余弦定理导学案

余弦定理导学案
高二年级数学组
知能目标解读
通过对任意三角形边长和角度关系的探索，掌握余弦定理，理解用数量积推导余弦定理的过程，并体会向量在解决三角形的度量问题时的作用.
了解余弦定理的几种变形公式及形式.
会从方程的角度来理解余弦定理的作用及适用范围，并会用余弦定理解决“已知三边求三角形的三角”及“已知两边及其夹角求三角形中其他的边和角”等问题
能熟练应用余弦定理解三角形以及现实生活中的实际问题.
重点难点点拨
重点：余弦定理的证明及其应用.
难点：处理三角形问题恰当地选择正弦定理或余弦定理
学习方法指导
一、余弦定理
余弦定理：在厶ABc中，/ A, / B, / c的对边分别为a, b , c , 那么有如下结论：a2=b2+c2-2bccosA,b2=a2+c2-2accosB,c2=a2+b2-2abcosc.
即三角形任何一边的平方等丁其他两边的平方和减公这
两边与它们夹角的余弦的积的两倍.这一结论叫做余弦定
理，它揭示了任意三角形边角之间的客观规律.也是解三角
形的重要工具.
在余弦定理的每一个等式中含有四个量，利用方程的思想，可以知三求一.
余弦定理也为求三角形的有关量提供了工具，它可以用来判定三角形的形状，证明三角形中的有关等式，在一定程度上，它比正弦定理的应用更加广泛.
关于公式的变形：将余弦定理稍加变形，可以得到另外的形式，我们称为余弦定理的推论.掌握这些表达形式，可
以帮助我们深入理解和灵活应用余弦定理.
cosA=，cosB=，cosc=.
由上述变形，结合余弦函数的性质，可知道：如果一个三角形两边的平方和等于第三边的平方，那么第三边所对的角是直角，如果小于第三边的平方，那么第三边所对的角为钝角，如果大于第三边的平方，那么第三边所对的角为锐角从这一点说，余弦定理可以看作勾股定理的推广，而勾股定理则是余弦定理的特例.
二、余弦沱理的证明
教材中给出了用向量的数量积证明余弦定理的方法，是
平面向量知识在解三角形中的应用.另外，对余弦定理的证明，还可以应用解析法、几何法等方法证明
证明：方法1:如图所示，以A为原点，△ ABc的边AB 所在直线为x轴，建立直角坐标系.
则A,c,B,
由两点间的距离公式得Bc2=2+2,
即a2=b2+c2-2bccosA.
同理可证b2=a2+c2-2accosB,
c2=a2+b2-2abcosc.
方法2:如图.当厶ABc为锐角三角形时，过c作cD丄AB
于D,则cD=bsinA,
AD=bcosA,BD=AB-AD=c-bcosA.
在Rt △ BcD 中，Bc2=cD2+BD2即a2=b2sin2A+2. 所以
a2=b2+c2-2bccosA.
同理可证b2=a2+c2-2accosB,c2=a2+b2-2abcosc.
如图，当△ ABc为钝角三角形时，过c作cD垂直于AB
的延长线，垂足为D,贝U AD=bcosA,cD=bsinA.
BD=AD-AB=bcosA-c.
在Rt △ BcD 中,Bc2=cD2+BD2,即a2=b2sin2A+2.
所以a2=b2+c2-2bccosA.
同理可证：b2=a2+c2-2accosB,c2=a2+b2-2abcosc.
二、余弦圧理的应用
余弦定理主要适用以下两种题型
已知二边求二角，用余弦定理，右解时只有一解；
已知两边和它们的夹角，求第三边和其他的角，用余弦定理，必有一解.
注意：
在应用余弦定理求三角形的边长时，容易出现增解，原因是余弦定理中涉及的是边长的平方，求得结果常有两解，因此，解题时需要特别注意三角形三边长度应满足的基本条件.
知能自主梳理
余弦定理
语言叙述：
三角形任何一边的平方等于
减去
的积的
公式表达：
a2= b2= c2=
变形：
cosA= cosB= cosc=
余弦定理及其变形的应川
应用余弦定理及其变形可解决两类解三角形的问题，一
类是已知两边及其
解三角形，另一类是已知
解三角形.
［答案］ 1.其他两边的平方和这两边与它们夹角的
余弦两倍b2+c2-2bccosA a2+c2-2accosB a2+b2-2abcosc 夹角二边
思路方法技巧
命题方向已知三边解三角形
［例1］在厶ABc中，已知a=7,b=3,c=5，求最大角和sinc.
［分析］在三角形中，大边对大角，所以a边所对角最大.
［解析］T a〉c > b, ••• A为最大角，
由余弦定理得，cosA== — j
又••• 0°v A v 180°, ■: A=120°,
••• sinA=sin120 ° =.
