湖南高三高中数学水平会考带答案解析

湖南高三高中数学水平会考
班级:___________ 姓名：___________ 分数：___________
一、选择题
1.已知全集=" " （）
A．{4}B．{3，4}C．{2，3，4}D．{1，2，3，4}
2.命题：“”的否定是（）
A．B．
C．D．
3.若=" " （）
A．1B．—1C．2D．—2
4.如图,是一个几何体的三视图，侧视图和正视图均为矩
形，俯视图为正三角形，尺寸如图，则该几何体的
侧面积（）
A．6B．C．24D．3
5.已知双曲线，
则双曲线的离心率为（）
A．B．C．D．
6.按如下程序框图，若输出结果为170，则判断框内应补充的条件为（）
A．B．C．D．
7.若等差数列=" " （ ）
A ．2
B ．
C ．
D ．
8.设函数的取值范围是 （ ）
A ．
B ．
C ．
D ．
9.设a ，b 是两个单位向量，命题：“
”是命题：“
”成立
的 （ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件
C ．充要条件
D ．既不充分也不必要条件
10.函数
的图象如图所示，为了得到
的图象，则只要将
的图象 （ ）
A ．向右平移个单位长度
B ．向右平移个单位长度
C ．向左平移个单位长度
D ．向左平移
个单位长度
二、填空题
1.已知一种材料的最佳加入量在100g 到200g 之间,若按照0.618法优选，则第2次试点的加入量为 g.
2.在区间[1，9]上随机取一实数，则该实数在区间[4，7]上的概率为 .
3.如图，在正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1中，直线A 1B 与平面A 1B 1CD 所成的角的大小等于 .
4.已知圆C 的极坐标方程为的极坐标
方程为
则圆心C 到直线l 的
距离是 。

5.将所有3的幂，或者是若干个不相等的3的幂之和，
由小到大依次排列成数列1，3，4，9，10，12，13，…,则此数列的第100项为 .
三、解答题
1.（本题满分10分） 已知向量
（1）求的最小正周期和最大值；
（2）在
分别是角A 、B 、C 的对边，且
，求角C 。

2.（本题满分10分）
甲，乙两人进行射击比赛，每人射击6次，他们命中的环数如下表：
（1）根据上表中的数据,判断甲,乙两人谁发挥较稳定；
（2）把甲6次射击命中的环数看成一个总体,用简单随机抽样方法从中抽取两次命中的环数组成一个样本,求该样本平均数与总体平均数之差的绝对值不超过0.5的概率.
3.（本题满分10分） 已知数列
（1）求数列的通项公式；
（2）设
的值。

4.（本题满分12分）
已知椭圆C 的中心在原点，焦点F 1，F 2在x 轴上，离心率
，且经过点
（1）求椭圆C 的方程；
（2）若直线l 经过椭圆C 的右焦点F 2，且与椭圆C 交于A ，B 两点，使得|F 1A|，|AB|，|BF 1|依次成等差数列，求
直线l 的方程。

5.（本题满分13分） 已知函数
处取得极小值，其图象过点A （0，1），且在点A 处切线的斜率为—1。

（1）求的解析式； （2）设函数上的值域也是，则称区间为函
数的“保值区间”。

①证明：当不存在“保值区间”； ②函数是否存在“保值区间”？若存在，写出一个“保值区间”（不必证明）；若不存在，说明理由。

湖南高三高中数学水平会考答案及解析
一、选择题
1.已知全集=" " （）
A．{4}B．{3，4}C．{2，3，4}D．{1，2，3，4}
【答案】D
【解析】略
2.命题：“”的否定是（）
A．B．
C．D．
【答案】B
【解析】略
3.若=" " （）
A．1B．—1C．2D．—2
【答案】A
【解析】略
4.如图,是一个几何体的三视图，侧视图和正视图均为矩
形，俯视图为正三角形，尺寸如图，则该几何体的
侧面积（）
A．6B．C．24D．3
【答案】C
【解析】略
5.已知双曲线，
则双曲线的离心率为（）
A．B．C．D．
【答案】A
【解析】略
6.按如下程序框图，若输出结果为170，则判断框内应补充的条件为（）
A．B．C．D．
【答案】C
【解析】略
7.若等差数列=" " （）
A．2B．C．D．
【答案】B
【解析】略
8.设函数的取值范围是（）
A．B．
C．D．
【答案】D
【解析】略
9.设a，b是两个单位向量，命题：“”是命题：“”成立
的（）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充要条件D．既不充分也不必要条件
【答案】C
【解析】略
10.函数的图象如图所示，为了得到的图象，则只要将的图象（）
A．向右平移个单位长度
B．向右平移个单位长度
C．向左平移个单位长度
D．向左平移个单位长度
【答案】D 【解析】略
二、填空题
1.已知一种材料的最佳加入量在100g 到200g 之间,若按照0.618法优选，则第2次试点的加入量为 g. 【答案】138.2或161.8 【解析】略
2.在区间[1，9]上随机取一实数，则该实数在区间[4，7]上的概率为 . 【答案】
【解析】略
3.如图，在正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1中，直线A 1B 与平面A 1B 1CD 所成的角的大小等于 .
【答案】30° 【解析】略
4.已知圆C 的极坐标方程为的极坐标
方程为
则圆心C 到直线l 的
距离是 。

