专题14 极坐标与参数方程、不等式选讲(理科专用)(讲)(解析版)
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4
（2）由（1）可设C的参数方程为
x
y
cos , 2sin
（
为参数，
π
π
）．
C上的点到 l 的距离为 | 2 cos 2
3
sin
11 |
4 cos
π 3
11
．
7
7
当
2π 3
时， 4 cos
π 3
11取得最小值7，故C上的点到
l
距离的最小值为
7．
【名师点睛】本题考查参数方程、极坐标方程与直角坐标方程的互化、求解椭圆上的点到直线距离的最值
直线 l 过点 A(4, 0) 且与 OM 垂直，垂足为 P．
（1）当
0
=
3
时，求
0
及
l
的极坐标方程；
（2）当 M 在 C 上运动且 P 在线段 OM 上时，求 P 点轨迹的极坐标方程．
【答案】（1） 0 2
3
，l
的极坐标方程为
cos
3
2
；（2）
4
cos ,
4
,
2
．
【解析】（1）因为
【答案】（1） x2 y2 1(x 1) ； l 的直角坐标方程为 2x 3y 11 0 ；（2） 7 ． 4
【解析】（1）因为
1
1 1
t t
2 2
1，且 x2
y 2
2
1 1
t2 t2
2
4t2 1 t2
2
1，
所以C的直角坐标方程为 x2 y2 1(x 1) ． l 的直角坐标方程为 2x 3y 11 0 ．
a2 b2 c2 ab bc ca ab bc ca 1 1 1 ．所以 1 1 1 a2 b2 c2 ．
abc
abc
abc
（2）因为 a, b, c 为正数且 abc 1，故有
(a b)3 (b c)3 (c a)3 33 (a b)3 (b c)3 (a c)3 =3(a+b)(b+c)(a+c)
3 (2 ab ) (2 bc ) (2 ac ) =24．所以 (a b)3 (b c)3 (c a)3 24 ．
【名师点睛】本题考查利用基本不等式进行不等式的证明问题，考查学生对于基本不等式的变形和应用能 力，需要注意的是在利用基本不等式时需注意取等条件能否成立．
4．【2019 年高考全国Ⅱ卷理数】在极坐标系中，O 为极点，点 M (0,0 )(0 0) 在曲线 C : 4 sin 上，
,(2)
【解析】（1）当 时，
可得
的解集为
．
（2）
等价于
故
等价于
所以 的取值范围是
．而
．由
可得
．
，且当 时等号成立． 或，
一、考向分析： 坐标系
坐标系与参数方程
参数方程
直角坐标系
极坐标系
圆的参数方程
不等式选讲
椭圆的参 数方程
直线的参 数方程
绝对值不等式
绝对值不等 式的解法
二、考向讲解
绝对值三 角不等式
x＝x0＋tcosα，
数方程为
(t 为参数)。
y＝y0＋tsinα
a.若 M1，M2 是直线 l 上的两个点，对应的参数分别为 t1，t2，则|M→0M1||M→0M2|＝|t1t2|，|M→1M2|
专题 14 极坐标与参数方程、不等式选讲
1．【2019
年高考全国Ⅰ卷理数】在直角坐标系
xOy
中，曲线
C
的参， （t
为参数）．以
y
1
4t t
2
坐标原点 O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线 l 的极坐标方程为
2 cos 3 sin 11 0 ．
（1）求 C 和 l 的直角坐标方程；（2）求 C 上的点到 l 距离的最小值．
3．【2019 年高考全国Ⅰ卷】已知 a，b，c 为正数，且满足 abc=1．证明：
（1） 1 1 1 a2 b2 c2 ；（2） (a b)3 (b c)3 (c a)3 24 ． abc
【答案】（1）见解析；（2）见解析．
【解析】（1）因为 a2 b2 2ab,b2 c2 2bc,c2 a2 2ac ，又 abc 1，故有
4
2 ， 2 ），
由余弦定理，得AB=
32 ( 2)2 2 3
2
cos(
)
5．
24
1
（2）因为直线l的方程为 sin( ) 3 ，则直线l过点 (3 2, ) ，倾斜角为 3 ．
4
2
4
又 B(
2, ) ，所以点B到直线l的距离为 (3
2
2)
sin(3
)
2
．
2
42
