2023年上海控江中学高二下期中数学试卷及答案

控江中学2023学年第二学期高二年级数学期中
2023.4
一､填空题（本大题共有12题，满分54分，第1-6题每题4分，第7-12题每题5分）考生应在答题纸的相应位置填写结果.
1.向量
()3,0,1a =
的模
a =
r __________.
2.函数ln y x =的导函数的定义域为__________.
3.
根据二项式定理，()101x +的二项展开式共有__________项.
4.设,m n ∈R ，若向量
()
2,1,3a =-
与向量
()
,2,b m n =
平行，则m n +=__________.
5.已知函数
()πcos 3f x x ⎛
⎫=- ⎪
⎝⎭，则函数()y f x =的导函数()f x '=__________.6.设a ∈R ，若1是函数
()ln f x ax x
=+的一个驻点，则=a __________.
7.
在
8
2x ⎫⎪
⎭的二项展开式中，常数项为__________.8.圆的参数方程为3sin 4cos ,
4sin 3cos x y θθθθ=+⎧⎨
=-⎩（θ为参数）
，则此圆的半径为___________.
9.在极坐标系中，圆8sin ρθ=的圆心到直线
()π
4θρ=
∈R 的距离为__________.
10.设R a ∈，若关于x 的方程2
e x
a x =有三个实数解，则a 的取值范围为__________.11.定义域和值域都是R 的连续函数
()
y f x =恰有17个驻点，导函数
()
y f x '=的定义域
R 被这些驻点分割成18个小区间，其中恰有9个区间能使()0f x ¢>恒成立，若记
()y f x =的零点个数为n ，则n 的最大值为__________.
12.在空间中，O 是一个定点，,,OA OB OC
给定的三个不共面的向量，且它们两两之间的
夹角都是锐角.若向量OP 满足
OA OP OA ⋅= ，
2OB OP OB ⋅= ，
3OC OP OC
⋅=
，
则满足题意的点P 的个数为__________.
二､选择题（本大题共有4题，满分18分，第13､14题每题4分，第15､16题每题5分）每题有且仅有一个正确选项，考生应在答题纸的相应位置，将代表正
确选项的小方格涂黑.
13.在10
()a b +的二项展开式中，第3项为（
）
A.282
10C a b
B.228
10C a b
C.3
73
10C a b
D.
337
10C a b
14.下列以t 为参数的参数方程中，能够表示方程1xy
=的是（
）
A.1
21
2x t y t -⎧
=⎪⎨⎪=⎩
B.sin 1
sin x t y t =⎧⎪⎨=⎪⎩C.cos 1
cos x t
y t =⎧⎪⎨=⎪⎩
D.tan 1
tan x t y t =⎧⎪⎨=⎪⎩
15.计算：0sin 2()sin(2)
lim h x h x h
→+-=（
）
A.0
B.cos2x
C.2cos x
D.
2cos2x
16.设函数()y f x =在定义域D 上的导数值均存在，其导函数为()y f x '=，关于这两个函数的图象，有如下两个命题：
命题p ：若()y f x '=的图象关于直线0x x =对称，则()y f x =的图象也关于直线0x x =对称；
命题q ：若()y f x '=是减函数，且其图象向右方无限延伸时会与x 轴无限趋近，则函数
()y f x =是增函数，且其图象向右方无限延伸时也会存在一条平行或重合于x 轴的直线l ，
使得()y f x =的图象与l 无限趋近.下列判断正确的是（）
A.p 和q 都是真命题
B.p 和q 都是假命题
C.p 是真命题，q 是假命题
D.p 是假命题，q 是真命题
三､解答题（本大题共有5题，满分78分）解答下列各题必须在答题纸的相应位置写出必要的步骤.
17.已知函数()e x
f x x =-，x ∈R .
（1）求()0f '的值，并写出该函数在点()()
0,0f 处的切线方程；（2）求函数()y f x =在区间[]1,1-上的最大值和最小值.
18.如图，在三棱锥-P ABC 中，PA ⊥平面ABC ，90BAC ∠=︒，2AB AP AC ===，M ､N 分别为PA PC ､的中点.
