2021_2022学年新教材高中数学第5章三角函数5.1.1任意角学案含解析新人教A版必修第一册

第五章三角函数
5．1任意角和弧度制
5．1.1任意角
【素养目标】
1．了解任意角的概念，能区分各类角的概念．(数学抽象)
2．掌握象限角的概念，并会用集合表示象限角．(直观想象)
3．理解终边相同的角的含义及表示，并能解决有关问题．(数学运算)
4．能够根据任意角的概念，结合象限角的概念，分析角、倍角、半角所在象限，为以后的学习打好基础．(逻辑推理)
【学法解读】
在本节学习中，学生应用运动的观点来理解角的定义，其关键是抓住角的终边和始边，在学习时提升自己的数学抽象及直观想象等素养．
必备知识·探新知
基础知识
知识点1 角的概念
角可以看成一条射线绕着端点旋转所成的图形．
思考1：定义中当射线旋转时有几种旋转方向？
提示：根据旋转方向，射线在旋转时，有逆时针、顺时针和不作任何旋转三种旋转方向．知识点2 角的表示
顶点：用O表示；
始边：用OA表示，用语言可表示为起始位置；
终边：用OB表示，用语言可表示为终止位置．
思考2：(1)当角的始边和终边确定后，这个角就被确定了吗？
(2)你能说出角的三要素吗？
提示：(1)不是的．虽然始、终边确定了，但旋转的方向和旋转量的大小(旋转圈数)并没有确定，所以角也就不能确定．
(2)角的三要素是顶点、始边、终边．
知识点3 角的分类
类型定义图示
正角一条射线绕其端点按逆时针方向旋转形成的角
负角一条射线绕其端点按顺时针方向旋转形成的角
零角一条射线没有作任何旋转，称它形成了一个零角
思考3：(1)正角、负角、零角是根据什么区分的？
(2)如果一个角的终边与其始边重合，这个角一定是零角吗？
提示：(1)角的分类是根据组成角的射线的旋转方向确定的．
(2)不一定．零角的终边与始边重合，但终边与始边重合的角不一定是零角，如360°，－360°等，角的大小不是根据始边、终边的位置，而是根据射线的旋转．
知识点4 象限角
如果角的顶点与原点重合，角的始边与x轴的非负半轴重合，那么，角的终边在第几象限，就说这个角是第几象限角．如果角的终边在坐标轴上，就认为这个角不属于任何一个象限．思考4：把一个角放在平面直角坐标系中时，这个角是否一定就是某一个象限的角？
提示：象限角是指当角的始边与x轴的非负半轴重合时，终边在哪个象限，我们就说这个角是第几象限角．如果一个角的终边在坐标轴上时，我们认为这个角不在任何象限内，又叫轴线角．
知识点5 终边相同的角
所有与角α终边相同的角，连同角α在内，可构成一个集合！！！S＝{β|β＝α＋k·360°，k ∈Z}，即任一与角α终边相同的角，都可以表示成角α与整数个周角的和．思考5：反过来，若角α，β满足S＝{β|β＝α＋k·360°，k∈Z}时，角α，β是否是终边相同的角？
提示：当角α，β满足S＝{β|β＝α＋k·360°，k∈Z}时，表示角α与β相隔整数个周角，即角α，β终边相同．
基础自测
1．下列各角：－60°，126°，－63°，0°，99°，其中正角的个数是(B)
A．1B．2
C．3D．4
[解析]正角有126°，99°共2个．
2．将射线OM绕端点O按逆时针方向旋转120°所得的角为(A)
A．120°B．－120°
C．60°D．240°
3．(2021·某某外国语期中)下列各角中，与－1 110°的角终边相同的角是(D)
A．60°B．－60°
C．30°D．－30°
[解析]－1 110°＝－3×360°－30°，所以与－30°的角终边相同．
4．若－30°角的始边与x轴的非负半轴重合，现将－30°角的终边按逆时针方向旋转2周，则所得角是690°.
[解析]因为逆时针方向旋转为正角，所以α＝－30°＋2×360°＝690°.
5．图中从OA旋转到OB，OB1，OB2时所成的角度分别是390°、－150°、60°.
[解析]题图中(1)中的角是正角，α＝390°，题图中(2)中的角，一个是负角、一个是正角，β＝－150°，γ＝60°.
