2018年高考数学人教A版 文科课时跟踪检测66 含解析 精

课时跟踪检测(六十六)
[高考基础题型得分练]
1．[2017·辽宁沈阳模拟]已知曲线C 1的极坐标方程为ρ2cos 2θ＝8，曲线C 2的极坐标方程为θ＝π
6，曲线C 1，C 2相交于A ，B 两点．
(1)求A ，B 两点的极坐标；
(2)曲线C 1
与直线⎩⎨⎧
x ＝1＋3
2t ，
y ＝1
2t
(t 为参数)分别相交于M ，N
两点，求线段MN 的长度．
解：(1)由⎩⎨⎧
ρ2cos 2θ＝8，θ＝π6
得ρ2
cos π3＝8，
所以ρ2＝16，即ρ＝±4.
又ρ≥0，所以A ，B 两点的极坐标为：A ⎝ ⎛⎭⎪⎫4，π6，B ⎝ ⎛
⎭⎪⎫4，7π6. (2)由曲线C 1的极坐标方程得其直角坐标方程为 x 2－y 2＝8，
将直线⎩⎨⎧
x ＝1＋32t ，
y ＝1
2t
代入x 2－y 2＝8，
整理得t 2＋23t －14＝0， 即t 1＋t 2＝－23，t 1t 2＝－14， 所以|MN |＝ (－23)2－4×(－14)
＝217.
2．[2017·吉林实验中学]已知椭圆C ：x 24＋y 2
3＝1，直线l ：
⎩⎪⎨⎪⎧
x ＝－3＋3t ，y ＝23＋t
(t 为参数)． (1)写出椭圆C 的参数方程及直线l 的普通方程；
(2)设A (1,0)，若椭圆C 上的点P 满足到点A 的距离与其到直线l 的距离相等，求点P 的坐标．
解：(1)椭圆C 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧
x ＝2cos θ，
y ＝3sin θ
(θ为参数)，
直线l 的普通方程为x －3y ＋9＝0. (2)设P (2cos θ，3sin θ)， 则|AP |＝
(2cos θ－1)2＋(3sin θ)2＝2－cos θ，
P 到直线l 的距离 d ＝|2cos θ－3sin θ＋9|
2 ＝
2cos θ－3sin θ＋9
2
. 由|AP |＝d ，得3sin θ－4cos θ＝5， 又sin 2θ＋cos 2θ＝1，得 sin θ＝35，cos θ＝－4
5.
故P ⎝ ⎛⎭⎪⎫
－85
，
335. 3．[2017·广西桂林、北海、崇左联考]已知曲线C 的极坐标方程是ρ＝4cos θ，以极点为平面直角坐标系的原点，极轴为x 轴的正半
轴，建立平面直角坐标系，直线l 的参数方程是⎩
⎪⎨⎪⎧
x ＝1＋t cos α，
y ＝t sin α(t
为参数)．
(1)将曲线C 的极坐标方程化为直角坐标方程；
(2)若直线l 与曲线C 交于A ，B 两点，且|AB |＝14，求直线的倾斜角α的值．
解：(1)由ρ＝4cos θ，得ρ2＝4ρcos θ. ∵x 2＋y 2＝ρ2，x ＝ρcos θ，y ＝ρcos θ， ∴曲线C 的直角坐标方程为x 2＋y 2－4x ＝0， 即(x －2)2＋y 2＝4.
(2)将⎩
⎪⎨⎪⎧
x ＝1＋t cos α，y ＝t sin α代入圆的方程，
得(t cos α－1)2＋(t sin α)2＝4， 化简得t 2－2t cos α－3＝0.
设A ，B 两点对应的参数分别为t 1，t 2，
则⎩
⎪⎨⎪⎧
t 1＋t 2＝2cos α，t 1t 2＝－3. ∴|AB |＝|t 1－t 2|＝(t 1＋t 2)2－4t 1t 2 ＝4cos 2α＋12＝14.
