南通市达标名校2018年高考三月适应性考试数学试题含解析

南通市达标名校2018年高考三月适应性考试数学试题
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．已知棱锥的三视图如图所示，其中俯视图是等腰直角三角形，则该三棱锥的四个面中，最大面积为（ ）
A ．22
B ．23
C ．4
D ．26
2．已知命题:0p x ∀>,ln(1)0x +>；命题:q 若a b >，则22a b >，下列命题为真命题的是（ ） A ．p q ∧
B ．p q ∧⌝
C ．p q ⌝∧
D ．p q ⌝∧⌝
3．已知全集U =R ，集合{|lg(1)}A x y x ==-，|B x y x ⎧==
⎨⎬⎩⎭
则()U A B =（ ） A ．(1,)+∞ B ．(0,1) C ．(0,)+∞
D ．[1,)+∞
4．如图，在ABC 中，,(,),2AD AB BD xAB yAC x y R AD ⊥=+∈=，且12AC AD ⋅=，则2x y +=（ ）
A ．1
B ．2
3
-
C ．13
-
D ．34
-
5．ABC ∆ 的内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，已知22cos a c b A +=，则角B 的大小为（ ） A ．
23
π B ．
3
π C ．
6
π D ．
56
π 6．若圆锥轴截面面积为360°，则体积为( ) A 3 B ．
63
C ．
23
3
D 26
7．过双曲线()22
2210,0x y a b a b
-=>>的左焦点作倾斜角为30的直线l ，若l 与y 轴的交点坐标为()0,b ，
则该双曲线的标准方程可能为（ ）
A ．2
212x y -=
B ．2213x y -=
C ．2214x y -=
D ．22132
x y -=
8．胡夫金字塔是底面为正方形的锥体，四个侧面都是相同的等腰三角形．研究发现，该金字塔底面周长
化，沿其侧棱和底边布设单条灯带，则需要灯带的总长度约为
A ．24
(4)h 2π+π+
B ．216
(2)h π+π+
C ．2(8421)h π+π+
D ．2(2216)h π+π+
9．已知函数()2x
f x x a =+⋅，()ln 42x
g x x a -=-⋅，若存在实数0x ，使()()005f x g x -=成立，则正数a 的取值范围为（ ）
A ．(]01，
B ．(]04，
C ．[)1+∞，
D ．(]
0,ln2 10．在ABC ∆中，30C =︒，2
cos 3
A =-
，152AC =-，则AC 边上的高为（ ） A ．
5 B ．2
C ．5
D ．
152
11．函数()1
ln 1y x x
=
-+的图象大致为( ) A ． B ．
C ．
D ．
12．设过定点(0,2)M 的直线l 与椭圆C ：2
212
x y +=交于不同的两点P ，Q ，若原点O 在以PQ 为直径
的圆的外部，则直线l 的斜率k 的取值范围为（ ） A ．65,2⎛⎫
-
⎪ ⎪⎝⎭
B ．665,,533⎛⎛-
⎝⎭⎝ C ．65⎝
D ．66
5,,5⎛⎛ ⎝⎭⎝
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

13．（5分）在平面直角坐标系xOy 中，过点(0,2)作倾斜角为135︒的直线l ，已知直线l 与圆
2220x y x +-=相交于,A B 两点，则弦AB 的长等于____________．
14． “直线l 1：10ax y ++=与直线l 2：430x ay ++=平行”是“a ＝2”的_______条件（填“充分不必要”、
16．三对父子去参加亲子活动，坐在如图所示的6个位置上，有且仅有一对父子是相邻而坐的坐法有________种（比如：B 与D 、B 与C 是相邻的，A 与D 、C 与D 是不相邻的）
.
三、解答题：共70分。

解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17．我们称n （n *
∈N ）元有序实数组（1x ，2x ，…，n x ）为n 维向量，
1
n
i
i x
=∑为该向量的范数.已知n
维向量()12,,,n a x x x =，其中{}1,0,1i x ∈-，1i =，2，…，n.记范数为奇数的n 维向量a 的个数为n A ，
这n A 个向量的范数之和为n B . （1）求2A 和2B 的值；
（2）当n 为偶数时，求n A ，n B （用n 表示）.
18．已知12(),100(1)F F -，
，分别是椭圆22
22:1,(0)x y C a b a b
+=>>的左焦点和右焦点，椭圆C 的离心率为5
A
B 、是椭圆
C 上两点，点M 满足12BM BA =. (1)求C 的方程；
(2)若点M 在圆221x y +=上，点O 为坐标原点，求OA OB ⋅的取值范围.