关键能力·攻重难
题型探究
题型一任意角的概念
例1 下列命题正确的是(C)
A．终边与始边重合的角是零角
B．终边和始边都相同的两个角一定相等
C．在90°≤β<180°X围内的角β不一定是钝角
D．小于90°的角是锐角
[分析]角的概念推广后确定角的关键是抓住角的旋转方向和旋转量．
[解析]终边与始边重合的角还可能是360°，720°，…，故A错；终边和始边都相同的两个角可能相差360°的整数倍，如30°与－330°，故B错；由于在90°≤β<180°X围内的角β包含90°角，所以不一定是钝角，C正确；小于90°的角可以是0°，也可以是负角，故D错误．[归纳提升]关于角的概念问题的处理
正确解答角的概念问题，关键在于正确理解象限角与锐角、直角、钝角、平角、周角等的概念，弄清角的始边与终边及旋转方向与大小．另外需要掌握判断结论正确与否的技巧，判断结论正确需要证明，而判断结论不正确只需举一个反例即可．
【对点练习】❶(1)(多选题)下列说法，不正确的是(ACD)
A．三角形的内角必是第一、二象限角
B．始边相同而终边不同的角一定不相等
C．钝角比第三象限角小
D．小于180°的角是钝角、直角或锐角
(2)经过2个小时，钟表的时针和分针转过的角度分别是(B)
A．60°，720°B．－60°，－720°
C．－30°，－360°D．－60°，720°
[解析](1)对A,90°的角既不是第一象限角，也不是第二象限角；B正确；对C中钝角大于－120°，但－120°的角是第三象限角，故C错误；对D,0°角小于180°，但它既不是钝角，也不是直角或锐角，故D错误．
(2)顺时针旋转为负角，2
12×360°＝60°，2×360°＝720°，故钟表的时针、分针转过的角度分别为－60°，－720°.
题型二终边相同的角
例2已知α＝－1 845°，在与α终边相同的角中，求满足下列条件的角．
(1)最小的正角；
(2)最大的负角；
(3)－360°～720°之间的角．
[解析]因为－1 845°＝－45°＋(－5)×360°，
即－1 845°角与－45°角的终边相同，
所以与角α终边相同的角的集合是{β|β＝－45°＋k·360°，k∈Z}，
(1)最小的正角为315°.
(2)最大的负角为－45°.
(3)－360°～720°之间的角分别是－45°，315°，675°.
[归纳提升](1)一般地，可以将所给的角β化成k·360°＋α的形式(其中0°≤α<360°，k∈Z)，其中的α就是所求的角．
(2)如果所给的角的绝对值不是很大，可以通过如下方法完成：当所给角是负角时，采用连续加360°的方式；当所给角是正角时，采用连续减360°的方式，直到所得结果达到要求为止．
特别提醒：表示终边相同的角时，k∈Z这一条件不能省略．
【对点练习】❷(2020·某某高一检测)下列各角中，与角30°终边相同的角是(B)
A．－390°B．－330°
C．330°D．570°
[解析]－330°＝－360°＋30°，与30°终边相同．
题型三终边在给定直线上的角的集合
例3写出终边落在直线y＝x上的角的集合S，并把S中适合不等式－360°≤β<720°的元素β写出来．
[分析]先在0°～360°内找到终边在y＝x上的角；再推广到任意角；最后找出－360°≤β<720°内的角．
[解析]直线y＝x与x轴的夹角是45°，在0°～360°X围内，终边在直线y＝x上的角有两个：45°，225°。

因此，终边在直线y＝x上的角的集合：
S＝{β|β＝45°＋k·360°，k∈Z}∪{β|β＝225°＋k·360°，k∈Z}
＝{β|β＝45°＋2k·180°，k∈Z}∪{β|β＝45°＋(2k＋1)·180°，k∈Z}＝{β|β＝45°＋n·180°，n∈Z}．所以S中适合－360°≤β<720°的元素是：
45°－2×180°＝－315°；45°－1×180°＝－135°；
45°＋0×180°＝45°；45°＋1×180°＝225°；
45°＋2×180°＝405°；45°＋3×180°＝585°.
注意解题过程的规X性：
①终边在直线y＝x上注意讨论两种情况．
②这种形式的两个集合取并集时合并为一个集合．
[归纳提升](1)求适合某种条件且与已知角终边相同的角，其方法是求出与已知角终边相同的角的一般形式，再依条件构建不等式求出k的值．
(2)求终边在给定直线上的角的集合，常用分类讨论的思想，即分x≥0和x<0两种情况讨论，最后再进行合并．
【对点练习】❸写出终边在直线y＝－3x上的角的集合．
[解析]S＝{α|α＝k1·360°－60°，k1∈Z}∪{α|α＝k2·360°＋120°，k2∈Z}＝{α|α＝k1·360°－60°，k1∈Z}∪{α|α＝k2·360°＋180°－60°}＝{α|α＝2k1·180°－60°，k1∈Z}∪{α|α＝(2k2＋1)·180°－60°}＝{α|α＝n·180°－60°，n∈Z}．
题型四区域角的表示
例4
已知，如图所示．
(1)分别写出终边落在OA，OB位置上的角的集合；
(2)写出终边落在阴影部分(包括边界)的角的集合．
[解析]①终边落在OA位置上的角的集合为{α|α＝90°＋45°＋k·360°，k∈Z}＝{α|α＝135°＋k·360°，k∈Z}，终边落在OB位置上的角的集合为{α|α＝－30°＋k·360°，k∈Z}．
②由题干图可知，阴影部分(包括边界)的角的集合是由所有介于－30°到135°之间的与之终边相同的角组成的集合，故可表示为{α|－30°＋k·360°≤α≤135°＋k·360°，k∈Z}．[归纳提升]
第一步：先按逆时针的方向找到区域的起始和终止边界．
第二步：按由小到大分别标出起始和终止边界对应的－360°～360°X 围内的角α和β，写出最简集合{x |α<x <β}，其中β－α<360°.
