2021-2022学年江苏省南京市中学附属学校高二数学文下学期期末试卷含解析

2021-2022学年江苏省南京市中学附属学校高二数学文下学期期末试卷含解析
一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。

在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的
1. 在中，,则= ( )
A. B. C. D.
参考答案：
A
2. 已知定义域为R的函数的导函数是，且，若，则不等式
的解集为
A． B． C． D．
参考答案：
A
3. 已知F1，F2是双曲线=1（a，b＞0）的左、右焦点，过F1且垂直于x轴的直线与双曲线交于A，B两点，若△ABF2为钝角三角形，则该双曲线的离心率e的取值范围是( )
A．（1，+∞）B．C．D．
参考答案：
B
【考点】双曲线的简单性质．
【专题】计算题；圆锥曲线的定义、性质与方程．
【分析】由过F1且垂直于x轴的直线与双曲线交于A、B两点可知△ABC为等腰三角形，所以△ABF2
为钝角三角形只要∠AF2B为钝角即可，由此可知＞2c，从而能够推导出该双曲线的离心率e的取值范围．
【解答】解：由题设条件可知△ABC为等腰三角形，只要∠AF2B为钝角即可，所以有＞2c，即2ac＜c2﹣a2，解出e∈（1+，+∞），
故选：B．
【点评】本题考查双曲线的离心率和钝角三角形的判断，在解题过程中要注意隐含条件的挖掘．4. 已知中，所对的边分别为，且,那么角等于
A. B． C． D．
参考答案：
B
5. 等差数列中，，，且，为其前项之和，则（）
A．都小于零，都大于零
B．都小于零，都大于零
C．都小于零，都大于零
D．都小于零，都大于零
参考答案：
C
6. 已知点A(-1，1)和圆C：，一束光线从点A经过x轴反射到圆周上的最短路程是（）
A.10
B.
C.
D.8
参考答案：
B
7. 某校有40个班，每班55人，每班选派3人参加“学代会”，这个问题中样本容量是（）A．40 B．50 C．120 D．155
参考答案：
C
【考点】收集数据的方法．
【分析】由题意，第班抽三人，四十个班共抽取120人，由此知样本容量即为120，选出正确选项即可
【解答】解：由题意，是一个分层抽样，每个班中抽三人，总共是40个班，故共抽取120人组成样本
所以，样本容量是120人．
故选C
8. 已知椭圆C：的右焦点为F，直线L：x＝2，点A∈l，线段AF交C于点B，若＝3，则||＝ ( )．
A. B．2 C. D．3
参考答案：
B
略
9. 已知函数，满足对任意的实数都有成立，则实数的取值范围是（）
A. B. C. D.
参考答案：
B
10. 某校共有学生2000名，各年级男、女学生人数如下表，现用分层抽样的方法在全校学生中抽取64人，则应在三年级抽取的学生人数为（）
．
19
.16 .500 .18
参考答案：
B
二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分
11. 已知下列命题：
①命题“，”的否定是“，”；②已知，为两个命题，若“”为假命题，则“为真命题”；
③“”是“”的充分不必要条件；
④“若，则且”的逆否命题为真命题．
其中所有真命题的序号是________．
参考答案：
②
12. 已知a＞0，b＞0且a+b=2，则的最小值为．
参考答案：
2
【考点】基本不等式．
【分析】利用“乘1法”与基本不等式的性质即可得出．
【解答】解：∵a＞0，b＞0且a+b=2，则
===2，当且仅当a=b=1时取等号
．因此其最小值为2．
故答案为：2．
【点评】本题考查了“乘1法”与基本不等式的性质，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．
13. 已知椭圆上的一点到椭圆一个焦点的距离为，则到另一焦点距离
为
参考答案：
略
14. 在△ABC中，已知sinA：sinB：sinC=3：5：7，则此三角形的最小内角的余弦值等于．
参考答案：
【考点】余弦定理；正弦定理．
【分析】由正弦定理可得a：b：c=3：5：7，进而可用b表示a，c，可求A为三角形的最小内角，代入余弦定理化简即可得解．
【解答】解：∵sinA：sinB ：sinC=3：5：7， ∴由正弦定理可得a ：b ：c=3：5：7， ∴a=
，c=
，A 为三角形的最小内角，
∴由余弦定理可得cosA===．
故答案为：
．
【点评】本题考查正余弦定理的应用，用b 表示a ，c 是解决问题的关键，属于基础题． 15. 阅读如图所示的程序框图，运行相应的程序，输出的i 值等于
参考答案：
4 略
16. 双曲线
的渐近线方程是
．
参考答案：
17. 世卫组织规定，PM2.5日均值在35微克/立方米以下空气质量为一级；在35微克/立方米～75微克/立方米之间空气质量为二级；在75微克/立方米以上空气质量为超标．清远市环保局从市区2013年全年每天的PM2.5监测数据中随机抽取15天的数据作为样本，监测值如茎叶图所示（十位为茎，个位为叶），从这15天的数据中任取3天的数据，则恰有一天空气质量达到一级的概率为
_________ （用分数作答）．
参考答案：
三、 解答题：本大题共5小题，共72分。

