【数学】河南省豫南九校2020学年高二上学期第一次联考数学文试题含解析

【关键字】数学
豫南九校2017—2018学年上学期第一次联考
高二数学（文科）试题
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1. 已知角α的终边过点P（3a，4a），且a<0，那么cosα等于（）
A. -
B.
C. -
D.
【答案】C
【解析】由题意得，选C.
2. 已知向量=（sinα，cosα），=（cosβ，sinβ），且∥，若α，β[0,]，则α＋β=（）
A. 0
B.
C.
D.
【答案】B
【解析】由向量平行可得，即，选B.
3. 已知数列{an}是等比数列，数列{bn}是等差数列，若a1·a5·a9=-8，b2+b5+b8=6，则的值是（）
A. B. C. - D. -
【答案】C
【解析】由题意得a1·a5·a9=，b2+b5+b8=，所以=，选C.
4. 若向量=（1，x），=（2x+3，-x）互相笔直，其中xR，则等于（）
A. -2或0
B. 2
C. 2或-2
D. 2或10
【答案】D
【解析】同两向量笔直可得或x=-1,当x=3时=，当x=-1时，=，选D.
5. 已知α（-，0）且sin2α=-，则sinα+cosα=（）
A. B. - C. - D.
【答案】A
【解析】,又α（-，0），所以，且，，所以
，选A.
6. △ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若<cosA，则△ABC为（）
A. 钝角三角形
B. 直角三角形
C. 锐角三角形
D. 等边三角形
【答案】A
【解析】由正弦定理可得，即，所以是钝角，选A.
7. 已知数列{an}是等差数列，若，且它的前n项和Sn有最大值，则使得Sn>0的n的最大值为（）
A. 11
B. 12
C. 21
D. 22
【答案】C
【解析】由题意得，由前n项和Sn有最大值可知等差数列{an}为递减，d<0.所以
，所以，所以n=21,选C.
8. 不解三角形，确定下列判断中正确的是（）
A. b=9，c=10，B=60°，无解
B. a=7，b=14，A=30°，有两解
C. a=6，b=9，A=45°，有两解
D. a=30，b=25，A=150°，有一解
【答案】D
【解析】A选项，两解，错。

B选项，，一解，错。

C选项，，一解，错。

D.选项，A为钝角，，一解，正确，选D.
9. 已知，且关于x的方程有实根，则与的夹角取值范围是（）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】由题意得，所以，又，所以，选B.
【点睛】
求平面向量夹角公式：，若，则
10. 函数f（x）=Asin（）（A>0，>0,0<<）的图象如图所示，则下列有关
f（x）性质的描述正确的是（）
A. =
B. x=，kZ为其所有对称轴
C. ，kZ为其减区间
D. f（x）向左移可变为偶函数
【答案】D
【解析】由图可知，A=1,，又，又0<<，所以，
，。

所以A错，所有对称轴为，B错。

要求减区间只需，即，即减区间为
，所以C错。

的图像向左平移个单位得
，即为偶函数，选项D对，选D.
【点睛】
三角函数的一些性质：
单调性：根据和的单调性来研究，由得单调增区间；由得单调减区间．
对称性：利用的对称中心为求解，令，求得.
利用的对称轴为 ()求解，令得其对称轴．
11. 设等比数列{a n}的前项和S n=2n-1（n N*）,则a12+a22+…+a n2=（）
A. （4n-1）
B. 4n-1
C. (2n-1)2
D. (2n-1)2
【答案】A
...............
【点睛】由于知道的表达式，所以应用公式可求的通项的表达式。

另外数列是等比数列，则均是等比数列。

12. 给出下列语句：
①若α、β均为第一象限角，且α>β，且sinα>sinβ；
②若函数y=2cos的最小正周期是4，则a=；
③函数y=的周期是；
④函数y=sinx+sin的值域是。