（1）求直线BN 与平面ABC 所成角的大小；（2）求平面MNB 与平面ABC 所成二面角的大小.19.设R a ∈，函数()2
6
,0f x ax x x
=+
>.（1）当3a =时，求函数()y f x =的单调区间；
（2）设常数0c >.当0a =时，关于x 的不等式()3
213f x x c +≥在[),c +∞恒成立，求c 的
取值范围.
20.设实数0m ≠.对任意给定的实数x ，都有99
29901299(3)mx a a x a x a x +=++++ .
（1）当1m =时，求9798a a +的值；（2）若m 是整数，且满足5
4
67a a <
<成立，求01299a a a a ++++ 的值；（3）当()12,13m ∈时，根据m 的取值，讨论99(3)mx +的二项展开式中系数最大的项是第几项.标系.
21.设常数()0,1λ∈.在棱长为1的正方体1111ABCD A B C D -中，
点Q 满足111D Q D C λ=
，点,M N 分别为棱,AD AB 上的动点（均不与顶点重合），且满足||||AN DM λ= ，记DM a = .以A 为原点，分别以1,,AB AD AA
的方向为,,x y z 轴的正方向，建立如图空间直
角坐标系
（1）用λ和a 表示点M N Q ､､的坐标；（2）设1
2
a =
，若1MA N AMN ∠∠=，求常数λ的值；（3）记Q 到平面1MAN 的距离为()h a .求证：若关于a 的方程()5
2
h a λ=
在()0,1上恰有两个不同的解，则这两个解中至少有一个大于1
2.
控江中学2023学年第二学期高二年级数学期中
2023.4
一､填空题（本大题共有12题，满分54分，第1-6题每题4分，第7-12题每题5分）考生应在答题纸的相应位置填写结果.
1.向量
()3,0,1a =
的模
a =
r __________.
【答案】【解析】
【分析】直接计算模长得到答案.
【详解】()3,0,1a = ，则a =
.
2.函数ln y x =的导函数的定义域为__________.【答案】()0,∞+【解析】
【分析】确定函数定义域，再求导确定导函数定义域得到答案.【详解】ln y x =，函数定义域为()0,∞+，1
y x
'=，导函数需满足0x ≠，综上所述：导函数定义域为()0,∞+.故答案为：()0,∞+.
3.根据二项式定理，()101x +的二项展开式共有__________项.【答案】11【解析】
【分析】根据二项式定理得出展开式的通项，即可得出答案.【详解】根据二项式定理，可知()101x +的二项展开式的通项为
10110C 1r
r r r T x -+=⨯⨯，0,1,2,,10r = ，共有11项.
故答案为：11.
4.设,m n ∈R ，若向量()2,1,3a =-
与向量(),2,b m n = 平行，则m n +=__________.
【答案】10-【解析】
【分析】根据已知可得
2132m n
-==，求解即可得出答案.【详解】因为a b ∥，所以有,0m n ≠，且213
2m n
-=
=，所以4m =-，6n =-，所以10m n +=-.故答案为：10-.
5.已知函数()πcos 3f x x ⎛⎫
=- ⎪⎝
⎭
，则函数()y f x =的导函数()f x '=__________.【答案】πsin 3x ⎛⎫-- ⎪⎝
⎭
【解析】
【分析】根据基本初等函数以及复合函数的求导法则，即可得出答案.
【详解】由已知可得，()πcos 3f x x '⎡⎤⎛⎫- ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦
'=ππsin 33x x '⎛⎫⎛⎫=--⨯- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭πsin 3x ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭.
故答案为：πsin 3x ⎛
⎫--
⎪⎝
⎭
.6.设a ∈R ，若1是函数()ln f x ax x =+的一个驻点，则=a __________.【答案】1-【解析】
【分析】由已知求出导函数，根据已知得出方程，求解即可得出答案.【详解】由已知可得，()f x 的定义域为()0,∞+，且()1
f x a x
'=+，由已知可得()110f a '=+=，可得1a =-.故答案为：1-.
7.
在8
2x ⎫⎪⎭的二项展开式中，常数项为__________.【答案】112【解析】
【分析】直接利用二项式定理公式计算得到答案.
【详解】8
2x ⎫+⎪⎭
的二项展开式的通项为8483
18
82C C 2r
r r
r
r r r T x x --+⎛⎫=⋅=⋅⋅ ⎪⎝⎭
，
取
8403
r -=得到2r =，则常数项为2
28C 2112⋅=.
