2019届高考数学二轮复习圆的方程课件(38张)(全国通用)

(3)设圆心为 C(x，y)，由方程①有： xy＝＝m4m＋2－3，1；－17<m<1， 消 m 得 y＝4x2－24x＋35(270<x<4). 即为所求圆心的轨迹方程.
【点评】利用消参法求轨迹方程时，应注意参数 的取值范围.
二、求圆的方程 例2已知圆满足：①截 y 轴所得的弦长为 2；②被 x 轴分成两段圆弧，其弧长的比为 3∶1；③圆心到直
2.在二元二次方程中 x2 和 y2 的系数相等并且没有 xy 项，只是表示圆的必要条件而不是充分条件.
3.在解决与圆有关的问题时，要充分利用圆的几 何性质，这样会使问题简化.涉及与圆有关的最值问题 或范围问题时应灵活、恰当运用参数方程.
(2015 重庆)已知直线 l：x＋ay－1＝0(a∈R)是圆 C：x2＋y2－4x－2y＋1＝0 的对称轴.过点 A(－4，a)作 圆 C 的一条切线，切点为 B，则|AB|＝( C )
x＋

D2 2＋
y＋

E2 2＝
_____x__D2__2___y__E2__2__D_2__E_42__4_F____．
故有：①当 D2＋E2－4F>0 时，方程表示以____D2_,_E2___
为圆心，以_______D_2 __E_2__4_F_______为半径的圆； 2
a2＋1.
又因为 P(a，b)到直线 x－2y＝0 的距离为 55， 所以 12＋|a－（2－b|2）2＝ 55，即 a－2b＝±1.
由题得2ab－2－2ba＝2＝1，1，或2ab－2－2ba＝2＝－11，， 解方程组得ab＝＝－－11，，或ab＝＝11，. ∵r2＝2b2＝2， ∴所求圆的方程是(x＋1)2＋(y＋1)2＝2 或(x－1)2 ＋(y－1)2＝2.
第63讲 圆的方程
【学习目标】
1.掌握圆的标准方程和一般方程，会用圆的方程及其几何性质解 题. 2.能根据所给条件选取适当的方程形式，利用待定系数法求出圆 的方程，解决与圆有关的问题.
【基础检测】
1.方程 ax2＋ay2－4(a－1)x＋4y＝0 表示圆，则 a
的取值范围是( C )
A.a∈R
B.a≠1 且 a∈R
A.x2＋y2－4x＋6y＋8＝0 B.x2＋y2－4x＋6y－8＝0 C.x2＋y2－4x－6y＝0 D.x2＋y2－4x＋6y＝0
【解析】设直径的两个端点分别为
A
a，0





