黑龙江省哈尔滨师范大学附属中学2020届高三6月复课线下考查数学(理)试题

黑龙江省哈尔滨师范大学附属中学2020届高三6月复课线下
考查数学（理）试题
注意事项：
1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息 2．请将答案正确填写在答题卡上
第I 卷（选择题）
请点击修改第I 卷的文字说明
一、单选题
1．复数24
1i i i z i
-++=-，则复数z =（ ）
A ．
12
B ．
2
C D ．
32
2．若全集U =R ，集合(){}|lg 6A x y x ==-，{}
|21x
B x =>，则图中阴影部分表
示的集合是（ ）
A ．()2,3
B ．(]1,0-
C ．[)0,6
D ．(],0-∞
3．已知数列{}n a 是等比数列，312a =，56116a a a =，则9a =（ ）
A ．
B ．48
C ．192
D ．768
4．ABC 中，D 是BC 边的中点，3AB =，4AC =，则AD BC ⋅=（ ） A ．0
B ．72
-
C ．
72
D ．
252
5．为贯彻落实健康第一的指导思想，切实加强学校体育工作，促进学生积极参加体育锻炼，养成良好的锻炼习惯，提高体质健康水平.某市抽调三所中学进行中学生体育达标测试，现简称为A校、B校、C校.现对本次测试进行调查统计，得到测试成绩排在前200名学生层次分布的饼状图、A校前200名学生的分布条形图，则下列结论不一定正确的是（）
A．测试成绩前200名学生中A校人数超过C校人数的2倍
B．测试成绩前100名学生中A校人数超过一半以上
C．测试成绩前151—200名学生中C校人数最多33人
D．测试成绩前51—100名学生中A校人数多于B校人数
6．著名数学家华罗庚先生曾说过：“数缺形时少直观，形缺数时难入微，数形结合百般好，隔裂分家万事休.”在数学的学习和研究中，经常用函数的图象来研究函数的性
质，也经常用函数的解析式来琢磨函数的图象的特征，如：函数
()2
1
x
x
f x
e
=
-
的图象
大致是（）
A．B．C．D．
7．运行如图所示的程序框图，若输出S 的值为35，则判断框中可以填（ ）
A ．4?i ≥
B ．5?i ≥
C ．6?i ≥
D ．7?i ≥
8．已知()f x 是定义在R 上单调递增的奇函数，若13
2a f -⎛⎫= ⎪
⎝⎭，12b f
⎛
⎫=- ⎪⎝
⎭
，()
c f =，则a ，b ，c 的大小关系为（ ）
A ．a b c >>
B ．b c a >>
C ．c b a >>
D ．c a b >>
9．已知三棱锥P ABC -的四个顶点都在球O 的球面上，若PA ⊥平面ABC ，
2PA BC ==，1
sin 3
BAC ∠=，则球O 的表面积为（ ）
A B ．
172
π C ．80π D ．40π
10．设函数()sin (0)3f x x πωω⎛⎫
=+
> ⎪⎝
⎭
，已知()f x 在[]0,2π有且仅有5个零点，则ω的取值范围是（ ）
A ．717,
36⎡⎫
⎪⎢⎣⎭
B ．717,36⎛⎤
⎥⎝
⎦ C ．717,36⎛⎫
⎪⎝
⎭ D ．717,
36⎡⎤
⎢⎥⎣⎦
11．已知双曲线E ：()22
2210,0x y a b a b
-=>>的右焦点为2F ，A 和B 为双曲线上关于
原点对称的两点，且A 在第一象限.连结2AF 并延长交E 于P ，连结2BF ，PB ，若
2BF P △是以2BF P ∠为直角的等腰直角三角形，则双曲线E 的离心率为（ ）
A B C D
12．已知数列{}n a 中的前n 项和为n S ，1
(1)262
n
n n n S a n =-+
+-，且1(1)0n n a λ++⋅->对任意*n N ∈恒成立，则实数λ的取值范围是（ ）
A ．723,44⎛⎫
- ⎪⎝
⎭ B ．232,
4⎡
⎫⎪⎢⎣⎭
C ．7,64⎛⎫
-
⎪⎝⎭
D ．232,
4⎛
⎫- ⎪⎝⎭
第II 卷（非选择题）
请点击修改第II 卷的文字说明
二、填空题
13．已知函数()2ln x
f x ax x
=
-，若曲线()y f x =在()()1,1f 处的切线与直线210x y -+=平行，则a =______.
