湖北省武汉市南湖2017届九年级上开学数学试卷含答案解析

2016-2017学年湖北省武汉市南湖九年级（上）开学数学试卷
一、选择题（共12小题，每小题3分，共36分）
1．下列方程是一元二次方程的是（）
A．ax2+bx+c=0 B．x2+2x=x2﹣1 C．（x﹣1）（x﹣3）=0 D．=2
2．下列函数解析式中，一定为二次函数的是（）
A．y=3x﹣1 B．y=ax2+bx+c C．s=2t2﹣2t+1 D．y=x2+
3．方程x（x+3）=x+3的根为（）
A．x=﹣3 B．x=1 C．x1=1，x2=3 D．x1=1，x2=﹣3
4．对于二次函数y=（x﹣1）2+2的图象，下列说法正确的是（）
A．开口向下 B．对称轴是x=﹣1
C．顶点坐标是（1，2）D．与x轴有两个交点
5．下列四个图形分别是四届国际数学家大会的会标，其中属于中心对称图形的有（）
A．1个B．2个C．3个D．4个
6．一元二次方程x2+x+=0的根的情况是（）
A．有两个不等的实数根B．有两个相等的实数根
C．无实数根 D．无法确定
7．抛物线y=3x2向右平移1个单位，再向下平移2个单位，所得到的抛物线是（）A．y=3（x﹣1）2﹣2 B．y=3（x+1）2﹣2 C．y=3（x+1）2+2 D．y=3（x﹣1）2+2 8．二次函数y=ax2+bx﹣1（a≠0）的图象经过点（1，1），则a+b+1的值是（）
A．﹣3 B．﹣1 C．2 D．3
9．若x的一元二次方程kx2﹣2x﹣1=0有两个不相等的实数根，则k的取值范围是（）A．k≤﹣1且k≠0 B．k＜﹣1且k≠0 C．k≥﹣1且k≠0 D．k＞﹣1且k≠0 10．某经济开发区，今年一月份工业产值达50亿元，第一季度总产值为175亿元，二月、三月平均每月的增长率是多少若设平均每月的增长率为x，根据题意，可列方程为（）A．50（1+x）2=175 B．50+50（1+x）+50（1+x）2=175
C．50（1+x）+50（1+x）2=175 D．50+50（1+x）2=175
11．已知点（﹣1，y1），（2，y2），（3，y3）在二次函数y=x2﹣4x﹣5的图象上，则下列结论正确的是（）
A．y1＞y2＞y3B．y1＞y3＞y2C．y3＞y1＞y2D．y2＞y3＞y1
12．如图为二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象，则下列说法：
①a＞0 ②2a+b=0 ③a+b+c＞0 ④当﹣1＜x＜3时，y＞0
其中正确的个数为（）
A．1 B．2 C．3 D．4
二、填空题（本大题共6个小题，每小题3分，共18分）
13．抛物线y=x2﹣2x﹣1的顶点坐标是．
14．关于x的一元二次方程（m﹣2）x2+3x+m2﹣4=0有一个解是0，则m=．
15．如图，将等边△ABC绕顶点A顺时针方向旋转，使边AB与AC重合得△ACD，BC的中点E的对应点为F，则∠EAF的度数是．
16．抛物线y=a（x+1）2经过点（﹣2，1），则a=．
17．2013年中国足球超联赛实行主客场的循环赛，即每两支球队都要在自己的主场和客场踢一场，已知全年共举行比赛210场，则参加比赛的队伍共有支．
18．在实数范围内定义一种运算“*”，其规则为a*b=a2﹣b2，根据这个规则，方程（x+2）*5=0的解为．
三、解答题（共8题，共72分）
19．解方程：
（1）x2+2x﹣7=0；
（2）2（x﹣3）2=5（3﹣x）．
20．已知关于x的方程x2+2x+a﹣2=0．
（1）若该方程有两个不相等的实数根，求实数a的取值范围；
（2）当该方程的一个根为1时，求a的值及方程的另一根．
21．如图，已知△ABC的三个顶点的坐标分别为A（﹣2，3）、B（﹣6，0）、C（﹣1，0）．（1）请直接写出与点B关于坐标原点O的对称点B1的坐标；
（2）将△ABC绕坐标原点O逆时针旋转90°，画出对应的△A′B′C′图形；
