2020年山西省忻州市五台县第二中学高三数学文模拟试题含解析

2020年山西省忻州市五台县第二中学高三数学文模拟
试题含解析
一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。

在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的
1. 设x,y满足约束条件，若目标函数的最大值为12，则的最小值为
A.4
B.
C.
D.
参考答案：
A
略
2. 已知集合A={x|x2﹣3x﹣10＜0，x∈N*}，B={2x＜16}，则A∩B=（）
A．{﹣1，0，1，2，3} B．{1，2，3，4} C．{1，2，3} D．{1}
参考答案：
D
【考点】交集及其运算．
【分析】求出集合A中的元素，求出A、B的交集即可．
【解答】解：A={x|x2﹣3x﹣10＜0，x∈N*}={x|﹣2＜x＜5，x∈N*}={1，2，3，4}，
B={2x＜16}={x|x＜4}，
则A∩B={1，2，3}，
故选：C．
3. 已知函数的图像向左平移个单位长度，横坐标伸长为原来的2倍得函数的图像，则下列区间为的单调递增区间的是
A．B．C．
D．
参考答案：
A
4. 已知＝(2,1)，，，则 ( )
A. B. C．5 D．25
参考答案：
C
5. 函数，当时，，则的最小值是（）
A．1 B．2 C．D．
参考答案：
B
因为，所以
依题意，由即，得
所以
所以，整理得
又，所以
所以，
所以的最小值为2.
6. 在△ABC中，，，且，则AB=（）
A. B. 5 C. D.
参考答案：
A
【分析】
中，由正弦定理得，又，所以，再利用余弦定理，即可求解，得到答案。

【详解】在中，因为，
由正弦定理知，又，所以，
又由余弦定理知：，
解得，即，故选A。

【点睛】本题主要考查了正弦定理、余弦定理的应用，其中利用正弦、余弦定理可以很好地解决三角形的边角关系，熟练掌握定理、合理运用是解本题的关键．在中，通常涉及三边三角，知三（除已知三角外）求三，可解出三角形，当涉及两边及其中一边的对角或两角及其中一角对边时，运用正弦定理求解；当涉及三边或两边及其夹角时，运用余弦定理求解.
7. 已知集合等于
A. B. C. D.
参考答案：
8. 设的两根是、，则
A．B．C．D．
参考答案：
D
解得或或即，
所以
故选D
9. 在抛物线上取横坐标为，的两点，过这两点引
一条割线，有平行于该割线的一条直线同时与抛物线和圆相切，则抛物线顶点的坐标为
（A）（B）（C）（D）
参考答案：
A
令抛物线上横坐标为、的点为、，则，
由，故切点为，切线方程为，该直线又和
圆相切，则，解得或（舍去），则抛物线为
，定点坐标为，选A．
10. 若向量满足，与的夹角为，则（）
A. B. C. D.
参考答案：
B
二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分
11. 椭圆的左，右焦点分别为弦过，若的内切圆的周长为两点的坐标分别为则= .
参考答案：
略
12. 在△ABC中，∠A=90°，AB=2，AC=4，E，F分别为AB，BC的中点，则= ．参考答案：
﹣6
【考点】平面向量数量积的运算．
【分析】根据题意画出图形，结合图形，利用平面向量的线性表示与数量积运算性质，即可求出的值．
【解答】解：如图所示，
△ABC中，∠A=90°，AB=2，AC=4，E，F分别为AB，BC的中点，
则=（+）?（+）
=（﹣+）?（+）
=﹣﹣?+
=﹣×42﹣×0+×22
=﹣6．
故答案为：﹣6．
13. 已知a∈(，)，tanα=2，则cos2α= .
参考答案：
14. 设F1、F2分别为双曲线的左、右焦点，若在双曲线右支上存在点P，满足PF2=F1F2，且F2到直线PF1的距离等于双曲线的实轴长，则该双曲线的渐近线方程为．
参考答案：
4x±3y=0
【考点】双曲线的简单性质．
【分析】过F2点作F2Q⊥PF1于Q点，得△PF1F2中，PF2=F1F2=2c，高F2Q=2a，
PQ=PF1=c+a，利用勾股定理列式，解之得a与c的比值，从而得到的值，得到该双曲线的渐近线方程．
【解答】解：∵PF2=F1F2=2c，
∴根据双曲线的定义，得PF1=PF2+2a=2c+2a
过F2点作F2Q⊥PF1于Q点，则F2Q=2a，
等腰△PF1F2中，PQ=PF1=c+a，
∴=PQ2+，即（2c）2=（c+a）2+（2a）2，
解之得a=c，可得b==c
∴=，得该双曲线的渐近线方程为y=±x，即4x±3y=0
故答案为：4x±3y=0
15. 设为第二象限角，若,则= .
参考答案：
略
16. 设是等比数列的前n项和，若，，成等差数列，则公比等于____________________。

参考答案：
1/3
略
17. 在锐角三角形中，A=2B，则下列叙述正确的是．
①sin3B=sin2C②tan tan=1 ③＜B＜④∈（，]．
参考答案：
②③
【考点】正弦定理．
【分析】由已知的三角形为锐角三角形以及A=2B 的关系，结合内角和定理以及正弦定理解答．
【解答】解：因为在锐角三角形中，A=2B，所以A+B+C=3B+C=180°，即3B=180°﹣C，所以①sin3B=sin2C错误；
所以sin3B=sinC，由倍角公式得到sin，所以②tan tan=1 正确；
对于③，因为三角形为锐角三角形，所以，所以③＜B＜正确；
由③得到=2cosB∈（2cos，2cos）即为（，），所以
④∈（，]错误．
故答案为：②③．
三、解答题：本大题共5小题，共72分。

