1、瞬变体系

视为在无穷远处
2、两个虚铰在无穷远处
3、三个虚铰在无穷远处（数学上可证明三个铰共 线）
五、几点说明
按上述法则所组成的体系，从保证其几何不变 性来说，它具备了最低限度的约束数目，称其为几 何不变无多余约束体系。 如果一个体系的约束数目比法则要求的约束数 目少，则该体系是几何可变的。
如果一个体系的约束数目比法则要求的约束数 目多，则该体系是几何不变有多余约束的体系。
1、刚片：几何形状不能改变的物体。
一根杆（包括直杆、折杆或曲杆）、地基、地球或体 系中已经肯定为几何不变的某个部分都可看作一个刚片。
2、链杆：一根两端铰接（即用铰结点相连）于两 个刚片的杆件。
二、体系自由度的定义
体系的自由度是指该体系运动时，用来确定其位置 所需的独立参数的数目。 也可以理解为该体系有多少种独立运动的方式。
对于平面铰接体系，设铰结点（不区分是单 铰、复铰还是铰支座）总数为j，体系内部链杆数 为b，支座链杆数为r，则 W = 2j - b - r
W = 2× 4 - 5 – 3 = 0
非铰接体系仍用一般公式计算！
1、体系的自由度 = 各刚片的自由度总和–全部约束数
+多余约束数 2、计算自由度 = 各刚片的自由度总和–全部约束数 3、体系的自由度 = 计算自由度+多余约束数，且多 余约束的个数一定大于或者等于0。
二、三刚片法则
刚片I、II、III用不在同一直线上的A、B、C三 个铰两两相联，这个图形看上去像一个三角形，当 不考虑三角形各条边发生应变时，三角形是稳定的， 即在任意荷载作用下，其几何形状都不会发生改变。
三刚片法则：三刚片用不在同一直线上的三个铰 两两相联，所组成的体系是几何不变的。
注：图（a）中任意一个实铰可换为由两根链杆所组 成的虚铰。只要保证这三个铰不在同一直线上即可。 比如，将图（a）中三个铰换成图（b）中的六根链杆， 六根链杆两两相交，形成三个虚铰，由于三个虚铰不 在同一直线上，因此，该体系也是几何不变的。
方法4: 去掉二元体。
注：去掉二元体是体系的拆除过程，应从体系的最外边缘 开始拆除。
例5: 对图示体系作几何组成分析。
方法5: 将只用两个铰与其它部分相连的刚片看成链 杆；即将复杂形状(曲线、折线等)链杆用直链杆代替。
链杆
链杆
将地基视为刚片I，BCE视为刚片II，I与II通过三链杆 AB、EF、CD相连，因三链杆交于一点，故该体系为 瞬变体系。
2、常变体系：如果一个几何可变体系可以发生 大位移，则称为常变体系。
2、三刚片：
三个刚片用位于同一直线上的三个铰两两相联。
瞬变体系
铰 C 可绕两个圆弧的公切线发生一微小移动。 微小移动后，三个铰就不再位于一直线上，运动也 就不再继续，故此体系是一个瞬变体系。
问题：瞬变体系发生微小变形后，能否作为结构？
定义：
计算自由度 = 各刚片的自由度总和–全部约束数
1、一般公式（对所有平面杆件体系成立）
平面杆件体系，设刚片数为m，内部单铰数为h，支 座链杆数为r，则体系计算自由度 W = 3m - 2h - r
注意:
（1）内部单铰中的“内部”指的是将刚片与刚片连接起 来的铰，而不是将刚片与地基连接起来的铰)。 （2）h 是单铰数，当体系中有复铰时应折算成相当数目
的单铰计算。
一个连接 n 个刚片的复铰相当于 n-1 个单铰所 起的约束作用。
对于平面杆件体系，设刚片数为m，内部单铰数为 h，支座链杆数为r，则 W = 3m - 2h - r
D A 1 2 4 3 C A 1 2 3 B D 5 4 C
B
W = 3 × 4 - 2× 4 - 3 = 1
W = 3 × 5 - 2× 6 – 3 = 0
Ｆ Ｂ Ａ
Ｄ
Ｃ Ｅ
刚片II
O
刚片II
二、三刚片法则
平面中三个独立的刚片，共有9个自由度。要使 这三个刚片之间不发生相对运动，即组成一个几 何不变体系，那么这三个刚片组成的整体只能有 3个自由度，从而整体的自由度减少6。
在三个刚片之间至少应该加入6个约束，才可能 将这三个刚片组成一个几何不变的体系。
一个连接 n 个刚片的复铰可以减少体系的 2(n-1)
个自由度，相当于 n-1 个单铰所起的约束作用。