（3）若四边形A′B′C′D′为平行四边形，请直接写出第四个顶点D′的坐标．
22．某商场销售一批名牌衬衫，平均每天可售出20件，每件赢利40元．为了扩大销售，商场决定采取适当的降价措施，经调查发现，如果每件衬衫降价1元，商场平均每天可多售出2件．
（1）若使商场平均每天赢利1200元，则每件衬衫应降价多少元？
（2）若想获得最大利润，每件衬衫应降价多少元？最大利润为多少元？
23．如图，抛物线y=﹣x2+bx+c与x轴、y轴分别相交于点A（﹣1，0）、B（0，3）两点，其顶点为D．
（1）求这条抛物线的解析式；
（2）若抛物线与x轴的另一个交点为E．求△ODE的面积．
2016-2017学年湖北省武汉市南湖九年级（上）开学数学
试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（共12小题，每小题3分，共36分）
1．下列方程是一元二次方程的是（）
A．ax2+bx+c=0 B．x2+2x=x2﹣1 C．（x﹣1）（x﹣3）=0 D．=2
【考点】一元二次方程的定义．
【分析】根据一元二次方程的定义分别判断即可．
【解答】解：A、没有说明a是否为0，所以不一定是一元二次方程；
B、移项合并同类项后未知数的最高次为1，所以不是一元二次方程；
C、方程可整理为x2﹣4x+3=0，所以是一元二次方程；
D、不是整式方程，所以不是一元二次方程；
故选：C．
2．下列函数解析式中，一定为二次函数的是（）
A．y=3x﹣1 B．y=ax2+bx+c C．s=2t2﹣2t+1 D．y=x2+
【考点】二次函数的定义．
【分析】根据二次函数的定义，可得答案．
【解答】解：A、y=3x﹣1是一次函数，故A错误；
B、y=ax2+bx+c （a≠0）是二次函数，故B错误；
C、s=2t2﹣2t+1是二次函数，故C正确；
D、y=x2+不是二次函数，故D错误；
故选：C．
3．方程x（x+3）=x+3的根为（）
A．x=﹣3 B．x=1 C．x1=1，x2=3 D．x1=1，x2=﹣3
【考点】解一元二次方程-因式分解法．
【分析】本题应对方程进行变形，提取公因式x+3，将原式化为两式相乘的形式，再根据“两式相乘值为0，这两式中至少有一式值为0”来解题．
【解答】解：原方程变形为：x（x+3）﹣（x+3）=0
即：（x+3）（x﹣1）=0
∴x+3=0或x﹣1=0
∴x1=1，x2=﹣3．
故选D．
4．对于二次函数y=（x﹣1）2+2的图象，下列说法正确的是（）
A．开口向下 B．对称轴是x=﹣1
C．顶点坐标是（1，2）D．与x轴有两个交点
【考点】二次函数的性质．
【分析】根据抛物线的性质由a=1得到图象开口向上，根据顶点式得到顶点坐标为（1，2），对称轴为直线x=1，从而可判断抛物线与x轴没有公共点．
【解答】解：二次函数y=（x﹣1）2+2的图象开口向上，顶点坐标为（1，2），对称轴为直线x=1，抛物线与x轴没有公共点．
故选：C．
5．下列四个图形分别是四届国际数学家大会的会标，其中属于中心对称图形的有（）
A．1个B．2个C．3个D．4个
【考点】中心对称图形．
【分析】根据中心对称的概念对各图形分析判断即可得解．
【解答】解：第一个图形是中心对称图形，
第二个图形不是中心对称图形，
第三个图形是中心对称图形，
第四个图形不是中心对称图形，
所以，中心对称图有2个．
故选：B．
6．一元二次方程x2+x+=0的根的情况是（）
A．有两个不等的实数根B．有两个相等的实数根
C．无实数根 D．无法确定
【考点】根的判别式．
【分析】先计算△=b2﹣4ac，然后根据△的意义进行判断根的情况．
【解答】解：∵△=b2﹣4ac=12﹣4•1•=0，
∴原方程有两个相等的实数根．
故选B．
7．抛物线y=3x2向右平移1个单位，再向下平移2个单位，所得到的抛物线是（）A．y=3（x﹣1）2﹣2 B．y=3（x+1）2﹣2 C．y=3（x+1）2+2 D．y=3（x﹣1）2+2 【考点】二次函数图象与几何变换．