解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤
18. 已函数是定义在上的奇函数,在上
.
（1）求函数的解析式;并判断在上的单调性(不要求证明);
（2）解不等式．
参考答案：
2略
19. 已知函数．
（Ⅰ）求的值；
（Ⅱ）求在区间上的最大值和最小值．
参考答案：
解：（Ⅰ）由
，
得．
所以．…………………8分（Ⅱ）因为，
所以．
当，即时，
函数在区间上的最大值为．
当，即时，
函数在上的最小值为．…………………13分
略
20. 某中学为研究学生的身体素质与课外体育锻炼时间的关系，对该校200名高三学生的课外体育锻炼平均每天运动的时间进行调查，如表：（平均每天锻炼的时间单位：分钟）
将学生日均课外课外体育运动时间在[40，60）上的学生评价为“课外体育达标”． （Ⅰ）请根据上述表格中的统计数据填写下面2×2列联表，并通过计算判断是否能在犯错误的概率不超过0.01的前提下认为“课外体育达标”与性别有关？ （Ⅱ）将上述调查所得到的频率视为概率．现在从该校高三学生中，抽取3名学生，记被抽取的3
名学生中的“课外体育达标”学生人数为X ，若每次抽取的结果是相互独立的，求X 的数学期望和方差．
参考公式：，其中n=a+b+c+d ．
参考数据： 【考点】独立性检验的应用．
【分析】（I ）根据所给的数据列出列联表，再代入公式计算得出K 2
，与临界值比较即可得出结论；
（II）由题意，用频率代替概率可得出抽到“课外体育达标”学生的频率为0.25，由于X～B（3，），由公式计算出期望与方差即可．
【解答】解：列出列联表，
（Ⅰ），
所以在犯错误的概率不超过0.01的前提下不能判断“课外体育达标”与性别有关．（Ⅱ）由表中数据可得，抽到“课外体育达标”学生的频率为0.25，将频率视为概率，∴X～B（3，），
∴．
21. （本小题满分12分）
已知是椭圆上一点，椭圆的离心率.
（Ⅰ）求椭圆的方程；
（Ⅱ）过点P(0,3)的直线m与椭圆交于A、B两点．若A是PB的中点，求直线m的方程．
参考答案：
（Ⅰ）椭圆的方程为；
（Ⅱ）设，由是的中点，得．因为在椭圆上，所以
得，解得
所以，直线的斜率直线的方程
22. 2016﹣2017赛季中国男子篮球职业联赛（即CBA）正在如火如荼地进行，北京时间3月10日，CBA半决赛开打，新疆队对阵辽宁队，广东队对阵深圳队：某学校体育组为了调查本校学生对篮球运动是否感兴趣，对本校高一年级两个班共120名同学（其中男生70人，女生50人）进行调查，得到的统计数据如表
球运动是否感兴趣与性别有关”？
（2）采用分层抽样的方法从“对篮球运动不感兴趣”的学生里抽取一个6人的样本，其中男生和女生个多少人？从6人中随机选取3人做进一步的调查，求选取的3人中至少有1名女生的概率
参考公式：K2=，其中n=a+b+c+d
参考数据：
【考点】列举法计算基本事件数及事件发生的概率；独立性检验的应用．
【分析】（1）作出2×2列联表，由K2计算公式得K2≈1.143＜3.841，从而得到在犯错误概率不超过0.05的前提下不能认为“对篮球运动是否感兴趣与性别有关”．
（2）采用分层抽样的方法从“对篮球运动不感兴趣”的学生里抽取一个6人的样本，则
抽样比例为=，应抽取男生4人，应抽取女生2人，不妨设4个男生为a，b，c，d，2个女生为A，B，利用列举法能求出从6人中随机选取3人，选取的3人中至少有1名女生的概率．
【解答】（本题满分12分）
解：（1）2×2列联表如下：
K2==≈1.143＜3.841
∴在犯错误概率不超过0.05的前提下不能认为“对篮球运动是否感兴趣与性别有关”．…
（2）采用分层抽样的方法从“对篮球运动不感兴趣”的学生里抽取一个6人的样本，
则抽样比例为=∴应抽取男生20×=4（人），应抽取女生10×=2（人）
不妨设4个男生为a，b，c，d，2个女生为A，B
从6人中随机选取3人所构成的基本事件有：
（a，b，c），（a，b，d），（a，b，A），（a，b，B），（a，c，d），（a，c，A），（a，c，B），
（a，d，A），（a，d，B），（a，A，B），（b，c，d），（b，c，A），（b，c，B），（b，d，A），
（b，d，B），（b，A，B），（c，d，A），（c，d，B），（c，A，B），（d，A，B），共20个；
选取的3人中至少有1名女生的基本事件有：
（a，b，A），（a，b，B），a，c，A），（a，c，B），（a，d，A），（a，d，B），（a，A，B），
（b，c，A），（b，c，B），（b，d，A），（b，d，B），（b，A，B），（c，d，A），（c，d，B），
（c，A，B），（d，A，B）共16个基本事件；
∴选取的3人中至少有1名女生的概率为=…。