甘肃省肃南县第一中学2019届高三上学期期中考试数学(理)试题

肃南县第一中学2019届高三上学期期中考试数学（理）试题
第I卷（选择题，共
50分）
一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分.在每小题给出的四个选项中，只 有一项是符合题目要求的. 1．若集合
，
，则
所含的元素个
数为( )
A. O
B. 1
C. 2
D. 3
2．在△ABC 中，M 是AB 边所在直线上任意一点，若CM ＝－2CA ＋λCB ，则λ＝( ) A ．1 B ．2 C ．3 D ．4
3．已知{}n a 为等差数列，若π8951=++a a a ，则)cos(73a a +的值为（ ） A
B
． C ．12
D ．1
2
-
4．对于平面α，β，γ和直线a ，b ，m ，n ，下列命题中真命题是 （ ） A.若,,,,a m a n m n αα⊥⊥⊂⊂,则a α⊥； B.若//,,,a b αβαγβ
γ==则//a b ；
C.若//,a b b α⊂,则//a α；
D.若,,//,//a b a b ββαα⊂⊂,则//βα.
5．一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积是 （ ）
A ．4＋
B ．4
C ．4＋
D ．4
}
822|{2≤<∈=+x Z x A }
02|{2>-∈=x x R x B )
(B C A R
6．某程序框图如图所示，该程序运行后输出S 的值是 （ ）
A. 10
B. 12
C. 100
D. 102
7．已知复数,321i i
z -+=
i 是虚数单位，则复数的虚部是( ) A ．i 101 B ．101 C ．107 D ．i 10
7
8．满足线性约束条件⎪⎪⎩⎪
⎪⎨⎧≥≥≤+≤+0
03232y x y x y x 的目标函数y x z +=的最大值是
A ．1
B ．
2
3
C ．2
D ．3
9．设5log 4a =，25(log 3)b =，4log 5c =，则（ ） A. a c b << B. b c a << C. a b c << D. b a c <<
10．若直角坐标平面内不同的两点,P Q 满足条件：①,P Q 都在函数()y f x =的图像上 ,P Q 关于原点对称，
则称点对[],P Q 是函数()y f x =的一对②好点对”（注：点对[],P Q 与[],Q P 看作同一对“友好点
“友
对”）．若函数，则此函数的“友好点对”有（ ）对．
A ． 0
B ． 1
C ．2
D ．3 11．记椭圆
围成的区域（含边界）为Ωn （n=1，2，…），当点（x ，y ）分别
22
1(0)()4(0)
og x x f x x x x >⎧=⎨--≤⎩
在Ω1，Ω2，…上时，x+y 的最大值分别是M 1，M 2，…，则M n =（ ）
A ． 0
B ．
C ． 2
D ． 2
12．设1F ，2F 是双曲线22
221(0,0)x y a b a b
-=>>的左右两个焦点，若在双曲线的右支上存
在一点P ，使22()0OP OF F P +⋅=（O
为原点）且12PF =，则双曲线的离心率为（ ）． A
B
．1 C
1 D
第II 卷（非选择题，共100分）
本卷包括必考题和选考题两部分．第13题～第21题为必考题，每个试题考生都必须做答．第22题～第24题为选做题，考生根据要求做答． 二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.
13．抛物线在
处的切线与两坐标轴围成三角形区域为
(包含三角形内部与
边界).若点
是区域内的任意一点,则
的取值范围是 ．
14．在数列{a n }中，a n ＝4n －5
2
，a 1＋a 2＋…＋a n ＝An 2＋Bn ，n∈N ＋，其中A ，B 为常数，则AB ＝__________.
15．已知函数()sin(2)4
f x x π
=-， 有如下四个命题：
①点5
(,0)8π是函数()f x 的一个中心对称点；
②若函数()f x 表示某简谐运动，则该简谐运动的初相为4
π
-
；
③若12x x ≠，且12()()1f x f x ==-，则12x x k π-=（0k Z k ∈≠且）； ④若()f x 的图像向右平移(0)ϕϕ>个单位后变为偶函数，则ϕ的最小值是8
π
； 其中正确命题的序号是________ _______．
16．设常数a R ∈,若5
2a x x ⎛
⎫+ ⎪⎝
⎭的二项展开式中7x 项的系数为10-,则______a =.
2
x y =1
=x D
)
,(y x P D
y
x 2+
三、解答題：本大題共6小题，共75分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
17．(本小題满分12分）
设ABC ∆的内角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，且满足2cos cos c b B
a A
-=． （1）求角A 的大小；
（2）若a =ABC ∆面积的最大值．
18．(本小題满分12分）
如图，在直三棱柱111ABC A B C -中，13AA AB BC ===，2AC =，D 是AC 的中点． （Ⅰ）求证: 1//B C 平面1A BD ； （Ⅱ）求二面角11A BD B --的余弦值．
19．(本小題满分12分）
某中学作为蓝色海洋教育特色学校，随机抽取100名学生，进行一次海洋知识测试，
按测试成绩分组如下：第一组[65，70），第二组 [70，75），第三组[75，80），第四组 [80，85），第五组 [85，90）（假设考试成绩均在[65，90）内），得到频率分布直方图如图：
（1）求测试成绩在[80，85）内的频率；
（2）从第三、四、五组同学中用分层抽样的方法抽取6名同学组成海洋知识宣讲小组，定期在校内进行义务宣讲，并在这6名同学中随机选取2名参加市组织的蓝色海洋教育义务宣讲队，求第四组至少有一名同学被抽中的的概率．
20．(本小題满分12分）
如图，椭圆E ：)0(122
22>>=+b a b
y a x 的右焦点2F 与抛物线24y x =的焦点重合，过2
F
作与x 轴垂直的直线l 与椭圆交于S 、T 两点，与抛物线交于C 、D 两点，且
CD ST
=
（Ⅰ）求椭圆E 的方程；
（Ⅱ）若过点(2,0)M 的直线与椭圆E 相交于两点,A B ，设P 为椭圆E 上一点，且满足OA OB tOP +=（O 为坐标原点）
，当25
||PA PB -<时，求实数t 的取值范围．
21．(本小題满分12分）
函数的定义域为R ，且
（Ⅰ）求证：；
（Ⅱ）若上的最小值为，试求f (x )的解析式；
（Ⅲ）在（Ⅱ）的条件下记试比较与
的大小并证明你的结论．
请考生在第22、23、24三题中任选一题做答，如果多做，则按所做的第一题记分.答题时用2B 铅笔在答题卡上把所选题目的题号涂黑.
22.（本小题满分10分） 选修4—1：几何证明选讲
如图所示，已知PA 与⊙O 相切，A 为切点，过点P 的割线交圆于B 、C 两点，弦CD∥AP，
AD 、BC 相交于点E ，F 为CE 上一点，且DE 2 = EF·EC .
（Ⅰ）求证：CE·EB = EF·EP；
（Ⅱ）若CE:BE = 3:2，DE = 3
，EF = 2，求PA 的长.
bx
a x f 211)(⋅+=*)
(0)(lim N n n f n ∈=-∞→0,0
a b ><()41,()[0,1]5f f x =且在2
1
),)(()2()1(N n n f f f S n ∈+++= n S
*1
11
()22
n n n N ++
+∈
23. （本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程 已知极坐标系的极点为直角坐标系的原点，极轴为x 轴的正半轴，两种坐标系中
的长度单位相同，已知曲线
的极坐标方程为
．
（Ⅰ）求的直角坐标方程；
（Ⅱ）直线（为参数）与曲线C 交于，两点，与轴交于，求的值．
24. （本小题满分10分）选修4-5：不等式选讲
设函数212)(+--=x x x f
（1）求f(x)≤6 的解集 （2）若f(x)≥m 对任意x ∈R 恒成立，求m 的范围。

