蕉城区三中2018-2019学年高二上学期第二次月考试卷数学

蕉城区三中2018-2019学年高二上学期第二次月考试卷数学 班级__________ 姓名__________ 分数__________
一、选择题
1． 已知集合A={0，m ，m 2﹣3m+2}，且2∈A ，则实数m 为（ ）
A ．2
B ．3
C ．0或3
D ．0，2，3均可
2． 已知平面向量=（1，2），=（﹣2，m ），且∥，则
=（ ）
A ．（﹣5，﹣10）
B ．（﹣4，﹣8）
C ．（﹣3，﹣6）
D ．（﹣2，﹣4）
3． 已知某运动物体的位移随时间变化的函数关系为，设物体第n 秒内的位移为a n ，则
数列{a n }是（ ） A ．公差为a 的等差数列 B ．公差为﹣a 的等差数列
C ．公比为a 的等比数列
D ．公比为的等比数列
4． 已知角θ的终边经过点P （4，m ），且sin θ=，则m 等于（ ）
A ．﹣3
B ．3
C ．
D ．±3
5． 设函数()()21x f x e x ax a =--+，其中1a <，若存在唯一的整数，使得()0f t <，则的 取值范围是（ ） A ．3,12e ⎡⎫-
⎪⎢⎣⎭ B ．33,24e ⎡⎫-⎪⎢⎣⎭ C ．33,24e ⎡⎫⎪⎢⎣⎭ D ．3,12e ⎡⎫
⎪⎢⎣⎭
1111]
6． 已知点A （0，1），B （3，2），向量=（﹣4，﹣3），则向量=（ ）
A ．（﹣7，﹣4）
B ．（7，4）
C ．（﹣1，4）
D ．（1，4）
7． 棱长都是1的三棱锥的表面积为（ ）
A ．
B ．
C ．
D ．
8． 一个圆的圆心为椭圆的右焦点，且该圆过椭圆的中心交椭圆于P ，直线PF 1（F 1为椭圆的左焦点）是该圆的切线，则椭圆的离心率为（ ）
A ．
B ．
C ．
D ．
9． 已知函数f （x ）=x 4cosx+mx 2+x （m ∈R ），若导函数f ′（x ）在区间[﹣2，2]上有最大值10，则导函数f ′（x ）在区间[﹣2，2]上的最小值为（ ）
A ．﹣12
B ．﹣10
C ．﹣8
D ．﹣6
10．经过点()1,1M 且在两轴上截距相等的直线是（ ） A ．20x y +-= B ．10x y +-=
C ．1x =或1y =
D ．20x y +-=或0x y -= 11．已知函数f （x ）=2x ，则f ′（x ）=（ ）
A ．2x
B ．2x ln2
C ．2x +ln2
D ．
12．设集合
,,则( )
A B
C
D
二、填空题
13．设x ，y 满足约束条件
，则目标函数z=2x ﹣3y 的最小值是 ．
14．某工程队有5项工程需要单独完成，其中工程乙必须在工程甲完成后才能进行，工程丙必须在工程乙完成后立即进 行那么安排这5项工程的不同排法种数是 ．（用数字作答）
15．如果实数,x y 满足等式()2
2
23x y -+=，那么
y
x
的最大值是 ． 16．在（1+2x ）10的展开式中，x 2项的系数为 （结果用数值表示）．
17．如图是根据部分城市某年6月份的平均气温（单位：℃）数据得到的样本频率分布直方图，其中平均气温的范围是．已知样本中平均气温不大于22.5℃的城市个数为11，则样本中平均气温不低于25.5℃的城市个数为 ．
18．等比数列{a n }的前n 项和S n ＝k 1＋k 2·2n （k 1，k 2为常数），且a 2，a 3，a 4－2成等差数列，则a n ＝________．
三、解答题
19．等差数列{a n }的前n 项和为S n ．a 3=2，S 8=22．
（1）求{a n}的通项公式；
（2）设b n=，求数列{b n}的前n项和T n．
20．（1）直线l的方程为（a+1）x+y+2﹣a=0（a∈R）．若l在两坐标轴上的截距相等，求a的值；
（2）已知A（﹣2，4），B（4，0），且AB是圆C的直径，求圆C的标准方程．
21．如图，在四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1中，底面ABCD是矩形，且AD=2CD=2，AA1=2，∠A1AD=．若O
为AD的中点，且CD⊥A1O
（Ⅰ）求证：A1O⊥平面ABCD；
（Ⅱ）线段BC上是否存在一点P，使得二面角D﹣A1A﹣P为？若存在，求出BP的长；不存在，说明理由．
22．已知函数f（x）=x3+2bx2+cx﹣2的图象在与x轴交点处的切线方程是y=5x﹣10．
（1）求函数f（x）的解析式；
（2）设函数g（x）=f（x）+mx，若g（x）的极值存在，求实数m的取值范围以及函数g（x）取得极值时对应的自变量x的值．
23．在平面直角坐标系xoy中，已知圆C1：（x+3）2+（y﹣1）2=4和圆C2：（x﹣4）2+（y﹣5）2=4
（1）若直线l过点A（4，0），且被圆C1截得的弦长为2，求直线l的方程
（2）设P为平面上的点，满足：存在过点P的无穷多对互相垂直的直线l1和l2，它们分别与圆C1和C2相交，且直线l1被圆C1截得的弦长与直线l2被圆C2截得的弦长相等，求所有满足条件的点P的坐标．
24．已知不等式的解集为或
（1）求，的值
（2）解不等式.