【分析】根据图象向下平移减，向右平移减，可得答案．
【解答】解：抛物线y=3x2向右平移1个单位，再向下平移2个单位，所得到的抛物线是
y=3（x﹣1）2﹣2，
故选：A．
8．二次函数y=ax2+bx﹣1（a≠0）的图象经过点（1，1），则a+b+1的值是（）
A．﹣3 B．﹣1 C．2 D．3
【考点】二次函数图象上点的坐标特征．
【分析】根据二次函数图象上点的坐标特征，把（1，1）代入解析式可得到a+b的值，然后计算a+b+1的值．
【解答】解：∵二次函数y=ax2+bx﹣1（a≠0）的图象经过点（1，1），
∴a+b﹣1=1，
∴a+b=2，
∴a+b+1=3．
故选D．
9．若x的一元二次方程kx2﹣2x﹣1=0有两个不相等的实数根，则k的取值范围是（）A．k≤﹣1且k≠0 B．k＜﹣1且k≠0 C．k≥﹣1且k≠0 D．k＞﹣1且k≠0 【考点】根的判别式；一元二次方程的定义．
【分析】根据一元二次方程的定义和△的意义得到k≠0且△＞0，即（﹣2）2﹣4×k×（﹣1）＞0，然后解不等式即可得到k的取值范围．
【解答】解：∵关于x的一元二次方程kx2﹣2x﹣1=0有两个不相等的实数根，
∴k≠0且△＞0，即（﹣2）2﹣4×k×（﹣1）＞0，
解得k＞﹣1且k≠0．
∴k的取值范围为k＞﹣1且k≠0．
故选D．
10．某经济开发区，今年一月份工业产值达50亿元，第一季度总产值为175亿元，二月、三月平均每月的增长率是多少若设平均每月的增长率为x，根据题意，可列方程为（）A．50（1+x）2=175 B．50+50（1+x）+50（1+x）2=175
C．50（1+x）+50（1+x）2=175 D．50+50（1+x）2=175
【考点】由实际问题抽象出一元二次方程．
【分析】增长率问题，一般用增长后的量=增长前的量×（1+增长率），本题可先用x表示出二月份的产值，再根据题意表示出三月份的产值，然后将三个月的产值相加，即可列出方程．
【解答】解：二月份的产值为：50（1+x），
三月份的产值为：50（1+x）（1+x）=50（1+x）2，
故第一季度总产值为：50+50（1+x）+50（1+x）2=175．
故选B．
11．已知点（﹣1，y1），（2，y2），（3，y3）在二次函数y=x2﹣4x﹣5的图象上，则下列结论正确的是（）
A．y1＞y2＞y3B．y1＞y3＞y2C．y3＞y1＞y2D．y2＞y3＞y1
【考点】二次函数图象上点的坐标特征．
【分析】分别计算出自变量为﹣1、2和3所对应的函数值，然后比较函数的大小即可．【解答】解：∵点（﹣1，y1），（2，y2），（3，y3）在二次函数y=x2﹣4x﹣5的图象上，
∴当x=﹣1时，y1=x2﹣4x﹣5=1+4﹣5=0；当x=2时，y2=x2﹣4x﹣5=4﹣8﹣5=﹣9；当x=3时，y3=x2﹣4x﹣5=9﹣12﹣5=﹣8，
∴y1＞y3＞y2．
故选B．
12．如图为二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象，则下列说法：
①a＞0 ②2a+b=0 ③a+b+c＞0 ④当﹣1＜x＜3时，y＞0
其中正确的个数为（）
A．1 B．2 C．3 D．4
【考点】二次函数图象与系数的关系．
【分析】由抛物线的开口方向判断a与0的关系，由x=1时的函数值判断a+b+c＞0，然后根据对称轴推出2a+b与0的关系，根据图象判断﹣1＜x＜3时，y的符号．
【解答】解：①图象开口向下，能得到a＜0；
②对称轴在y轴右侧，x==1，则有﹣=1，即2a+b=0；
③当x=1时，y＞0，则a+b+c＞0；
④由图可知，当﹣1＜x＜3时，y＞0．
故选C．
二、填空题（本大题共6个小题，每小题3分，共18分）
13．抛物线y=x2﹣2x﹣1的顶点坐标是（1，﹣2）．
【考点】二次函数的性质．
【分析】已知抛物线解析式为一般式，根据顶点坐标公式可求顶点坐标．也可以运用配方法求解．
