备考2020：中考数学命题陷阱

备考2020：中考数学命题陷阱
面对中考，今天给同学们推送一份礼物，让我们看看中考数学卷中的一些套路——命题老师最爱的32个陷阱，这也是大部分同学容易犯错丢分的知识点，请大家对照这些知识点将相关内容再过一遍！相信看过这些后，你即将要面对的中考数学题将不再有“陷阱”，这样的题目就像没了牙齿的老虎。

大家要在心理上轻视它，在态度上要重视它！
一、数学式
陷阱1：在较复杂的运算中，因不注意运算顺序或者不合理使用运算律，致使运算出现错误。

常见陷阱是在实数的运算中符号层层相扣。

陷阱2：要求随机或者在某个范围内代入求值时，注意所代值必须要使式子有意义，常见陷阱是候选值里有一个会使分母为零。

陷阱3：注意分式运算中的通分不要与分式方程计算中的去分母混淆。

陷阱4：非负数的性质：若几个非负数的和为0，则每个式子都为0；常见非负数有：绝对值，非负数的算术平方根，完全平方式。

陷阱5：五个基本数的混合运算：0指数，基本三角函数，绝对值，负指数，二次根式的化简，这些需牢记。

陷阱6：科学计数法中，精确度和有效数字的概念要清楚。

二、方程(组)与不等式(组)
陷阱1：运用等式性质解方程时，切记等式两边不能直接约去含有未知数的公因式，必须要考虑约去的含有未知数的公因式为零的情形。

陷阱2：常在考查不等式的题目时候埋设关于性质3的陷阱，许多人因忘记改变符号的方向而导致结果出错。

陷阱3：关于一元二次方程中求某参数的取值范围的题目中，埋设二次项系数包含参数这一陷阱，易忽视二次项系数不为0导致出错。

陷阱4：解分式方程时，首要步骤是去分母，分数相当于括号，易忘记最后对根的检验，导致运算结果出错。

陷阱5：关于一元一次不等式组有解无解的条件，易忽视相等的情况；利用函数图象求不等式的解集和方程的解时，注意端点处的取值。

三、函数
陷阱1：关于函数自变量的取值范围埋设陷阱。

注意：①分母≠0，二次根式的被开方数≥0，0指数幂的底数≠0；②实际问题中许多自变量的取值不能为负数。

陷阱2：根据一次函数的性质(或者实际问题、动点问题等)判断函数的图象出错，一次函数图象性质与k、b之间的关系掌握不到位。

陷阱3：二次函数y=ax2+bx+c的图象位置和参数a，b，c的关系。

常在选择题中的压轴题来考查。

陷阱4：在有些函数或方程的表述形式上埋设陷阱，如表述为“函数y=ax2+bx+c”，这里因为没有特别注明是二次函数，所以一定要注意当a=0的情况，如表述为“方程ax2+bx+c=0”，则该方程不一定为一元二次方程，故还要考虑当a=0的情况。

陷阱5：在关于二次函数的应用题中，常见陷阱是当y取得最值时，自变量x不在其范围内。

陷阱6：根据反比例函数性质比较大小时，要注意看两点是否在同一分支上，若不在同一分支上，则直接利用正负情况比较大小；若在同一分支上，则利用增减性判断；若末明确点所在象限，要分类讨论。

