数学模型的应用

数学建模
数模作业（第一章）
P21
第一章
6、利用节药物中毒施救模型确定对于孩子(血液容量为2000ml)以及成人(血液容量为
4000ml)服用氨茶碱能引起严重中毒和致命的最小剂量。

解：设孩子服用氨茶碱能引起严重中毒的最小剂量为1A ，则由节中的药物中毒施救模型可知:
在胃肠道中药物的量为
0.13861()t
x t A e -=，而在血液系统中药物的量为
0.11550.13861()6()
t t y t A e e --=-，再令0.11550.13861()()/6()t
t y t y t A e
e --==-再做出()y t 的图像如下：
由图可知()y t 具有最大值，设在这个最大值max ()y t 在孩子血液中容量的比例为严重中毒的比例100/g ml μ以及致命的比例200/g ml μ即为孩子服用氨茶碱的最小剂量。

于是可以去求这个最小剂量。

由上图可知最大值位于8t h =左右, 利用Mathematics 去找出这个最大值。

求得max ()=0.0669y t ，而7.892t h =。

于是孩子服用氨茶碱引起严重中毒的最小剂量1A 有式子1max 6()/2000100/A y t ml g ml μ=，从而得此时1498256.1A g μ=同理可以求
的孩子服用氨茶碱致命的最小剂量为996512.2g μ。

而成人服用氨茶碱严重中毒与致命的最小剂量分别为996512.21993024.4g g μμ、。

7、对于节的模型，如果采用的是体外血液透析的办法，求解药物中毒施救模型的血液中药量的变化并作图。

解：由题可算得：
t=0:2:20
y=275*exp*t)+*exp*t) plot(t,y,'b:')
第二章
3、根据节中的流量数据(表2)和(2)式作插值的数值积分，按照连续模型考虑均流池的容量(用到微积分的极值条件)。

解：可以将表2中的数据建立散点图以及平均值，如下：
h=0:1:23
y=[,,,,,,,,,,,,,,,279,,,,,,,,] x1=0::23; t=sum(y)/24;
02468101214161820
50100150200250300350
400
plot(h,y,'-',x1,t) hold on
plot(h,y,x1,'b.')
0510152025
另一方面由(1)()()c t c t f t g +=+-，经过转化(1)()
()lim ()1
c t c t c t f t g +-'≈=-，从而
即可转为0
00()()(),()()t
t c t f x dx g t t f x f t t =
--⎰
是的插值函数，是某个初始时刻。

又
因为要求出均流池的最大容量max ()c t ，就要令()=0c t '，即().f t g =从中求出时间t 的值，
再去求max ()c t 。

从书中可知23
31
1()203.67/24t g f t m h ===∑，又有散点图中可知存在两个时间点12(8,9),(2223)t t ∈∈，
使得().f t g =接下来我们来求出这两个时间12,t t ，不妨在时间段(89)(2223)，、，做插值并求出12,t t 即可求得128.45,22.208.t h t h ≈≈于是()c t 在1t 时刻或者2t 时刻达到最大值，显然不可能在1t 时刻。

事实上，在1t 之前()f t 均小于g 所以()c t 不可能达到最大值，故只能在222.208t h ≈达到最大值。

利用插值后的数值以及以直代曲的方法来求积分
()t
t f x dx ⎰
，从而可以利用数学软件MATLAB 求得最大值(代码见附录4)为
3917.08m .若要考虑25%的裕量，可按照31146.4m 来设计均流池。

数模作业（第二章插值法）
P56
3、题目：根据节中的流量数据（表2）和（2）式作插值和数值积分，按照连续模型考虑考虑均流池的容量（用到微积分的极值条件）。

分析：我们已知的只有数据的散点。

通过已学知识，用matlab画图，画出散点所形成的曲线。

建立matlab文件e。

m文件，输入的代码为：
h=0:1:23
y=[,,,,,,,,,,,,,,,279,,,,,,,,]
x1=0::23;
t=sum(y)/24;
plot(h,y,'*-',x1,t)
hold on
plot(h,y,x1,'r+')
在matlab工作区间运行结果为：
现用插值进行运算： 在matlab 中建立M 文件 x = 0:23;
y = [ 261 279 ]; h = 0::23;
t = interp1(x, y, h, 'spline') %一维插值
利用插值后的数值来求积分
()t
t f x dx
，从而利用如下MATLAB 代码求得最大值为
3917.0773m .若要考虑25%的裕量，可按照31146.346625m 来设计均流池。

