八年级数学尖子班运用角平分线、中垂线、中点

第四节 运用角平分线、中垂线和中点
【典型例题】
运用角平分线的性质定理和判定定理
例1-1 如图所示，已知ABC ∆中，AD 平分BC 于D ，若AB DE ⊥于E ，AC DF ⊥于F ，DE=DF ．求证：（1）AD 平分BAC ∠；（2）AE=AF ；（3）AB=AC ．
例1-2 如图所示，已知ABC ∆中，AD 平分BAC ∠交BC 于D ，E 、F 分别是AB 、AC （或它们的延长线）上的点，且︒=∠+∠180BAC EDF ．求证：DE=DF ．
例1-3 已知：如图所示，AB=CD ，CDE ABE S S ∆∆=．求证：DOE BOE ∠=∠．
A
B
C
F E A
E
F
C
B
A
E
C
D
B O
运用中垂线的性质解题
例2-1 如图所示，已知AB=AC ，AD 平分BAC ∠，求证：ECD DBE ∠=∠．
例2-2 如图所示，已知AD 平分BAC ∠，EF 垂直平分AD ，交BC 延长线于F ，连结AF ，求证：CAF B ∠=∠．
例2-3 已知：如图所示，在ABC Rt ∆中，︒=∠90C ，D 是AB 上一点，且BD=BC ，过D 作AB 垂线交AC 于E ．求证：BE CD ⊥．
A
B
C
D E
A
D
B
C E
A
B
F
E
添中点问题的辅助线
例3-1 已知：如图所示，在ABC ∆中，AC AB >，M 为BC 的中点，过M 作直线垂直于A ∠的平分线AN ，分别交AB 、AC 的延长线于D 、E ．求证：BD=CE ．
例3-2 已知：如图所示，在ABC ∆中，AD 平分BAC ∠，且DC BD =．求证：AB=AC ．
例3-3 已知：如图所示，AD 平分BAC ∠，M 是BC 的中点，MF 平行AD ，分别交CA 延长线，AB 于F 、E ．求证：BE=CF ．
A
N
M B
E
C D A
B
C
D
A B
C
E
F
【大展身手】
1-1 如图所示，在ABC ∆中，以AB 、AC 为边向外作等边ABF ∆和等边ACE ∆，连结BE 、CF 交于点O ，求证：AO 平分EOF ∠．
1-2 已知：如图所示，BE 平分ABC ∠，CE 平分ACD ∠，BE 、CE 相交于E ．求证：E 在
FAC ∠的平分线上．
1-3 已知如图所示，ABC ∆的C B ∠∠,的外角平分线交于点D ，求证：AD 是BAC ∠的平分线．
B
A
C
D
E
F
A
B
C
D
1-4 如图所示，在ABC ∆中，D 为BC 的中点，AB DE ⊥于E ，AC DF ⊥于F ，AB=AC ，求证：DE=DF ．
2-1 如图所示，在ABC ∆中，AB=2AC ，DB DA CAD BAD =∠=∠,，求证：AC DC ⊥．
2-2 如图所示，在ABC ∆中，AB=AC ，分别延长CB 、BC 到D 、E ，使BD=CE ．求证：AD=AE ． A
B
C
E F
A
B
A
B D
C
E
2-3 已知：如图所示，AD 是ABC ∆的高，E 为AD 上一点，且BE=CE ．求证：ABC ∆是等腰三角形．
2-4 已知：如图所示，在等边三角形ABC 中，ACB ABC ∠∠,的平分线相交于点O 、BO 、OC 的垂直平分线分别交BC 于E 和F ．求证：BE=FC ．
2-5 已知：如图所示，在ABC ∆中，BA=BC ，︒=∠45ABC ，AD 是BC 边上的高，E 是AD 上一点，ED=CD ，连结EC ．求证：EA=EC ． A
E
B
C
D
A
O
B
E F
C
A
F C
B
E
【小试锋芒】
1 在ABC ∆中，AD 是BC 边上的中线，若AB=6，AC=10，则AD 的取值范围是 ．
2 求证：两三角形的两边和第三边上中线对应相等的两三角形全等．
3 已知：如图所示，过ABC ∆的BC 边的中点M 作直线平行于BAC ∠的平分线AN ，而分别交BA 的延长线、AC 于E 、F ．求证：AC AB 2CF +=．
4 已知：在ABC ∆中，︒=∠90ACB ，CD 是中线．求证：AB=2CD ． A
E F
B
C。