解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤
18. （本题满分12分）如图，已知四棱锥P-ABCD 的底面是矩形，侧面PAB 是正三角形，且平面PAB
平面ABCD ，E 是PA 的中点，AC 与BD 的交点为M.
（1）求证：PC//平面EBD ； （2）求证： BE
平面AED.
参考答案：
（1）证明：连结
，------------------------------------------------2分
∵四边形ABCD 是矩形， ∴
为
的中点．----------------3分
∴是三角形的中位线，-----4分
∴∥．---------------------5分
∵平面，平面，-------------------------------------------6分
∴ PC//平面EBD．---------------------------------------------------------------7分
（2）∵平面PAB平面ABCD，平面PAB平面ABCD=AB
而,∴平面，-------------------------------------------------9分
∵平面PAB∴, -------------------------------------------------10分
又∵△PAB是等边三角形，且E是的中点，
∴, ------------------------------------------------------------11分
又
∴平面AED, -------------------------------------------------------------12分
19. 某分公司经销某种品牌产品，每件产品的成本为3元，并且每件产品需向总公司交a元(3≤a≤5)
的管理费，预计当每件产品的售价为x元(9≤x≤11)时，一年的销售量为(12－x)2万件．
(1)求分公司一年的利润L(万元)与每件产品的售价x的函数关系式；
(2)当每件产品的售价为多少元时，分公司一年的利润L最大，并求出L的最大值Q(a)．
参考答案：
略
20. (本小题满分10分)
求抛物线与轴围成的面积.
参考答案：
解：由得
.
21. （12分）一条长椅上有7个座位，4个人坐，还有3个空位子，求：
(1)至少有两人坐在一起，有多少种不同的坐法？
(2)三个空位不都相邻，有多少种不同的坐法？
参考答案：
(1)利用间接法，没有限制的坐法A＝840种，其中4个人都不相邻的有A＝24种，故至少有两个坐在一起，有840－24＝816(种)不同的坐法．
(2)利用间接法，没有限制的坐法A＝840种，其中三个空位都相邻的有A＝120种，故三个空位不都相邻，有840－120＝720(种)不同的坐法．
22. 已知函数f（x）=（x﹣k）e x．
（Ⅰ）求f（x）的单调区间；
（Ⅱ）求f（x）在区间[0，1]上的最小值．
参考答案：
【考点】利用导数研究函数的单调性；利用导数求闭区间上函数的最值．
【分析】（I）求导，令导数等于零，解方程，跟据f′（x）f（x）随x的变化情况即可求出函数的单调区间；（Ⅱ）根据（I），对k﹣1是否在区间[0，1]内进行讨论，从而求得f（x）在区间[0，1]上的最小值．
【解答】解：（Ⅰ）f′（x）=（x﹣k+1）e x，
令f′（x）=0，得x=k﹣1，
f′（x）f（x）随x的变化情况如下：
k﹣1，+∞）；
（Ⅱ）当k﹣1≤0，即k≤1时，函数f（x）在区间[0，1]上单调递增，
∴f（x）在区间[0，1]上的最小值为f（0）=﹣k；
当0＜k﹣1＜1，即1＜k＜2时，由（I）知，f（x）在区间[0，k﹣1]上单调递减，f（x）在区间（k ﹣1，1]上单调递增，
∴f（x）在区间[0，1]上的最小值为f（k﹣1）=﹣e k﹣1；
当k﹣1≥1，即k≥2时，函数f（x）在区间[0，1]上单调递减，
∴f（x）在区间[0，1]上的最小值为f（1）=（1﹣k）e；综上所述f（x）min=．
【点评】此题是个中档题．考查利用导数研究函数的单调性和在闭区间上的最值问题，对方程f'（x）=0根是否在区间[0，1]内进行讨论，体现了分类讨论的思想方法，增加了题目的难度．。