【解答】解：解法1：利用公式法
y=ax2+bx+c的顶点坐标公式为（，），代入数值求得顶点坐标为（1，﹣2）．
解法2：利用配方法
y=x2﹣2x﹣1=x2﹣2x+1﹣2=（x﹣1）2﹣2，故顶点的坐标是（1，﹣2）．
14．关于x的一元二次方程（m﹣2）x2+3x+m2﹣4=0有一个解是0，则m=﹣2．
【考点】一元二次方程的解．
【分析】一元二次方程的解就是能够使方程左右两边相等的未知数的值．即用这个数代替未知数所得式子仍然成立．将x=0代入方程式即得．
【解答】解：把x=0代入一元二次方程（m﹣2）x2+3x+m2﹣4=0，得m2﹣4=0，即m=±2．又m﹣2≠0，m≠2，取m=﹣2．
故答案为：m=﹣2．
15．如图，将等边△ABC绕顶点A顺时针方向旋转，使边AB与AC重合得△ACD，BC的中点E的对应点为F，则∠EAF的度数是60°．
【考点】旋转的性质；等边三角形的性质．
【分析】根据等边三角形的性质以及旋转的性质得出旋转角，进而得出∠EAF的度数．【解答】解：∵将等边△ABC绕顶点A顺时针方向旋转，使边AB与AC重合得△ACD，BC的中点E的对应点为F，
∴旋转角为60°，E，F是对应点，
则∠EAF的度数为：60°．
故答案为：60°．
16．抛物线y=a（x+1）2经过点（﹣2，1），则a=1．
【考点】二次函数图象上点的坐标特征．
【分析】把点（﹣2，1），直接代入抛物线y=a（x+1）2求a．
【解答】解：∵抛物线y=a（x+1）2经过点（﹣2，1），
把点（﹣2，1）代入解析式得1=a（﹣2+1）2，
解得a=1．
17．2013年中国足球超联赛实行主客场的循环赛，即每两支球队都要在自己的主场和客场踢一场，已知全年共举行比赛210场，则参加比赛的队伍共有15支．
【考点】一元二次方程的应用．
【分析】设参加比赛的球队共有x支，则每支球队都要与余下的（x﹣1）支球队进行比赛，又每两支球队都要在自己的主场和客场踢一场，即每两支球队相互之间都要比赛两场，故这x支球队一共需要比赛x（x﹣1）场，而这个场次又是210场，据此列出方程．
【解答】解：设参加比赛的球队共有x支，每一个球队都与剩余的x﹣1队打球，即共打x （x﹣1）场
∵每两支球队都要在自己的主场和客场踢一场，即每两支球队相互之间都要比赛两场，
∴每两支球队相互之间都要比赛两场，
即x（x﹣1）=210，
解得：x2﹣x﹣210=0，
（x﹣15）（x+14）=0，
x1=15．x2=﹣14（负值舍去）
故参加比赛的球队共有15支，
故答案为：15．
18．在实数范围内定义一种运算“*”，其规则为a*b=a2﹣b2，根据这个规则，方程（x+2）*5=0的解为x=3或x=﹣7．
【考点】解一元二次方程-因式分解法．
【分析】此题考查学生的分析问题和探索问题的能力．解题的关键是理解题意，在此题中
x+2=a，5=b，代入所给公式得：（x+2）*5=（x+2）2﹣52，则可得一元二次方程，解方程即可求得．
【解答】解：据题意得，
∵（x+2）*5=（x+2）2﹣52
∴x2+4x﹣21=0，
∴（x﹣3）（x+7）=0，
∴x=3或x=﹣7．
故答案为：x=3或x=﹣7
三、解答题（共8题，共72分）
19．解方程：
（1）x2+2x﹣7=0；
（2）2（x﹣3）2=5（3﹣x）．
【考点】解一元二次方程-因式分解法；解一元二次方程-配方法．
【分析】（1）首先把方程移项，然后在方程的左右两边同时加上一次项系数一半的平方，左边就是完全平方式，右边就是常数，然后利用平方根的定义即可求解．
（2）先移项，然后提取公因式进行因式分解．
【解答】解：（1））∵x2+2x﹣7=0
∴x2+2x=7
∴x2+2x+1=7+1
∴（x+1）2=8
∴x=±2﹣1
x1=﹣1+2，x2=﹣1﹣2．
（2）2（x﹣3）2=5（3﹣x）．
2（x﹣3）2+5（x﹣3）=0，
（x﹣3）（2x﹣6+5）=0，