14．设2
2
cos m xdx ππ-
=⎰，则二项式5
2m x x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭的展开式中2x 的系数是______.
15．如图是古希腊数学家希波克拉底所研究的弓月形的一种，此图是以BC ，AB ，AC 为直径的三个半圆组成，2BC =，点A 在弧BC 上，若在整个图形中随机取一点，点取自阴影部分的概率是P ，则P 的最大值是______.
16．棱长为1的正方体1111ABCD A B C D -内部有一圆柱1OO ，此圆柱恰好以直线1AC 为轴.有下列命题：
①圆柱1OO 的母线与正方体1111ABCD A B C D -所有的棱所成的角都相等； ②正方体1111ABCD A B C D -所有的面与圆柱1OO 的底面所成的角都相等；
③在正方体1111ABCD A B C D -内作与圆柱1OO 底面平行的截面，则截面的面积
0,2S ⎛∈ ⎝⎦
；
④圆柱1OO 侧面积的最大值为8
. 其中正确的命题是______.
三、解答题
17．图中组合体由一个棱长为2的正方体1111ABCD A B C D -和一个四棱锥S ABCD -组成（SD ⊥平面ABCD .S ，D ，1D 三点共线，2SD =），E 是1DD 中点.
（1）求证：//SB 平面11EA C ；
（2）点F 在棱SB 上靠近S 的三等分点，求直线EF 与平面11EA C 所成角的正弦值. 18．已知ABC 的内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且ABC 只能满足．．．．以下三个条件中的两个：①2
cos()cos ac
A C
B b -+=
；②函数()()()
sin 0f x P x A P ωω=->、的部分图象如图所示；③(cos m C =，()1,2n =-，满足//m n .
（1）请指出ABC 满足哪两个条件，并证明；
（2）若sin sin B C <，点D 为线段AB 上的点，且2CD =，求ACD 面积的最大值. 19．某高中数学建模兴趣小组的同学为了研究所在地区男高中生的身高与体重的关系，从若干个高中男学生中抽取了1000个样本，得到如下数据. 数据一：身高在[)170,180（单位：cm ）的体重频数统计
数据二：身高所在的区间含样本的个数及部分数据
（1）依据数据一将上面男高中生身高在[)170180-（单位：cm ）体重的频率分布直方图补充完整，并利用频率分布直方图估计身高在[)170180-（单位：cm ）的中学生的平均体重；（保留小数点后一位）
（2）依据数据一、二，计算身高（取值为区间中点）和体重的相关系数约为0.99，能否用线性回归直线来刻画中学生身高与体重的相关关系，请说明理由；若能，求出该回归直线方程；
（3）说明残差平方和或相关指数2R 与线性回归模型拟合效果之间关系.（只需写出结论，不需要计算）
参考公式：()()()
1
1
2
2
2
1
1
n n
i
i
i i
i i n
n
i
i
i i x x y y x y nx y
b x x x
nx
====---⋅=
=
--∑∑∑∑，a y bx =-.
参考数据：（1）1454515553.6165601857538608⨯+⨯+⨯+⨯=；（2）22222214515516517518551651000++++-⨯=；
（3）663175116025⨯=，664175116200⨯=，665175116375⨯=；
（4）728165120120⨯=. 20．已知动圆M 经过点()0,2N ，且动圆M 被x 轴截得的弦长为4，记圆心M 的轨迹为曲线C .
（1）求曲线C 的标准方程；
（
2）过x 轴下方一点()P m n ,向曲线C 作切线，切点记作A 、B ，直线OP 交曲线C 于点Q ，若直线AB 、OP 的斜率乘积为2-，点Q 在以AB 为直径的圆上，求点P 的坐标.
21．已知函数()x x
f x e e -=+，其导函数为()f x '.
（1）讨论函数()()f x g x x
'=
在定义域内的单调性；
（2）已知1a >，设函数()()(
)2
2h x f x ax
=-+.
①证明：函数()h x 在()0,∞+上存在唯一极值点0x ；
②在①的条件下，当1
12
e e a --<<时，求()0h x 的范围.