其中叙述正确的语句个数为（）
A. 0
B. 1
C. 2
D. 3
【答案】A
【解析】①错，不符。

②错。

③周期是④当时，y=,错。

所以
选A.
【点睛】
，的周期是，因为可正可负。

只有当b=0时，周期才是，其余情况周期都是。

二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

13. 不等式≧0的解集为___________.
【答案】
【解析】由题意得，所以解集为，填。

14. 已知锐角△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若sinA=，cosC=，a=1，则b=_________.
【答案】
【解析】因为cosC=，所以，因为，所以
因为，所以，所以
【点睛】（1）正弦定理的简单应用常出现在选择题或填空题中，一般是根据正弦定理求边或列等式．余弦定理揭示的是三角形的三条边与其中的一个角之间的关系，若题目中给出的关系式是“平方”关系，此时一般考虑利用余弦定理进行转化．
（2）在解有关三角形的题目时，要有意识地考虑用哪个定理更适合，或是两个定理都要用，要抓住能够利用某个定理的信息．一般地，如果式子中含有角的余弦或边的二次式，要考虑用余弦定理；如果遇到的式子中含有角的正弦或边的一次式时，则考虑用正弦定理；以上特征都不明显时，则要考虑两个定理都有可能用到．
（3）在解三角形的问题中，三角形内角和定理起着重要作用，在解题中要注意根据这个定理确定角的范围及三角函数值的符号，防止出现增解或漏解．
15. 已知f（x）=sin（>0），f=f,且f（x）在区间有最小值，无最大值，则=____________.
【答案】
【解析】由题意得，第一种情况是，此种情况不满足，因为相差周期，会既有最大值也有最小值，不符。

第二种情况是，
又在区间有最小值，无最大值，所以，且对称轴两个数代入一定是关于最小值时的对称轴对称，即，解得
，又，所以，填。

【点睛】
本题是考虑三角函数图像与性质综合，由于在区间有最小值，无最大值，且f=f，所以两个数之差一定小于周期，且两个x值一定关于最小值时的对称轴对称。

16. 已知a n=log2（1+），我们把满足a1+a2+…+a n（n N*）的和为整数的数n叫做“优数”，则在区间（0,2017）内的所有“优数”的和为___________.
【答案】2036
【解析】由题意得a n=log2（1+），所以
a1+a2+…+a n，要为整数，只需
所以和为，填2036
【点睛】
log2（1+）可以裂项是解本题的一个关键，所以求和是一个裂项求和。

三、解答题：共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17. 设f（x）=2x2+bx+c，已知不等式f（x）<0的解集是（1,5）.
（1）求f（x）的解析式；
（2）若对于任意x，不等式f（x）≦2+t有解，求实数t的取值范围。

【答案】（1）；（2）
【解析】试题分析：（1）由不等式解集与方程关系可知，1和5是方程2x2+bx+c=0的两个根,由根与系数关系可求得b,c.(2)由（1）得，所以分离参数得2x2-12x+8≤t
在[1，3]有解，即t≥，x。

试题解析：（1）∵f（x）=2x2+bx+c，且不等式f（x）＜0的解集是（1，5），
∴2x2+bx+c＜0的解集是（1，5），
∴1和5是方程2x2+bx+c=0的两个根，
由根与系数的关系知，
解得b=-12，c=10，∴
（2）不等式f（x）≤2+t在[1，3]有解，
等价于2x2-12x+8≤t在[1，3]有解，
只要t≥即可，
不妨设g（x）=2x2-12x+8，x∈[1，3]，
则g（x）在[1，3]上单调递减
∴g（x）≥g（3）=-10，
∴t≥-10，∴t的取值范围为[-10，+）
【点睛】
不等式存在性问题与恒成立问题一般都是转化函数最值问题，特别是能参变分离时，且运算不复杂，优先考虑参变分离，进而求不带参数的函数在区间上的最值问题。

18. 已知向量=（cos，sin），=（cos，-sin），且x。

（1）求及；
（2）当（0,1）时，若f（x）=-的最小值为-，求实数的值。

【答案】（1）；（2）
试题解析:（1），
∵，
∴. ∵，∴，因此.
（2）由（1）知，∴，
∵，当时，有最小值，解得.
综上可得：
【点睛】
求解三角函数的值域(最值)常见到以下几种类型的题目及求解方法
（1）形如y=a sin x＋b cos x＋k的三角函数化为y=A sin(ωx＋φ)＋k的形式，再求最值(值域)；（2）形如y=a sin2x＋b sin x＋k的三角函数，可先设sin x=t，化为关于t的二次函数求值域(最值)；
（3）形如y=a sin x cos x＋b(sin x±cos x)＋c的三角函数，可先设t=sin x±cos x，化为关于t 的二次函数求值域(最值)．
本题属于题型（2）。