故答案为：112.8.圆的参数方程为3sin 4cos ,
4sin 3cos x y θθθθ=+⎧⎨=-⎩
（θ为参数），则此圆的半径为___________.
【答案】5【解析】
【分析】把两式两边平方作和，消去参数θ，化为圆的标准方程得答案．
【详解】解：由3443x sin cos y sin cos θθθθ=+⎧⎨=-⎩
①
②，
①2+②2得，x 2+y 2＝9sin 2θ+16cos 2θ+24sin θcos θ+16sin 2θ+9cos 2θ﹣24sin θcos θ＝16（sin 2θ+cos 2θ）+9（sin 2θ+cos 2θ）＝25．∴圆的半径为5．故答案为5．
【点睛】本题考查圆的参数方程化为普通方程，考查同角三角函数基本关系式的应用，是基础题．
9.在极坐标系中，圆8sin ρθ=的圆心到直线()π
4
θρ=∈R 的距离为__________.
【答案】【解析】
【分析】由已知得出圆和直线的直角坐标方程，根据点到直线的距离公式，即可得出答案.【详解】由已知可得28sin ρρθ=.
因为cos sin x y ρθρθ
=⎧⎨=⎩，所以228x y y +=，
所以圆的直角坐标方程为()2
2416x y +-=，圆心为()0,4.
直线()π
4
θρ=
∈R 转化为直角坐标方程为y x =，即0x y -=.又点()0,4到直线0x y -=
的距离d ==即圆8sin ρθ=的圆心到直线()π
4
θρ=∈R
的距离为.
故答案为：10.设R a ∈，若关于x 的方程2e x a x =有三个实数解，则a 的取值范围为__________.【答案】2
4(0,
e
【解析】
【分析】设()2
e
x x f x =，根据题意转化为函数()y f x =的图象与直线y a =有三个不同的
交点，求得()(2)
e
x
x x f x -'=
，求得函数()f x 的单调性与极值，作出函数()f x 的图象，结合图象，即可求得实数a 的取值范围.
【详解】由2
e x
a x =，可得2
e
x x a =，
设函数()2
e x x
f x =，则函数()y f x =的图象与直线y a =有三个不同的交点，
又由()22(2)
e e
x x
x x x x f x --'==，当0x <或2x >时，()0f x '<，()f x 单调递减；当02x <<时，()0f x ¢>，()f x 单调递增，所以()f x 的极小值为()00f =，极大值为()2e
24
f =
，且x →-∞时，()f x →+∞，当x →+∞时，()0f x →，作出函数()f x 的大致图象如图所示，
由图象可知，要使函数()y f x =的图象与直线y a =由三个不同的交点，则满足2
40e a <<，即实数
a 的取值范围是24
(0,)e .故答案为：2
4
(0,
)e .
11.定义域和值域都是R 的连续函数()y f x =恰有17个驻点，
导函数()y f x '=的定义域R 被这些驻点分割成18个小区间，
其中恰有9个区间能使()0f x ¢>恒成立，若记()y f x =的零点个数为n ，则n 的最大值为__________.【答案】17【解析】
【分析】根据驻点定义结合单调性判断，再因为值域为R 确定零点个数即得.
【详解】定义域和值域都是R 的连续函数()y f x =恰有17个驻点，导函数()y f x '=的定义域R 被这些驻点分割成18个小区间，
因为其中恰有9个区间能使()0f x ¢>恒成立，所以恰有9个区间能使()0f x '<恒成立，为使零点个数最多，需使每个单调区间都存在零点，因此零点最多有18个，
但因为函数是值域是R 的连续函数，所以()y f x =的最右侧区间与最左侧区间单调性相同，从而必存在两个相邻的小区间的单调性相同，即此时对应的驻点非极值点，因此这两个相邻小区上最多存在一个零点，即整个定义域上最多存在17个零点所以若记()y f x =的零点个数为n ，则n 的最大值为17.故答案为:17.
12.在空间中，O 是一个定点，,,OA OB OC
给定的三个不共面的向量，且它们两两之间的
夹角都是锐角.若向量OP
满足OA OP OA ⋅= ，2OB OP OB ⋅= ，3OC OP OC ⋅= ，
则满足题意的点P 的个数为__________.【答案】8【解析】
【分析】确定点P 在与OA 垂直，且到O 的距离为1的平面上，在与OB 垂直，且到O 的距离为2的平面上，在与OC 垂直，且到O 的距离为3的平面上，计算得到答案.
