人教A版高中数学必修1《第一章 集合与函数概念 实习作业》_7

集合的运算有交、并、补这三种常见的运算，它是集合这一单元的核心内容之一．在进行集合的交集、并集、补集运算时，往往由于运算能力差或考虑不全面而极易出错，此时，数轴分析(或Venn图)是个好帮手，能将复杂问题直观化，是数形结合思想具体应用之一．在具体应用时要注意检验端点值是否适合题意，以免增解或漏解．
例1已知集合A＝{x|0≤x≤2}，B＝{x|a≤x≤a＋3}．
(1)若(∁R A)∪B＝R，求a的取值范围．
(2)是否存在a使(∁R A)∪B＝R且A∩B＝∅？
解 (1)A ＝{x |0≤x ≤2}，
∴∁R A ＝{x |x <0或x >2}．
∵(∁R A )∪B ＝R .
∴⎩⎪⎨⎪⎧
a ≤0，a ＋3≥2，∴－1≤a ≤0. (2)由(1)知(∁R A )∪B ＝R 时，
－1≤a ≤0，而a ＋3∈[2,3]，
∴A ⊆B ，这与A ∩B ＝∅矛盾．即这样的a 不存在．
跟踪训练1 若全集U ＝R ，集合A ＝{x |x ≥1}∪{x |x ≤0}，则∁U A ＝________.
答案 {x |0<x <1}
解析 在数轴上表示出集合A ，如图所示．
则∁U A ＝{x |0<x <1}．
题型二 分类讨论思想的应用
分类讨论思想的实质是：把整体问题化为部分来解决，化成部分后，从而增加题设条件，在解决含有字母参数的问题时，常用到分类讨论思想，分类讨论要弄清对哪个字母进行分类讨论，分类的标准是什么，分类时要做到不重不漏．本章中涉及到分类讨论的知识点为：集合运算中对∅的讨论，二次函数在闭区间上的最值问题、函数性质中求参数的取值范围问题等．
例 设a 为实数，函数f (x )＝2x 2＋(x －a )|x －a |.
(1)若f (0)≥1，求a 的取值范围；
(2)求f (x )的最小值．
解 (1)因为f (0)＝－a |－a |≥1，所以－a >0，
即a <0，由a 2≥1知a ≤－1，
因此，a 的取值范围为(－∞，－1]．
(2)记f (x )的最小值为g (a )，则有
f (x )＝2x 2＋(x －a )|x －a |
＝⎩⎪⎨⎪⎧
3⎝⎛⎭⎫x －a 32＋2a 23，x >a ①(x ＋a )2－2a 2，x ≤a ②
(ⅰ)当a ≥0时，f (－a )＝－2a 2，
由①②知f (x )≥－2a 2，此时g (a )＝－2a 2.
(ⅱ)当a <0时，f ⎝⎛⎭⎫a 3＝23a 2，
若x >a ，则由①知f (x )≥23
a 2. 若x ≤a ，由②知f (x )≥2a 2>23a 2.此时g (a )＝23
a 2， 综上，得g (a )＝⎩⎪⎨⎪⎧ －2a 2，a ≥02a 23
，a <0. 跟踪训练2 设f (x )是连续的偶函数，且当x >0时是单调函数，则满足f (x )＝f ⎝
⎛⎭⎪⎫x ＋3x ＋4的所有x 之和为( )
A ．－3
B ．3
C ．－8
D ．8
答案 C
解析 因为f (x )是连续的偶函数，且x >0时是单调函数，由偶函数的性质可知若f (x )＝f ⎝
⎛⎭
⎪⎫x ＋3x ＋4，只有两种情况：①x ＝x ＋3x ＋4；②x ＋x ＋3x ＋4
＝0. 由①知x 2＋3x －3＝0，故其两根之和为x 1＋x 2＝－3.
由②知x 2＋5x ＋3＝0，故其两根之和为x 3＋x 4＝－5.
因此满足条件的所有x 之和为－8.
题型三 转化与化归思想的应用
转化与化归思想方法用在研究、解决数学问题时思维受阻或寻求简单方法，从一种状况转化为另一种情况，也就是转化到另一种情境，使问题得到解决，这种转化是解决问题的有效策略，同时也是成功的思维方式．
例3 已知集合A ＝{x ∈R |mx 2－2x ＋1＝0}，在下列条件下分别求实数m 的取值范围．
(1)A ＝∅；(2)A 恰有两个子集；(3)A ∩⎝⎛⎭⎫12，2≠∅.
解 (1)若A ＝∅，则关于x 的方程mx 2－2x ＋1＝0没有实数解，
所以m ≠0，且Δ＝4－4m <0，所以m >1.
(2)若A 恰有两个子集，则A 为单元素集，所以关于x 的方程mx 2－2x ＋1＝0恰有一个实数解，讨论：
①当m ＝0时，x ＝12
，满足题意； ②当m ≠0时，Δ＝4－4m ＝0，所以m ＝1.