19．（6分）某市环保部门对该市市民进行了一次垃圾分类知识的网络问卷调查，每一位市民仅有一次参加机会，通过随机抽样，得到参加问卷调查的1000人的得分（满分：100分）数据，统计结果如下表所示． 组别 [)30,40
[)40,50
[)50,60
[)60,70
[)70,80
[)80,90
[)90,100
频数
25
150
200
250
225
100
50
（1）已知此次问卷调查的得分Z 服从正态分布(),210N μ，μ近似为这1000人得分的平均值（同一组中的数据用该组区间的中点值为代表），请利用正态分布的知识求()3679.5P Z <≤； （2）在（1）的条件下，环保部门为此次参加问卷调查的市民制定如下奖励方案. （ⅰ）得分不低于μ的可以获赠2次随机话费，得分低于μ的可以获赠1次随机话费； （ⅱ）每次赠送的随机话费和相应的概率如下表.
现市民甲要参加此次问卷调查，记X 为该市民参加问卷调查获赠的话费，求X 的分布列及数学期望．
14.5≈，若()2,X
N μσ，则()0.6827P X μσμσ-<≤+=，
()220.9545P X μσμσ-<≤+=，()330.9973P X μσμσ-<≤+=.
20．（6分）已知函数4()ln (2)(1)x
f x a x x
-=+--. （1）当1a =时.
①求函数()f x 在(2,(2))f 处的切线方程； ②定义1241
()()(
)n n S f f f n n
n
-=++
+其中N n *∈，求2020S ； （2）当2a ≠时，设(
)2
()()ln 4t x f x x x
=--，1()x
g x xe
-=(e 为自然对数的底数)，若对任意给定的
(]00,x e ∈，在(]0,e 上总存在两个不同的(1,2)i x i =，使得0()()i t x g x =成立，求a 的取值范围.
21．（6分）设函数2()sin()2cos 1(0)366
x x
f x ωπ
ωω=--+>，直线y =()f x 图象相邻两交点的距离为2π. （Ⅰ）求ω的值；
（Ⅱ）在ABC ∆中，角,,A B C 所对的边分别是,,a b c ，若点,02B ⎛⎫
⎪⎝⎭
是函数()y f x =图象的一个对称中心，且5b =，求ABC ∆面积的最大值.
22．（8分）已知ABC ∆的三个内角A B C ，，所对的边分别为a b c ，，，向量()12m =，
，2cos 2,cos 2A n A ⎛
⎫= ⎪⎝
⎭，且1m n ⋅=.
（1）求角A 的大小；
（2）若2b c a +==sin 4B π⎛
⎫
-
⎪⎝
⎭
的值 23．（8分）在直角坐标系xOy 中，以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，已知1C ：
2220x y y +-=，2C 6y +=，3C ：()00kx y k -=>.
（1）求1C 与2C 的极坐标方程
（2）若1C 与3C 交于点A ，2C 与3C 交于点B ，OA OB λ=，求λ的最大值.
参考答案
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．B 【解析】 【分析】
由三视图可知，该三棱锥如图, 其中底面ABC 是等腰直角三角形，PC ⊥平面ABC ,结合三视图求出每个面的面积即可. 【详解】
由三视图可知，该三棱锥如图所示：
其中底面ABC 是等腰直角三角形，PC ⊥平面ABC , 由三视图知，2,22,PC AB ==
因为,PC BC PC AC ⊥⊥,,AC BC AC CB =⊥, 所以2,2AC BC PA PB AB =====所以1
2222
PAC PCB ACB S S S ∆∆∆===⨯⨯=, 因为PAB ∆为等边三角形， 所以(2
233222344
PAB
S AB ∆==⨯=所以该三棱锥的四个面中，最大面积为23故选：B 【点睛】
2．B 【解析】
解：命题p ：∀x ＞0，ln （x+1）＞0，则命题p 为真命题，则￢p 为假命题； 取a=﹣1，b=﹣2，a ＞b ，但a 2＜b 2，则命题q 是假命题，则￢q 是真命题． ∴p ∧q 是假命题，p ∧￢q 是真命题，￢p ∧q 是假命题，￢p ∧￢q 是假命题． 故选B ． 3．D 【解析】 【分析】
根据函数定义域的求解方法可分别求得集合,A B ，由补集和交集定义可求得结果. 【详解】
{}()10,1A x x =->=-∞，()0,B =+∞，[)1,U A ∴=+∞，
()[)1,U A B ∴=+∞.
