§5–1 轴向拉伸与压缩的概念§5–2 轴向拉伸与压缩时横截.

d
F
F
D
解： 杆件横截面 上的正应力为:
s
4F 4 20103 N = = 2 2 D -d 2 - 0.015m 2 0.020m






= 145106 Pa = 145MPa
材料的许 用应力为:
235106 Pa = = = 156106 Pa = 156MPa ns 1.5
FN=F
FN’
II
F
x
单位：
SFX=0：-FN’+F=0
FN’=F
N(牛顿)或 kN(千牛)
8
3. 轴力的正负规定: FN 与外法线同向,为正轴力(拉力) FN与外法线反向,为负轴力(压力) FN FN FN FN FN>0 FN<0
三、 轴力图—— FN(x) 的图象表示。
意 义 ①反映出轴力与截面位置变化关系，较直观； ②确定出最大轴力的数值 及其所在横截面的位置， 即确定危险截面位置，为 FN F + x
FN ( x) max= max( ) A( x)
4. 公式的应用条件： 直杆、杆的截面无突变、截面到载荷作用点有一定 的距离。 5. Saint-Venant原理： 离开载荷作用处一定距离，应力分布与大小不受外载荷作
用方式的影响。 6. 应力集中：
在截面尺寸突变处，应力急剧变大。
Saint-Venant原理与应力集中示意图 F a b c F
§5–2 轴向拉伸与压缩时横截面上的内力-轴力
一、内力
指由外力作用所引起的、物体内相邻部分之间分布内
力系的合成（附加内力）。
二、截面法 ·轴力 内力的计算是分析构件强度、刚度、稳定性等问题的 基础。求内力的一般方法是截面法。 1. 截面法的基本步骤：
① 截开：在所求内力的截面处，假想地用截面将杆件一分为二。
1、延伸率:
L1 - L = 100 0 0 L
2、面缩率：
A - A1 = 100 0 0 A
3、脆性、塑性及相对性
以 = 5 0 0 为界
四、无明显屈服现象的塑性材料
0.2
名义屈服应力:

0.2

0.2
，即此类材料的失效应力。
五、铸铁拉伸时的机械性能

bL
ｂL ---铸铁拉伸强度极限（失效应力）
遇到向左的F， 轴力FN 增量为正； 遇到向右的F ， 轴力FN 增量为负。
5kN 5kN
8kN
3kN
+
8kN
–
3kN
§5–3 轴向拉伸与压缩时横截面上的应力
问题提出：
F
F F
F 1. 内力大小不能衡量构件强度的大小。 2. 强度：①内力在截面分布集度应力； ②材料承受荷载的能力。 一、应力的概念 1. 定义：由外力引起的内力集度。
③强度校核： max = 162MPa = 170MPa ④结论：此杆满足强度要求，能够正常工作。
§5 － 4
轴向拉伸与压缩时的变形
一、拉压杆的变形及应变 a c
x
b d
1、杆的纵向总变形：
dL = L1 - L
L
2、线应变：单位长度的线变形。
3、平均线应变：
dL L1 - L = = L L
“
识，就将会在我们面 前展现出一个迄今为止只被人们神话般
地加以描述的知识王国”。
§5-5 材料在拉伸和压缩时的力学性能 力学性能：材料在外力作用下表现的有关强度、变形方面的特性。 一、试验条件及试验仪器 1、试验条件：常温(20℃)；静载（及其缓慢地加载）； 标准试件。
d h
2、试验仪器：万能材料试验机； 变形仪（常用引伸仪）。
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ37
可见，工作应力小于许用应力，说明杆件能够安全工作。
轴向拉伸和压缩
二、许用应力和安全系数
1、许用应力 1）材料的标准强度：屈服极限、抗拉强度等。 2）材料的极限应力
u
： ②脆性材料：σ bc
σ s ①塑性材料： σ 0.2
3）材料的许用应力：材料安全工作条件下所允许承担的 最大应力，记为 = u / n
变形示意图：
(红色实线为变形前的线，红色虚线为红色实线变形后的形状。) 应力分布示意图：
[例5-2] 已知一圆杆受拉力F =25 k N，直径 d =14mm，许用应力 []=170MPa，试校核此杆是否满足强度要求。
解：① 轴力：FN = F =25kN ②应力： max
FN 4F 4 25103 = = = = 162MP a 2 2 A πd 3.14 0.014
一、概念 轴向拉压的外力特点：外力的合力作用线与杆的轴线重合。 轴向拉压的变形特点：杆的变形主要是轴向伸缩，伴随横向
缩扩。
轴向拉伸：杆的变形是轴向伸长，横向缩短。 轴向压缩：杆的变形是轴向缩短，横向变粗。
力学模型如图
F
轴向拉伸，对应的力称为拉力。
F
F
轴向压缩，对应的力称为压力。
F
二、
工 程 实 例
工程构件，大多数情形下，内力并非均匀分布，集度的定义
不仅准确而且重要，因为“破坏”或“失效”往往从内力集度最 大处开始。
2. 应力的表示：
①平均应力：
P
M
A
ΔF PM = ΔA
②全应力（总应力）：
Δ P dP pM = lim = dA Δ A0 Δ A
③全应力分解为： 垂直于截面的应力称为“正应力” (Normal Stress)；
平面假设：原为平面的横截面在变形后仍为平面。
纵向纤维变形相同。
2. 拉伸应力：
均匀材料、均匀变形，内力当然均匀分布。
F