22．在直角坐标系xOy 中，直线l 的参数方程为1cos sin x t y t α
α
=+⎧⎨
=⎩（t 为参数，α为直线
l 倾斜角），以直角坐标系原点O 为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线1C 的极坐标方程为2
2
2
1sin ρθ
=
+. （1）写出直线l 和曲线1C 的普通方程；
（2）若点()1,0P ，直线l 与曲线1C 交于不同的两点A ，B ，且PA PB PA PB ⋅=-，求tan α.
23．已知函数()2
23x x x f =-+.
（1）若,a b R +∈，且2a b +=，求()()f a f b +的最小值； （2）若2x a -<，求证：()()()
42f x f a a -<+.
参考答案
1．B 【解析】 【分析】
由2
1i =-可得2411i i i i
z i i
-++-==
--，然后由复数的除法可得出答案. 【详解】
由21i =-可得()()()24
1111112
i i i i i i i
z i i i i -+-++--=
===---+,
所以2z ==
故选：B 【点睛】
本题考查复数的运算，求复数的模长，属于基础题. 2．D 【解析】 【分析】
根据函数定义域和指数函数单调性得到集合,A B ，阴影部分表示的集合是U
B A ，计算
得到答案. 【详解】
(){}{}|lg 66A x y x x x ==-=<，{}
{}210x B x x x ==>，
阴影部分表示的集合是(]()(]U
,0,6,0B A =-∞-∞=-∞.
故选：D. 【点睛】
本题考查了函数定义域，解不等式，集合的交集，补集运算，韦恩图，意在考查学生的计算能力和应用能力. 3．B 【解析】 【分析】
直接利用等比数列公式计算得到答案. 【详解】
23112a a q ==，56116a a a =，即4510111.6a q a q a q =，解得16a q =，32q =， 8991648a a q q ===.
故选：B. 【点睛】
本题考查了等比数列的计算，意在考查学生的计算能力和应用能力. 4．C 【解析】 【分析】
根据中点得到()
1
2
AD AB AC =+，代入计算得到答案. 【详解】
D 是BC 边的中点，则()
1
2
AD AB AC =
+， ()()
()
()22221117
432222
AB AC AC AB A C C B AD B A =+⋅-=-=-=⋅.
故选：C. 【点睛】
本题考查了向量的数量积，意在考查学生的计算能力和转化能力，确定()
1
2
AD AB AC =+是解题的关键. 5．D 【解析】 【分析】
直接计算判定选项A 、B 一定正确；计算前1—150名学生中A 校人数和B 校最多可能的人数，得到C 校最少可能的人数，得前151—200名学生中C 校人数最多可能值，判定选项C 一定正确；考虑到这200名学生中B 校学生总数为68人，至多有可能会有25人在151—200名之间，可以判定选项D 不一定正确. 【详解】
前200名学生中A 校人数20046%92⨯=人，C 校人数20020%40⨯=人，
92402=80>⨯,故A 一定正确；
前100名学生中A 校人数约为292554+=人，超过半数的50人，故B 一定正确； 成绩前150名以内的学生中A 校人数约为29252175++=人，B 校人数最多全在这个范围，有34%20068⨯=人,所以C 校至少有15075687--=人，又∵成绩前200名学生中C 校人数为40人，所以C 校至多有407-=33人测试成绩前151—200名之间，故C 一定正确； 测试成绩前51—100名学生中A 校人数约为25人，这200名学生中B 校学生总数为
20034%68⨯=人，有可能也有25人在51—100名之间，故D 不一定正确，
故选：D. 【点睛】
本题考查饼图和条形图的应用，涉及最多可能与最少可能的极端思维策略，涉及频率与频数的计算，考查计算能力和逻辑推理能力，属中档题. 6．D 【解析】 【分析】
根据奇偶性排除A ，取特殊值排除BC 得到答案. 【详解】
()21x x f x e =-，()()21
x
x f x f x e --=≠-，函数不是偶函数，排除A ； 当x →+∞时，()0f x →，排除BC ； 故选：D. 【点睛】
本题考查了函数图象的识别，意在考查学生的计算能力和应用能力，取特殊值排除是解题的关键. 7．B 【解析】 【分析】
根据程序框图一步一步执行，即可得到答案. 【详解】
1,1,1i n S ===，进入判断框，执行循环体； 2,3,4i n S ===，进入判断框，执行循环体；
3,6,10i n S ===，进入判断框，执行循环体； 4,10,20i n S ===，进入判断框，执行循环体；
5,15,35i n S ===，进入判断框，终止循环，输出S 的值；
∴判断框中可以填5?i ≥. 故选：B. 【点睛】
本题考查补全程序框图中的条件，考查逻辑推理能力、运算求解能力，属于基础题. 8．C 【解析】 【分析】
依据()f x 是奇函数可知()
2⎛=-= ⎝
b f f ，
然后利用换底公式比较2，
3大小关系，紧接着使用()f x 的单调性，可得结果.