4、刚结点
刚结点相当于三个约束
• 自由度 > 零的体系——几何可变体系
• 自由度 = 零的体系——几何不变体系
四、计算自由度
体系的自由度 = 各刚片的自由度总和–必须约束数 = 各刚片的自由度总和–（全部约束数多余约束数） 因为要预先确定体系的多余约束个数很困难，因此通 常先计算体系的计算自由度，
I
III
II
解:将 ADC 视为刚片I，BEC 视为刚片II，DEF 视为刚 片III，三刚片通过不共线的三个铰C、D、E相联。故 该体系为几何不变体系。
方法1：若基础与其他部分用不完全交于一点也不 完全平行的三根链杆与相连，去掉基础，只分析其 他部分。
例2: 对图示体系作几何组成分析。
地基视为刚片III
事实上，虚铰与实铰所起的作用是完全相同的。
• 为了制止刚片I和Ⅱ之间发生相对运动，还需要 加上一根链杆。如果该链杆的延长线不通过O 点，则刚片I和Ⅱ之间就不可能再发生相对运动。 O
Ｆ Ｂ Ａ Ｄ Ｃ Ｅ
刚片II
两刚片法则：
法则I：两刚片用不全交于一点又不完全平行的 三根链杆相联，所组成的体系是几何不变的。 法则II：两刚片用一个铰和一根不通过该铰的链 杆相联，所组成的体系是几何不变的。 O
判断杆件体系是几何不变体系还是几何可变体系。
5、几何组成分析的目的
1）判别给定体系是否是几何不变体系，从而决定 它能否作为结构使用；
2）研究几何不变体系的组成规律，从而设计出合 理的结构； 3）帮助区分结构是静定的还是超静定的。
§2.2 刚片、约束、体系自由度和计算 自由度
前提：不考虑材料的应变
一、基本概念
第二章 几何组成分析
§2.1 几何组成分析的目的
• 基本概念
杆件结构是由若干根杆件互相联结所组成的体 系。将其与地基联结成一个整体，用来承受荷载的 作用。
当不考虑各杆本身的变形时，结构应能保持原有 的几何形状和位置不变，也就是说，组成结构的各个 杆件之间以及整个结构与地面之间，应不发生相对运 动。
解: 通过在铰接三角形BDE、CFG上不断添加二元体， 形成大的几何不变体系ABM、ACN，分别记为刚片I、 II，I与II通过铰A和链杆MN形成几何不变体系。
方法3: 利用二元体规则将小刚片变成大刚片（即在 几何不变体系上不断添加二元体）。
例4: 对图示体系作几何组成分析。
解: 该体系为 常变体系。
2、几何不变体系
受到任意荷载作用后，若不考虑杆件的变形， 几何形状和位置均保持不变的体系。
FP
3、几何可变体系
若不考虑杆件的变形，在很小的荷载作用下， 也将引起几何形状和位置发生改变的体系。
FP FP
由于结构是用来承受荷载的，因此它必须是几何 不变体系，即几何可变体系不能作为结构使用！
4、几何组成分析
地基视为刚片III
解: 将AEC视为刚片I，DFB视为刚片II，地基视为刚片 III，三刚片用三个铰（实铰A、B，虚铰O）相连,且三 铰不共线,故该体系为几何不变体系。
方法2：当体系与基础用4根或4根以上链杆相连时， 需将基础视为一个刚片，利用三刚片法则或其它法 则进行几何组成分析。
例3: 对图示体系作几何组成分析。
一个连接 n 个刚片的复铰相当于 n-1 个单铰所起的约 束作用。
W = 3 × 4 - 2× 5 – 3 = - 1
对于平面杆件体系，设刚片数为m，内部单铰数为 h，支座链杆数为r，则 W = 3m - 2h - r
W = 3× 1 - 0 - 3 = 0
2、平面铰接体系计算公式(杆件与杆件之间 完全用铰结点相联，而无刚结点)
例6: 对图示体系作几何组成分析。
D
AB杆与基础通过铰A和链杆1形 成几何不变体系，记为刚片I
BC杆与刚片I通过铰B以及 链杆2形成几何不变体系， 记为刚片II
CD杆与刚片II通过铰C以及 链杆3形成几何不变体系。
方法6: 从某个几何不变部分（如基础、一根梁、一个柱、 一个铰接三角形等）依次添加。
§2.4 几何组成分析举例
1、几何组成分析定义：
判断杆件体系是几何不变体系还是几何可变体系。
2、依据：二元体法则、两刚片法则、三刚片法则。
3、关键在于找刚片：一根杆（包括直杆、折杆或 曲杆）、地基、地球或体系中已经肯定为几何不变 的某个部分都可看作一个平面刚片。