2019-2020学年数学中考模拟试卷
一、选择题
1．3的相反数是( )
A ．33
B ．﹣3
C ．﹣33
D ．3
2．若式子22(1)
m m +-有意义，则实数m 的取值范围是（ ） A ．m ＞﹣2
B ．m ＞﹣2且m≠1
C ．m≥﹣2
D ．m≥﹣2且m≠1 3．经党中央批准、国务院批复自2018年起，将每年秋分日设立为“中国农民丰收节”，据国家统计局数据显示，2018年某省夏季粮食总产量达到2389000吨，将数据“2389000”用科学记数法表示为（ ）
A ．238.9×104
B ．2.389×106
C ．23.89×105
D ．2389×103
4．北京市将在2019年北京世园会园区、北京新机场、2022年冬奥会场馆等地，率先开展5G 网络的商用示范.目前，北京市已经在怀柔试验场对5G 进行相应的试验工作.现在4G 网络在理想状态下，峰值速率约是100Mbps ，未来5G 网络峰值速率是4G 网络的204.8倍，那么未来5G 网络峰值速率约为( )
A ．1×102 Mbps
B ．2.048×102
Mbps C ．2.048×103 Mbps D ．2.048×104 Mbps 5．如图，长宽高分别为2，1，1的长方体木块上有一只小虫从顶点A 出发沿着长方体的外表面爬到顶点B ，则它爬行的最短路程是（ ）
A ．10
B ．5
C ．22
D ．3
6．如图，是根据九年级某班50名同学一周的锻炼情况绘制的条形统计图，下面关于该班50名同学一周锻炼时间的说法错误的是（ ）
A ．平均数是6
B ．中位数是6.5
C ．众数是7
D ．平均每周锻炼超过6小时的人数占该班人数的一半
7．如图，设一枚5角硬币的半径为1个单位长度，将这枚硬币放置在平面内一条数轴上，使硬币边缘上一点P与原点O重合，让这枚硬币沿数轴正方向无滑动滚动，转动一周时，点P到达数轴上点P'的位置，则点P'所对应的数是（）
A．2πB．6.28 C．πD．3.14
8．如图,将边长为8cm的正方形纸片ABCD折叠,使点D落在AB边中点E处,点C落在点Q处,折痕为FH,则线段AF的长是（）
A.3cm
B.4cm
C.5cm
D.6cm
9．我市某储运部紧急调拨一批物资，调进物资共用4小时，调进物资2小时后开始调出物资（调进物资与调出物资的速度均保持不变）.储运部库存物资S（吨）与时间t（小时）之间的函数关系如图所示，这批物资从开始调进到全部调出需要的时间是（）
A．4小时B．4.3小时C．4.4小时D．5小时
10．如图，己知点A是双曲线y=kx-1(k>0)上的一个动点，连AO并延长交另一分支于点B，以AB为边作等边△ABC，点C在第四象限．随着点A的运动，点C的位置也不断变化，但点C始终在双曲线y=mx-1(m<0)上运动，则m与k的关系是（）
-k C．m= -2k D．m= -3k
A．m= -k B．m=3
11．若x>y，a<1，则（）
A．x>y+1 B．x+1>y+a C．ax>ay D．x－2>y－1
12．如图，在同一平面内，将△ABC绕点A逆时针旋转50°到△AB′C′的位置，使得C′C∥AB，则∠CAB 等于（）
A ．50°
B ．60°
C ．65°
D ．70°
二、填空题 13．在Rt △ABC 中，∠ABC ＝90°，∠C ＝30°，AC ＝8，BD 为边AC 上的中线，点E 在边BC 上，且BE ：BC ＝3：8，点P 在Rt △ABC 的边上运动，当PD ：AB ＝1：2时，EP 的长为_____．
14．在平面直角坐标系xOy 中，点A (,)(0)t t t >是直线y x =上一点，点B (0,)m 是y 轴上一点，且AB=6，则△AOB 面积的最大值是________．
15．如图，飞机于空中A 处观测其正前方地面控制点C 的俯角为30°，若飞机航向不变，继续向前飞行1000米至B 处时，观测到其正前方地面控制点C 的俯角为45°，那么该飞机与地面的高度是___米（保留根号）．
16．抛物线y ＝x 2﹣2x+m 与x 轴只有一个交点，则m 的值为_____．
17．计算：﹣6+4＝_____．
18．计算：（2﹣1）0﹣（﹣
12
）﹣2＝___． 三、解答题
19．已知：正方形ABCD ，等腰直角三角板的直角顶点落在正方形的顶点D 处，使三角板绕点D 旋转．
（1）当三角板旋转到图1的位置时，猜想CE 与AF 的数量关系，并加以证明；
（2）在（1）的条件下，若DE ：AE ：CE ＝1：7：3，求∠AED 的度数；
（3）若BC ＝4，点M 是边AB 的中点，连结DM ，DM 与AC 交于点O ，当三角板的边DF 与边DM 重合时（如
图2），若OF ＝53
，求DF 和DN 的长． 20．如图，在平面直角坐标系中，Rt △ABC 的三个顶点分别是A （﹣4，1），B （﹣1，3），C （﹣1，1）
（1）将△ABC 以点C 为旋转中心旋转180°，画出旋转后对应的△A 1B 1C 1；平移△ABC ，若A 对应的点A 2坐标为（﹣4，﹣5），画出△A 2B 2C 2；
（2）若△A 1B 1C 1绕某一点旋转可以得到△A 2B 2C 2，直接写出旋转中心坐标 ．
（3）在x 轴上有一点P 使得PA+PB 的值最小，直接写出点P 的坐标 ．
21．计算：（﹣3）0+|1-2|+27﹣（12
）﹣1 22．若一个正整数能表示为两个连续自然数的平方差，则称这个正整数为“和谐数”。

如：1=12-02 ，
7=42-32 ， 因此1和7都是“和谐数”。

（1）判断11是否为“和谐数”，并说明理由．
（2）下面是某个同学演算后发现的两个命题，请选择其中一个命题，判断真假，并说明理由． 命题1：数2n-1(n 为正整数)是“和谐数”。