【详解】
由题可知：函数()f x 是奇函数， 所以()
122⎛⎫
=-= ⎪⎝
⎭
b f f 3
2log 4=，3331log 3log 4log 92=<<= 22
log 9log 83=>=，
13
02102
-<=<
所以13
322-
>>
所以()
13
32-⎛⎫⎛
>-> ⎪ ⎝
⎝⎭
f f f 即c b a >> 故选：C 【点睛】
本题考查利用函数的单调性比较式子大小，对于没有明确的函数解析式，却要比较式子大小，
常需要考虑使用函数单调性比较大小，考验分析能力，属中档题. 9．D 【解析】 【分析】
根据正弦定理得到3r =，根据2
2
2
2PA R r ⎛⎫=+ ⎪
⎝⎭
，解得答案.
【详解】
设ABC 外接圆半径为r ，根据正弦定理：2
621sin 3
BC r
BAC ===∠，故3r =，
设球O 的半径为R ，则2
22102PA R r ⎛⎫=+= ⎪⎝⎭
，故2
440S R ππ==.
故选：D. 【点睛】
本题考查了三棱锥的外接球问题，球的表面积，意在考查学生的计算能力和空间想象能力. 10．A 【解析】 【分析】 计算得到,2333x π
πωπ
ωπ⎡++⎤∈⎢⎥⎣⎦，根据零点个数得到5263
ππωππ≤+<，解得答案. 【详解】
[]0,2x π∈，则,2333x π
πωπ
ωπ⎡++
⎤∈⎢⎥⎣⎦
，()f x 在[]0,2π有且仅有5个零点， 则5263
π
πωππ≤+<，解得
717
36
ω≤<. 故选：A. 【点睛】
本题考查了根据三角函数的零点个数求参数，意在考查学生的计算能力和转化能力. 11．C 【解析】 【分析】
如图所示，连接有关各点，根据题意可设221BF PF n AF ===,12AF BF 为矩形,根据双曲线的定义得到22AF n =-,12PF n a =+,2,2OA OF c AB c ===, 在2Rt ABF 和1Rt APF 中，利用勾股定理列出方程组，消去n 得到得到,a c 的关系，进而求得离心率. 【详解】
如图所示，连接有关各点，根据题意可设221BF PF n AF ===,
12AF BF 为矩形，且22AF n a =-,12PF n a =+,2,2OA OF c AB c ===,
在2Rt ABF 和1Rt APF 中，()2
224(1)2,n n a c +-=
()()22
2(222)2n n a n a +-=+，
由（2）化简得3n a =，代入（1
）化简得22104,2
c a c e a ===
， 故选：C. 【点睛】
本题考查双曲线的离心率的求法，涉及双曲线的定义，双曲线的对称性，利用双曲线有两个焦点的性质，利用对称性，和已知条件分析得到12AF BF 为矩形，考查转化求解能力，属中高档题. 12．B 【解析】 【分析】
利用11,1
,2n n
n a n a S S n -=⎧=⎨-≥⎩
，分两种情况求出通项公式，分两种情况讨论不等式恒成立，然
后求其交集即可. 【详解】
解：1n =，1111726,24
a a a =-+
+-=-， 2n ≥时，
()()()()()1
111111126121622
11122
n
n n n n n n n n n
n
n n n a S S a n a n a a -----=-=-++------+=-+--
+
若n 为偶数，11
22n n a -=
-，1122
n n a +∴=-（n 为奇数）， 若n 为奇数且3n ≥，则111111
1222226222
2n n n n n n a a -+-⎛⎫=--
+=---+=- ⎪⎝⎭， 所以1
62
n n a =-
（n 为偶数）， n 为奇数时，()110,n n n a a λλ++⋅->>-，
此时1122n n a +=
-，11222
n n a +-=-<，所以2λ≥， n 为偶数时，()110,n n n a a λλ++⋅-><，
此时2112366224n n a =-
≥-=，所以23
4
λ<， ()
1
10n n a λ++⋅->对任意n *∈N 恒成立，23
24
λ≤<
， 故选：B 【点睛】
已知n a 与n S 的关系，通常利用11,1
,2n n
n a n a S S n -=⎧=⎨-≥⎩求n a ；数列不等式恒成立转化为求数
列的最值,属于中档题. 13．1
2
-
【解析】 【分析】 根据函数()2ln x
f x ax x
=
-，求导，再根据曲线()y f x =在()()1,1f 处的切线与直线210x y -+=平行，由()1122f a '=-=求解.