在matlab 中建立M 文件 clear; a = ; x = 0:23;
y = [ 261 279 ]; h = 0::23;
t = interp1(x, y, h, 'spline'); %一维插值 t1 = t(2:22209); m = * (sum(t1)') - * ; Max = m + a %容量
数模作业（第四章）
1、（1）解：根据题意及表格信息，可列出下列关系试。

设投资证券A ，B,C,D,E 的证券的金额分别为
54321,,,,x x x x x ，则：
⎪⎪⎪
⎪⎪
⎩
⎪⎪
⎪⎪⎪⎨
⎧≥≤++++≤+++++++≤++++++≥++++++=0,,,,1052341594
.15224045.0022.0025.0027.0043.0max 543215432143215
43214321532143254321x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x
x x x x x x x x x x x z （1）
整理后得：
⎪⎪⎪⎩⎪
⎪⎪⎨⎧≥≤++++≤---+≤+--+≥++++++=0
,,,,1003210403644664
045.0022.0025.0027.0043.0max 5432154321543215432143254321x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x z （2）
在LINGO 中输入如下命令： model :
max =*x1+*x2+*x3+*x4+*x5; x2+x3+x4>=4;
6*x1+6*x2-4*x3-4*x4+36*x5<=0; 4*x1+10*x2-x3-2*x4-3*x5<=0; x1+x2+x3+x4+x5<=10; End
运行后所得结果：
Global optimal solution found.
Objective value:
Total solver iterations: 4
Variable Value Reduced Cost
X1
X2
X3
X4
X5
Row Slack or Surplus Dual Price
1
2
3
4
5
可得：A ，C ，E 分别投资百万元、百万元、百万元，最大税后收益为百万元。

（2）由于（1）可知，增加1百万元收益增加百万元。

以%借到1百万元资金需要税收百万元，故借钱合算，列出下列模型：
⎪⎪⎪⎩⎪
⎪⎪⎨⎧≥≤++++≤---+≤+--+≥++++++=0
,,,,1103210403644664
045.0024.0025.0027.0043.0max 5432154321543215432143254321x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x z （3）
在lingo 中输入如下命令： model :
max =*x1+*x2+*x3+*x4+*x5; x2+x3+x4>=4;
6*x1+6*x2-4*x3-4*x4+36*x5<=0; 4*x1+10*x2-x3-2*x4-3*x5<=0; x1+x2+x3+x4+x5<=11; end
运行结果如下：
Global optimal solution found.
Objective value:
Total solver iterations: 4
Variable Value Reduced Cost
X1
X2
X3
X4
X5
Row Slack or Surplus Dual Price
1
2
3
4
5
因此解得A，C，E分别投资百万元、百万元、百万元，最大税后收益为百万元。

（3）若A税前增加到%，则有：
model:
max=*x1+*x2+*x3+*x4+*x5;
x2+x3+x4>=4;
6*x1+6*x2-4*x3-4*x4+36*x5<=0;
4*x1+10*x2-x3-2*x4-3*x5<=0;
x1+x2+x3+x4+x5<=10;
end
运行得到：
Global optimal solution found.
Objective value:
Total solver iterations: 0
Variable Value Reduced Cost
X1
X2
X3
X4
X5
Row Slack or Surplus Dual Price
1
2
3
4
5
所以不用改变投资方案。

若C税前收益减少为%，则有：
model:
max=*x1+*x2+*x3+*x4+*x5;
x2+x3+x4>=4;
6*x1+6*x2-4*x3-4*x4+36*x5<=0;
4*x1+10*x2-x3-2*x4-3*x5<=0;
x1+x2+x3+x4+x5<=10;
end
运行结果为：
Global optimal solution found.
Objective value:
Total solver iterations: 0
Variable Value Reduced Cost
X1
X2
X3
X4
X5
Row Slack or Surplus Dual Price
1
2
3
4
5
所以要改变投资方案。