19. 设数列{a n}的前n项和为S n，且S n=n2+2n（n N*）。

（1）求数列{a n}的通项公式；
（2）设，求数列{b n}的前n项和为T n。

【答案】（1）；（2）
【解析】试题分析;(1)由前n项和与项的关系，可求得。

（2）由（1），==
所以由错位相减法可求得,
试题解析;（1）解:因为
当时，
当n≥2时, ==
又因为也符合上式，
所以，nϵ．
（2）因为==
所以①
②
①－②得，
所以
【点睛】
当数列通项形式为，且数列{}是等差数列，数列是等比数列，则数列的前n 项和，我们常采用错位相减法。

20. 在△ABC中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，，且△ABC的面积为。

（1）若b=，求a+c的值；
（2）求2sinA-sinC的取值范围。

【答案】（1）；（2）
【解析】试题分析：（1）由向量的数量积公式和面积公式可求得，再由B角的余弦定理，可求。

（2）己知角, 所以统一成角C,化成关于角C的三角函数，注意角C的范围。

试题解析：（1）由得，①
由得，②
由①②得，，
又b=则3=-3ac，a+c=
（2）由（1）知
因为，所以，
所以的取值范围是
【点睛】在解决三角形问题中，面积公式最常用，因为公式中既有边又有角，容易和正弦定理、余弦定理联系起来.正、余弦定理在应用时，应注意灵活性，已知两角和一边，该三角形是确定的，其解是唯一的；已知两边和一边的对角，该三角形具有不唯一性，通常根据三角函数值的有界性和大边对大角定理进行判断.
21. 已知数列{a n}的前项和为S n，a1=，S n=n2a n-n（n-1），n N*。

（1）证明：数列是等差数列；
（2）设b n=，证明：数列{b n}的前n项和T n<1.
【答案】（1）见解析；（2）见解析
【解析】试题分析：（1）统一成，得（n2-1）S n=n2S n-1+n（n-1），两边同时除以，可证。

（2）由（1）得，b n==，裂项求和，可证。

试题解析：（1）证明：∵数列{a n}的前n项和为S n，
∴n≥2时，有a n=S n-S n-1，∴S n=n2（S n-S n-1）-n（n-1），
∴（n2-1）S n=n2S n-1+n（n-1），
又
∴数列是首项为1，公差为1的等差数列.
（2）结合（1）知=1+（n-1）×1=n，
∴S n= =，b n===
.
【点睛】当数列的递推关系是关于形式时，我们常采用公式
，统一成或统一成做。

由于本题第一问证明与有关，所以考虑统一成。

22. 在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且满足。

（1）求A的大小；
（2）若sin（B+C）=6cos B sin C，求的值.
【答案】（1）；（2）
【解析】试题分析：（1）由切化弦及正弦定理化角，可得。

（2）由，，再由正弦定理化为cosB,结合角B的余弦定理化边可求。

试题解析：（1）由
结合正弦定理得，
又
即
又
（2）由（1）知
①又由得
②
由①②得，即
解得
【点睛】（1）正弦定理的简单应用，一般是根据正弦定理求边或列等式．余弦定理揭示的是三角形的三条边与其中的一个角之间的关系，若题目中给出的关系式是“平方”关系，此时一般考虑利用余弦定理进行转化．
（2）在解有关三角形的题目时，要有意识地考虑用哪个定理更适合，或是两个定理都要用，要抓住能够利用某个定理的信息．一般地，如果式子中含有角的余弦或边的二次式，要考虑用余弦定理；如果遇到的式子中含有角的正弦或边的一次式时，则考虑用正弦定理；以上特征都不明显时，则要考虑两个定理都有可能用到．
（3）在解三角形的问题中，三角形内角和定理起着重要作用，在解题中要注意根据这个定理确定角的范围及三角函数值的符号，防止出现增解或漏解．
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