【详解】
因为函数()2ln x
f x ax x =
-， 所以()2
1ln 2x
f x ax x
-'=-， 又因为曲线()y f x =在()()
1,1f 处的切线与直线210x y -+=平行， 所以()1122f a '=-=， 解得12a =-
， 故答案为：12
- 【点睛】
本题主要考查导数的几何意义，还考查了运算求解的能力，属于基础题. 14．10 【解析】 【分析】
先求得m ，再根据二项式定理的通项公式求得2x 的系数即可. 【详解】
解：因为2
22
2
cos sin sin
sin 1(1)222m xdx x
π
π
ππ
π
π-
-
⎛⎫
=
==--=--= ⎪⎝⎭
⎰
所以5
5
222m x x x x =⎛⎫⎛⎫++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭的通项公式为：
55315
5222(0,1,2,3,4,5)r
r r
r r r
r T C x
C x r x --+⎛⎫=== ⎪⎝⎭
， 令532r -=，则1r =，
所以展开式中2x 的系数是1
522510C ⋅=⨯=.
故答案为：10. 【点睛】
本题主要考查二项式定理和微积分基本定理，属于中档题. 15．
2
2
π+ 【解析】 【分析】
设两个小半圆的半径分别为1r ，2r ，大半圆半径为R ，根据几何概型公式结合均值不等式计算得到答案. 【详解】
设两个小半圆的半径分别为1r ，2r ，大半圆半径为R ，则()()()222
12222R r r =+，
即222
12R r r =+，根据几何概型：
222
1212121222
221212121212121112442222114242222
r r r r R r r r r p r r r r r r r r r r r r πππππππππ++-==≤=++++++， 当12r r =时等号成立. 故答案为：2
2
π+. 【点睛】
本题考查了几何概型，均值不等式，意在考查学生的计算能力和综合应用能力. 16．①②④ 【解析】 【分析】
根据正方体的特性分析可知①②正确，作出一个与圆柱底面平行的截面，举出反例得到③错误，利用几何法找出圆柱的底面半径，列式计算圆柱侧面积，结合均值不等式计算得到④正确，得到答案. 【详解】
如图所示：易知圆柱1OO 的母线与1AC 平行，由正方体的对称性可知1AC 与其每条侧棱间的夹角都相等，①正确；
设,,,,,M N P Q S R 分别为对应棱的中点，易知,,,,,M N P Q S R 共面，
易证PQ AC ⊥，1CC PQ ⊥，则PQ ⊥平面1ACC ，1AC ⊂平面1ACC ，故1PQ AC ⊥，同理可得1RQ AC ⊥，故1AC ⊥平面MNPQSR ， 又圆柱1OO 的底面与1AC 垂直，
故平面MNPQSR 与圆柱1OO 的底面平行，
根据正方体的特点可知，平面MNPQSR 与正方体所有侧面的夹角相同，
故正方体1111ABCD A B C D -所有的面与圆柱1OO 的底面所成的角都相等，②正确；
此时截面MNPQSR 的面积为1162S =
=>
，③错误； 设圆柱底面半径为r ，则圆柱的底面必与过A 点的三个面相切，
且切点分别在线段11,,AC AB AD 上，设在AC 上的切点为E ，EF 为圆柱的一条高，
根据对称性知：112AO C O =，则圆柱的高为h =，
)
)
2
2
28S r π⎛⎫+=⋅
-=
⋅
≤=⎪⎪⎭
，
当=，即8
6
=r 时等号成立，④正确. 故答案为：①②④. 【点睛】
本题以正方体与圆柱的综合为载体，考查了空间几何体中线面夹角、面面夹角的计算、正方体的截面等知识点，难度较大.解答时要灵活运用正方体的特点，将问题灵活转化；截面面积及最值问题难点在于分析截面的位置及形状，利用几何关系列出关于面积的表达式然后设法求出最值.
17．（1）证明见解析；（2
.