3、假设储蓄所每天雇佣的全时服务员中从12点到1点中，为午餐时间的有名1x ，从1点到2点为午餐时间的有名2x 。

半时服务员中从9点、10点、11点、12点、1点开始工作的分别为：
54321,,,,y y y y y 名。

列出相应的模型：
model :
min =100*x1+100*x2+40*y1+40*y2+40*y3+40*y4+40*y5; x1+x2+y1>=4; x1+x2+y1+y2>=3; x1+x2+y1+y2+y3>=4; x2+y1+y2+y3+y4>=6; x1+y2+y3+y4+y5>=5; x1+x2+y3+y4+y5>=6;
x1+x2+y4+y5>=8;
x1+x2+y5>=8;
y1+y2+y3+y4+y5<=3;
@gin(x1);@gin(x2);@gin(y1);@gin(y2);@gin(y3);@gin(y4);@gin(y5);
end
运行结果为：
Global optimal solution found.
Objective value:
Extended solver steps: 0
Total solver iterations: 23
Variable Value Reduced Cost
X1
X2
Y1
Y2
Y3
Y4
Y5
Row Slack or Surplus Dual Price
1
2
3
4
5
6
8
9
10
所以最优解为x1=3,x2=4,y1=0,y2=0,y3=2,y4=0,y5=1，最小用费为820元。

4、（1）假设四个季度开始时，公司招聘的保姆数量分别为4321,,,x x x x 人，4个季度开始时
保姆总数量分别为4321,,,s s s s 人，建立模型如下：
model :
min =s1+s2+s3+s4; 65*s1>=6000+5*x1; 65*s2>=7500+5*x2; 65*s3>=5500+5*x3; 65*s4>=9000+5*x4; s1=120+x1; s2=*s1+x2; s3=*s2+x3; s4=*s3+x4; end
运行结果如下：
Global optimal solution found.
Objective value: Total solver iterations: 1
Variable Value Reduced Cost
S1
S2
S4
X1
X2
X3
X4
Row Slack or Surplus Dual Price
1
2
3
4
5
6
7
8
9
因此，4个季度开始时，公司新招聘的保姆数量分别为0,15,0,59人。

（2）允许解雇的条件下，设4个季度开始时的保姆数量分别为4321,,,s s s s 人，4个季度公司
新招的保姆数分别为
4321,,,x x x x 人，相对应的4个季度结束时解雇的保姆数分别为
4321,,,y y y y 人，重新建立模型如下：
model :
min =s1+s2+s3+s4; 65*s1>=6000+5*x1; 65*s2>=7500+5*x2; 65*s3>=5500+5*x3;
65*s4>=9000+5*x4;
s1=120+x1;
s2=*s1+x2-y1;
s3=*s2+x3-y2;
s4=*s3+x4-y3;
end
运行结果如下：
Global optimal solution found.
Objective value:
Total solver iterations: 0
Variable Value Reduced Cost
S1
S2
S3
S4
X1
X2
X3
X4
Y1
Y2
Y3
Row Slack or Surplus Dual Price
1
2
3
4
5
6
7
8
9
因此，四个季度新招聘保姆人数分别为：0、15、0、72人。

四个季度结束后解雇保姆人数分别为：0、15、0.
6、假设混合池中甲、乙、丁所占的比例分别为421,,x x x ，A 类产品中来自混合池和原料丙的吨数分别为11,z y 吨，B 类产品来自混合池和原料丙的吨数分别为22,z y 吨。

优化目标总利润最大。

建立模型如下： model :
max =(9-6*x1-16*x2-15*x4)*y1+(15-16*x1-16*12-15*x4)*y2+(9-10)*z1+(15-10)*z2; x4*(y1+y2)<=50; y1+y2<=100; y2+z2<=200; (3*x1+x2+**z1<=0; (3*x1+x2+*y2+*z2<=0; x1+x2+x4=1; end
运行结果为：
Local optimal solution found.
Objective value: Total solver iterations: 4
Variable Value Reduced Cost X1
X2
X4
Y1
Y2
Z1
Z2
Row Slack or Surplus Dual Price
1
2
3
4
5
6
7
数模作业（第六章）
对于节蛛网模型讨论下列问题：
因为一个时段上市的商品不能立刻售完，其数量也会影响到下一时段的价格，所以第1k +时段的价格
1
k y +由第1k +时段和第k 时段的数量
1
k x +和
k
x 决定。

