACB ＋cos 30°·sin∠ACB ＝57
14.
∴乙船应沿北偏东sin θ＝
57
14
的方向沿直线前往B 处救援． 6．(2013·南京二模)某单位设计一个展览沙盘，现欲在沙盘平面内，布设一个对角线在l 上
的四边形电气线路，如图所示，为充分利用现有材料，边BC ，CD 用一根5米长的材料弯折而成，边
BA 、AD 用一根9米长的材料弯折而成，要求∠A 和
∠C 互补，且AB ＝BC .
(1)设AB ＝x 米，cos A ＝f (x )，求f (x )的解析式，并指出x 的取值范围；
(2)求四边形ABCD 面积的最大值．
解 (1)在△ABD 中，由余弦定理得BD 2
＝AB 2
＋AD 2
－2AB ·AD ·cos A . 同理，在△CBD 中，BD 2
＝CB 2
＋CD 2
－2CB ·CD ·cos C .
因为∠A 和∠C 互补，所以AB 2
＋AD 2
－2AB ·AD ·cos A ＝CB 2
＋CD 2
－2CB ·CD ·cos C ＝CB 2
＋CD 2
＋2CB ·CD ·cos A .
即x 2＋(9－x )2
－2x (9－x )cos A ＝x 2＋(5－x )2＋2x (5－x )·cos A ．解得cos A ＝2x
，即f (x )
＝2
x
，其中x ∈(2,5)．
(2)四边形ABCD 的面积S ＝12(AB ·AD ＋CB ·CD )sin A ＝12
[x (9－x )＋x (5－x )]1－cos 2
A ＝
x (7－x )
1－⎝ ⎛⎭
⎪⎫2x 2
＝
x 2－47－x
2
＝
x 2－4x 2－14x ＋49.
记g (x )＝(x 2
－4)(x 2
－14x ＋49)，x ∈(2,5)． 由g ′(x )＝2x (x 2
－14x ＋49)＋(x 2
－4)(2x －14)
＝2(x －7)(2x 2
－7x －4)＝0，解得x ＝4⎝
⎛⎭⎪⎫x ＝7和x ＝－12舍.
函数g (x )在区间(2,4)内单调递增，在区间(4,5)内单调递减．因此g (x )的最大值为g (4)＝12×9＝108.
所以S 的最大值为108＝6 3.
答：所求四边形ABCD 面积的最大值为6 3 m 2
.。