x﹣3=0或2x﹣1=0，
解方程得：x1=3，x2=．
20．已知关于x的方程x2+2x+a﹣2=0．
（1）若该方程有两个不相等的实数根，求实数a的取值范围；
（2）当该方程的一个根为1时，求a的值及方程的另一根．
【考点】根的判别式；一元二次方程的解；根与系数的关系．
【分析】（1）关于x的方程x2﹣2x+a﹣2=0有两个不相等的实数根，即判别式△=b2﹣4ac＞0．即可得到关于a的不等式，从而求得a的范围．
（2）设方程的另一根为x1，根据根与系数的关系列出方程组，求出a的值和方程的另一根．【解答】解：（1）∵b2﹣4ac=（2）2﹣4×1×（a﹣2）=12﹣4a＞0，
解得：a＜3．
∴a的取值范围是a＜3；
（2）设方程的另一根为x1，由根与系数的关系得：
，
解得：，
则a的值是﹣1，该方程的另一根为﹣3．
21．如图，已知△ABC的三个顶点的坐标分别为A（﹣2，3）、B（﹣6，0）、C（﹣1，0）．（1）请直接写出与点B关于坐标原点O的对称点B1的坐标；
（2）将△ABC绕坐标原点O逆时针旋转90°，画出对应的△A′B′C′图形；
（3）若四边形A′B′C′D′为平行四边形，请直接写出第四个顶点D′的坐标．
【考点】作图-旋转变换；平行四边形的性质．
【分析】（1）根据关于原点对称的定义，写出B1的坐标即可．
（2）分别画出A、B、C绕坐标原点O逆时针旋转90°的对应点A′、B′、C′即可．
（3）满足条件的点D′有三个，画出图象即可解决问题．
【解答】解：（1）B1的坐标（2，﹣3）；
（2）△A′B′C′如图所示；
（3）四边形A′B′C′D′为平行四边形，请直接写出第四个顶点D′的坐标（﹣3，4）、（﹣3，﹣7）、（3，6）；
22．某商场销售一批名牌衬衫，平均每天可售出20件，每件赢利40元．为了扩大销售，商场决定采取适当的降价措施，经调查发现，如果每件衬衫降价1元，商场平均每天可多售出2件．
（1）若使商场平均每天赢利1200元，则每件衬衫应降价多少元？
（2）若想获得最大利润，每件衬衫应降价多少元？最大利润为多少元？
【考点】二次函数的应用；一元二次方程的应用．
【分析】（1）设每件衬衫应降价x元，根据每件的利润×销售量=平均每天的盈利，列方程求解即可；
（2）根据：总利润=单件利润×销售量列出函数关系式，配方成二次函数顶点式可得函数最值情况．
【解答】解：（1）设每件衬衫应降价x元，
则依题意，得：（40﹣x）（20+2x）=1200，
整理，得，﹣2x2+60x+800=1200，
解得：x1=10，x2=20，
答：若商场平均每天赢利1200元，每件衬衫应降价10元或20元；
（2）设每件衬衫降价x元时，商场平均每天赢利最多为y，
则y=（40﹣x）（20+2x）=﹣2x2+60x+800=﹣2（x2﹣30x）+800=﹣2（x﹣15）2+1250
∵﹣2（x﹣15）2≤0，
∴x=15时，赢利最多，此时y=1250元，
答：每件衬衫降价15元时，商场平均每天赢利最多．
23．如图，抛物线y=﹣x2+bx+c与x轴、y轴分别相交于点A（﹣1，0）、B（0，3）两点，其顶点为D．
（1）求这条抛物线的解析式；
（2）若抛物线与x轴的另一个交点为E．求△ODE的面积．
【考点】抛物线与x轴的交点；待定系数法求二次函数解析式．
【分析】（1）由于抛物线的解析式中只有两个未知数，因此可根据A，B两点的坐标，用待定系数法求出抛物线的解析式．
（2）令y=0，求出抛物线与x轴的另一个交点坐标，再求出抛物线的顶点坐标，即为三角形ODE边OE上的高，根据三角形的面积公式求解即可．
【解答】解：（1）由已知得：，
解得c=3，b=2，
故抛物线的线的解析式为y=﹣x2+2x+3；
（2）令y=0，得﹣x2+2x+3=0，
解得x=﹣1或3，
∴E（3，0），
由顶点坐标公式得顶点坐标为（1，4），
=×4×EO
S
△DOE
=×3×4
=6．
2017年1月7日。