【详解】OA OP OA ⋅= ，故1OA OP OA
⋅= ，1OA OP
OA ⋅=± ，cos ,1OP OA OP =± ，故点P 在与OA 垂直，且到O 的距离为1的平面上，共两个平面；同理得到：
故点P 在与OB 垂直，且到O 的距离为2的平面上，共两个平面；故点P 在与OC 垂直，且到O 的距离为3的平面上，共两个平面.
6个两两平行的平面共有8个交点，故满足条件的P 共有8个.
故答案为：8
二､选择题（本大题共有4题，满分18分，第13､14题每题4分，第15､16题每题5分）每题有且仅有一个正确选项，考生应在答题纸的相应位置，将代表正确选项的小方格涂黑.
13.在10()a b +的二项展开式中，第3项为（）
A.2
82
10C a b
B.228
10C a b
C.3
73
10C a b
D.
33710C a b
【答案】A 【解析】
【分析】写出二项展开式的通项，即可得出答案.【详解】因为，10()a b +的二项展开式的通项为10110=C r
r r
r T a
b -+，0,1,2,,10r = ，
所以，第3项为2
31028=C T a b .故选：A.
14.下列以t 为参数的参数方程中，能够表示方程1xy
=的是（
）
A.1
21
2x t y t -⎧
=⎪⎨⎪=⎩
B.sin 1
sin x t y t =⎧⎪⎨=⎪⎩C.cos 1
cos x t
y t =⎧⎪⎨=⎪⎩
D.tan 1
tan x t y t =⎧⎪⎨=⎪⎩
【答案】D 【解析】
【分析】先求出方程1xy
=中，x 的范围，然后消参验证各项，并根据指数函数、正弦、
余弦以及正切函数的值域，即可得出答案.【详解】由1xy
=可知，x ∈R ，且0x ≠.
对于A 项，消去t 可得1xy
=，
但是0t >，所以
1
20x t =>，故A 项错误；对于B 项，消去t 可得1xy
=，又1sin 1x t -≤=≤，且sin 0x t =≠，故B 项错误；对于C 项，消去t 可得1xy
=，又1cos 1x t -≤=≤，且cos 0x t =≠，故C 项错误；对于D 项，消去t 可得1xy
=，
又因为tan x t =，所以x ∈R ，且0x ≠，故D 项正确.故选：D.15.计算：0sin 2()sin(2)
lim h x h x h
→+-=（
）
A.0
B.cos2x
C.2cos x
D.
2cos2x
【答案】D 【解析】
【分析】变换得到()0sin 2()sin(2)
lim
2sin 2h x h x x h
→+-'=，计算得到答案.
【详解】设()sin(2)f x x =则()()00sin 2()sin(2)()()
lim
lim sin 22cos 2h h x h x f x h f x f x x x h h
→→+-+-''====.
故选：D.
16.设函数()y f x =在定义域D 上的导数值均存在，其导函数为()y f x '=，关于这两个函数的图象，有如下两个命题：
命题p ：若()y f x '=的图象关于直线0x x =对称，则()y f x =的图象也关于直线0x x =对称；
命题q ：若()y f x '=是减函数，且其图象向右方无限延伸时会与x 轴无限趋近，则函数
()y f x =是增函数，且其图象向右方无限延伸时也会存在一条平行或重合于x 轴的直线l ，
使得()y f x =的图象与l 无限趋近.下列判断正确的是（）
A.p 和q 都是真命题
B.p 和q 都是假命题
C.p 是真命题，q 是假命题
D.p 是假命题，q 是真命题
【答案】B 【解析】
【分析】举例即可说明命题p 、q 为假命题.
【详解】对于命题p ：若()3f x x =，则()23f x x '=，
显然()2
3f x x '=的图象关于直线0x =对称，
但是()3
f x x =不是轴对称图形，故命题p 为假命题；
对于命题q ：若()ln f x x =，则()1f x x
'=，显然()1
f x x
'=
的图象向右方无限延伸时会与x 轴无限趋近，函数()ln f x x =为增函数，但是不存在直线l ，使得()ln f x x =的图象与l 无限趋近，故命题q 是假命题.
故选：B.