蕉城区三中2018-2019学年高二上学期第二次月考试卷数学（参考答案）
一、选择题
1．【答案】B
【解析】解：∵A={0，m，m2﹣3m+2}，且2∈A，
∴m=2或m2﹣3m+2=2，
解得m=2或m=0或m=3．
当m=0时，集合A={0，0，2}不成立．
当m=2时，集合A={0，0，2}不成立．
当m=3时，集合A={0，3，2}成立．
故m=3．
故选：B．
【点评】本题主要考查集合元素和集合之间的关系的应用，注意求解之后要进行验证．
2．【答案】B
【解析】解：排除法：横坐标为2+（﹣6）=﹣4，
故选B．
3．【答案】A
【解析】解：∵，
∴a n=S（n）﹣s（n﹣1）=
=
∴a n﹣a n﹣1==a
∴数列{a n}是以a为公差的等差数列
故选A
【点评】本题主要考察了数列的递推公式求解数列的通项公式，等差数列的定义的应用，属于数列知识的简单应用
4．【答案】B
【解析】解：角θ的终边经过点P（4，m），且sinθ=，
可得，（m＞0）
解得m=3． 故选：B ．
【点评】本题考查任意角的三角函数的定义的应用，基本知识的考查．
5． 【答案】D 【解析】
考
点：函数导数与不等式．1 【思路点晴】本题主要考查导数的运用，涉及划归与转化的数学思想方法.首先令()0f x =将函数变为两个函
数()()()21,x
g x e x h x ax a =-=-，将题意中的“存在唯一整数，使得()g t 在直线()h x 的下方”，转化为
存在唯一的整数，使得()g t 在直线()h x ax a =-的下方.利用导数可求得函数的极值，由此可求得m 的取值
范围.
6． 【答案】A
【解析】解：由已知点A （0，1），B （3，2），得到=（3，1），向量
=（﹣4，﹣3），
则向量
=
=（﹣7，﹣4）；
故答案为：A ．
【点评】本题考查了有向线段的坐标表示以及向量的三角形法则的运用；注意有向线段的坐标与两个端点的关系，顺序不可颠倒．
7． 【答案】A
【解析】解：因为四个面是全等的正三角形，
则．
故选A
8．【答案】D
【解析】解：设F2为椭圆的右焦点
由题意可得：圆与椭圆交于P，并且直线PF1（F1为椭圆的左焦点）是该圆的切线，
所以点P是切点，所以PF2=c并且PF1⊥PF2．
又因为F1F2=2c，所以∠PF1F2=30°，所以．
根据椭圆的定义可得|PF1|+|PF2|=2a，
所以|PF2|=2a﹣c．
所以2a﹣c=，所以e=．
故选D．
【点评】解决此类问题的关键是熟练掌握直线与圆的相切问题，以即椭圆的定义．
9．【答案】C
【解析】解：由已知得f′（x）=4x3cosx﹣x4sinx+2mx+1，
令g（x）=4x3cosx﹣x4sinx+2mx是奇函数，
由f′（x）的最大值为10知：g（x）的最大值为9，最小值为﹣9，
从而f′（x）的最小值为﹣9+1=﹣8．
故选C．
【点评】本题考查了导数的计算、奇函数的最值的性质．属于常规题，难度不大．
10．【答案】D
【解析】
考点：直线的方程.