=
= ≠
例1: 对图示体系作几何组成分析。
① 计算自由度 ＞ 0：则体系的自由度 > 0, 故体 系几何可变。
② 计算自由度 = 0：体系的自由度 = 多余约束数， 则体系的自由度 ≥ 0，故体系几何可变或几何不变。
③ 计算自由度 < 0：体系几何可变或几何不变。
§2.3 几何不变体系的简单组成规则
一、两刚片法则
平面中两个独立的刚片，共有6个自由度。要使 这两个刚片之间不发生相对运动，即组成一个几 何不变体系，那么这两个刚片组成的整体只能有 3个自由度，从而整体的自由度减少3。 在两刚片之间至少应该加入3个约束，才可能将 这两个刚片组成一个几何不变的体系。
二元体是由链杆所组成，而链杆的定义是一根两端 铰接（即用铰结点相连接）于两个刚片的杆件。因 此，在一个体系上增加二元体时，需用铰结点将其 与体系相联。反之，去掉二元体时，也需将与之相 联的铰去掉。
增加二元体
去掉二元体
四.可变体系
上述三个组成规则中，都提出了一些限制条件。 如果不能满足这些条件，将会出现下面所述的情况。
三、约束
1、对运动起限制作用而减少体系自由度的装置 称为约束。 2、能减少一个自由度的装置相当于一个约束。
约束的种类
1、单链杆
一根链杆可以减少体系的一个自由度，相当于 一个约束。
2、单铰：连接两个刚片的铰
I
II
一个单铰可以减少体系的两个自由度，相当于两 根链杆的约束作用。
3、复铰：连接三个或三个以上刚片的铰。
点、刚片的自由度
（1） 平面上的点
y
x
A
y
o
x
平面内某一动点A，其位置需由两个坐标 x 和 y 来 确定，故一个点的自由度等于2，即点在平面内可以 作两种相互独立的运动，通常用平行于坐标轴的两种 移动来表示。
（2）平面上的刚片
B
x
A

y
一个刚片在平面运动时，其位置将由它上面任一点 A 的坐标 x、y 和过 A 点的任一直线 AB 的倾角 来 确定。因此，一个刚片在平面内的自由度等于3，即刚 片在平面内不但可以自由移动，而且还可以自由转动。
下面讨论怎么布置这些约束才能达到上述目的。
一、两刚片法则
首先回顾一下铰结点的特点。
实铰
(a）
虚铰 O
刚片II
(b）
刚片I、Ⅱ用两根不平行的链杆相联。若刚片I固定 不动，那么刚片Ⅱ可绕两杆延长线的交点O转动；反 之，若刚片Ⅱ固定不动，那么刚片I也可绕O点转动。 而自由转动是铰的特性，因此上述转动情况等效于 在 O 点用单铰把刚片I和II相联。与实铰不同，这个 铰的位置在两链杆延长线的交点上，故称为虚铰。
例7: 对图示体系作几何组成分析。
解: 将AB杆视为刚片I，在刚片I上分 别增加二元体CAE、DFB，形成几何不 变体系，此时，C、D点是固定不动的， 因此没必要增加链杆CD来约束C、D点 的运动。故该体系为有一个多余约束 的几何不变体系。
1、两刚片：
1）两刚片用交于一点的三根链杆相联。
2）两刚片用平行但不等长的三根链杆相联。
3）两刚片用平行且等长的三根链杆相联。
瞬 变 体 系Байду номын сангаас
1、瞬变体系：原为几何可变，但 经过微小位移后转化为几何不变 体系，这种体系称为瞬变体系。
瞬变体系也是 一种几何可变 体系！
常 变 体 系
两刚片发生相对运动后， 此三根链杆仍互相平行， 故运动将继续发生，此 体系是几何可变体系。
三、二元体法则
二元体：由两根不共线的链杆联结一个新结点 （特指铰结点）的装置。 二元体
二元体法则：在一个体系上增加或者去掉一个二 元体，不会改变原体系的几何组成性质。即：
1）若原体系为几何可变体系，则增加或者去掉一个二 元体后，体系仍为几何可变体系； 2）若原体系为几何不变体系，则增加或者去掉一个二 元体后，体系仍为几何不变体系。
2FN sin FP 0 FP FN 2sin
因为变形是微小的，故 为一无穷小量，所以
′
FP FN 2sin
由于瞬变体系能产生很大的内力，故瞬变体系不能
作为结构使用。
只有几何不变体系才能作为结构使用！！
讨论：虚铰在无穷远处的情形
1、一个虚铰在无穷远处
相互平行的线的交点可