命题2：“和谐数”一定是奇数。

23．已知四边形ABCD 内接于O ，AB 为O 的直径，148BCD ∠=︒.
（Ⅰ）如图①，若E 为AB 上一点，延长DE 交O 于点P ，连接AP ，求APD ∠的大小； （Ⅱ）如图②，过点A 作O 的切线，与DO 的延长线交于点P ，求APD ∠的大小.
24．已知AB 为O 的直径，EF 切O 于点D ，过点B 作BH EF ⊥于点H ，交O 于点C ，连接BD .
(Ⅰ)如图①，若BDH 65∠=︒，求ABH ∠的大小；
(Ⅱ)如图②，若C 为BD 的中点，求ABH ∠的大小.
25．如图，已知△ABC ．按如下步骤作图：①以A 为圆心，AB 长为半径画弧；②以C 为圆心，CB 长为半径画弧，两弧相交于点D ；③连结BD ，与AC 交于点E ，连结AD ，CD
（1）求证：△ABC ≌△ADC ；
（2）若∠BAC ＝30°，∠BCA ＝45°，BC ＝2；
①求∠BAD 所对的弧BD 的长；②直接写出AC 的长．
【参考答案】***
一、选择题 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
答案 B D B D C A A A C D
B C 二、填空题
13．32或392或312
14．992+
15．()5003500+
16．1
17．﹣2
18．﹣3．
三、解答题
19．（1）CE ＝AF ，见解析；（2）∠AED ＝135°；（3）5DF =，53
DN =
. 【解析】
【分析】
（1）由正方形和等腰直角三角形的性质判断出△ADF≌△CDE即可；
（2）设DE=k，表示出AE，CE，EF，判断出△AEF为直角三角形，即可求出∠AED；
（3）由AB∥CD，得出
1
2
OM OA AM
OD OC DC
===，求出DM，DO，再判断出△DFN∽△DCO，得到
DF DN
DC DO
=，
求出DN、DF即可．
【详解】
解：（1）CE＝AF，
在正方形ABCD和等腰直角三角形CEF中，FD＝DE，CD＝AD，∠ADC＝∠EDF＝90°，∴∠ADF＝∠CDE，
∴△ADF≌△CDE（SAS），
∴CE＝AF；
（2）设DE＝k，
∵DE：AE：CE＝1：7：3
∴AE＝7k，CE＝AF＝3k，
∴EF＝2k，
∵AE2+EF2＝7k2+2k2＝9k2，AF2＝9k2，
即AE2+EF2＝AF2
∴△AEF为直角三角形，
∴∠AEF＝90°
∴∠AED＝∠AEF+DEF＝90°+45°＝135°；
（3）∵M是AB的中点，
∴MA＝1
2
AB＝
1
2
AD，
∵AB∥CD，
∴△MAO∽△DCO，
∴
1
2 OM OA AM
OD OC CD
===，
在Rt△DAM中，AD＝4，AM＝2，∴DM＝25，
∴DO＝45
3
，
∵OF＝
5
3
，
∴DF＝5，
∵∠DFN＝∠DCO＝45°，∠FDN＝∠CDO，
∴△DFN ∽△DCO ， ∴DF DN DC DO =，即54543
DN =， ∴DN ＝53
． 【点睛】
此题是几何变换综合题，主要考查了正方形，等腰直角三角形的性质，全等三角形的性质和判定，相似三角形的性质和判定，勾股定理及其勾股定理的逆定理，判断△AEF 为直角三角形是解本题的关键，也是难点．
20．（1）见解析；（2）（﹣1，﹣2）；（3）13,04⎛⎫-
⎪⎝⎭
. 【解析】
【分析】
（1）（1）根据性质的性质得到A 1（2，1）、C 1（-1，1）、B 1（-1，-1），再描点；由于点A 2的坐标为（-4，-5），即把△ABC 向下平移6个单位得到△A 2B 2C 2，则B 2（-1，-3）、C 2（-1，-5），然后描点；
（2）根据△A 1B 1C 绕某一点旋转可以得到△A 2B 2C 2，连接两对对应点即可得出旋转中心；
（3）根据A 点关于x 轴对称点为A′，连接A′B，求出直线A′B 的解析式，即可求出P 点坐标即可．
【详解】
解：（1）如图所示，△A 1B 1C 1，△A 2B 2C 2即为所求．
（2）如图所示，点Q 即为所求，其坐标为（﹣1，﹣2），
故答案为：（﹣1，﹣2）；
（3）如图所示，点P 即为所求，
设直线A′B 的解析式为y ＝kx+b ，
将点A′（﹣4，﹣1），B （﹣1，3）代入，得：
413
k b k b -+=-⎧⎨-+=⎩， 解得：4k 313b 3⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩
，
∴直线A′B的解析式为
413
33
y x
=+，
当y＝0时，413
0 33
x+=，
解得x＝﹣13
4
，
∴点P的坐标为（﹣13
4
，0）．
故答案为：（﹣13
4
，0）．
【点睛】
此题主要考查了图形的平移与旋转，轴对称求最短距离，待定系数法求一次函数解析式，及一次函数图像与坐标轴的交点等知识，利用轴对称求最小值问题是考试重点，同学们应重点掌握．
21．3
【解析】
【分析】
将原式中每一项分别化为121332
+-+-再进行化简．
【详解】
解：原式＝12133233
+-+-=；
【点睛】
本题考查实数的运算；熟练掌握运算性质，绝对值的意义，负整数指数幂，零指数幂是解题的关键．22．（1）11是“和谐数”，理由：11=62-52；（2）选择命题1 ，命题1是真命题；理由见解析.
【解析】
【分析】
（1）由于 11=62-52，根据“和谐数” 的定义，判断出11是“和谐数” ；
（2）选择命题1 ，设 n与（n-1）是连续自然数，利用这两个连续自然数的平方差等于 2n-1 ，根据“和谐数” 的定义，判断出 2n-1 是“和谐数” ，所以命题1是真命题；选择命题2 ，设两个连续自然数分别为n+1和n，利用这两个连续自然数的平方差等于 2n+1 ，得出“和谐数”一定是奇数。