故选：D . 【点睛】
本题考查集合运算中的补集和交集运算问题，涉及到函数定义域的求解，属于基础题. 4．C 【解析】 【分析】
由题可0,12AD AB AC AD ⋅=⋅=,所以将已知式子中的向量用AD AB AC ，，表示，可得到的,x y 关系，再由,,B D C 三点共线，又得到一个关于,x y 的关系，从而可求得答案 【详解】
由BD xAB yAC =+，则
(1),[(](1)AD x AB y AC AD AD AD x AB y AC x AD AB y AD AC =++⋅=⋅++=+⋅+⋅，即412y =，
所以13y =，又,,B D C 共线，则11
11,,233
x y x x y ++==-+=-. 故选：C 【点睛】
此题考查的是平面向量基本定理的有关知识，结合图形寻找各向量间的关系，属于中档题. 5．A
先利用正弦定理将边统一化为角，然后利用三角函数公式化简，可求出解B. 【详解】
由正弦定理可得sin 2sin 2sin cos A C B A +=，即sin 2sin()2sin cos A A B B A ++=，即有
sin (12cos )0A B +=，因为sin 0A >，则1cos 2B =-，而(0,)B π∈，所以23
B π
=.
故选：A 【点睛】
此题考查了正弦定理和三角函数的恒等变形，属于基础题. 6．D 【解析】 【分析】
设圆锥底面圆的半径为r ，由轴截面面积为r ，再利用圆锥体积公式计算即可. 【详解】
设圆锥底面圆的半径为r ，由已知，1
22
r ⨯=r =
所以圆锥的体积2
13
V r π==3
. 故选：D 【点睛】
本题考查圆锥的体积的计算，涉及到圆锥的定义，是一道容易题. 7．A 【解析】 【分析】
直线l 的方程为)3y x c =+，令0x =，得3
y =，得到a,b 的关系，结合选项求解即可 【详解】
直线l 的方程为)y x c =
+，令0x =，得y =.b =，所以22222232a c b b b b =-=-=，只有选项A 满足条件.
故选：A 【点睛】
本题考查直线与双曲线的位置关系以及双曲线的标准方程，考查运算求解能力.
【详解】
设胡夫金字塔的底面边长为a ，由题可得
42a h =π，所以2
h a π=，
所以需要灯带的总长度约为44(22
h
+π⨯=π+
h ，故选D ．
9．A 【解析】 【分析】
根据实数0x 满足的等量关系，代入后将方程变形0
0002
42ln 5x x a a x x -⋅+⋅=+-，构造函数
()ln 5h x x x =+-，并由导函数求得()h x 的最大值；由基本不等式可求得00242x x a a -⋅+⋅的最小值，结
合存在性问题的求法，即可求得正数a 的取值范围. 【详解】
函数()2x
f x x a =+⋅，()ln 42x g
x x a -=-⋅，
由题意得()()0000002ln 425x x f x g x x a x a --=+⋅-+⋅=，
即0
000242ln 5x x a a x x -⋅+⋅=+-，
令()ln 5h
x x x =+-，
∴()111x
h x x x
-'=
-=， ∴()h x 在()01，上单调递增，在()1+∞，
上单调递减，
∴
()()14max h x h ==，而0024224x x a a a -⋅+⋅≥=，
当且仅当00242x x -=⋅，即当01x =时，等号成立， ∴44a ≤， ∴01a <≤. 故选：A. 【点睛】
本题考查了导数在求函数最值中的应用，由基本不等式求函数的最值，存在性成立问题的解法，属于中档题.