三､解答题（本大题共有5题，满分78分）解答下列各题必须在答题纸的相应位置写出必要的步骤.
17.已知函数()e x
f x x =-，x ∈R .
（1）求()0f '的值，并写出该函数在点()()
0,0f 处的切线方程；（2）求函数()y f x =在区间[]1,1-上的最大值和最小值.【答案】（1）1
y =（2）最大值是e 1-，最小值是1.【解析】
【分析】（1）求出()e 1x f x '=-，根据导数的几何意义得出切线的斜率，求出()01f =，
即可得出答案；
（2）根据导函数得出导函数的单调性，结合端点值，即可得出函数的最值.【小问1详解】
由已知可得()e 1x
f x '=-，所以()00f '=，
则根据导数的几何意义可知，函数在点()()
0,0f 处的切线的斜率为()00k f '==.
又()01f =，所以函数在点()()
0,0f 处的切线的方程为1y =.【小问2详解】
当10x -≤<时，()e 10x
f x '=-<，所以()f x 在[)1,0-上单调递减；
当01x <≤时，()e 10x
f x '=->，所以()f x 在(]0,1上单调递增.
所以，()f x 在0x =处取得唯一极小值，也是最小值()01f =.又()1
11 1.5e
f -=
+<，()()1e 1 1.51f f =->>-，所以，函数在区间[]1,1-上的最大值是e 1-，最小值是1.
18.如图，在三棱锥-P ABC 中，PA ⊥平面ABC ，90BAC ∠=︒，2AB AP AC ===，M ､N 分别为PA PC ､的中点.
（1）求直线BN 与平面ABC 所成角的大小；（2）求平面MNB 与平面ABC 所成二面角的大小.【答案】（1）6
arcsin 6
（2）25arccos 5和25
πarccos 5
-【解析】
【分析】（1）建立空间直角坐标系，得到各点坐标，确定()10,0,1n =
是平面ABC 的一个
法向量，根据向量的夹角公式计算得到答案.
（2）平面BMN 的一个法向量()21,0,2=u u r
n ，()10,0,1n = 是平面ABC 的一个法向量，根据向量的夹角公式计算得到答案.【小问1详解】
建立如图空间直角坐标系，可得点的坐标()()()()2,0,0,0,2,0,0,1,1,0,0,1B C N M ，
故()2,1,1BN =- ，()10,0,1n =
是平面ABC 的一个法向量，
设直线BN 与平面ABC 所成角的大小为π20θθ⎛⎫≤≤
⎪⎝
⎭
，
则11sin 6n BN n BN
θ⋅=== ，故直线BN 与平面ABC 所成角的大小为6
arcsin 6
.【小问2详解】
设()2,,n u v k = 是平面BMN 的法向量，
()2,0,1BM =- ,220
0n BM n BN ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩ ，即20
20u k u v k -+=⎧⎨-++=⎩
，
不妨取2k =，得到平面BMN 的一个法向量()21,0,2=u u r n
，
12121225cos ,5n n n n n n ⋅===
，
故平面MNB 与平面ABC 所成的
二面角是arccos 5
和πarccos 5
-.19.设R a ∈，函数()2
6
,0f x ax x x
=+
>.（1）当3a =时，求函数()y f x =的单调区间；
（2）设常数0c >.当0a =时，关于x 的不等式()3
213f x x c +≥在[),c +∞恒成立，求c 的
取值范围.
【答案】（1）函数的单调增区间为()1,+∞，单调减区间为()0,1（2
）)
80,13∞⎛⎤⋃+ ⎥⎝⎦
【解析】
【分析】（1）求导得到()()32
61x f x x
-='，再确定函数的单调区间得到答案.
（2）设()3
6
213g x x c x
=+
-，求导得到函数的单调区间，考虑01c <<，1c ≥两种情况，根据函数的单调性计算最值得到答案.【小问1详解】
()2
63f x x x =+，()()
3226166x f x x x x
-='-=，令()0f x '=，解得1x =，
当01x <<时，()0f x '<，函数()y f x =单调递减，当1x >时，()0f x ¢>，函数()y f x =单调递增，故函数的单调增区间为()1,+∞，单调减区间为()0,1.【小问2详解】
0a =，()6=f x x ，设()3
6213g x x c x =+-，()()
4
2226166x g x x x x
-=-=
'，令()0g x '=得1x =.