所以命题2是真命题
【详解】
（1）解：11是“和谐数”。

理由如下：:11=62-52
（2）解：选择命题1
∵2n-1=n2-（n-1）2，且n为正整数。

∴n与（n-1）是连续自然数
∴数2n-1是“和谐数”。

所以命题1是真命题。

选择命题2
设两个连续自然数分别为n+1和n．
∴任意“和谐数”可表示为：(n+1）2-n2=2n+1．
∴“和谐数”一定是奇数。

所以命题2是真命题
【点睛】
掌握平方差公式：（a+b ）（a-b ）=a 2-b 2
23．（Ⅰ）；58APD ∠=︒；（Ⅱ）26APD ∠=︒.
【解析】
【分析】
（Ⅰ）连接BD ，根据圆内接四边形的对角互补得出BAD 32∠=︒，再根据直径所对的圆周角是直角得出ADB 90∠=︒，从而求出ABD ∠，再根据同弧所对的圆角角相等即可得出APD ∠的度数.
（Ⅱ）连接AD,根据等腰三角形的性质，可得ADO OAD 32∠∠==︒，再根据切线的性质和三角形即可得出APD ∠度数.
【详解】
解：
（Ⅰ）连接BD ，
∵四边形ABCD 是圆内接四边形，
∴BCD BAD 180.∠∠+=︒
∵BCD 148,∠=︒
∴BAD 32.∠=︒
又AB 是O 的直径，
∴BDA 90.∠=︒
∴BAD ABD 90,∠∠+=︒
∴ABD 58.∠=︒
∴APD ABD 58.∠∠==︒
（Ⅱ）连接AD,由（Ⅰ）可知：BAD 32,∠=︒
又OA OD =，可得ADO OAD 32,∠∠==︒
∵DP 切
O 于点A,
∴OA PA ⊥，即PAO 90.∠=︒ 则PAD PAO OAD 122,∠∠∠=+=︒ 在APD 中，
∵PAD ADO APD 180,∠∠∠++=︒ ∴APD 26∠=︒. 【点睛】
本题考查了圆内接四边形定理、圆周角定理、切线的性质等知识，熟练掌握相关的定理定义是解题的关键. 24．(Ⅰ)∠ABH=50°；(Ⅱ)60ABH ∠=︒. 【解析】 【分析】
(Ⅰ)连接OD ，由切线性质可得OD ⊥EF ，根据锐角互余的关系可求出∠ODB 和∠DBH 的度数，根据等腰三角形的性质可求出∠OBD 的度数，根据∠ABH=∠ABD+∠DBH 即可得答案；(Ⅱ) 连接OD ，OC ，由C 为BD 的中点可得DOC BOC ∠∠=，由平行线性质可得DOC OCB ∠∠=，根据等腰三角形的性质可得
OCB OBC ∠∠=，即可证明△OCB 是等边三角形，即可得答案.
【详解】 (Ⅰ)连接OD . ∵EF 切
O 于点D ，
∴OD EF ⊥.
∵BDH 65=︒，BH EF ⊥， ∴ODB DBH 25∠∠==︒. ∵OB OD =，
∴ABD ODB 25∠∠==︒.
∴ABH ABD DBH 50∠∠∠=+=︒.
(Ⅱ)连接OD ，OC . 由(Ⅰ)可得OD//BH ， ∴DOC OCB ∠∠=， ∵C 为BD 的中点， ∴DOC BOC ∠∠=. ∴OCB BOC ∠∠=.
∵OB OC =， ∴OCB OBC ∠∠=. ∴ΔOCB 为等边三角形， ∴ABH 60∠=︒.
【点睛】
本题考查了切线的性质、等腰三角形的性质及等边三角形的判定，圆的切线垂直于经过切点的半径；运用切线的性质来进行计算或论证，常通过作辅助线连接圆心和切点，利用垂直构造直角三角形解决有关问题． 25．（1）见解析；（2）①223
BD π
= ；②62AC =+ . 【解析】 【分析】
（1）由“SSS”可证△ABC ≌△ADC ；
（2）①由题意可得AC 垂直平分BD ，可得BE=DE ，AC ⊥BD ，由直角三角形的性质可得BE=CE=2，AB=2BE=22，AE=3BE=6，由等腰三角形的性质可得∠BAD=2∠BAC=60°，由弧长公式可求弧BD 的长；
②由AC=AE+CE 可求解． 【详解】
证明：（1）由题意可得AB ＝AD ，BC ＝CD ， 又∵AC ＝AC
∴△ABC ≌△ADC （SSS ）； （2）①∵AB ＝AD ，BC ＝CD ∴AC 垂直平分BD ∴BE ＝DE ，AC ⊥BD ∵∠BCA ＝45°，BC ＝2；
∴BE ＝CE ＝2，且∠BAC ＝30°，AC ⊥BD ∴AB ＝2BE ＝22，AE ＝3BE ＝6 ∵AB ＝AD ，AC ⊥BD ∴∠BAD ＝2∠BAC ＝60°
∴602222BD 1803
ππ
︒︒
⨯⨯== ②∵AC ＝AE+CE
∴AC＝26
【点睛】
本题考查了全等三角形的判定和性质，直角三角形的性质，等腰三角形的性质，弧长公式，灵活运用这些性质解决问题是本题的关键．
2019-2020学年数学中考模拟试卷