结合正弦定理、三角形的内角和定理、两角和的正弦公式，求得BC 边长，由此求得AC 边上的高. 【详解】
过B 作BD CA ⊥，交CA 的延长线于D .由于2cos 3A =-，所以A 为钝角，
且25
sin 1cos A A =-=，所以
()()sin sin sin CBA CBA A C π∠=-∠=+5321152sin cos cos sin 3
2
32
6
A C A C -=+=⨯-⨯=.在
三角形ABC 中，由正弦定理得sin sin a b A B
=，即152
5152-=-，所以25BC =.在Rt BCD ∆中有1
sin 2552
BD BC C ==⨯
=，即AC 边上的高为5. 故选：C
【点睛】
本小题主要考查正弦定理解三角形，考查三角形的内角和定理、两角和的正弦公式，属于中档题. 11．A 【解析】 【分析】
确定函数在定义域内的单调性，计算1x =时的函数值可排除三个选项． 【详解】
0x >时，函数为减函数，排除B ，10x -<<时，函数也是减函数，排除D ，又1x =时，1ln 20y =->，
排除C ，只有A 可满足． 故选：A. 【点睛】
本题考查由函数解析式选择函数图象，可通过解析式研究函数的性质，如奇偶性、单调性、对称性等等排除，可通过特殊的函数值，函数值的正负，函数值的变化趋势排除，最后剩下的一个即为正确选项．
设直线l ：2y kx =+，()11,P x y ，()22,Q x y ，由原点O 在以PQ 为直径的圆的外部，可得0OP OQ ⋅>，联立直线l 与椭圆C 方程，结合韦达定理，即可求得答案. 【详解】
显然直线0x =不满足条件，故可设直线l ：2y kx =+，
()11,P x y ，()22,Q x y ，由2
2122x y y kx ⎧+=⎪⎨⎪=+⎩，得()22
12860k x kx +++=，
()226424120k k ∆=-+>， ∴
解得k >
或k <，
∴122812k x x k +=-
+，12
2
612x x k =+，
02
POQ π
<∠<，
∴0OP OQ ⋅>，
∴()()1212121222OP OQ x x y y x x kx kx ⋅=+=+++
()()2
1212124k
x x k x x =++++()2222
22611610240121212k k k k k k
+-=
-+=>+++， ∴
解得k <<
∴直线l 的斜率k
的取值范围为6
,522k ⎛⎫⎛∈- ⎪ ⎪ ⎝⎭⎝
. 故选：D. 【点睛】
本题解题关键是掌握椭圆的基础知识和圆锥曲线与直线交点问题时，通常用直线和圆锥曲线联立方程组，通过韦达定理建立起目标的关系式，考查了分析能力和计算能力，属于中档题． 二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

13 【解析】 【分析】 【详解】
得1x =或2，从而得(1,1),(2,0)A B 或(2,0),(1,1)A B ，则||AB ==
方法二：依题意，知直线l 的方程为tan13522=⋅︒+=-+y x x ，代入圆的方程化简得2320x x -+=，设
1122(,),(,)A x y B x y ，则12123,2+==x x x x ，故||=AB .
方法三：将圆的方程配方得2
2
(1)1x y -+=,其半径1r =,圆心(1,0)到直线:20+-=l x y 的距离
=
=
d ，则||AB ==. 14．必要不充分 【解析】 【分析】
先求解直线l 1与直线l 2平行的等价条件，然后进行判断. 【详解】
“直线l 1：10ax y ++=与直线l 2：430x ay ++=平行”等价于a ＝±2，
故“直线l 1：10ax y ++=与直线l 2：430x ay ++=平行”是“a ＝2”的必要不充分条件． 故答案为：必要不充分. 【点睛】
本题主要考查充分必要条件的判定，把已知条件进行等价转化是求解这类问题的关键，侧重考查逻辑推理的核心素养. 15．1a ≤ 【解析】 【分析】
先求得与()g x 关于x 轴对称的函数()1h x x =+，将问题转化为()e x f x a =与()1h x x =+的图象有交点，即方程e 1x a x =+有解.对a 分成0,0,0a a a =<>三种情况进行分类讨论，由此求得实数a 的取值范围. 【详解】
因为()1g x x =--关于x 轴对称的函数为()1h x x =+，因为函数()e x f x a =与()1g x x =--的图象上存在关于x 轴的对称点，所以()e x f x a =与()1h x x =+的图象有交点，方程e 1x a x =+有解.
0a =时符合题意.
0a ≠时转化为1e (1)x x a =+有解，即e x y =，1(1)y x a =+的图象有交点，1
(1)y x a
=+是过定点(1,0)
-的直线，其斜率为1
a ，若0a <，则函数e x y =与1(1)y x a
=+的图象必有交点，满足题意；若0a >，设
e x
y=，
1
(1) y x
a
=
+相切时，切点的坐标为()
,e m
m，则
e1
1
1
e
m
m
m a
a
⎧
=
⎪⎪+
⎨
⎪=
⎪⎩
，解得1
a=，切线斜率为
1
1
a
=，由图可知，当
1
1
a
≥，即01
a
<≤时，e x
y=，
1
(1)
y x
a
=+的图象有交点，此时，2
()e x
f x a x
=-与2
()1
h x x x
=-++的图象有交点，函数2
()e x
f x a x
=-与2
()1
g x x x
=--的图象上存在关于x轴的对称点，综上可得，实数a的取值范围为1
a≤.