11．【答案】B
【解析】解：f（x）=2x，则f'（x）=2x ln2，
故选：B．
【点评】本题考查了导数运算法则，属于基础题．
12．【答案】C
【解析】送分题,直接考察补集的概念,,故选C。

二、填空题
13．【答案】﹣6．
【解析】解：由约束条件，得可行域如图，
使目标函数z=2x﹣3y取得最小值的最优解为A（3，4），
∴目标函数z=2x﹣3y的最小值为z=2×3﹣3×4=﹣6．
故答案为：﹣6．
14．【答案】12
【解析】解：安排甲工程放在第一位置时，乙丙与剩下的两个工程共有种方法，
同理甲在第二位置共有2×2种方法，甲在第三位置时，共有2种方法．
由加法原理可得：+4+2=12种．
故答案为：12．
【点评】本题考查了排列与乘法原理，优先安排除了甲乙丙3个工程后剩下的2个工程的方案是解题的关键，属于中档题．
15．
【解析】
考点：直线与圆的位置关系的应用. 1
【方法点晴】本题主要考查了直线与圆的位置关系的应用，其中解答中涉及到点到直线的距离公式、直线与圆相切的判定与应用，着重考查了学生分析问题和解答问题的能力，以及推理与运算能力和转化与化归的思想方
的最值转化为直线与圆相切是解答的关键，属于中档试题.
法，本题的解答中把y
x
16．【答案】180
【解析】解：由二项式定理的通项公式T r+1=C n r a n﹣r b r可设含x2项的项是T r+1=C7r（2x）r
可知r=2，所以系数为C102×4=180，
故答案为：180．
【点评】本题主要考查二项式定理中通项公式的应用，属于基础题型，难度系数0.9．一般地通项公式主要应用有求常数项，有理项，求系数，二项式系数等．
17．【答案】9．
【解析】解：平均气温低于22.5℃的频率，即最左边两个矩形面积之和为0.10×1+0.12×1=0.22，
所以总城市数为11÷0.22=50，
平均气温不低于25.5℃的频率即为最右面矩形面积为0.18×1=0.18，
所以平均气温不低于25.5℃的城市个数为50×0.18=9．
故答案为：9
18．【答案】
【解析】当n＝1时，a1＝S1＝k1＋2k2，当n≥2时，a n＝S n－S n－1＝（k1＋k2·2n）－（k1＋k2·2n－1）＝k2·2n－1，∴k1＋2k2＝k2·20，即k1＋k2＝0，①
又a2，a3，a4－2成等差数列．
∴2a3＝a2＋a4－2，
即8k2＝2k2＋8k2－2.②
由①②联立得k1＝－1，k2＝1，
∴a n＝2n－1.
答案：2n－1
三、解答题
19．【答案】
【解析】解：（1）设等差数列{a n}的公差为d，∵a3=2，S8=22．
∴，
解得，
∴{a n}的通项公式为a n=1+（n﹣1）=．
（2）∵b n===﹣，
∴T n=2+…+
=2
=．
20．【答案】
【解析】解：（1）当a=﹣1时，直线化为y+3=0，不符合条件，应舍去；
当a≠﹣1时，分别令x=0，y=0，解得与坐标轴的交点（0，a﹣2），（，0）．∵直线l在两坐标轴上的截距相等，
∴a﹣2=，解得a=2或a=0；
（2）∵A（﹣2，4），B（4，0），
∴线段AB的中点C坐标为（1，2）．
又∵|AB|=，
∴所求圆的半径r=|AB|=．
因此，以线段AB为直径的圆C的标准方程为（x﹣1）2+（y﹣2）2=13．
21．【答案】
【解析】满分（13分）．
（Ⅰ）证明：∵∠A1AD=，且AA1=2，AO=1，
∴A1O==，…（2分）
∴+AD2=AA12，
∴A1O⊥AD．…（3分）
又A1O⊥CD，且CD∩AD=D，
∴A1O⊥平面ABCD．…（5分）
（Ⅱ）解：过O作Ox∥AB，以O为原点，建立空间直角坐标系O﹣xyz（如图），
则A（0，﹣1，0），A
（0，0，），…（6分）
1