一、选择题
1．下列分式中，最简分式是（ ）
A.2211x x -+
B.211
x x +- C.222
2x xy y x xy
-+- D.236212
x x -+ 2．如图，已知直线y ＝
3
34
x -，与x 轴、y 轴分别交于A 、B 两点，P 是以C （0，1）为圆心，1为半径的圆上一动点，连结PA 、PB ，则△PAB 面积的最小值是（ ）
A.6
B.5.5
C.5
D.4.5
3．已知：1+3＝4＝22
，1+3+5＝9＝32
，1+3+5+7＝16＝42
，1+3+5+7+9＝25＝52
，…，根据前面各式的规律可猜测：101+103+105+…+199＝（ ） A ．7500
B ．10000
C ．12500
D ．2500
4．如果关于x 的一元二次方程x 2﹣kx+2＝0中，k 是投掷骰子所得的数字（1，2，3，4，5，6），则该二次方程有两个不等实数根的概率为（ ）
A.
B.
C.
D.
5．适合下列条件的△ABC 中，直角三角形的个数为（ ） ①a 13=
，b 14
=，c 1
5=②a=6，∠A=45°；③∠A=32°，∠B=58°；④a=7，b=24，c=25⑤a=2，b=2，c=4．
A ．2个
B ．3个
C ．4个
D ．5个
6．如图，已知AB 是⊙O 的直径，点C 在⊙O 上，∠CAB ＝30°，AC ＝33，则图中阴影部分的面积是（ ）
A ．3
9
324
π-
B ．
32
π C ．
3924
π- D ．9
334
π-
7．如图，线段AB 是两个端点在2
(0)y x x
=
>图象上的一条动线段，且1AB =，若A B 、的横坐标分别为a b 、，则()()2
2214b a a b ⎡⎤⎣⎦
--+的值是( )
A ．1
B ．2
C ．3
D ．4
8．我们知道：用形状，大小完全相同的一种或几种平面图形进行拼接，彼此间不留空隙，不重叠地铺成一片，就是平面图形的镶嵌．那么从若干正三角形，正四边形，正五边形，正六边形中，只选择一种正多边形进行拼接，能够镶嵌的概率是（ ） A.
14
B.
12
C.
34
D.1
9．王老师从家门口骑车去单位上班，先走平路到达A 地，再上坡到达B 地，最后下坡到达工作单位，所用的时间与路程的关系如图所示．若王老师下班时，还沿着这条路返回家中，回家途中经过平路、上坡、下坡的速度不变，那么王老师回家需要的时间是
A ．15分钟
B ．14分钟
C ．13分钟
D ．12分钟
10．下列运算正确的是（ ） A ．236a a a ⋅= B ．22423a a a += C ．23
6
(2)2a a -=- D ．4
2
2
()a a a ÷-=
11．计算：
11
x x x
+-＝（ ） A ．1
B ．2
C ．1+
2
x
D ．
2
x x
- 12．在边长为a 的正方形中挖去一个边长为b 的小正方形（a ＞b ）（如图甲），把余下的部分拼成一个长方形（如图乙），根据两个图形中阴影部分的面积相等，可以验证（ ）
A.（a+2b ）（a ﹣b ）＝a 2+ab ﹣2b 2
B.a 2﹣b 2＝（a+b ）（a ﹣b ）
C.（a+b ）2＝a 2+2ab+b 2
D.（a ﹣b ）2
＝a 2
﹣2ab+b 2
二、填空题
13．某市去年约有65700人参加中考，这个数据用科学记数法可表示为 ． 14．如图，双曲线k
y x
=经过,A C 两点，//BC x 轴，射线OA 经过点B ，2,8OBC
AB OA S ==，则k 的
值为__________．
15．如图，已知正方形ABCD ，点M 是边BA 延长线上的动点（不与点A 重合），且AM ＜AB ，△CBE 由△DAM 平移得到．若过点E 作EH ⊥AC ，H 为垂足，则有以下结论：①点M 位置变化，使得∠DHC=60°时，2BE=DM ；②无论点M 运动到何处，都有DM=2HM ；③无论点M 运动到何处，∠CHM 一定大于135°．其中正确结论的序号为_____．
16．如图，//m n ，1115∠=︒，2100∠=︒，则3∠=______°；
17．若一次函数3y x b =+的图象经过第一、三、四象限，则b 的值可以是_________（写出一个即可）. 18．如图，在▱ABCD 中，AB ＝13，AD ＝4，将▱ABCD 沿AE 翻折后，点B 恰好与点C 重合，则折痕AE 的长为_____．
三、解答题