故答案为：1
a≤
【点睛】
本小题主要考查利用导数求解函数的零点以及对称性，函数与方程等基础知识，考查学生分析问题，解决问题的能力，推理与运算求解能力，转化与化归思想和应用意识.
16．192
【解析】
【分析】
根据题意，分2步进行分析：①，在三对父子中任选1对，安排在相邻的位置上，②，将剩下的4人安排在剩下的4个位置，要求父子不能坐在相邻的位置，由分步计数原理计算可得答案．
【详解】
根据题意，分2步进行分析：
①，在三对父子中任选1对，有3种选法，由图可得相邻的位置有4种情况，将选出的1对父子安排在相邻的位置，有3412
⨯=种安排方法；
②，将剩下的4人安排在剩下的4个位置，要求父子不能坐在相邻的位置，有222216
⨯⨯⨯=种安排方法，
则有且仅有一对父子是相邻而坐的坐法1612192
⨯=种；
故答案为：192
【点睛】
本题考查排列、组合的应用，涉及分步计数原理的应用，属于基础题．
三、解答题：共70分。

解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17．（1）24A =，24B =.（2）312
n
n A -=，()
1
31n n B n -=⋅-
【解析】 【分析】
（1）利用枚举法将范数为奇数的二元有序实数对都写出来，再做和；（2）用组合数表示n A 和n B ，再由
公式()1C C k k
n n n k n --=或11C C k k n n k n --=将组合数进行化简，得出最终结果.
【详解】
解：（1）范数为奇数的二元有序实数对有：()1,0-，()0,1-，()0,1，()1,0， 它们的范数依次为1，1，1，1，故24A =，24B =. （2）当n 为偶数时，在向量()123,,,
,n a x x x x =的n 个坐标中，要使得范数为奇数，则0的个数一定是
奇数，所以可按照含0个数为：1，3，…，1n -进行讨论：a 的n 个坐标中含1个0，其余坐标为1或1-，共有1
1
C 2
n n -⋅个，每个a 的范数为1n -；
a 的n 个坐标中含3个0，其余坐标为1或1-，共有3
3
C 2n n -⋅个，每个a 的范数为3n -；
a 的n 个坐标中含1n -个0，其余坐标为1或1-，
共有1
C 2n n -⋅个，每个a 的范数为1；所以 1133
1
C 2C 2
C 2n n n n n n n A ---=⋅+⋅++⋅，
()()1133
1
1C 23C 2C 2n n n n n n n B n n ---=-⋅⋅+-⋅⋅++⋅. 因为()0112221C 2C 2C 2
C n
n n n n
n n n n --+=⋅+⋅+⋅++，① ()
()01122
21C 2C 2C 2
1C n
n
n n n n
n n n n
---=⋅-⋅+⋅-+-，② 2
-①②得，113331C 2C 22
n n n n n
---⋅+⋅+
=， 所以312
n n A -=. 解法1：因为()()()()()11!!C C !!!1!
k
k n n n n n k n k n n k n k k n k --⇒-=-⋅
=⋅=---，
所以()()1
1
33
1
1C 2
3C 2
C 2n n n n n n n B n n ---=-⋅⋅+-⋅⋅++⋅.
()1133
1
111C 2C 2C 2n n n n n n n ------=⋅+⋅++⋅ ()123411112C 2C 2
C n n n n n n n ------=⋅+⋅++
()1
1312312n n n n --⎛⎫-=⋅=⋅- ⎪⎝⎭
.
解法2：
2
+①②得，022
31C 2C 22
n
n n n n
-+⋅+⋅+=.
又因为()()()()111!!C C !!1!!
k
k n n n n k k n n k n k k n k ---=⋅
=⋅=---，所以 ()()()()111!!C C !!1!!
k k n n n n k k n n k n k k n k ---=⋅
=⋅=--- ()()()1133
11133
1
C 2C 2
C 2C 23C 2
1C 2n n n n n n n n n n n n n n ------=⋅+⋅++⋅-⋅+⋅⋅++-⋅⋅
()()10
1
23
211
1
1
3131C
2
C
2
C
23122n n n n n n n n n n nA n n n --------⎛⎫-+=-⋅+⋅++⋅=⋅-=⋅- ⎪⎝⎭
. 【点睛】
本题考查了数列和组合，是一道较难的综合题.