设P（1，m，0）m∈[﹣1，1]，平面A1AP的法向量为=（x，y，z），
∵=，=（1，m+1，0），
且
取z=1，得=．…（8分）
又A1O⊥平面ABCD，A1O⊂平面A1ADD1
∴平面A1ADD1⊥平面ABCD．
又CD⊥AD，且平面A1ADD1∩平面ABCD=AD，
∴CD⊥平面A1ADD1．
不妨设平面A1ADD1的法向量为=（1，0，0）．…（10分）
由题意得==，…（12分）
解得m=1或m=﹣3（舍去）．
∴当BP的长为2时，二面角D﹣A1A﹣P的值为．…（13分）
【点评】本小题主要考查直线与平面的位置关系，二面角的大小等基础知识，考查空间想象能力、推理论证能力和运算求解能力，考查函数与方程思想、化归与转化思想、数形结合思想．
22．【答案】
【解析】解：（1）由已知，切点为（2，0），故有f（2）=0，
即4b+c+3=0．①
f′（x）=3x2+4bx+c，由已知，f′（2）=12+8b+c=5．
得8b+c+7=0．②
联立①、②，解得c=1，b=﹣1，
于是函数解析式为f（x）=x3﹣2x2+x﹣2．
（2）g（x）=x3﹣2x2+x﹣2+mx，
g′（x）=3x2﹣4x+1+，令g′（x）=0．
当函数有极值时，△≥0，方程3x2﹣4x+1+=0有实根，
由△=4（1﹣m）≥0，得m≤1．
①当m=1时，g′（x）=0有实根x=，在x=左右两侧均有g′（x）＞0，故函数g（x）无极值．
②当m＜1时，g′（x）=0有两个实根，
x1=（2﹣），x2=（2+），
﹣
极大值
当x=（2﹣）时g（x）有极大值；
当x=（2+）时g（x）有极小值．
【点评】本题考查利用导函数来研究函数的极值．在利用导函数来研究函数的极值时，分三步①求导函数，②求导函数为0的根，③判断根左右两侧的符号，若左正右负，原函数取极大值；若左负右正，原函数取极小值．
23．【答案】
【解析】
【分析】（1）因为直线l过点A（4，0），故可以设出直线l的点斜式方程，又由直线被圆C1截得的弦长为2，根据半弦长、半径、弦心距满足勾股定理，我们可以求出弦心距，即圆心到直线的距离，得到一个关于直线斜率k的方程，解方程求出k值，代入即得直线l的方程．
（2）与（1）相同，我们可以设出过P点的直线l1与l2的点斜式方程，由于两直线斜率为1，且直线l1被圆C1截得的弦长与直线l2被圆C2截得的弦长相等，故我们可以得到一个关于直线斜率k的方程，解方程求出k 值，代入即得直线l1与l2的方程．
【解答】解：（1）由于直线x=4与圆C1不相交；
∴直线l的斜率存在，设l方程为：y=k（x﹣4）（1分）
圆C1的圆心到直线l的距离为d，∵l被⊙C1截得的弦长为2
∴d==1（2分）
d=从而k（24k+7）=0即k=0或k=﹣
∴直线l的方程为：y=0或7x+24y﹣28=0（5分）
（2）设点P（a，b）满足条件，
由题意分析可得直线l1、l2的斜率均存在且不为0，
不妨设直线l1的方程为y﹣b=k（x﹣a），k≠0
则直线l2方程为：y﹣b=﹣（x﹣a）（6分）
∵⊙C1和⊙C2的半径相等，及直线l1被圆C1截得的弦长与直线l2被圆C2截得的弦长相等，
∴⊙C1的圆心到直线l1的距离和圆C2的圆心到直线l2的距离相等
即=（8分）
整理得|1+3k+ak﹣b|=|5k+4﹣a﹣bk|
∴1+3k+ak﹣b=±（5k+4﹣a﹣bk）即（a+b﹣2）k=b﹣a+3或（a﹣b+8）k=a+b﹣5
因k的取值有无穷多个，所以或（10分）
解得或
这样的点只可能是点P1（，﹣）或点P2（﹣，）（12分）
24．【答案】
【解析】
解：（1）因为不等式的解集为或
所以，是方程的两个解
所以，解得
（2）由（1）知原不等式为，即，当时，不等式解集为
当时，不等式解集为;
当时，不等式解集为;。