y E 11
||||EA EB +
xoy
C
2(cos sin )
ρθθ=+
C 12:1x t l y ⎧
=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩t A B
【解析】
（1）由所有频率的和为1，易得测试成绩在[80，85）内的频率；（2）先分别求出第三组、第四组、第五组的人数，再由分层抽样方法得各组应该抽取的人数。

用字母表示所研究的事件，用列举法得基本事件的总数以及所研究事件含多少个基本事件，最后利用古典概型公式求得概率． 试题解析：（１）测试成绩在[80，85）内的频率为：()10.010.070.060.025-+++⨯ 2分
0.2= 3分
（２）第三组的人数等于0.065100=30⨯⨯,第四组的人数等于0.2100=20⨯， 第五组的人数等于0.025100=10⨯⨯， 5分
（Ⅱ）由
题意知直线的斜率存在. 设
：
，
，
，
，
由得. AB AB
(2)
y k x =-11(,)
A x y 22(,)
B x y (,)
P x y 2
2(2),1.2
y k x x y =-⎧⎪⎨+=⎪⎩2222(12)8820k x k x k +-+-=
·11· ，. 6分
21．见解
析
【解析】解（Ⅰ）∵f (x )定义域为R ， （Ⅱ）由（Ⅰ）知f (x )在[0，1]上为增函数，
422644(21)(82)0
k k k ∆=-+->21
2k <,
0.0,2,021=≥∴∈-≠≠+∴-a a R x a a bx bx 若而即1()1lim ()0,0,lim ()lim 121(021)1(21)210,0,0.10(21)
bx
n n n b b b b f x f n a f n a b a b a
-→∞→∞→∞----=-=∴>∴-==+⋅⎧<<⎪⎪=∴><><⎨+⎪⎪>⎩与矛盾即故==∴=+=
∴)1(,1,2
111,21)0(f a a f 即
·12·
（Ⅲ）
22． 2141141,2,2,()1.1254121414x b b x x x b f x a -=∴=∴=-∴===-+⋅+++11
1*,,:22n n k N S n +∈<++当时证明如下111
()11,(1)(2)(3)()141
1
11,*,2222
k n n n f k f f f f n n
n n k N S n ++=-<∴++++<-++>∴∈<++而时
·13· 23．()()()221112x y -+-= (
2
【解析】
（Ⅰ）运用直角坐标与极坐标互化公式, （Ⅱ）直线参数方程中参数的几何意义及应用于求弦长. 试题解析：（1）
22(cos sin ),2(cos sin )ρθθρρθρθ=+∴=+。