∴4cos 2α＝2，cos α＝±22，α＝π4或α＝3π4.
4．[2017·河南洛阳模拟]极坐标系与直角坐标系xOy 取相同的长度单位，以原点O 为极点，以x 轴正半轴为极轴．已知直线l 的参数
方程为⎩
⎪⎨⎪⎧
x ＝2＋t cos α，y ＝t sin α(t 为参数)．曲线C 的极坐标方程为ρsin 2θ＝
8cos θ.
(1)求曲线C 的直角坐标方程；
(2)设直线l 与曲线C 交于A ，B 两点，与x 轴的交点为F ，求1
|AF |＋1
|BF |的值．
解：(1)由ρsin 2θ＝8cos θ得，ρ2sin 2θ＝8ρcos θ， ∴曲线C 的直角坐标方程为y 2＝8x . (2)易得直线l 与x 轴的交点为F (2,0)， 将直线l 的方程代入y 2＝8x ， 得(t sin α)2＝8(2＋t cos α)， 整理得sin 2α·t 2－8cos α·t －16＝0. 由已知sin α≠0，
Δ＝(－8cos α)2－4×(－16)sin 2α＝64＞0， ∴t 1＋t 2＝8cos αsin 2α，t 1t 2＝－16
sin 2α＜0，
故1|AF |＋1
|BF |＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪1t 1－1t 2＝⎪⎪
⎪⎪
⎪⎪t 1－t 2t 1t 2 ＝(t 1＋t 2)2－4t 1t 2|t 1t 2|
＝
⎝ ⎛⎭
⎪⎫8cos αsin 2α2＋64
sin 2α16sin 2α
＝12.
[冲刺名校能力提升练]
1．[2017·重庆二诊]在平面直角坐标系xOy 中，曲线C 1的参数方程为 ⎩⎨
⎧
x ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π4，
y ＝sin 2α＋1
(α为参数)，以O 为极点，x 轴的正半轴为
极轴，建立极坐标系，曲线C 2的极坐标方程为ρ2＝4ρsin θ－3.
(1)求曲线C 1与曲线C 2在平面直角坐标系中的普通方程；
(2)求曲线C 1上的点与曲线C 2上的点的距离的最小值． 解：(1)因为x 2
＝⎝ ⎛⎭
⎪⎫2sin ⎝ ⎛
⎭⎪⎫α＋π42＝(sin α＋cos α)2＝sin 2α＋1＝y ，
所以C 1的普通方程为y ＝x 2.
将ρ2＝x 2＋y 2，ρsin θ＝y 代入C 2的方程， 得x 2＋y 2＝4y －3，
所以C 2的普通方程为x 2＋y 2－4y ＋3＝0. (2)将x 2＋y 2－4y ＋3＝0变形为x 2＋(y －2)2＝1， 它的圆心为C (0,2)．
设P (x 0，y 0)为C 1上任意一点，则y 0＝x 20， 从而|PC |2＝(x 0－0)2＋(y 0－2)2
＝x 20＋(x 20－2)2
＝x 40－3x 2
0＋4＝⎝
⎛⎭
⎪⎫x 20－322＋74
，
所以当x 2
0＝32时，|PC |min ＝72.