当01x <<.时，()0g x '
<，函数()y g x =单调递减，
当1x >时，()0g x '>，函数()y g x =单调递增，
当01c <<时，()y g x =在[),c +∞上的最小值()1813g c =-，由()10g ≥，解得813c ≤
，故80,13c ⎛⎤∈ ⎥⎝⎦
.当1c ≥时，()y g x =在[),c +∞上的最小值()3
6
213g c c c c
=+
-，由()0g c ≥，有
()(
)2
22160c c c
--≥
，解得c ≥
，故)
c ∞∈+.
综上所述：c
的取值范围为)
80,
13∞⎛⎤⋃+ ⎥⎝⎦
.20.设实数0m ≠.对任意给定的实数x ，都有99
29901299(3)mx a a x a x a x +=++++ .
（1）当1m =时，求9798a a +的值；（2）若m 是整数，且满足5
4
67a a <
<成立，求01299a a a a ++++ 的值；（3）当()12,13m ∈时，根据m 的取值，讨论99(3)mx +的二项展开式中系数最大的项是第几项.
【答案】（1）979843956a a +=（2）99
012994a a a a ++++= （3）答案见解析【解析】
【分析】（1）直接利用二项式定理计算得到答案.
（2）计算54193
a m
a =，代入计算得到1m =，取1x =计算得到答案.（3）确定
()()()98199!993331!99!3r r r r m a a m m r r r m -+-⎡⎤
-=-
+-
⎢⎥+-+⎣⎦
，分
24324324312,,13191919m m m ⎛⎫⎛⎫
∈=∈ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
､､三种情况讨论，计算得到答案.
【小问1详解】
展开式的通项为99199C 3
r
r
r r T x -+=⋅⋅，
故29798
979998993C 43659,3C 297a a ====，故979843956a a +=.
【小问2详解】
展开式的通项为()999919999C 3C 3r
r r r
r r r r T mx m x --+=⋅⋅=⋅⋅⋅，594549545599499419C 3,C 3,
3
a m
a m a m a ===，由19673m <
<得1821
1919
m <<，又m ∈Z 知1m =，取1x =，可知99
012994a a a a ++++= .
【小问3详解】
展开式的第1r +项的系数9999C 3
r
r
r r a m -=，
()()()()198199981999999!
C 3C 3399311!99!
r r r r
r r r r r r a a m m m r m r r r +-+--+-=-=
--+⎡⎤⎣⎦
+-()()()9899!993331!99!3r r m m m r r r m --⎡⎤
=-
+-
⎢⎥+-+⎣⎦
由()12,13m ∈，知()993
79,80.253
m m -∈+，
下分24324324312,,13191919m m m ⎛⎫⎛⎫
∈=∈ ⎪ ⎪⎝
⎭⎝⎭､､三种情况讨论：①当24312,19m ⎛⎫∈ ⎪
⎝
⎭时，()993
79,803
m m -∈+，当993
3
m r m -<+时，179,r r r a a +≤>成立，即127980a a a a <<<< ；
当993
3
m r m ->
+时，180,r r r a a +≥<成立，即80819899a a a a >>>> ；
②当24319m =时，
993
803
m m -=+，当993
3
m r m -<+时，179,r r r a a +≤>成立，即127980a a a a <<<< ；
当993
3
m r m -=+时，180,r r r a a +==成立，即8081a a =；
当993
3
m r m ->
+时，181,r r r a a +≥<成立，即81829899a a a a >>>> ；
③当243,1319m ⎛⎫
∈ ⎪⎝⎭
时，()99380,80.253m m -∈+，当993
3
m r m -<
+时，180,r r r a a +≤>成立，即128081a a a a <<<< ；
当993
3m r m ->
+时，181,r r r a a +≥<成立，即81829899a a a a >>>> ；
综上所述：当24312,19m ⎛⎫
∈ ⎪⎝
⎭
时，第81项的系数80a 最大；当243
19
m =
时，第81项､第82项的系数8081a a ､相等且最大；当243,1319m ⎛⎫
∈ ⎪⎝⎭
时，第82项的系数81a 最大.标系.
