推理与直接间接证明数学归纳法章节综合检测专题练习(三)含答案人教版高中数学

高中数学专题复习
《推理与直接间接证明数学归纳法》单元过关检
测
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注意事项：
1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息
2．请将答案正确填写在答题卡上
第I卷（选择题）
请点击修改第I卷的文字说明
评卷人得分
一、选择题
1．已知
2()
(1),(1)1
()2
f x
f x f
f x
+==
+
*
x N
∈
（），猜想(f x）的表达式为
A.
4
()
22
x
f x=
+
B.
2
()
1
f x
x
=
+
C.
1
()
1
f x
x
=
+
D.
2
()
21
f x
x
=
+
2．观察如图中各正方形图案，每条边上有(2)
n n≥个圆点，第n个图案中圆点的
总数是
n
S．
n=2 n=3 n=4
按此规律推断出n S 与n 的关系式为---------------------------------------------------------------------------（ ）
(A) n S =2n (B) n S =4n (C) n S =2n (D) n S =44n -
第II 卷（非选择题）
请点击修改第II 卷的文字说明 评卷人
得分
二、填空题
3．半径为r 的圆的面积()2
S r r π=，周长()2C r r π=，若将r 看作()0,+∞上的变
量，则(
)2
2r
r ππ'=，① ①式可用语言叙述为：圆的面积函数的导数等于圆的
周长函数。

对于半径为R 的球，若将R 看作()0,+∞上的变量，请你写出类似于①的式子: (注：球体积公式为343
V R R π=
为球体半径)
4．用反证法证明命题“三角形的内角中至少有一个角不大于60”时应假设 ▲ .
5．设等边ABC ∆的边长为a ,P 是ABC ∆内任意一点,且P 到三边AB 、BC 、CA 的距离分别为1d 、2d 、3d ,则有321d d d ++为定值
a 2
3
;由以上平面图形的特性类比到空间图形:设正四面体A B CD 的棱长为a ,P 是正四面体A B CD 内任意一点,且P 到平面ABC 、平面ABD 、平面ACD 、平面B CD 的距离分别为1h 、2h 、
3h 、h 4，则有321h h h +++h 4为定值______▲______.
6．已知 0(1,2,
,)i a i n >=，考察下列式子：
111()1i a a ⋅
≥； 121211()()()4ii a a a a ++≥； 123
123
111
()()()9iii a a a a a a ++++≥. 我们可以归纳出，对12,,
,n a a a 也成立的类似不等式为 ▲ ．
7．有名同学在玩一个哈哈镜游戏,这些同学的编号依次为:1,2,…n,在游戏中,除规定第k 位同学看到的像用数对(p,q)（p<q ）(其中q-p=k)表示外,还规定:若编号为k 的同学看到的像用数对（p,q ）,则编号为k+1的同学看到的像为（q,r ）,(p,q,r *N ∈)，已知编号为1的同学看到的像为（4,5），则编号为5的同学看到的像是 。

8．对大于或等于2的自然数m 的3次方幂有如下分解方式：
23=3+5,最小数是3, 33=7+9+11,最小数是7, 43=13+15+17+19,最小数是13。