FN(x)
FN ( x ) = A
轴力引起的正应力 —— ： 在横截面上均布。
3. 危险截面及最大工作应力： 危险截面：内力最大的面，截面尺寸最小的面。 危险点：应力最大的点。
郑：后来，到了唐代初期，贾公彦对我的注释又作了注疏，他说： 郑又云假令弓力胜三石，引之 中三尺者，此即三石力弓也。 必知弓力三石者，当弛其弦以绳缓擐之者，谓不张之，别以
一条 绳系两箭，乃加物一石张一尺、二石张二尺、三石张三 其中 “ 两萧” 就是指弓的两端。 尺。 胡：郑老先生讲“每加物一石，则张一尺”。和我讲的完全是同一 个意思。您比我早1500 中就记录下这种正比关系，的确了不起， 真是令人佩服之至』我在1686 年《关于中国文字和语言的研究 和推测》一文中早就推崇过贵国的古代文化： 目前我们还只 是刚刚走到这个知识领域的边缘，然而一旦对它有了充分的认
F
a´ c´
x + dx
b´ d´
F
L1 4、x点处的纵向线应变：
6、x点处的横向线应变：
d x = lim x 0 x
5、杆的横向变形：
ac = ac
ac = ac - ac
二、拉压杆的胡克定律 1、等内力拉压杆的胡克定律
PL dL A
FN L PL dL = = EA EA
= lim
ΔA0
ΔFN dFN = ΔA dA
p