第三步：起始、终止边界对应角α，β再加上360°的整数倍，即得区域角集合． 【对点练习】❹ 如图所示的图形，那么阴影部分(包括边界)表示的终边相同的角的集合如何表示？
[解析]在0°～360°X 围内、阴影部分(包括边界)表示的X 围是：150°≤α≤225°，则满足条件的角α为{α|k ·360°＋150°≤α≤k ·360°＋225°，k ∈Z }．
题型5 象限角的确定
例5 若α是第一象限角，则2α，α
2
分别是第几角限角？
[分析]由α是第一象限角可知k ·360°<α<k ·360°＋90°(k ∈Z )，则2α，α
2的X 围分别为
2k ·360°<2α<2k ·360°＋180°(k ∈Z )，k ·180°<α
2<k ·180°＋45°(k ∈Z )．再通过对整数k 分类讨论即
可得结果．
[解析]因为k ·360°<α<k ·360°＋90°(k ∈Z )， 所以2k ·360°<2α<2k ·360°＋180°(k ∈Z )．
所以2α是第一、二象限角或终边落在y 轴非负半轴上的角． 又k ·180°<α2
<k ·180°＋45°(k ∈Z )，
所以当k ＝2n (n ∈Z )时，n ·360°<α
2<n ·360°＋45°.
所以α
2是第一象限角．
当k ＝2n ＋1(n ∈Z )时，
n ·360°＋180°<α
2
<n ·360°＋225°，
所以α2是第三象限角．故α
2
是第一、三象限角．
[归纳提升]已知α角所在象限，判断nα，α
n
(n ∈Z )所在象限的方法
(1)若已知角α是第几象限角，判断α2，α
3等是第几象限角，主要方法是解不等式并对整数k
进行分类讨论．求解题的思维模式应是：由欲求想需求，由已知想可知，抓住内在联系，确定解题方略．
(2)由α的象限确定2α的象限时，应注意2α可能不再是象限角，对此特殊情况应特别指出．如α＝135°，而2α＝270°就不再是象限角．
【对点练习】❺ 若φ是第二象限角，那么φ
2和90°－φ都不是( B )
A ．第一象限角
B ．第二象限角
C ．第三象限角
D ．第四象限角
[解析]∵φ是第二象限角，∴k ·360°＋90°<φ<k ·360°＋180°，k ∈Z ，∴k ·180°＋45°<φ
2<k ·180°＋
90°，k ∈Z ，即φ
2终边是第一或第三象限角，而－φ显然是第三象限角，∴90°－φ是第四象限角，
故选B ．
课堂检测·固双基
1．与－457°角终边相同的角的集合是( C ) A ．{α|α＝k ·360°＋457°，k ∈Z } B ．{α|α＝k ·360°＋97°，k ∈Z } C ．{α|α＝k ·360°＋263°，k ∈Z } D ．{α|α＝k ·360°－263°，k ∈Z }
[解析]－457°与－97°角终边相同，又－97°角与263°角终边相同，又263°角与k ·360°＋263°角终边相同，∴应选C ．
2．－215°是( B ) A ．第一象限角 B ．第二象限角 C ．第三象限角
D ．第四象限角
[解析]由于－215°＝－360°＋145°，而145°是第二象限角，则－215°也是第二象限角． 3．下列各组角中，终边相同的是( B )
A．390°，690°B．－330°，750°
C．480°，－420°D．3 000°，－840°
4．若角α与β的终边互为反向延长线，则有(D)
A．α＝β＋180°
B．α＝β－180°
C．α＝－β
D．α＝β＋(2k＋1)·180°，k∈Z
[解析]角α与β的终边互为反向延长线，则α＝β＋180°＋k·360°＝β＋(2k＋1)180°，故选D．5．写出图中阴影区域所表示角α的集合(包括边界)．
[解析](1){α|k·360°＋30°≤α≤k·360°＋90°，k∈Z}∪{α|k·360°＋210°≤α≤k·360°＋270°，k∈Z}或写成{α|k·180°＋30°≤α≤k·180°＋90°，k∈Z}．
(2){α|k·360°－45°≤α≤k·360°＋45°，k∈Z}．。