根据上述分解规律，在93
的分解中，最小数是 。

9．由图(1)有面积关系: P A B PAB S PA PB S PA PB
''∆∆''⋅=⋅，则由(2) 有体积关系:
.P A B C P A B C
V V '''
--=
10．在小时候，我们就用手指练习过数数. 一个小朋友按 如图所示的规则练习数数，数到汇编时对应的指头是 ▲ .(填出指头的名称，各指头的名称依次为大拇指、
食指、中指、无名指、小指).
评卷人
得分
三、解答题
11．设n ∈*N 且2n ≥，证明：
()2
222
1212n n a a a a a a ++⋅⋅⋅+=++⋅⋅⋅+()
1232n a a a a ⎡+++⋅⋅⋅+⎣()
234n a a a a +++⋅⋅⋅++⋅⋅⋅
]1n n a a -+．
证明：（1）当2n =时，有()2
221212122a a a a a a +=++，命题成立． ………2分
（2）假设当(2)n k k =≥时，命题成立， 即
()
2
2221212k k a a a a a a ++⋅⋅⋅+=++⋅⋅⋅+()1232k a a a a ⎡+++⋅⋅⋅+⎣()234k a a a a +++⋅⋅⋅+
+⋅⋅⋅]1k k a a -+成立， ………4分 那么，当1n k =+时，有()2
121k k a a a a +++⋅⋅⋅++ ()()2
21212112k k k k a a a a a a a a ++=++⋅⋅⋅++++⋅⋅⋅++
22212k a a a =++⋅⋅⋅+()1232k a a a a ⎡+++⋅⋅⋅+⎣()234k a a a a +++⋅⋅⋅++⋅⋅⋅]1k k a a -+ (12a +2a ++⋅⋅⋅)211k k k a a a ++++．
2222121k k a a a a +=++⋅⋅⋅++()12312k k a a a a a +⎡+++⋅⋅⋅++⎣+(234a a a ++⋅⋅⋅k a +)1k a ++
+⋅⋅⋅ ]1k k a a ++．
所以当1n k =+时，命题也成立． ………8分 根据（1）和（2），可知结论对任意的n ∈*N 且2n ≥都成立． ………10分
12．空间内有n 个平面，设这n 个平面最多将空间分成n a 个部分. (1)求1234,,,a a a a ；
(2)写出n a 关于n 的表达式并用数学归纳法证明.
13．若*N n ∈，()
12
2n
n n a b +=+（n a 、n b Z ∈）．
（1）求55a b +的值；
（2）求证：数列{}n b 各项均为奇数． 14
．
观
察
下
面
运
算
结
果
：22393941641624,24,3,3,441122223333
+=⨯=+=⨯=+=⨯=，，
525525
554444
+=⨯=，，…，
根据这些运算结果，归纳出一个关于正整数n 的等式，这个等式为________________
【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除
评卷人
得分
一、选择题
1．B 2．B 解析：(B)
第II 卷（非选择题）
请点击修改第II 卷的文字说明 评卷人
得分
二、填空题
3． 3＇
24（R ）=43
R ππ 4． 5．a 3
6 6．
7．（14，19） 8．73
9．PC
PB PA PC PB PA ⋅⋅⋅⋅'''
10．食指． 评卷人
得分
三、解答题
11．
12． 解：(1)12342,4,8,15a a a a ====； (2)3
1(56)6
n a n n =
++.证明如下： 当1n =时显然成立，
设(1,)n k k k N *
=≥∈时结论成立，即3
1(56)6
k a k k =
++， 则当1n k =+时，再添上第1k +个平面，因为它和前k 个平面都相交，所以可得k 条互不平行且不共点的交线，且其中任3条直线不共点，这k 条交线可以把第
1k +个平面划最多分成2
1[(1)
(1)2)]2
k k +-++个部分，每个部分把它所在的原有
空间区域划分成两个区域.因此，空间区域的总数增加了21
[(1)(1)2)]2k k +-++个，2
3
211
11[(1)(
1)2)](56)[(
1)
2
6
2
k k a a k k k k k k +∴=++
-++=+++
+-++ 31
[(1)5(1)6)]6
k k =++++， 即当1n k =+时，结论也成立. 综上，对n N *
∀∈，3
1(56)6
n a n n =
++. 13．解：（1）当5n =时，(
)
()
()
5
2
5
01
2
5
5555
12
22
2C C C C +
=+++
+
()
()
()
()
2
4
3
5024
13
5
55555
5
2
2222C C C C C C ⎡⎤⎡⎤=+++++⎢⎥⎢⎥⎣
⎦⎣
⎦
41292=+
故
529
a =，
541
b =，
所
以
5570a b +=． ……………… 2分
（2）证明：由数学归纳法 （
i
）
当
1
n =时，易知
11
b =，为奇
数； ……………… 4分 （ii ）假设当n k =时，()
122k
k k a b +=
+，其中k b 为奇数； ………………
5分
则当1n k =+时，
()
()()(
)()
1
1212
12212k k
k k a b ++=+⋅+=+⋅+()()22k k k k a b b a =
+++
所以12k k k b b a +=+，又k a 、k b Z ∈，所以2k a 是偶数，
而由归纳假设知k b 是奇数，故1k b +也是奇数． ……………… 9分
综上（i ）、（ii ）可知，n b 的值一定是奇数． ……………… 10分 14．。