【名师点睛】本题主要考查曲线的极坐标方程等基础知识，考查运算求解能力．
(3)确定极坐标方程时要注意极坐标系的四要素：极点、极轴、长度单位、角度单位及其正方
向，四者缺一不可．
(4)研究曲线的极坐标方程往往要与直角坐标方程进行相互转化．当条件涉及“角度”和“到定
极坐标与
点距离”时，引入 极坐标系将会给问题的解决带来很大的方便．
参数方程
（5）已知直线 l 经过点 M0(x0，y0)，倾斜角为α，点 M(x，y)为 l 上任意一点，则直线 l 的参
AP
OM
，故
的取值范围是
4
,
2
．所以，P点轨迹的极坐标方程为
4cos,
4
,
2
．
2
【名师点睛】本题主要考查极坐标方程与直角坐标方程的互化，熟记公式即可，属于常考题型．
5. 【2018 年理数全国卷 II】设函数
．
（1）当 时，求不等式
的解集；（2）若
，求 的取值范围．
【答案】（1）
不等式证明的基本方法
比较法
综合法 分析法
柯西不 等式
考查内容
解 题 技巧 (1)在将直角坐标化为极坐标求极角θ时，易忽视判断点所在的象限(即角θ的终边的位置)．
3
(2)在极坐标系下，点的极坐标不惟一性易忽视．
注意极坐标(ρ，θ)(ρ，θ＋2kπ)，(－ρ，π＋θ＋2k π)(k∈Z)表示同一点的坐标．
M
0,0 在C上，当0
3
时，0
4 sin
3
2
3 ．由已知得 | OP || OA | cos 2 ． 3
设
Q(
,
)
为l上除P的任意一点．在
Rt△OPQ
中，
cos
3
|
OP
|
2
，经检验，点
P(2,
3
)
在曲线
cos
3
2
上．所以，l的极坐标方程为
cos
3
2
．
（2）设 P(, ) ，在 Rt△OAP 中，| OP || OA | cos 4 cos , 即 4 cos ．因为P在线段OM上，且
问题．求解本题中的最值问题通常采用参数方程来表示椭圆上的点，将问题转化为三角函数的最值问题．
2．【2019年高考江苏卷数学】在极坐标系中，已知两点
A
3,
4
,
B
2,
2
，直线l的方程为
sin
4
3．（1）
求A，B两点间的距离；（2）求点B到直线l的距离．
【答案】（1） 5 ；（2）2．
【解析】（1）设极点为O．在△OAB中，A（3， ），B（
（2）由（1）可设C的参数方程为
x
y
cos , 2sin
（
为参数，
π
π
）．
C上的点到 l 的距离为 | 2 cos 2
3
sin
11 |
4 cos
π 3
11
．
7
7
当
2π 3
时， 4 cos
π 3
11取得最小值7，故C上的点到
l
距离的最小值为
7．
【名师点睛】本题考查参数方程、极坐标方程与直角坐标方程的互化、求解椭圆上的点到直线距离的最值
直线 l 过点 A(4, 0) 且与 OM 垂直，垂足为 P．
（1）当
0
=
3
时，求
0
及
l
的极坐标方程；
（2）当 M 在 C 上运动且 P 在线段 OM 上时，求 P 点轨迹的极坐标方程．
【答案】（1） 0 2
3
，l
的极坐标方程为
cos
3
2
；（2）
4
cos ,
4
,
2
．
【解析】（1）因为
【答案】（1） x2 y2 1(x 1) ； l 的直角坐标方程为 2x 3y 11 0 ；（2） 7 ． 4
【解析】（1）因为
1
1 1
t t
2 2
1，且 x2
y 2
2
1 1
t2 t2
2
4t2 1 t2
2
1，
所以C的直角坐标方程为 x2 y2 1(x 1) ． l 的直角坐标方程为 2x 3y 11 0 ．
a2 b2 c2 ab bc ca ab bc ca 1 1 1 ．所以 1 1 1 a2 b2 c2 ．
abc
abc
abc
（2）因为 a, b, c 为正数且 abc 1，故有
(a b)3 (b c)3 (c a)3 33 (a b)3 (b c)3 (a c)3 =3(a+b)(b+c)(a+c)
3 (2 ab ) (2 bc ) (2 ac ) =24．所以 (a b)3 (b c)3 (c a)3 24 ．
【名师点睛】本题考查利用基本不等式进行不等式的证明问题，考查学生对于基本不等式的变形和应用能 力，需要注意的是在利用基本不等式时需注意取等条件能否成立．
4．【2019 年高考全国Ⅱ卷理数】在极坐标系中，O 为极点，点 M (0,0 )(0 0) 在曲线 C : 4 sin 上，