出正弦疋理=得，
sinc===.
•最大角 A 为120 ° , sinc=.
［说明］求sinc也可川MM方法求解：
cosc===,
•c为锐角.
sinc===.
在解三角形时，有时既可用余弦定理，也可用正弦定理.
变式应用1
在厶ABc中，已知：：=4: 5: 6,求厶ABc的最大内角.
［解析］设b+c=4,c+a=5,a+b=6.
则a+b+c=7.5,解得a=3.5,b=2.5,c=1.5.
•a是最大边，即角A是厶ABc的最大角.
由余弦定理，得cosA==-,
••• 0°v A v 180° , • A=120°,即最大角为120° .
命题方向已知两边及一角解三角形
［例2］△ ABc中，已知b=3,c=3, / B=30° ,解三角形.
［分析］出题冃町知以卜信息：
①已知两边和其中一边的对角
②求另外的两角和另一边.
解答本题可先由正弦定理求出角c,然后再求其他的边
和角，也可由余弦定理列出关于边长a的方程，求出边a,再由正弦定理求角A,角 c.
［解析］解法一：由余弦定理b2=a2+c2-2accosB,
得32=a2+2-2a x 3X cos30 °,
••• a2-9a+18=0,得a=3 或6.
当a=3 时，/ A=30° , / c=120° .
当a=6时，由正弦定理sinA===1.
•••/ A=90° ,•••/ c=60 ° .
解法二：由bcsin30 ° =3x =知本题有两解.
由正弦定理sinc===,
•••/ c=60 °或120° ,
当/ c=60 °时，/ A=90° ,
由勾股定理a===6.
当/c=120 °时，/ A=30°,A ABc为等腰=角形，
--a=3.
［说明］知两边和一角解二命丿E时有两种方法: 利用余弦定理列出关于第三边的等量关系建立方程，运
用解方程的方法求出此边长直接用正弦定理，先求角再求边.
用方法时要注意解的情况，用方法就避免了取舍解的麻烦.
变式应用2
在厶ABc中，a、b、c分别是/ A、/ B、/ c的对边，且cosA=,若a=4,b+c=6,且bb>c,
•••最大角为 A.sinA=，若A为锐角，则A=60°, .乂c
--cosA=-,
设c=x,贝U b=x+2,a=x+4.
• •=—
•x=3，故三边长为3, 5, 7.
二、解答题
在厶ABc 中，已知b2-bc-2c2=0,且a=,cosA=,求厶ABc 的面积.
［解析］T b2-bc-2c2=0, • 2--2=0,
解得=2,即b=2c.由余弦定理，得a2=b2+c2-2bccosA,即
b2+c2-bc=6,与b=2c
联立解得b=4,c=2. I cosA=,
•sinA==,
•S A ABc=bcsinA=.
课后强化作业
>选择题
<△ ABc 中，b=5,c=5,A=30 ° ,则 a 等于
A. 5
B. 4
c.3
D.10
［答案］ A
［解析］由余弦定理，得2bccosA=b2+c2-a2, ••• 2X 5X 5X cos30 ° = 52 + 2-a2,
--a2=25, —a=5.
在厶ABc中，已知a2=b2+c2+bc,则角A为
A.
B.
c.
D.或
［答案］c
［解析］T a2=b2+c2+bc,
•. cosA===,
又••• 0<A< n , • A=.
在厶ABc中，若a=+1,b=-1,c=,则厶ABc的最大角的度数
A.60
B.90 °
c.120 °
D.150 °
［答案］c
［解析］显然〉+1>-1,
--cosc==-=—，…c=120 .
△ ABc的三内角A、B、c所对边长分别为a, b, c,设向量p=,q=.若p II q,则/ c的大小.为
A.
B.
c.
D. n
［答案］B
［解析］I p=,q=且p I q,
••• -b=0 J
即a2+b2-c2=ab,
cosc===.
• c=.
在厶ABc中，已知2a2=c2+2,则/ A的值为
A. 30 °
B. 45 °
c.120
D.135 °
［答案］D
［解析］由已知得2a2=c2+2b2+c2+2bc, ••• a2=b2+c2+bc,
••• b2+c2-a2 = -bc,
又b2+c2-a2=2bccosA,
•2bccosA=-bc,
--cosA=-,
•A=135° .
若厶ABc的内角A、B、c所对的边a、b、c满足2-c2=4 , 且c=60。

，则ab的值为
A.
B. 8-4
c.1
D.
［答案］A
［解析］本题主要考查余弦定理的应用.
在厶ABc 中，c=60° , • a2+b2-c2=2abcosc=ab,
•2-c2=a2+b2-c2+2ab=3ab=4, • ab=,选A.