【解析】 【分析】
（1）连接11B D ，11
11B D AC O =，连接OE ，1B D ，利用平行公理可证得OE SB ，然
后利用线面平行的判定定理证明；
（2）建立空间直角坐标系，利用空间向量求解计算. 【详解】
（1）证明：连接11B D ，11
11B D AC O =，连接OE ，1B D ，如图1所示：
111DS BB DSBB DS BB ⎫
⇒⎬=⎭
为平行四边形1B D SB ⇒，
在1DBD △中，1OE B D ，所以OE SB , 又∵,OE ⊂平面11,AC E SB ⊄平面11AC E ， 所以SB 平面11AC E ；
（2）由已知可得，建立如图2所示空间直角坐标系1D xyz -，
()12,0,0A ，()10,2,0C ，()0,0,2D ，()0,0,1E ，()0,0,4S ，()2,2,2B ，
12222210227,,,,,,3333333333SF SB F EF ⎛⎫⎛⎫⎛⎫==-⇒⇒= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭
，
设平面11EA C 的法向量(),,n x y z =，
11220
20x y n EC x z n EA ⎫-+=⋅⎧⎪⇒⎬⎨
-=⋅⎪⎩
⎭，不妨取1x =，则1y =，2z =，()1,1,2n =，
22143cos ,19EF
n ++
==.
所以，直线EF 与平面11EA C
.
【点睛】
本题考查线面平行的证明，线面角，考查利用空间向量求线面角问题，考查空间想象能力和逻辑推理能力，属基础题.
18．（1）①②，证明见解析；（2
）2. 【解析】 【分析】
（1）根据正弦定理，三角恒等变换，三角函数性质，向量平行依次计算验证得到答案. （2）根据余弦定理结合均值不等式得到(42AC AD ⋅≤，再利用面积公式得到答案. 【详解】
（1）①由正弦定理2sin sin sin a b c
R A B C
===， 得2sin sin cos()cos()2sin sin sin A C
A C A C A C B
--+==，sin sin 0A C
≠，
故2
1sin 2B =
，()0,B π∈
，sin 2B =，所以4
B π=或34B π=；
②由图象得2P =，2236T π
ππω⎡⎤⎛⎫=
=--⨯ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦，2ω=，22π32
A k ππ⨯-=+， ()0,πA ∈,故6
A π
=
.
③//m n ，则2cos 0C +=，cos C =，()0,C π∈，故56C π=.
若①③成立，则B C π+>；若②③成立，则A C π+=，不成立，所以①②成立. （2）sin sin B C <，b c <，故4
B π
=
，
所以在ACD 中，由余弦定理2
2
2
42cos
6
CD AC AD AC AD π
==+-⋅
2AC AD AD ≥⋅-⋅(2AC AD =⋅，
故(42AC AD ⋅≤+，当且仅当AC AD =时取等.
1
sin 226
ACD S AC AD π
=
⋅⋅≤△【点睛】
本题考查了三角恒等变换，正余弦定理，向量平行求参数，面积公式，意在考查学生的计算能力和综合应用能力.
19．（1）答案见解析，66.4kg ；（2）能；因为0.991r =→，线性相关很强，故可以用线性回归直线来刻画中学生身高与体重的相关；0.72860.12y x =-；（3）残差平方和越小或相关指数2R 越接近于1，线性回归模型拟合效果越好. 【解析】 【分析】
（1）计算总人数得到频率，补充频率直方图并计算平均值得到答案.
（2）根据0.991r =→得到线性相关很强，再利用回归方程公式计算得到答案. （3）直接根据残差平方和或相关指数2R 的定义得到答案. 【详解】
（1）身高在[)170,180的总人数为：206010010080201010400+++++++=， 体重在[)5560-的频率为：
600.15400
=，体重在[)7075-的频率为：80
0.2400=，
平均体重为：
52.50.0557.50.1562.50.2567.50.2572.50.2⨯+⨯+⨯+⨯+⨯77.50.0582.50.02587.50.02566.4+⨯+⨯+⨯≈.
（2）因为0.991r =→，线性相关很强，故可以用线性回归直线来刻画中学生身高与体重的相关，
1451551651751851655x ++++=
=，45756053.666.4
605
y ++++==，
8
1
8
22
183860817566.4516560
0.7281ˆ000
8i i
i i i x y x y
b
x x ==-⋅+⨯-⨯⨯==
=-∑∑，
600.72816560.12a y bx =-=-⨯=-，
所以回归直线方程为：0.72860.12y x =-.
