第3讲 等比数列

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等比数列
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4．[真题体验](2022·全国乙卷)已知等比数列an的前 3 项和为 168，a2－
a5＝42，则 a6＝( )
A．14
B．12
C．6
D．3
答案：D
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解析：设等比数列{an}的公比为q，q≠0， 若q＝1，则a2－a5＝0，与题意矛盾，所以q≠1， 则aa12＋ －aa25＋ ＝aa31＝ q－a1a（1q114－＝－q4q23） ，＝168，解得aq1＝＝129，6，
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3．[模拟演练](2022·兰州诊断)设等比数列{an}的前6项和为6，且a1＝a，
a2＝2a，则a＝( )
A．221
B．71
C.241
D．251
答案：A
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解析：由题意得公比 q＝aa12＝2，则 S6＝a1（11－－226）＝63a＝6，解得 a＝ 2 21.
1．若{an}，{bn}(项数相同)是等比数列，则{λan}(λ≠0)，{a1n}，{a2n}，
{an·bn}，{abnn}仍是等比数列．
2．{an}为等比数列，若 a1·a2·…·an＝Tn，则 Tn，TT2nn，TT32nn，… 成等比数列．
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【提速能】
1．已知等比数列{an}中，若 an＝2·3n－1，则 a21＋a22＋a23＋…＋a2n＝( )
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[思考] 如何正确把握等比数列基本量运算中设元的技巧？ 提示：对称设元，整体消参，设而不求．三个数成等比数列且积一定， 设三个数为qa，a，aq；四个数成等比数列，设四个数为qa3，aq，aq，aq3.
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【记结论】
[记结论·提速能]
[强基础·固知识] 1．[易错诊断]判断下列结论是否正确．(请在括号中打“√”或“×”) (1)等比数列的公比q是一个常数，它可以是任意实数．( × ) (2)三个数a，b，c成等比数列的充要条件是b2＝ac.( × ) (3)数列{an}的通项公式是 an＝an，则其前 n 项和为 Sn＝a（11－－aan）.( × ) (4)数列{an}为等比数列，则S4，S8－S4，S12－S8成等比数列．( × )
等比关系，并能用有关知识解决相应 的问题. 4.体会等比数列与指数函数的关系
3.等比数列的性质 及应用
数学素养
数学运算 数学抽象 逻辑推理
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等比数列
01 02
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知识特训 能力特训
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等比数列
01
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知识特训
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A．(3n－1)2
B．21(9n－1)
Байду номын сангаас
C．9n－1
D．14(3n－1)
答案：B
解析：由结论 1 可知，数列{a2n}是首项为 4，公比为 9 的等比数列．
因此 a21＋a22＋…＋a2n＝4（11－－99n）＝21(9n－1)．
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2．等差数列{an}的前 n 项和为 Sn，则 S4，S8－S4，S12－S8，S16－S12 成
所以a6＝a1q5＝3.故选 D．
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a1－anq
_____1_－__q_____＝_____1_－__q_____.
[注意] 在运用等比数列的前n项和公式时，必须注意对q＝1与q≠1分
类讨论，防止因忽略q＝1这一特殊情形而导致解题失误．
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3．等比数列的性质 已知{an}是等比数列，Sn是数列{an}的前n项和． (1)若k＋l＝m＋n(k，l，m，n∈N*)，则有ak·al＝__a_m_·_a_n__. (2)相隔等距离的项组成的数列仍是等比数列，即ak，ak＋m，ak＋2m， …仍是等比数列，公比为___q_m____． (3)当q≠－1，或q＝－1且n为奇数时，Sn，S2n－Sn，S3n－S2n，…仍成 等比数列，其公比为____q_n___．
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2．等比数列的通项公式及前n项和公式 (1)若等比数列{an}的首项为a1，公比是q，则其通项公式an＝_a_1_q_n_－_1_； 通项公式的推广：an＝amqn－m. (2)等比数列的前n项和公式：当q＝1时，Sn＝na1；当q≠1时，Sn＝
a1（1－qn）
等差数列．类比以上结论有：设等比数列{bn}的前 n 项积为 Tn，则 T4，
________，________，TT1162成等比数列．
答案：TT48
T12 T8
解析：由结论 2 可知，T4，TT84，TT182，TT1162成等比数列，故填TT84，TT182.
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202等4届比数列
《高考特《训高营考》特·训数营学》 ·返数回学
第3讲 等比数列
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等比数列
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课程标准解读
命题方向
1.理解等比数列的概念.
1.等比数列的基本
2.掌握等比数列的通项公式与前n项和 量运算
的公式.
2.等比数列的判定
3.能在具体的问题情境中，发现数列的 与证明
[梳知识·逐点清] 1．等比数列的概念 (1)定义：如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的比都等于 __同__一__个__常数，那么这个数列叫作等比数列， 这个常数叫作等比数列的公比，公比通常用字母q表示(显然q≠0)． 数学语言表达式：aan－n1＝q(n≥2，q 为非零常数)． (2)等比中项：如果在a与b中间插入一个数G，使a，G，b成等比数列， 那么G叫作a与b的等比中项．此时G2＝____a_b___.
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2．[教材改编]已知{an}是等比数列，a2＝2，a4＝12，则公比 q 等于(
)
A．－12
B．－2
C．2
D．±21
答案：D
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解析：设等比数列的公比为 q，∵{an}是等比数列，a2＝2，a4＝12， a4＝a2q2，∴q2＝aa24＝14， ∴q＝±21.