21.设常数()0,1λ∈.在棱长为1的正方体1111ABCD A B C D -中，点Q 满足111D Q D C λ=
，点,M N 分别为棱,AD AB 上的动点（均不与顶点重合），且满足||||AN DM λ=
，记DM a = .以A 为原点，分别以1,,AB AD AA
的方向为,,x y z 轴的正方向，建立如图空间直
角坐标系
（1）用λ和a 表示点M N Q ､､的坐标；（2）设1
2
a =
，若1MA N AMN ∠∠=，求常数λ的值；
（3）记Q 到平面1MAN 的距离为()h a .求证：若关于a 的方程()2
h a λ=
在()0,1上恰有两个不同的解，则这两个解中至少有一个大于1
2.【答案】（1）()0,1,0M a -，(),0,0N a λ，(),1,1Q λ
（2）11
λ=
（3）证明见解析【解析】
【分析】（1）由已知，求出相关线段长度，即可得出各点的坐标；
（2）代入12a =
，根据向量法求出1cos MA N ∠=在Rt AMN
中，可推得cos AMN ∠=
=
，根据λ的范围，即可得出答
案；
（3）根据已知求出平面1A MN 的一个法向量11,,11n a a λ⎛⎫
=
⎪-⎝⎭
，进而根据向量法得出(
)h a =
()2423221
212205
a a a a λλλ-++-+=在()0,1中恰有两解.构造函数
()()
242322121225g a a a a a λλλ=-++-+，通过导函数证明函数在在10,2⎛⎫
⎪⎝⎭
上单调递
减，得出函数在10,2⎛
⎫ ⎪⎝
⎭
上零点的情况，即可得出证明.【小问1详解】
由已知可得，1AM a =-，AN a λ=，所以()0,1,0M a -，(),0,0N a λ.因为()11,1,1C ，()10,1,1D ，又1D Q λ=，所以(),1,1Q λ.
【小问2详解】
由已知可得()10,0,1A ，10,
,02M ⎛⎫ ⎪⎝
⎭
，所以110,,12A M ⎛⎫=- ⎪⎝⎭ ，1,0,12A N λ⎛⎫=- ⎪⎝⎭
.
所以1111
11cos ,A M A N A M A N A M A N ⋅=
=
=
.
又1MA N ∠
是锐角，所以1cos MA N ∠=
又Rt AMN
中，12cos AM AMN MN ∠=
=
.
因此，由1MA N AMN ∠∠=
=
，
解得11
λ=
.【小问3详解】
由已知可得，()10,1,1A M a =-- ，()1,0,1A N a λ=- ，()1,1,0A Q λ=
，设(),,n u v k =
是平面1A MN 的法向量，则()100
a v k a u k λ⎧--=⎨
⋅-=⎩.不妨取1k =，得到平面1A MN 的一个法向量11,,11n a a λ⎛⎫=
⎪-⎝⎭
，故(
)1n A Q
h a n
⋅==
=
由()52
h a λ
=
，可得222222
4(1)(1)5a a a a λλ-++-=，由题意，关于a 的方程2
2
2
2
2
2
4
(1)(1)5
a a a a λλ-++-=在()0,1中恰有两解，即(
)2
4
2
32
21
212205
a a a a λλλ
-++-+
=在()0,1中恰有两解.记()(
)
2
4
2
3
2
21
21225
g a a a a a λλλ
=-++-+，
下求()y g a =在10,2⎛⎫ ⎪⎝
⎭
的单调性：
()()
23222462122g a a a a λλλ'=-++-，
记()()(
)2
3
2
2
2
462122u a g a a a a λλλ
'==-++-，
则()(
)2
2
2
2
1212212u a a a λλλ
=-++'.
由于()
()
2
2
221296120λλλ--+<恒成立，且()00u '>，
根据二次函数的性质可知()0u a '>恒成立，故()y g a '=单调递增.
又()020g '=-<，2
1102g λ⎛⎫=-< ⎪⎝⎭
'，
故()0g a '<在10,2⎛⎫ ⎪⎝
⎭
上恒成立，即有()y g a =在10,2⎛⎫ ⎪⎝
⎭
上单调递减.因此，()52
h a λ=
在10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭上至多有一个解，所以这两个解中至少有一个大于12.【点睛】关键点睛：小问3，通过构造函数，根据导函数得出函数()y g a =在10,2⎛
⎫ ⎪⎝⎭
上单
调递减，得出()2
h a λ=
在10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭上至多有一个解，进而得出证明.。