,(2)
【解析】（1）当 时，
可得
的解集为
．
（2）
等价于
故
等价于
所以 的取值范围是
．而
．由
可得
．
，且当 时等号成立． 或，
一、考向分析： 坐标系
坐标系与参数方程
参数方程
直角坐标系
极坐标系
圆的参数方程
不等式选讲
椭圆的参 数方程
直线的参 数方程
绝对值不等式
绝对值不等 式的解法
二、考向讲解
绝对值三 角不等式
x＝x0＋tcosα，
数方程为
(t 为参数)。
y＝y0＋tsinα
a.若 M1，M2 是直线 l 上的两个点，对应的参数分别为 t1，t2，则|M→0M1||M→0M2|＝|t1t2|，|M→1M2|
专题 14 极坐标与参数方程、不等式选讲
1．【2019
年高考全国Ⅰ卷理数】在直角坐标系
xOy
中，曲线
C
的参， （t
为参数）．以
y
1
4t t
2
坐标原点 O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线 l 的极坐标方程为
2 cos 3 sin 11 0 ．
（1）求 C 和 l 的直角坐标方程；（2）求 C 上的点到 l 距离的最小值．
3．【2019 年高考全国Ⅰ卷】已知 a，b，c 为正数，且满足 abc=1．证明：
（1） 1 1 1 a2 b2 c2 ；（2） (a b)3 (b c)3 (c a)3 24 ． abc
【答案】（1）见解析；（2）见解析．
【解析】（1）因为 a2 b2 2ab,b2 c2 2bc,c2 a2 2ac ，又 abc 1，故有
4
2 ， 2 ），
由余弦定理，得AB=
32 ( 2)2 2 3
2
cos(
)
5．
24
1
（2）因为直线l的方程为 sin( ) 3 ，则直线l过点 (3 2, ) ，倾斜角为 3 ．
4
2
4
又 B(
2, ) ，所以点B到直线l的距离为 (3
2
2)
sin(3
)
2
．
2
42
【名师点睛】本题主要考查曲线的极坐标方程等基础知识，考查运算求解能力．
(3)确定极坐标方程时要注意极坐标系的四要素：极点、极轴、长度单位、角度单位及其正方
向，四者缺一不可．
(4)研究曲线的极坐标方程往往要与直角坐标方程进行相互转化．当条件涉及“角度”和“到定
极坐标与
点距离”时，引入 极坐标系将会给问题的解决带来很大的方便．
参数方程
（5）已知直线 l 经过点 M0(x0，y0)，倾斜角为α，点 M(x，y)为 l 上任意一点，则直线 l 的参
AP
OM
，故
的取值范围是
4
,
2
．所以，P点轨迹的极坐标方程为
4cos,
4
,
2
．
2
【名师点睛】本题主要考查极坐标方程与直角坐标方程的互化，熟记公式即可，属于常考题型．
5. 【2018 年理数全国卷 II】设函数
．
（1）当 时，求不等式
的解集；（2）若
，求 的取值范围．
【答案】（1）
不等式证明的基本方法
比较法
综合法 分析法
柯西不 等式
考查内容
解 题 技巧 (1)在将直角坐标化为极坐标求极角θ时，易忽视判断点所在的象限(即角θ的终边的位置)．
3
(2)在极坐标系下，点的极坐标不惟一性易忽视．
注意极坐标(ρ，θ)(ρ，θ＋2kπ)，(－ρ，π＋θ＋2k π)(k∈Z)表示同一点的坐标．
M
0,0 在C上，当0
3
时，0
4 sin
3
2
3 ．由已知得 | OP || OA | cos 2 ． 3
设
Q(
,
)
为l上除P的任意一点．在
Rt△OPQ
中，
cos
3
|
OP
|
2
，经检验，点
P(2,
3
)
在曲线
cos
3
2
上．所以，l的极坐标方程为
cos
3
2
．
（2）设 P(, ) ，在 Rt△OAP 中，| OP || OA | cos 4 cos , 即 4 cos ．因为P在线段OM上，且
问题．求解本题中的最值问题通常采用参数方程来表示椭圆上的点，将问题转化为三角函数的最值问题．
2．【2019年高考江苏卷数学】在极坐标系中，已知两点
A
3,
4
,
B
2,
2
，直线l的方程为
sin
4
3．（1）
求A，B两点间的距离；（2）求点B到直线l的距离．
【答案】（1） 5 ；（2）2．
【解析】（1）设极点为O．在△OAB中，A（3， ），B（