（3）残差平方和越小或相关指数2R 越接近于1，线性回归模型拟合效果越好. 【点睛】
本题考查了频率分布直方图，平均值的计算，回归方程，意在考查学生的计算能力和应用能力.
20．（1）2
4x y =
；（2）()
4±-.
【解析】 【分析】
（1）设(),M x y ，动圆M 被x 轴截得的弦长为4，则2
224r
MN
y ==+，从而得到答案.
（2）设直线AB ：y kx b =+，211,4x A x ⎛⎫
⎪⎝⎭，2
22,4x A x ⎛⎫ ⎪⎝
⎭,求出过,A B 的切线方程，方程联
立，结合直线AB 、OP 的斜率乘积为2-，用k 表示出点Q 的坐标，点Q 在以AB 为直径的圆上，则0QA QB ⋅=，建立关于k 的方程求解即可. 【详解】
解：（1）设(),M x y ，则2
224r MN
y ==+，
222(2)4x y y +-=+，即24x y =，
所以曲线的标准方程为：2
4x y =.
（2）设直线AB ：y kx b =+，211,4x A x ⎛⎫
⎪⎝⎭，2
22,4x A x ⎛⎫ ⎪⎝⎭
，
2211
4,,42
x y y x y x ==
'=， 过点A 的切线方程为：2
1124
x x y x =-，
过点B 的切线方程为：222
24
x x y x =-，
联立21122224
24
x x y x x x y x ⎧
=-⎪⎪⎨
⎪=-⎪⎩，解得1212
24x x x x x y +⎧
=⎪⎪⎨⋅⎪=⎪⎩， 所以，点1212,24x x x x P +⋅⎛⎫
⎪⎝⎭
， ()
122
2122
444404160x x k
x y x kx b x x b y kx b k b ⎧+=⎪⎧=⎪
⇒--=⇒⋅=-⎨
⎨=+⎩⎪∆=+>⎪⎩
， 所以点()2,P k b -，则又22AB OP b
k k k k
-=-=⨯，则4b =， 由2OP k k =-
，直线OP 的方程为2
y x k
=-，
代入抛物线2
4x y =,可得2816,Q k k ⎛⎫
-
⎪⎝⎭
， 点Q 在以AB 为直径的圆上，则0QA QB ⋅=，
121222881616()()()()x x y y k k k k
+++--
()()2
1212121222486416160x x x x y y y y k k k k
=⋅++++⋅-++=，
22
2
12
121212()848,1616
x x y y k x x k y y +=++=+==，
整理得(
)(
)
42
2
2
280,240,k k k k k +-=-+==，
所以，点P 的坐标为：()
4±-. 【点睛】
本题考查求动圆的圆心轨迹，考查抛物线的切线方程，考查点与圆的位置关系的处理，属于难题,
21．（1）减区间为(),0-∞；增区间为()0,∞+；（2）①证明见解析；②32,022e e ⎛⎫+- ⎪⎝⎭
. 【解析】 【分析】
（1）求导后发现'()g x 的正负由()(1)(1)x x
p x x e x e -=-++决定，利用导数研究()p x 单
调递增，又()00p =，从而逐层回推，得到()g x 的单调性； （2）①求得()'2x
x
h x e e
ax -=--，令()2x x x e e ax φ-=--，利用导数研究()x φ，即
()'h x 单调性，利用零点存在定理得到存在()0,2x m m ∈，使得()0'0h x =，由此得到()
h x 的单调性，从而证明结论；
②先求得001x <<，()0h x 000011222x
x x x e e -⎛
⎫⎛⎫
=-
++- ⎪ ⎪⎝⎭⎝
⎭，利用导数研究单调性，从而得到()0h x 的取值范围. 【详解】
解：（1）()g x 的定义域为：()(),00,-∞⋃+∞，
2
(1)(1)'()x x
x e x e g x x
--++=， 设()(1)(1)x x
p x x e x e -=-++，则()(
)'x x
p x x e e
-=-，
当0x >时，()'0p x >；0x <，()'0p x >， 所以，()p x 单调递增，又()00p =，
所以(),0-∞上)'(0g x <，()0,∞+上'()0g x > 所以，()g x 的减区间为(),0-∞，增区间为()0,∞+； （2）①(
)2
2()()22x
x h x f x ax
e
e ax -=-+=+--，
()'2x x h x e e ax -=--，令()2x x x e e ax φ-=--，则()'2x x x e e a φ-=+-
令()'0x φ=，2210x x e ae -+=， 由0x >，e 1x >
，(
ln m a =， 所以，()x φ在()0,m 递减；()x φ在(),m +∞递增. 即：()'h x 在()0,m 递减；()'h x 在(),m +∞递增.