18．（1）22
154
x y +=；
（2）1111,45⎡⎫--⎪⎢⎣⎭. 【解析】 【分析】
（1）根据焦点坐标和离心率，结合椭圆中,,a b c 的关系，即可求得,,a b c 的值，进而得椭圆的标准方程. （2）设出直线AB 的方程为y kx m =+，由题意可知M 为AB 中点.联立直线与椭圆方程，由韦达定理表示出1212,x x x x +，由判别式>0∆可得2254k m +>；由平面向量的线性运算及数量积定义，化简
OA OB ⋅可得21
14
OA OB AB ⋅=-
，代入弦长公式化简；由中点坐标公式可得点M 的坐标，代入圆的方程22
1x y +=，化简可得
()
2
2
2
254
2516
k m
k +=
+，代入数量积公式并化简，由换元法令21t k =+，代入可得
()()()
20812051259t t OA OB t t -⋅=-⨯--，再令1
s t =及52s ω=-，结合函数单调性即可确定1625950ωω
++的
取值范围，即确定()
()()
20851259t t t t ---的取值范围，因而可得OA OB ⋅的取值范围.
【详解】
（1）12(),100(1)F F -，
，分别是椭圆22
22:1,(0)x y C a b
a b
+=>>的左焦点和右焦点， 则1c =，椭圆C 的离心率为
5
则15
c e a a =
==
解得a =， 所以222514b a c =-=-=，
所以C 的方程为22
154
x y +=.
（2）设直线AB 的方程为y kx m =+，点M 满足12
BM BA =，则M 为AB 中点，点M 在圆22
1x y +=上，设()()1122,,,A x y B x y ，
联立直线与椭圆方程2215
4y kx m x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩，化简可得()
222
54105200k x kmx m +++-=，
所以212122
2
10520,,54
54
km m x x x x k k --+=
=
++
则()()()
2
2
2
104545200km k m ∆=-⨯+⨯->，化简可得2254k m +>， 而()()
OA OB OM MA OM MB ⋅=+⋅+
2
OM OM MB MA OM MA MB =+⋅+⋅+⋅
22
OM MB =-
21
14
AB =-
由弦长公式代入可得
2
2111144OA OB AB ⋅=-=-
2
2
211454k k ⎛+
=-⨯ ⎪+⎝
⎭
M 为AB 中点，则()121222254,,225454
M M k x x b x x km m
x y k k +++-=
===++
点M 在圆22
1x y +=上，代入化简可得
()
2
2
2
254
2516
k m
k +=
+，
所以()
222
22
154180454
k k m OA OB k ++-⋅=-⨯⨯+
()()()()
2222
12012120542516k k k k ++=-⨯++ 令2
1t k =+，则()
()()
20812051259t t OA OB t t -⋅=-⨯
--，1t ≥，
令1,01s s t
=<≤，则
()()()()()82020820819512595259525t t s t
t t s s t t -
--==----⎛⎫⎛⎫-- ⎪⎪
⎝
⎭⎝⎭ ()
()()
4525259s s s -=
--
令[)52,3,5s ωω=-∈，则52
s ω
-=
， 所以()()()()()4521616
25
5259559950
s s s ωωωωω
-==
--++++， 因为()25
950f ωωω
=+
+在[)3,5ω∈内单调递增，所以
1643,25
2516950ωω
⎛⎤∈ ⎥
⎝⎦
+
+，
即()()()20843,512592516t t t t -⎛⎤
∈ ⎥--⎝⎦
所以()()()2081111120,5125945t t OA OB t t -⎡⎫
⋅=-⨯
∈--⎪⎢--⎣⎭
【点睛】
本题考查了椭圆的标准方程求法，直线与椭圆的位置关系综合应用，由韦达定理研究参数间的关系，平面向量的线性运算与数量积运算，弦长公式的应用及换元法在求取值范围问题中的综合应用，计算量大，属于难题.