19．汽车专卖店销售某种型号的汽车．已知该型号汽车的进价为10万元/辆，销售一段时间后发现：当该型号汽车售价定为15万元/辆时，平均每周售出8辆；售价每降低0.5万元，平均每周多售出2辆． （1）若要平均每周售出汽车不低于15辆，该汽车的售价最多定为多少万元？
（2）该店计划下调售价，尽可能增加销量，减少库存，但要确保平均每周的销售利润为40万元，每辆汽
车的售价定为多少合适？
20．为了实现伟大的强国复兴梦，全社会都在开展“扫黑除恶”专项斗争，某区为了解各学校老师对“扫黑除恶”应知应会知识的掌握情况，对甲、乙两个学校各180名老师进行了测试，从中各随机抽取30名教师的成绩（百分制），并对成绩（单位：分）进行整理、描述和分析，给出了部分成绩信息． 成绩（分） 频数 学校 90≤x＜92
92≤x＜94
94≤x＜96
96≤x＜98
98≤x≤100
甲校
2
3
5
10
10
甲校参与测试的老师成绩在96≤x＜98这一组的数据是：96，96.5，97，97.5，97，96.5，97.5，96，96.5，96.5
甲、乙两校参与测试的老师成绩的平均数平均数、中位数、众数如下表： 学校 平均数 中位数 众数 甲校 96.35 m 分 99分 乙校
95,85
97.5份
99分
根据以上信息，回答下列问题： （1）m ＝ ；
（2）在此次随机抽样测试中，甲校的王老师和乙校的李老师成绩均为97分，则在各自学校参与测试老师中成绩的名次相比较更靠前的是 （填“王”或“李”）老师，请写出理由；
（3）在此次随机测试中，乙校96分以上（含96分）的总人数比甲校96分以上（含96分）的总人数的2倍少100人，试估计乙校96分以上（含96分）的总人数．
21
．先化简，再求代数式22224242x x x x x x --⎛⎫
÷-- ⎪-+⎝⎭
的值，其中x ＝4cos60°+3tan30°．
22．在□ABCD 中，经过A 、B 、C 三点的⊙O 与AD 相切于点A ，经过点C 的切线与AD 的延长线相交于点P ，连接AC ．
（1）求证：AB ＝AC ；
（2）若AB ＝4，⊙O 的半径为5，求PD 的长．
23．如图，在四边形ABCD 中，对角线AC 与BD 相交于点O ，AC ⊥BD ，AC 平分∠BAD ．
（1）给出下列四个条件：①AB ＝AD ，②OB ＝OD ，③∠ACB ＝∠ACD ，④AD ∥BC ，上述四个条件中，选择一个合适的条件，使四边形ABCD 是菱形，这个条件是（填写序号）；
（2）根据所选择的条件，证明四边形ABCD是菱形．
24．阅读与思考：
阿基米德（公元前287年一公元前212年），伟大的古希腊哲学家、百科式科学家、数学家、物理学家、力学家，静态力学和流体静力学的奠基人，阿基米德流传于世的著作有10余种，多为希腊文手稿下面是《阿基米德全集》中记载的一个命题：AB是⊙O的弦，点C在⊙O上，且CD⊥AB于点D，在弦AB上取点E，使AD＝DE，点F是BC上的一点，且CF＝CA，连接BF可得BF＝BE．
（1）将上述问题中弦AB改为直径AB，如图1所示，试证明BF＝BE；
（2）如图2所示，若直径AB＝10，EO＝1
2
OB，作直线l与⊙O相切于点F．过点B作BP⊥l于点P．求
BP的长．
25．某药厂销售部门根据市场调研结果，对该厂生产的一种新型原料药未来两年的销售进行预测，并建立如下模型：设第t个月该原料药的月销售量为P（单位：吨），P与t之间存在如图所示的函数关系，其图象是函数p＝（0＜t≤8）的图象与线段AB的组合；设第t个月销售该原料药每吨的毛利润为Q（单位：万元），Q与t之间满足如下关系：
Q＝
（1）当8＜t≤24时，求P关于t的函数解析式；
（2）设第t个月销售该原料药的月毛利润为W（单位：万元）．
①求W关于t的函数解析式；
②第几个月销售该原料药的月毛利润最大？对应的月销售量是多少？
【参考答案】*** 一、选择题
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 答案 A B A A A A D C A D A B
二、填空题 13．57×104
． 14．2 15．①②③ 16．145
17．-1（答案不唯一）． 18．3 三、解答题
19．（1）若要平均每周售出汽车不低于15辆，该汽车的售价最多定为13.25万元；（2）每辆汽车的售价定为12万元更合适． 【解析】 【分析】
（1）设汽车的售价为x 万元，由题意可得每周多售出1520.5
x
-⨯辆车，再根据每周售出汽车不低于15辆列出方程求得即可；
（2）设每辆汽车售价y 万元，根据每辆的盈利×销售的辆数=40万元，列方程求出y 的值并结合尽可能增加销量的要求选出合适的售价即可。