故曲线C 1上的点与曲线C 2上的点的距离的最小值为72－1. 2．[2017·山西太原模拟]在极坐标系中，曲线C 的极坐标方程为ρ＝42sin ⎝
⎛
⎭
⎪⎫θ＋π4.现以极点O 为原点，极轴为x 轴的非负半轴建立平
面直角坐标系，直线l 的参数方程为⎩⎨⎧
x ＝－2＋12t ，
y ＝－3＋3
2t
(t 为参数)．
(1)写出直线l 的普通方程和曲线C 的直角坐标方程；
(2)设直线l 和曲线C 交于A ，B 两点，定点P (－2，－3)，求|P A |·|PB |的值．
解：(1)ρ＝42sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ＋π4＝4sin θ＋4cos θ， 所以ρ2＝4ρsin θ＋4ρcos θ， 所以x 2＋y 2－4x －4y ＝0， 即(x －2)2＋(y －2)2＝8；
直线l 的普通方程为3x －y ＋23－3＝0. (2)把直线l 的参数方程代入到圆C ： x 2＋y 2－4x －4y ＝0中， 得t 2－(4＋53)t ＋33＝0，
设A ，B 对应的参数分别为t 1，t 2，则t 1t 2＝33. 点P (－2，－3)显然在直线l 上， 由直线标准参数方程下t 的几何意义知， |P A |·|PB |＝|t 1t 2|＝33， 所以|P A |·|PB |＝33.
3．[2017·山西太原考前监测]在极坐标系中，曲线C 的方程为ρ2
＝3
1＋2sin 2θ
，点R 的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫22，π4.
(1)以极点为原点，极轴为x 轴的正半轴，建立平面直角坐标系，把曲线C 的极坐标方程化为直角坐标方程，点R 的极坐标化为直角坐标；
(2)设P 为曲线C 上一动点，以PR 为对角线的矩形PQRS 的一边垂直于极轴，求矩形PQRS 周长的最小值，及此时点P 的直角坐标．
解：(1)∵x ＝ρcos θ，y ＝ρsin θ， ∴曲线C 的直角坐标方程为x 23＋y 2
＝1. 点R 的直角坐标为(2,2)．
(2)设P (3cos θ，sin θ)，根据题意可得|PQ |＝2－3cos θ，|QR |
＝2－sin θ，
∴|PQ |＋|QR |＝4－2sin(θ＋60°)． 当θ＝30°时，|PQ |＋|QR |取最小值2， ∴矩形PQRS 周长的最小值为4，
此时点P 的直角坐标为⎝ ⎛⎭
⎪⎫32，12.
4．已知在直角坐标系xOy 中，曲线C 1的参数方程为
⎩
⎪⎨⎪⎧
x ＝sin φ＋cos φ，
y ＝sin 2φ(φ为参数)，以原点O 为极点，x 正半轴为极轴的极坐标系中，曲线C 2的极坐标方程为ρsin ⎝
⎛⎭⎪⎫θ＋π4＝2
2t (t 为常数)． (1)若C 1和C 2只有一个公共点，求t 的取值范围．
(2)当t ＝－2时，求曲线C 1上的点与曲线C 2上任取一点的距离的最小值．
解：(1)因为(sin φ＋cos φ)2＝1＋2sin φcos φ＝1＋sin 2φ，且sin φ＋cos φ＝2sin ⎝
⎛
⎭
⎪⎫φ＋π4，
所以曲线C 1的方程为y ＝x 2－1(其中x ∈[－2， 2 ])． 因为ρsin ⎝ ⎛⎭
⎪⎫θ＋π4＝2
2ρ(sin θ＋cos θ)，
所以曲线C 2是斜率为－1的直线，即x ＋y ＝t .
若C 1和C 2只有一个公共点，联立两个方程可得x 2＋x －t －1＝0， 令Δ＝4t ＋5＝0，可得t ＝－5
4.
如图所示，当x ＋y ＝t 经过点(－2，1)时，t ＝1－ 2.
当x ＋y ＝t 经过点(2，1)时，t ＝1＋ 2. 所以t 的取值范围为
t ⎪⎪⎪
⎭
⎬⎫1－2<t ≤1＋2或t ＝－54. (2)当t ＝－2时，直线为x ＋y ＋2＝0.
C 1上的点(x ，x 2－1)到直线x ＋y ＋2＝0的距离 d ＝|x ＋x 2＋1|2
＝
⎪⎪⎪⎪⎪
⎪⎝
⎛
⎭⎪⎫x ＋122＋342
，
则当x ＝－12时，d min ＝32
8.。