【答案】
【解析】略
5.将所有3的幂，或者是若干个不相等的3的幂之和，
由小到大依次排列成数列1，3，4，9，10，12，13，…,则此数列的第100项为 . 【答案】981 【解析】略
三、解答题
1.（本题满分10分） 已知向量
（1）求的最小正周期和最大值；
（2）在分别是角A 、B 、C 的对边，且，求角C 。

【答案】
，最大值为3 ,
【解析】．解：（1）
………………3分
，最大值为3 ………………5分 （2）可求
，………………7分
………………9分
………………10分
2.（本题满分10分）
甲，乙两人进行射击比赛，每人射击6次，他们命中的环数如下表：
（2）把甲6次射击命中的环数看成一个总体,用简单随机抽样方法从中抽取两次命中的环数组成一个样本,求该样
本平均数与总体平均数之差的绝对值不超过0.5的概率.
【答案】故甲，乙两人射击命中的环数的平均数相同，但甲比乙发挥较稳定。

【解析】解：（1）甲射击命中的环数的平均数为
，
其方差为…………2分
乙射击命中的环数的平均数为
，
其方差为…………4分
因此，
故甲，乙两人射击命中的环数的平均数相同，但甲比乙发挥较稳定。

…………5分
（2）由（1）知，
设A表示事件“样本平均数与总体平均数之差的绝对值不超过0.5”
从总体中抽取两个个体的全部可能的结果（5，6），（5，7），（5，8），（5，9），（5，10），（6，7），（6，8），（6，9），（6，10），（7，8），（7，9），（7，10），（8，9），（8，10），（9，10），共
15个结果，其中事件A包含的结果有（5，9），（5，10），（6，8），（6，9），（6，10），（7，8），（7，9），共有7个结果。

…………8分
故所求的概率为………………10分
3.（本题满分10分）
已知数列
（1）求数列的通项公式；
（2）设的值。

【答案】
100
【解析】解：（1）当
为公比的等比数列。

故………………5分
（2），
，
………………7分
又
………………10分
4.（本题满分12分）
已知椭圆C 的中心在原点，焦点F 1，F 2在x 轴上，离心率
，且经过点
（1）求椭圆C 的方程；
（2）若直线l 经过椭圆C 的右焦点F 2，且与椭圆C 交于A ，B 两点，使得|F 1A|，|AB|，|BF 1|依次成等差数列，求
直线l 的方程。

【答案】,
【解析】：（1）设椭圆C 的方程为
所以椭圆C 的方程为
………………4分
（2）由于依次成等差数列，
当直线l 的斜率存在时，设直线l 的方程为
又
解得； ………………9分 当直线l 的斜率不存在时，，
，不合题意，
所以，直线l 的方程为 ………………12分
5.（本题满分13分） 已知函数
处取得极小值，其图象过点A （0，1），且在点A 处切线的斜率为—1。

（1）求的解析式； （2）设函数上的值域也是
，则称区间
为函
数的“保值区间”。

①证明：当
不存在“保值区间”；
②函数是否存在“保值区间”？若存在，写出一个“保值区间”（不必证明）；若不存在，说明理由。

【答案】
[0，1]为它的一个“保值区间”。

【解析】．解：（1）
，………………2分
由
所以………………4分
（2）由（1）得，
①假设当存在“保值区间”
于是问题转化为有两个大于1的不等实根。

…………6分
法一：现在考察函数，
…………10分
当x变化时，的变化情况如下表：
—0+
所以，
法二：于是问题转化为有两个大于1的不等实根。

所以函数的图象有且只有一个交点。

即方程有且只有一个大于1的实根，与假设矛盾。

故当不存在“保值区间”。

②存在“保值区间”，[0，1]为它的一个“保值区间”。

………………13分。