综上所述，m 的集合为{0,1}．
(3)若A ∩⎝⎛⎭⎫12，2≠∅，
则关于x 的方程mx 2＝2x －1在区间⎝⎛⎭⎫12，2内有解，
这等价于当x ∈⎝⎛⎭⎫12，2时，求m ＝2x －1x 2＝1－⎝⎛⎭⎫1x －12的值域，∴m ∈(0,1]． 跟踪训练3 求函数y ＝x －1－x (x ≥2)的值域．
解 令x －1＝t ，由x ≥2知t ≥1，
∵x ＝t 2＋1，∴y ＝－t 2＋t －1(t ≥1)．
∴y ≤－1.故函数的值域为(－∞，－1]．
题型四 函数性质的综合运用
函数性质的研究包括函数的单调性、奇偶性、对称性，从命题形式上看，抽象函数、具体函数都有，其中函数单调性的判断与证明、求单调区间、利用函数单调性求参数的取值范围是高考的重点，利用函数的奇偶性、对称性研究函数的图象是难点．
例4 已知函数f (x )＝x 2＋|x －a |＋1，a ∈R .
(1)试判断f (x )的奇偶性；
(2)若－12≤a ≤12
，求f (x )的最小值． 解 (1)当a ＝0时，
函数f (－x )＝(－x )2＋|－x |＋1＝f (x )，
此时，f (x )为偶函数．
当a ≠0时，
f (a )＝a 2＋1，f (－a )＝a 2＋2|a |＋1，
f (a )≠f (－a )，f (a )≠－f (－a )，
此时，f (x )为非奇非偶函数．
(2)当x ≤a 时，f (x )＝x 2－x ＋a ＋1＝⎝⎛⎭⎫x －122＋a ＋34
； ∵a ≤12
，故函数f (x )在(－∞，a ]上单调递减， 从而函数f (x )在(－∞，a ]上的最小值为f (a )＝a 2＋1.
当x ≥a 时，
函数f (x )＝x 2＋x －a ＋1＝⎝⎛⎭⎫x ＋122－a ＋34
， ∵a ≥－12
，故函数f (x )在[a ，＋∞)上单调递增， 从而函数f (x )在[a ，＋∞)上的最小值为f (a )＝a 2＋1.
综上得，当－12≤a ≤12
时，函数f (x )的最小值为a 2＋1. 跟踪训练4 已知偶函数f (x )在区间[0，＋∞)上单调递增，则满足f (2x －1)<f ⎝⎛⎭⎫13的x 的取值范
围是( )
A.⎝⎛⎭⎫13，23
B.⎣⎡⎭⎫13，23
C.⎝⎛⎭⎫12，23
D.⎣⎡⎭⎫12，23
答案 A 解析 当2x －1≥0，即x ≥12
时， 因为f (x )在[0，＋∞)上单调递增，故需满足2x －1<13
， 即x <23，所以12≤x <23
. 当2x －1<0，即x <12
时，由于f (x )是偶函数， 故f (x )在(－∞，0]上单调递减，f ⎝⎛⎭⎫13＝f ⎝⎛⎭⎫－13，
此时需满足2x －1>－13，所以13<x <12
. 综上可得13<x <23
. [呈重点、现规律]
1．函数单调性的判定方法
(1)定义法．
(2)直接法：运用已知的结论，直接判断函数的单调性，如一次函数，二次函数，反比例函数；还可以根据f (x )，g (x )的单调性判断－f (x )，1f (x )
，f (x )＋g (x )的单调性等． (3)图象法：根据函数的图象判断函数的单调性．
2．二次函数在闭区间上的最值
对于二次函数f (x )＝a (x －h )2＋k (a >0)在区间[m ，n ]上的最值问题，有以下结论：
(1)若h ∈[m ，n ]，则y min ＝f (h )＝k ，y max ＝max{f (m )，f (n )}；
(2)若h ∉[m ，n ]，则y min ＝min{f (m )，f (n )}，
y max ＝max{f (m )，f (n )}(a <0时可仿此讨论)．
3．函数奇偶性与单调性的差异
函数的奇偶性是相对于函数的定义域来说的，这一点与研究函数的单调性不同，从这个意义上说，函数的单调性是函数的“局部”性质，而奇偶性是函数的“整体”性质，只有对函数定义域内的每一个x 值，都有f (－x )＝－f (x )[或f (－x )＝f (x )]，才能说f (x )是奇函数(或偶函数)．
4．作函数图象的方法
方法一：描点法——求定义域；化简；列表、描点、连光滑曲线．
注意：要利用单调性、奇偶性、对称性简化作图．
方法二：变换法——熟知函数的图象的平移、伸缩、对称、翻转．
(1)平移
y ＝f (x )――→左加右减y ＝f (x ±h )；
y ＝f (x )――→上加下减y ＝f (x )±k .
(2)对称
y ＝f (x )←――→关于y 轴对称y ＝f (－x )；
y ＝f (x )←――→关于x 轴对称y ＝－f (x )；
y ＝f (x )←――→关于原点对称y ＝－f (－x )．
(3)翻折
①图示：y ＝f (x )→y ＝f (|x |)；
②图示：y ＝f (x )→y ＝|f (x )|.。