M

位于截面内的应力称为“剪应力”(Shearing Stress)。
Δ T dT = lim = dA Δ A0 Δ A
二、拉（压）杆横截面上的应力 1. 变形规律试验及平面假设： 变形前 a c F a´ c´ b d F
受载后
b´ d´
根据强度条件可进行强度计算： ①强度校核 (判断构件是否破坏)
②设计截面 (构件截面多大时，才不会破坏)
③求许可载荷 (构件最大承载能力)
35
例 5-3 石桥墩高度 l=30m ，顶面受轴向压力 F=3000kN ，材料许用压应力
[]C=1MPa，弹性模量 E=8GPa ，容重 g=2.5kN/m3，按照等直杆设计截面
l =
FN ( x) = F + gAx
1 gAl 2 l = ( Pl + ) = 2.34mm EA 2
FN ( x) dx l EA
36
例题5-4图示空心圆截面杆，外径D＝20mm，内径d＝15mm ，承受轴向荷载F＝20kN作用，材料的屈服应力σs＝235MPa， 安全因数n=1.5。试校核杆的强度。
②代替：任取一部分，其弃去部分对留下部分的作用，用作用 在截开面上相应的内力（力或力偶）代替。 ③平衡：对留下的部分建立平衡方程，根据其上的已知外力来 计算杆在截开面上的未知内力（此时截开面上的内力 对所留部分而言是外力）。
F
I
II
F
截面法
① 切 取 ② 代 替 ③ 平 衡
F
I
FN
x
SFX=0：+FN-F=0
面积和石料重量，并计算轴向变形。
F=3000kN
解：按等直杆设计桥墩，并计算轴向变形
危险截面：底面(轴力最大)
x g
max
FN ，max F + gAl F = = = + gl C A A A
A F [ ]C - gl = 12m 2
横截面面积为：
桥墩总重为： G1 = V1g = Alg = 9000kN 轴向变形为：
第五章
轴向拉伸和压缩
§5–1 轴向拉伸与压缩的概念
§5–2 轴向拉伸与压缩时横截面上的内力-轴力 §5–3 轴向拉伸与压缩时横截面上的应力 §5-4 轴向拉伸与压缩时的变形
§5-5 材料在拉伸和压缩时的力学性能 §5-6 强度条件 ·安全因数 ·许用应力 §5-7 拉伸、压缩静不定问题简介
§5–1 轴向拉伸与压缩的概念
东汉经学家郑玄(127—200)对《考工记· 弓人》中“量其力， 有三均”作了 这样的注释：“假令弓力胜三石，引之中三尺，弛 其弦，以绳缓擐之，每加物一石，则张一尺。” (图)
“ 胡：请问， 弛其弦，以绳缓援之”
是什么意思 ?
郑：这是讲测量弓力时，先将弓的弦 松开，另外用绳子松松地套住弓 的两端，然后加重物，测量。 胡：我明白了。这样弓体就没有初始应力，处于自然状态。
F
F
2、变内力拉压杆的胡克定律
N（ x） F N ( x)
※“EA”称为杆的抗拉压刚度。
FN ( x)dx EA( x) FN ( x)dx dL = (dx) = L L EA( x) (dx) =
x
dx
内力在n段中分别为常量时
dL =

i =1
n
FN i Li Ei Ai
3、单向应力状态下的胡克定律
38
§5－7 拉伸、压缩静不定问题简介 一、超静定问题及其处理方法
1、超静定问题：单凭静平衡方程不能确定出全部未知力
（外力、内力、应力）的问题。 2、超静定的处理方法：平衡方程、变形协调方程、物理 方程相结合，进行求解。
3、超静定问题的方法步骤：
平衡方程；
几何方程——变形协调方程；
物理方程——弹性定律； 补充方程：由几何方程和物理方程得； 解由平衡方程和补充方程组成的方程组。
强度计算提供依据。
例5-1 作图示杆件的轴力图，并指出| FN |max
I
50kN 150kN
II
100kN
I 50kN I II FN2 100kN II FN2= -100kN FN1 FN1=50kN
I
II
50kN FN
+
100kN
| FN |max=100kN
10
轴力图的特点：突变值 = 集中载荷 轴力(图)的简便求法： 自左向右:
二、低碳钢试件的拉伸图(P-- L图)
FL L = EA
L F = = = L EA E
三、低碳钢试件的应力--应变曲线( -- 图)
(一) 低碳钢拉伸的弹性阶段 (oe段) 1、op -- 比例段:
p -- 比例极限
=

E E = tg
2、pe --曲线段:
e -- 弹性极限
= f ( n )
(二) 低碳钢拉伸的屈服(流动）阶段 (es 段)
e s --屈服段: s ---屈服极限
塑性材料的失效应力:s 。
滑移线：
(三)、低碳钢拉伸的强化阶段 (ｓｂ 段) １、ｂ---强度极限
２、卸载定律：
３、冷作硬化：
４、冷拉时效：
(四)、低碳钢拉伸的颈缩（断裂）阶段 (b f 段)

E = t g ; 割线斜率
六、材料压缩时的机械性能
ｂy ---铸铁压缩强度极限；
ｂy （4 — 6） ｂL
§5-6
强度条件 ·安全因数 ·许用应力
一 、拉（压）杆的强度条件
=
强度条件
u
n
[σ]----许用应力
σu---- 极限应力
n----安全因数
max
FN，max = A
=
(dx ) 1 N ( x ) 1 = = dx E A( x ) E
1 即: = E
4、泊松比（或横向变形系数）
=
三、胡克定律
或 : = -
一般认为它是由英国科学家胡克(1635一1703)首先提出来的，所 以通常叫做胡克定律。其实，在胡克之前1500年，我国早就有了 关于力和变形成正比关系的记载。