19．（1）0.8186；（2）见解析. 【解析】 【分析】
（1）根据题中所给的统计表，利用公式计算出平均数μ的值，再利用数据之间的关系将36、79.5表示为362μσ=-，79.5μσ=+，利用题中所给数据，以及正态分布的概率密度曲线的对称性，求出对应的概率；
（2）根据题意，高于平均数和低于平均数的概率各为
1
2
，再结合得20元、40元的概率，分析得出话费的可能数据都有哪些，再利用公式求得对应的概率，进而得出分布列，之后利用离散型随机变量的分布列
求出其数学期望. 【详解】
（1）由题意可得352545150552006525075225851009550
651000
μ⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯==，
易知14.5σ=
≈，36652965214.52μσ∴=-=-⨯=-，
79.56514.5μσ=+=+，
()()()()
3679.522P Z P Z P Z P Z μσμσμσμμμσ∴<≤=-<≤+=-<≤+<≤+()()0.95450.6827
022.818622
P X P X μσμσμσμσ+=
==-<≤++-<≤+；
（2）根据题意，可得出随机变量X 的可能取值有20、40、60、80元，
()13320248P X ==⨯=，()1113313
402424432P X ==⨯+⨯⨯=，
()113360224416P X ==⨯⨯⨯=，()1111
8024432
P X ==⨯⨯=.
所以，随机变量X 的分布列如下表所示：
所以，随机变量X 的数学期望为204060808
3216322
EX =⨯+⨯+⨯+⨯=. 【点睛】
本题考查概率的计算，涉及到平均数的求法、正态分布概率的计算以及离散型随机变量分布列及其数学期望，在解题时要弄清楚随机变量所满足的分布列类型，结合相应公式计算对应事件的概率，考查计算能力，属于中等题.
20．（1）①1y =；②8079；（2）3,21e ⎛
⎤
-∞- ⎥-⎝⎦
. 【解析】 【分析】
（1）①1a =时，4()1x f x ln x x -=+-，2244
()4x x f x x x
-+'=-，利用导数的几何意义能求出函数()f x 在()()22f ,处的切线方程．
②由4()1x f x ln x x -=+-，得()(4)2f x f x +-=，由此能求出2020128079
()()()202020202020
S f f f =++⋯+的值．
（2）根据若对任意给定的0(0x ∈，]e ，在区间(0，]e 上总存在两个不同的(1,2)i x i =，使得0()()
i t x g x =
成立，得到函数()t x 在区间(0，]e 上不单调，从而求得a 的取值范围． 【详解】
（1）①∵1a =，4()ln
1x
f x x x
-=+- ∴()ln(4)ln 1,(04)f x x x x x =--+-<< ∴()11
14f x x x
'=-
-+-，∴()20f '=，∵()21f =， 所以切线方程为1y =. ②
4()ln
1x f x x x -=+-，(4)ln 414x
f x x x
-=+--- ()(4)2,(04)f x f x x ∴+-=<<.
令i x n =
，则()(4)2i i
f f n n
+-=,(1,2,,41)i n =-. 因为1221
()()(4)(4)n S f f f f n n n n =+++-+-①,
所以1221
(4)(4)()()n S f f f f n n n n
=-+-+++②,
由①+②得22(41)n S n =-,所以*
41,(N )n S n n =-∈.
所以20208079S =. （2）111()(1)x
x x g x e
xe x e ---'=-=-，当(0,1)x ∈时，()0,g x '>函数()g x 单调递增；
当(]1,x e ∈时，()0g x '<，函数()g x 单调递减∵()00g =，()11g =，()20e
g e e -=>
所以，函数()g x 在(]0,e 上的值域为(]0,1. 因为2a ≠，
2(2)()
22()2a x a t x a x
x
--
-'=--
= ，(]0,x e ∈
故202e a <
<-，2
2a e
<-，① 此时，当x 变化时()t x '、()t x 的变化情况如下：
∵0x →，()t x →+∞
222ln 22t a a a ⎛⎫
=- ⎪--⎝⎭
，()()()212t e a e =--- ∴对任意给定的(]
00,x e ∈，在区间(]0,e 上总存在两个不同的(1,2)i x i =， 使得0()()i t x g x =成立，当且仅当a 满足下列条件
2()02()1t a t e ⎧≤⎪-⎨⎪≥⎩，即22ln
02(2)(1)21a a a e ⎧
-≤⎪-⎨
⎪---≥⎩②③
令()22ln
2h a a a =--，2,2a e ⎛
⎫∈-∞- ⎪⎝
⎭，
2()12[ln 2ln(2)]122
a h a a a a ''=---=-
=--， 当(,0)a ∈-∞时，()0'>h a ，函数()h a 单调递增，当2(0,2)a e
∈-时，()0h a '<，函数()h a 单调递减所
以，对任意2(,2)a e ∈-∞-，有()(0)0h a h ≤=，即②对任意2(,2)a e
∈-∞-恒成立.