，
B0，b.圆心为2，－3，由中点坐标公式得，a＝4，b
＝－6，∴r＝12AB＝ 13，则此圆的方程是(x－2)2＋
1.在求圆的方程时，应根据题意，合理选择圆的 方程形式.圆的标准方程突出了圆心坐标和半径，便于 作图使用；圆的一般方程是二元一次方程的形式，便 于代数运算；而圆的参数方程在求范围和最值时应用 广泛.同时，在选择方程形式时，应熟悉它们的互化.殊位置时，一般用标准方程；如果给出圆 上的三个点的坐标，一般用一般方程.
(3)假设存在实数 m 使得以 AB 为直径的圆过原 点，则 OA⊥OB，设 A(x1，y1)，B(x2，y2)，则 x1x2 ＋y1y2＝0，由xx2－＋yy－2－1＝2x0－，4y＋m＝0，得 2x2－8x＋5 ＋m＝0，
∴Δ＝64－8(m＋5)＝24－8m>0，即 m<3，又由 (1)知 m<5，故 m<3.
【解析】(1)由 D2＋E2－4F＝4＋16－4m＝20－ 4m>0，得 m<5.
(2)x2＋y2－2x－4y＋m＝0，即(x－1)2＋(y－2)2＝5 －m，
所以圆心 C(1，2)，半径 r＝ 5－m， ∵圆心 C(1，2)到直线 3x＋4y－6＝0 的距离 d＝ 3＋328＋－462＝1， 又MN＝2 3，∴r2＝12＋( 3)2＝4，即 5－m＝4， ∴m＝1.
一、圆的方程及求法
例1 设 方 程 x2 ＋ y2 － 2(m ＋ 3)x ＋ 2(1 － 4m2)y ＋ 16m4＋9＝0①.
(1)m 为何值时，方程①表示圆？ (2)m 为何值时，方程①表示的圆的半径最长？ (3)方程①表示圆时，求圆心的轨迹方程.
【解析】(1)方程①表示的圆的充要条件是[－2(m＋3)]2 ＋[2(1－4m2)]2－4(16m4＋9)＞0，
② 当 D2 ＋ E2 － 4F ＝ 0 时 ， 方 程 表 示 一 个 点 ________D2_,_ E2________；
③当 D2＋E2－4F<0 时，方程不表示任何图形．
(3)P(x0，y0)与圆(x－a)2＋(y－b)2＝r2(r>0)的位置关 系：
①若(x0－a)2＋(y0－b)2>r2，则点 P 在圆外； ②若(x0－a)2＋(y0－b)2＝r2，则点 P 在圆上； ③若(x0－a)2＋(y0－b)2<r2，则点 P 在圆内．
4.若点(1，1)在圆(x－a)2＋(y＋a)2＝4 的内部，则
实数 a 的取值范围是( A )
A.－1＜a＜1
B.0＜a＜1
C.a＞1 或 a＜－1 D.a＝±1
5.若曲线 C：x2＋y2＋2ax－4ay＋5a2－4＝0 上所 有的点均在第二象限内，则 a 的取值范围为( D )
A.(－∞，－2) B.(－∞，－1) C.(1，＋∞) D.(2，＋∞)
〔备选题〕例4已知圆 C 过点 P(1，1)，且与圆 M： (x＋2)2＋(y＋2)2＝r2(r＞0)关于直线 x＋y＋2＝0 对称.
(1)求圆 C 的方程； (2)设 Q 为圆 C 上的一个动点，求P→Q·M→Q的最小 值；
(3)过点 P 作两条相异直线分别与圆 C 相交于 A， B，且直线 PA 和直线 PB 的倾斜角互补，O 为坐标原 点，试判断直线 OP 和 AB 是否平行？请说明理由.
y＋32＝13. 化为一般方程为 x2＋y2－4x＋6y＝0.
3.方程 x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0(D2＋E2－4F＞0) 表示的曲线关于 x＋y＝0 成轴对称图形，则( A )
A.D＋E＝0 B.D＋F＝0 C.E＋F＝0 D.D＋E＋F＝0
【解析】曲线关于 x＋y＝0 成轴对称图形，即圆 心在 x＋y＝0 上，将圆心－D2 ，－E2代入 x＋y＝0 得 D＋E＝0.
A.2 B.4 2 C.6 D.2 10
【解析】圆 C 标准方程为(x－2)2＋(y－1)2＝4，圆 心为 C(2，1)，半径为 r＝2，因此 2＋a×1－1＝0，a
＝－1，即
A(
－
4
，
－
1)
，
AB