又()()022'(2)22202x m m m m m
m m
h m e e a m e e e e m a e e ----⎫=--⇒+-->⎬=-⎭
， 所以，存在()0,2x m m ∈，使得()0'0h x =，
从而有，()h x 在()00,x 递减；()'h x 在()0,x +∞递增，()h x 在定义域内有唯一的零点. ②证明：()()00
100'2022,x
x h x e e
ax a e e --=--=⇒∈-，
()0000
x x e e g x x --=在()0,∞+递增，()1
1g e e -=-，
所以，001x <<，
()00
00
2200
22
2x x x x x x e e h x e e
ax e e
x x ----=+--=+--
000011222x x x x e e -⎛⎫⎛⎫
=-++- ⎪ ⎪⎝⎭⎝
⎭，
设()112(01)22x
x x x k x e e x -⎛⎫⎛⎫=-++-<< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，(1)(1)
'()02
x x e x e x k x ---+=<，
()k x 在()0,1递减，则()0h x 的取值范围为：32,022e
e ⎛⎫+
- ⎪⎝⎭
. 【点睛】
本题考查利用导数研究函数的单调性和极值，求取值范围问题，难度较大，关键难点在于多次求导和结合相关函数的零点判定有关单调性和取值范围，考查推理、计算能力.
22．（1）l ：1x =或()tan 1y x α=⋅-，2
2:12
x C y +=；（2）【解析】 【分析】 （1）当2
π
α=
时，直线l 的方程为：1x =，当2
π
α≠
时，联立消去t 即可得到答案；由
222x y ρ=+，sin ,cos x y ρθρθ==直接将极坐标方程化为直角坐标方程.
（2）设在直线上A ，B 两点的参数分别为12,t t . 将直线l 的方程1cos sin x t y t α
α=+⎧⎨
=⎩
代入
2222x y +=，得到12t t +，12t t ⋅的表达式，然后利用直线上参数的几何意义，由可得
1212PA PB PA t t B t t P =⋅==+-⋅
【详解】 解：（1）当2
π
α=
时，直线l 的方程为：1x =，
当2
π
α≠
时，直线l 的方程为：()tan 1y x α=⋅-；
22222222
2
sin 221sin x y y ρρρθθ
=
⇒+=⇒++=+， 即：2
212
x y +=.
（2）设在直线上A ，B 两点的参数分别为12,t t .
将直线l 的方程1cos sin x t y t αα
=+⎧⎨=⎩代入22
22x y +=得：
()2
2
1sin 2cos 10t
t αα++-=，
2480b ac ∆=-=>，1222cos 1sin t t α
α
+=-
+，12
211sin t t α⋅=-+， 所以12,t t 符号相反，则12PA PB t t -=+
PA PB PA PB ⋅=-得1212
222cos 11sin 1sin t t t t ααα
+=-
=⋅=-++，
所以，1
cos tan 2
αα=±⇒=【点睛】
本题考查直线的参数方化为普通方程，极坐标方程化为直角坐标方程，直线参数方程与椭圆联立韦达定理和直线上参数的几何意义的应用，属于中档题, 23．（1）4；（2）证明见解析. 【解析】 【分析】
（1）计算得到()()62f a f b ab +=-，再根据均值不等式得到最值. （2）代入计算利用绝对值三角不等式计算得到证明. 【详解】
（1）222
()()2()6()2262f a f b a b a b a b ab ab +=+-++=+-+=-，
又,a b R +∈，2a b +=≥1ab ≤，1a b ==时等号成立，所以()()4f a f b +≥. 即()()f a f b +的最小值为4.
（2）()()()()
2
2
22323x x a f x f a x a x a a +-+=---=-+-()222244x a a x a a <-+-≤-++，所以()()()42f x f a a -<+.
【点睛】
本题考查了利用均值不等式求最值，绝对值三角不等式，意在考查学生的计算能力和应用能力.。