【详解】
（1）设汽车的售价为x 万元，由题意得：
1528150.5
x
-⨯+≥ 解得13.25x ≤
答：若要平均每周售出汽车不低于15辆，该汽车的售价最多定为13.25万元. （2）每辆汽车的售价为y 万元，由题意得：
15(10)82400.5y y -⎛⎫
-+⨯= ⎪⎝⎭
化简，得y 2﹣27y+180＝0解得：y 1＝12，y 2＝15， 由于希望增大销量，定价12万元售价更合适 答：每辆汽车的售价定为12万元更合适． 【点睛】
此题主要考查了一元二次方程的应用，本题关键是会表示一辆汽车的利润，销售量增加的部分．找到关键描述语，找到等量关系：每辆的盈利×销售的辆数=40万元是解决问题的关键．
20．（1）96.5；（2）王；（3）140人．
【解析】
【分析】
（1）根据中位数的定义即可解决问题；
（2）利用中位数的性质即可判断；
（3）首先确定甲校的96分以上人数为206120
⨯=人，再求出乙校的96分以上的人数即可. 【详解】
解：（1）中位数
96.596.5
96.5
2
+
==，
故答案为96.5．
（2）根据中位数即可判断，甲校的王老师成绩在各自学校参与测试老师中成绩的名次相比较更靠前．
故答案为王．
（3）甲校的96分以上人数为206120
⨯＝人，
所以乙校的96分以上的人数为2120100140
⨯-=人．
【点睛】
本题考查了用样本估计总体，中位数，平均数，众数等，理解题意，灵活运用所学知识解决问题是解题关键.
21．
1
2
x-
,
3
3
【解析】
【分析】
先把括号内通分，再把除法转化为乘法，并把分子、分母分解因式约分. 【详解】
解：原式＝
2
2
(2)424 (2)22 x x x x
x x x
⎛⎫---
÷-
⎪-++
⎝⎭
＝
22
22 x x x x x
-
÷
++
＝
2
2(2) x x
x x x
+
⋅
+-
＝
1
2
x-
，
当x＝4cos60°+3tan30°＝
13
4323
23
⨯+⨯=+时，
原式＝
113
3 2323
==
+-
.
【点睛】
本题考查了分式的混合运算：分式的混合运算，要注意运算顺序，式与数有相同的混合运算顺序；先乘方，
再乘除，然后加减，有括号的先算括号里面的；最后结果分子、分母要进行约分，注意运算的结果要化成最简分式或整式．
22．（1）见解析，（2）25 5
【解析】
【分析】
（1）连接AO并延长交BC于点E，交⊙O于点F，由切线的性质可得∠FAP=90°，根据平行四边形的性质可得∠AEB=90°，由垂径定理点BE=CE，根据垂直平分线的性质即可得AB=AC；（2）连接FC，OC，设OE ＝x，则EF＝5－x，根据AF为直径可得∠ACF=90°，利用勾股定理可得CF的长，利用勾股定理可证明OC2－OE2＝CF2－EF2，即可求出x的值，进而可得EC、BC的长，由平行线性质可得∠PAC=∠ACB，由切线长定理可得PA=PC，即可证明∠PAC=∠PCA，由AB=AC可得∠ABC=∠ACB，利用等量代换可得∠ABC=∠PAC，即可证明△PAC∽△ABC，根据相似三角形的性质可求出AP的长，根据PD=AP-AD即可得答案.
【详解】
（1）连接AO并延长交BC于点E，交⊙O于点F．
∵AP是⊙O的切线，AF是⊙O的直径，
∴AF⊥AP，
∴∠FAP＝90°．
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC．
∴∠AEB＝∠FAP＝90°，
∴AF⊥BC．
∵AF是⊙O的直径，AF⊥BC，
∴BE＝CE．
∵AF⊥BC，BE＝CE，
∴AB＝AC．
（2）连接FC，OC．
设OE＝x，则EF＝5－x．
∵AF是⊙O的直径，
∴∠ACF＝90°．
∵AC＝AB＝4，AF＝25，
∴在Rt△ACF中，∠ACF＝90°，
∴CF＝22
AF AC
＝2．
∵在Rt△OEC中，∠OEC＝90°，
∴CE2＝OC2－OE2．
∵在Rt△FEC中，∠FEC＝90°，
∴CE2＝CF2－EF2．
∴OC2－OE2＝CF2－EF2.即2
(5)－x2＝22－（5－x）2．
解得x＝35
5
．
∴EC＝22
OC OE
-＝45
5
．
∴BC＝2EC＝85
5
．
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD＝BC＝85
5
．
∵AD∥BC，
∴∠PAC＝∠ACB．
∵PA，PC是⊙O的切线，
∴PA＝PC．
∴∠PAC＝∠PCA．
∵AB＝AC，