＝
AC2－r2 ＝
（－4－2）2＋（－1－1）2－4＝6.选 C.
【命题立意】首先圆是一个对称图形，它关于圆 心成中心对称，关于每一条直径所在直线都是它的对 称轴，当然其对称轴一定过圆心，其次直线与圆有相 交、相切、相离三种位置关系，判断方法可用几何与 代数两种方法研究，圆的切线长我们用勾股定理求解， 设圆外一点 P 到圆的距离为 d，圆的半径为 r，则由点 P 所作切线的长 l＝ d2－r2.
即 7m2－6m－1＜0，解得－71＜m＜1， 故当－71＜m＜1 时，方程①表示圆. (2)由(1)得：r＝12 D2＋E2－4F＝ －（7m2－6m－1）， m∈－71，1， ∴r2＝－7m－732＋176. 当 m＝73∈－71，1时，r 最大＝4 77， 此时－D2 ＝m＋3＝274，－E2＝4m2－1＝－1439， 所以此时圆的方程为x－2742＋y＋14392＝176.
线 l：x－2y＝0 的距离为 55，求该圆的方程. 【解析】设所求圆的圆心为 P(a，b)，半径为 r，
则 P 到 x 轴，y 轴的距离分别为|b|，|a|. 由题设知，圆被 x 轴分成的劣弧所对的圆心角为
90°，则圆截 x 轴所得弦长为 2r，故 r2＝2b2. 又因为圆被 y 轴所截得的弦长为 2，所以有 r2＝
1.“A＝C≠0”是“方程 Ax2＋Cy2＋Dx＋Ey＋F ＝0 表示圆”的( B )
A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分又不必要条件
【解析】当 A＝C≠0 时，方程 Ax2＋Cy2＋Dx＋
Ey ＋ F ＝ 0 可 化 为 x＋2DA 2 ＋ y＋2EA 2 ＝ D2＋E4A2－2 4AF，当 D2＋E2－4AF＞0 时，方程表示圆， 当 D2＋E2－4AF≤0，方程不能表示圆，但方程 Ax2 ＋Cy2＋Dx＋Ey＋F＝0 表示圆，则 A＝C≠0.故选 B.
圆心，定长为半径．
2．圆的方程
(1)圆的标准方程
圆 心 是 (a ， b) ， 半 径 r 的 圆 的 标 准 方 程 是
___x__a__2___y___b__2 __r_2___．
当圆心在(0，0)时，方程为_______x_2___y_2 __r_2_________．
(2)圆的 一般 方程 x2＋ y2＋ Dx＋ Ey＋ F＝0 可变 形为
C.a≠0 且 a∈R D.a∈(0，4]
【解析】∵a≠0 时，方程为x－2（aa－1）2＋ y＋2a2＝4（a2－a22a＋2），
由于 a2－2a＋2＞0 恒成立，∴a≠0 且 a∈R 时方
程表示圆.
2.已知圆心2，－3，一条直径的两个端点恰好在 两坐标轴上，则这个圆的方程是( D )
所以 kAB＝yxBB－－yxAA＝－k（xB－1x）B－－xAk（xA－1） ＝2k－kx（B－xBx＋A xA）＝1＝kOP， 所以，直线 AB 和 OP 一定平行.
【点评】(1)两圆关于某直线对称，其圆心对称， 半径相等.
(2)通过坐标计算数量积，等价转化为求函数最值. (3)通过“设而不求”的思想处理.
【点评】求圆的方程有两种方法：(1)几何法，通 过研究圆的性质、直线和圆、圆与圆的位置关系，进 而求得圆的基本量和方程；(2)代数法，即用“待定系 数法”求圆的方程.
三、与圆有关的综合问题 例3已知圆 C 的方程为：x2＋y2－2x－4y＋m＝0. (1)求 m 的取值范围； (2)若圆 C 与直线 3x＋4y－6＝0 交于 M、N 两点， 且|MN|＝2 3，求 m 的值. (3)设直线 x－y－1＝0 与圆 C 交于 A，B 两点， 是否存在实数 m，使得以 AB 为直径的圆过原点，若 存在，求出实数 m 的值；若不存在，请说明理由.
【解析】曲线 C：x2＋y2＋2ax－4ay＋5a2－4＝0 表 示 的 圆 ， 圆 心 －a，2a ， 半 径 为 2 ， 所 以 满 足 －a<0， 2a>0， －a>2，∴a>2. 2a>2，
【知识要点】
1．圆的定义
平面内与定点的距离等于定长的点的集合，其中定点是
(3)由题意知，直线 PA 和直线 PB 的斜率存在， 且互为相反数，故可设 PA：y－1＝k(x－1)，
则 PB：y－1＝－k(x－1)，由yx－2＋1y＝2＝k（2 x－1）， 得(1＋k2)x2＋2k(1－k)x＋(1－k)2－2＝0， 因为点 P 的横坐标 x＝1 一定是该方程的解， 故可得 xA＝k2－1＋2kk－2 1， 同理，xB＝k2＋1＋2kk－2 1，
x1＋x2＝4，x1x2＝m＋2 5， ∴ y1y2 ＝ (x1 － 1)(x2 － 1) ＝ x1x2 － (x1 ＋ x2) ＋ 1 ＝ m＋2 5－3＝m－2 1， ∴x1x2＋y1y2＝m＋2 5＋m－2 1＝m＋2＝0， ∴m＝－2<3，故存在实数 m 使得以 AB 为直径的 圆过原点，m＝－2.
【解析】(1)设圆心 C(a，b)， 则baa－＋＋2 222＋＝b1－2 2＋2＝0，解得ab＝＝00， 又点 P(1，1)在圆 C 上，故圆 C 的方程为 x2＋y2 ＝2. (2)设 Q(x，y)，则 x2＋y2＝2， P→Q·M→Q＝(x－1，y－1)·(x＋2，y＋2) ＝x2＋y2＋x＋y－4＝x＋y－2. 所以P→Q·M→Q的最小值为－4(可由线性规划或三 角代换求得).