由③式解得：3
2.1
a e ≤-
-④ 综合①④可知，当3,21a e ⎛⎤
∈-∞-
⎥-⎝
⎦
时，对任意给定的(]00,x e ∈， 在[)0,e 上总存在两个不同的()1,2i x i =，使0()()i t x g x =成立. 【点睛】
本题考查了导数的几何意义、应用导数研究函数的单调性、求函数最值问题，会利用导函数的正负确定函数的单调性，会根据函数的增减性求出闭区间上函数的最值，掌握不等式恒成立时所满足的条件．不等式恒成立常转化为函数最值问题解决． 21．（Ⅰ）3；（Ⅱ
【解析】 【分析】
(Ⅰ)函数2()sin(
)2cos 1366
x x
f x ωπ
ω=--+，利用和差公式和倍角公式，化简即可求得； (Ⅱ)由(Ⅰ)
知函数())3f x x π
=-
，根据点,02B ⎛⎫
⎪⎝⎭
是函数()y f x =图象的一个对称中心，代入可得B ，利用余弦定理、基本不等式的性质即可得出.
【详解】 (Ⅰ)
2()sin(
)2cos 1366
x x
f x ωπ
ω=--+
1cos 3sin
cos
cos
sin
213
6
3
6
2
x
x
x
ωωπ
ωπ
+=--⋅
+
3cos
323
x x
ωω=
-sin()33x ωπ=- ()f x ∴
()f x ∴最小正周期为2π
3ω∴=
(Ⅱ)由题意及（Ⅰ
）知())3
f x x π
=-
，23sin(
)0233
B B ππ
-=⇒= 22222251
cos 222a c b a c B ac ac +-+-===-,
2225
25225,3
ac a c ac ac
∴-=+-≥-
≤
故1sin 2ABC S ac
B ∆=
=≤
故ABC ∆. 【点睛】
本题考查三角函数的和差公式、倍角公式、三角函数的图象与性质、余弦定理、基本不等式的性质，考查理解辨析能力与运算求解能力，属于中档基础题. 22
．（1）3
A π
=（2）
4
【解析】 【分析】
()1利用平面向量数量积的坐标表示和二倍角的余弦公式得到关于cos A 的方程,解方程即可求解; ()2由()1知3
A π
=
,在ABC ∆中利用余弦定理得到关于,b c 的方程,与方程b c +=联立求出,b c ,进而
求出B ,利用两角差的正弦公式求解即可.
【详解】
()1由题意得，2
cos 22cos 2
A m n A ⋅=+, 由二倍角的余弦公式可得,
22
cos 22cos 1,2cos cos 12
A
A A A =-=+, 又因为1m n ⋅=，所以22cos cos 1A A +=， 解得1
cos 2
A =
或cos 1A =-，
∵0A π<<，∴3A π
=.
()2 在ABC ∆中,由余弦定理得2222cos a b c bc A =+-,
即22222122
b c bc b c bc =+-⋅=+-①
又因为b c +=,把b c =-代入①整理得，
230c -+=，解得c =，b =
所以ABC ∆为等边三角形，3B π=
， ∴sin sin sin cos cos sin 4343434B πππππππ⎛
⎫⎛⎫-=-=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
,
即1sin 422224B π⎛⎫
-
=-⨯= ⎪⎝⎭. 【点睛】 本题考查利用平面向量数量积的坐标表示和余弦定理及二倍角的余弦公式解三角形;熟练掌握余弦的二倍角公式和余弦定理是求解本题的关键;属于中档题、常考题型.
23．（1）1C 的极坐标方程为2sin ρθ=；2C cos sin 6θρθ+=（2）
12 【解析】
【分析】
（1）根据cos sin x y ρθρθ
=⎧⎨=⎩，代入即可转化. （2）由3C ：()00kx y k -=>，可得θα=，代入1C 与2C 的极坐标方程求出,OA OB ，从而可得
OA OB λ==，再利用二倍角公式、辅助角公式，借助三角函数的性质即可求解. 【详解】
（1）1C ：2220x y y +-=，22sin ρρθ∴=，
1C ∴的极坐标方程为2sin ρθ=
2C 6y +=，cos sin 6θρθ+=，
2C ∴cos sin 6θρθ+=，
（2）3C ：()00kx y k -=>，则θα=（α为锐角），
2sin OA α∴=，
OB =
OA
OB λ∴==
π2sin 11662
α⎛⎫-+ ⎪⎝⎭==≤，当π3α=时取等号. 【点睛】
本题考查了极坐标与直角坐标的互化、二倍角公式、辅助角公式以及三角函数的性质，属于基础题.。