如果仍设
1
k x +仍只取决于
k
y ，给出稳定平衡的条件，并与节的结果进行比较。

若除了
1
k y +由
1
k x +和
k
x 决定之外，
1
k x +也由前两个时段的价格
k
y 和
1
k y -确定。

试分析稳定
平衡的条件是否还会放宽。

解：（1）记第k 时段商品的数量为k
x ，这一时段的价格为
,1,2,...k y k =
由于第1k +时段的价格
1
k y +由第1k +时段和第k 时段的数量
1
k x +和
k
x 决定，所以我们假设
1
k y +由
1
k x +和
k
x 的平均值决定，所以反映消费者对这种商品的需求关系，即需求函数为
11(
)2k k
k x x y f +++=，而供应函数不变，即为1()k k x h y +=。

所以上面的式子可以分别近似
为110
0100(),02(),0k k k k k x x y y x x x y y ααββ++++⎧
-=-->⎪⎨
⎪-=->⎩
从二式中可以得到：
210
22(1)k k k x x x x αβαβαβ++++=+，与节中的模型的推广的结果相
同，所以平衡点稳定的条件为2αβ<。

（2）
1
k y +由
1
k x +和
k
x 决定，
1
k x +也由
k
y 和
1
k y -得平均值决定，所以可以得到需求函数为
11(
)2k k k x x y f +++=，而供应函数为1
1()2k k k y y x h -++=。

所以上面的式子可以分别近似为
模型为11001100(),02(),02k k k k k k x x y y x y y x x y ααββ++-++⎧-=-->⎪⎪⎨
+⎪-=->⎪⎩
从二式中可以得到：
32142k k k k x x x x c
αβαβαβ++++++=，c 由
00
,,,x y αβ决定。

所以得
到它的特征方程为
32420λαβλαβλαβ+++=。

要使该方程的所有特征根均在单位圆内，即1
λ<,必须2αβ<。

所以平衡点稳定的条件为2αβ<。

5、在节按年龄分组的种群增长模型中，设一群动物最高年龄为15岁，每5岁一组，分成3个年龄组，各组的繁殖率为
1230,4,3
b b b ===，存活率为
121/2,1/4
s s ==，开始时3
组各有1000只。

求15年后各组分别有多少只，以及时间充分长以后种群的增长率（即固有增长率）和按年龄组的分布。

解：（1）由节建立的模型可知：当矩阵L 和按年龄组的初始分布向量x （0）已知时，可以
预测任意时段k 种群按年龄组的分布为：
()(0),1,2,k
x k L x k ==，这样就可以计算出时
段k 种群的各组数量。

由题目中所给数据可以得到：
0431*******
L ⎛
⎫ ⎪ ⎪
⎪= ⎪
⎪ ⎪⎝
⎭，
1000(0)10001000x ⎡⎤⎢⎥
=⎢⎥
⎢⎥⎣⎦，k=3 根据公式，用MATLAB 输入数据，运行如下： >> L=[0 4 3;1/2 0 0;0 1/4 0]; >> A=L^3 A =
0 0 >> B=[1000 1000 1000]' B =
1000
1000
1000
>> A*B
ans =
14375
1375
875
由上面数据可以得到：15年后各组分别有14375只，1375只，875只。

（2）时间充分长后，求种群的增长率（即固有增长率）和按年龄组的分布情况，这就是稳定状况分析。

由定理1的内容可知：
L矩阵有唯一的正特征根，且是单重的，它对应的正特征向量为
*
2
1/21/8
[1,,] x
λλ=
同时，定理1表明L矩阵的特征方程为
3
3
(2)0
8
λλ
-+=
解得方程可以得到：
3
2
λ=
，即为固有增长率的值。

由固有增长率的值可以得到：特征向量为
*(1,1/3,1/18)T
x=。

由定理二可知：
*(1,1/3,1/18)T
x=就是表示种群按年龄组的分布状况，即稳定分布。