∴∠ABC＝∠ACB．
∴∠PAC＝∠ABC，∠PCA＝∠ACB．∴△PAC∽△ABC，
∴AP
AB
＝
AC
BC
．
∴AP＝AC
BC
·AB＝25．
∴PD＝AP－AD＝25
5
．
【点睛】
本题考查切线的性质、圆周角定理的推论、垂径定理、平行四边形的性质及相似三角形的判定与性质，直径所对的圆周角是直角；圆的切线垂直于过切点的半径；垂直于弦的直径平分弦，且平分弦所对的两条弧；有两个角对应相等的两个三角形相似；熟练掌握相关性质及定理是解题关键.
23．（1）④（2）见解析
【解析】
【分析】
（1）根据平行四边形的判定选择的条件能使四边形ABCD是平行四边形，然后即可证明四边形ABCD是菱形；
（2）首先证明△AOB≌△AOD，然后结合AD∥BC可得到AB＝AD= BC，根据平行四边形的判定可得四边形ABCD是平行四边形，再由AC⊥BD可证□ABCD是菱形.
【详解】
解：（1）选择④可以使四边形ABCD是菱形．
（2）证明：
∵AC⊥BD，∴∠AOB＝∠AOD＝90°．
∵AC平分∠BAD，∴∠BAO＝∠DAO．
又∵AO＝AO，∴△AOB≌△AOD．
∴AB＝AD．
∵AD∥BC，∴∠DAO＝∠BCO．
又∵∠BAO＝∠DAO，∴∠BAO＝∠BCO．
∴BA＝BC．
∴AD＝BC．
又∵AD∥BC，∴四边形ABCD是平行四边形．
又∵AC⊥BD，∴□ABCD是菱形．
【点睛】
本题考查平行四边形的判定和性质以及菱形的判定和性质，灵活运用性质定理进行推理论证是解题关键.
24．（1）见解析；（2）
45
8 BP .
【解析】
【分析】
（1）连接CE、BC，证出△CEB≌△CFB，则可得出结论；
（2）先求BE长，证出△AFB∽△FPB，得比例线段即可求出BP长．【详解】
（1）如图1所示，连接CE、BC，
∵CD⊥AB，AD＝DE，
∴AC＝CE，
∴∠CAE＝∠CEA，
又∵AC CF
=，
∴CA＝CF，∠FBC＝∠EBC，
∴CE＝CF，
又∵∠A+∠F＝180°，∠CEA+∠CEB＝180°，∴∠CEB＝∠F，
∴△CEB≌△CFB（AAS），
∴BE＝BF；
（2）如图2所示，连接AF，
∵AB＝10，EO＝1
2 OB，
∴EB＝7.5，
∵AB为⊙O的直径，
∴∠AFB＝90°，
∵l与与⊙O相切于点F，∴∠OFP＝90°，
∴∠AFO＝∠BFP，
又∵OF＝OA，
∴∠OAF＝∠OFA，
∴∠OAF＝∠BFP，
∵BP⊥l于点P，
∴∠BPF＝90°，
∴△AFB∽△FPB，
BP BF
BF BA
∴=，
即
7.5 7.510 BP
=，
45
8
BP
∴=．
【点睛】
本题考查了圆内接四边形的性质、圆周角定理、等腰三角形的性质、全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质、勾股定理的应用等知识．
25．（1）p＝t+2;（2）①见解析;②第21个月， 529元.
【解析】
【分析】
（1）设8＜t≤24时，p＝kt+b，把A,B点代入即可解答.
（2）①根据题意分情况进行讨论当0＜t≤8时，w＝240；当8＜t≤12时，w＝2t2+12t+16；当12＜t≤24时，w＝﹣t2+42t+88；②分情况讨论：当8＜t≤12时，w＝2（t+3）2﹣2；t＝12时，取最大值，W＝448；当12＜t≤24时，w＝﹣（t﹣21）2+529，当t＝21时取得最大值529；
【详解】
解：
（1）设8＜t≤24时，p＝kt+b
将A（8，10）、B（24，26）代入，得
，解得
∴当8＜t≤24时，P关于t的函数解析式为：p＝t+2
（2）①当0＜t≤8时，w＝（2t+8）×＝240
当8＜t≤12时，w＝（2t+8）（t+2）＝2t2+12t+16
当12＜t≤24时，w＝（﹣t+44）（t+2）＝﹣t2+42t+88
综上所述，W关于t的函数解析式为：
②当8＜t≤12时，w＝2t2+12t+16＝2（t+3）2﹣2
∵8＜t≤12时，W随t的增大而增大
∴t＝12时，取最大值，W＝2（12+3）2﹣2＝448,
当12＜t≤24时，w＝﹣t2+42t+88＝﹣（t﹣21）2+529
∵12＜t≤24时，当t＝21时取得最大值，此时的最大值为529
∴第21个月销售该原料药的月毛利润最大，对应的月销售量是529元.
【点睛】
本题考查了二次函数在实际生活中的应用．最大销售利润的问题常利用函数的增减性来解答，我们首先要吃透题意，确定变量，建立函数模型，然后结合实际选择最优方案．。