在厶ABc中，三边长AB=7,Bc=5,Ac=6,则•等于
A.19
B.-14
C. -18
D. -19
［答案］D
［解析］在厶ABc 中AB=7,Bc=5,Ac=6,
贝U cosB==.
又？= II ? || cos
=-|| ? || cosB
=-7X 5X 二19.
在厶ABc中，若△ ABc的面积S=，则/ c为
A.
B.
c.
D.
［答案］A
［解析］由S=,得absinc= x 2abcosc, tanc=1, c=.
二、填空题
在厶ABc中，b=,c=2,A=45 ,那么a的长为
［答案］
［解析］由余弦定理，得a2=b2+c2-2bcosA=+8-2 xx 2 x =+8-==,所以a=.
0. <△ ABc 中，AB=3,Bc=,Ac=4,则边Ac 上的高为
［答案］
［解析］如图，cosA==,
••• sinA=. ■: .BD=AB?sinA=.
1.在厶ABc中，已知Bc=8,Ac=5,三角形面积为12，则cos2c=.
［答案］
［解析］由题意得S A ABc=Ac?Bcsinc=12,
即x 5X 8X sinc=12,贝U sinc=.
•cos2c=1-2sin2c=1-2 x 2=.
在厶ABc中，B=60° ,b2=ac,则三角形的形状为
［答案］等边斗形
［解析］由余弦定理得b2=a2+c2-ac,
b2=ac,
•• a2+c2-2ac=0, • • 2=0,
a=c.
又• B=60° , • A=c=60° .
故厶ABc为等边三角形.
二、解答题
［答案］
3.在厶ABc 中，A+c=2B,a+c=8,ac=15,求b.
［解析］解法一：在厶ABc 中，由A+c=2B,A+B+c=180°,
知B=60
由a+c=8,ac=15,贝U a、c 是方程x2-8x+15=0 的两根. 解得a=5,c=3 或a=3,c=5.
由余弦定理，得b2=a2+c2-2accosB=9+25-2 x 3X 5X = 19.
••• b=.
解法二：在△ ABc中，T A+c=2B,A+B+c=180 ,
•B=60° .
由余弦定理，得
b2=a2+c2-2accosB=2-2ac-2accosB=82-2 x 15-2 x 15 x= 19.
•- b=.
△ ABc的内角A、B、c的对边分别为a、b、c , asinA+csinc-asinc=bsinB.
求B；
若A=75° ,b=2,求a,c.
［分析］利用三角形正弦定理，将已知条件
asinA+csinc-asinc=bsinB 中的角转化为边，再利用余弦定
理即可求得B角，然后再利用正弦定理求得a, c的值.
［解析］T asinA+csinc-asinc=bsinB
•a2+c2-ac=b2
• a2+c2-b2=ac
cosB===
••• B=45：
由得B=45：
• c=180 ° 4B=180 ° -75 ° -45 ° =60：
由正弦定理==
…a ----
c=.
［点评］本题主要考查正、余弦定理的综合应用，考
查考生利用所学知识解决问题的能力.解三角形的实质是将
几何问题转化为代数问题即方程问题，具体操作过程的关键是正确分析边角的关系，能依据题设条件合理的设计解题程序，进行三角形中边角关系的互化，要抓住两个定理应用的信息；当遇到的式子含角的余弦或是边的二次式，要考虑用余弦定理，若遇到的式子含角的正弦和边的一次式，则大多用正弦定理，若是以上特征不明显，则要考虑两个定理都有可能用.
在厶ABc 中，A=120° ,b=3,c=5.
求sinBsinc;
求sinB+sinc.
［分析］已知两边及其夹角，由余弦定理可求出第三
边a,再由正弦定理求出sinB,sinc.
［解析］•/ b=3,c=5,A=120 ° ,
•••由余弦定理，得a2=b2+c2-2bccosA
=9+25-2 X 3X 5 X =49.
•取正值a=7.
由正弦定理，得sinB==,
sinc=
• sinB ?sinc=.
由可得sinB+sinc=.
已知三角形的一个角为60° ,面积为10c2，周长为20c , 求此三角形各边长.
［解析］设三角形的三条边长分别为a,b,c,B=60 ° ,则依题意’得
a+b+c=20
cos60 ° =
acsin60 ° =10,
a+b+c=20,① b2=a2+c2-ac，②
ac=40.③
由①式，得b2= : 20-: 2=400+a2+c2+2ac-40.①将②代入
④，得400+3ac-40=0,
再将③代入④，得a+c=13.
a+c=13
a=5
a=8
,得
,或
ac=40
c=8
c=5.
••• b=7.
•••该三角形的三边长为5c,7c,8c.。