8-旋转矩阵

该形式的旋转矩阵式罗德里格于1840年推倒而得 到的，因而称罗德里格矩阵。需要指出的是罗德 里格矩阵中三个参数a，b，c并不是方向余弦。
例题：
1、已知： 147'22"; 051'42"; 023'42";求：
① R , , R , R 和R
②计算 ' , ' , ' 和A, , v
RT R ( I S )( I S ) 1 ( I S )( I S ) 1 ( I S ) 1 ( I S )( I S )( I S ) 1 ( I S ) 1 ( I S )( I S )( I S ) 1 I


本节内容：旋转矩阵构成
旋转矩阵中有９个元素，只有３个是独立参数 （因为姿态角有三个）
a1 a2 R b1 b2 c c 2 1
a3 b2 c3
研究R构成规律的目的是：为了计算R矩阵的方便和快 速，尽量少的计算三角函数！
旋转矩阵构成有三种方法
用角元素构成旋转矩阵 利用３个独立方向余弦构成旋转矩阵 用反对称矩阵三元素构成
二、利用３个独立方向余弦构成旋转矩阵
利用正交矩阵的性质，给定３个独立元素
a2，a3，b3
b3 2 2 1 a3 b3 a3
其它６个元素为
2 c3 1 a3 b32 2 2 a1 1 a2 a3
旋转矩阵的构成为 1 a2 a2 2 3 a a b a c Ｒ＝ 1 3 3 2 2 3 1 a3 a2b3 a3b2 a2 1 b12 b32 a3b1 a1b3
回想：R矩阵的性质
1、R是正交矩阵。即行、列、对角线元素平方和为 “1”,行列式的值是“1”。 1 T R R 2、正交矩阵的逆矩阵是它本身的转置即 。 3、R矩阵的9个元素中只有3个是独立的，是三个旋转 角的函数。 4、无论采用坐标系统如何(旋转参数不同)，但R是不 变的。因为其转换关系是唯一确定的。所以有课本上 2-10的公式。 tan a3 / c3 tan ' b3 / c3 tan A a3 / b3 ' sin b3 sin a3 cos c3 ' tan b1 / b2 tan a / a tan c / c 2 1 1 2
.32m, YA 223343 .71m , ③若有一地面点坐标为X A 670296 Z A 1243 .65m 求对应的像点坐标(其中: X s 670548 .52, Ys 223344 .32, Z s 1708 .75. )
2、已知a2 0.485454 , a3 0.521132 , b3 0.123445 （１）试计算旋转矩阵 ； （２）计算反对称矩阵 的３个元素； （３）计算以Ｙ为主轴 的个姿态角。
ab 2c ac 2b 2 b 1 bc 2a 4 bc 2a 1 c2
其中
1 c c 1 b a 1 a 2 b2 c2
b a 1
为行列式的值。经整理得：
1 a 2 b 2 c 2 2c 2ab 2b 2ac 1 R 2c 2ab 1 a 2 b2 c2 2a 2bc 2 2 2 2b 2ac 2 a 2 bc 1 a b c
３、以Z为主轴的坐标系统中，R矩阵中的九个 元素是
a1 cos A cos v sin A cos sin v a 2 cos A sin v sin A cos cos v a3 sin A sin b1 sin A cos v cos A cos sin v b2 sin A sin v cos A cos cos v b cos A sin 3 c1 sin sin v c 2 sin cos v c3 cos
b1
a1a3b3 a2 c3 2 1 a3
b2 1 b12 b32 c1 a2b3 a3b2 c2 a3b1 a1b3
二、反对称矩阵三元素构成旋转矩阵
在一个方阵内，当对角线上个元素为零，而与主对 角线相对称的各元素值ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ等且符号相反时，该矩阵 称为反对称矩阵。例如
0 c b S c 0 a 0 b a
其特点是 S T S 。用单位阵I加反对称矩阵S与单位阵 减反对称矩阵的逆矩阵的逆矩阵相乘 I S I S 1 也是 一个正交矩阵。 1 R ( I S )( I S ) 设 ,因为
一、用角元素构成旋转矩阵
１、采用以Ｙ为主轴的坐标系统，R矩阵中的 九个元素为
a1 cos cos sin sin sin a2 cos sin sin sin cos a3 sin cos b1 cos sin b cos cos c2 sin cos cos sin sin 1 c sin sin cos sin cos 2 c3 cos cos

则R必是一个正交矩阵。
将矩阵R展开得：
R I SI S
1
c b 1 c b 1 c 1 a c 1 a 0 b a b a 1
1
4 a2 1 c b 1 ab c c 1 a 4 2 0 b a ac 2b
２、若采用以X为主轴的坐标系统，R矩阵中的 九个元素为
a1 cos ' cos ' a 2 sin ' sin ' a3 sin ' b1 cos ' sin ' sin ' sin ' cos ' b2 cos ' cos ' sin ' sin ' sin ' b sin ' cos ' 3 c1 sin ' cos ' cos ' sin ' cos ' c 2 sin ' cos ' cos ' sin ' sin ' c3 cos ' cos '