高中数学选修4-5绝对值不等式的解法课件人教版.ppt
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新人教A版高中数学(选修4-5)《绝对值不等式》ppt课件
新人教A版高中数学(选修4-5)《绝 对值不等式》ppt课件
从 不 等 式 的 背 景 可到 以,许 看多 不 等 关 系 都 涉 及 到 距 离短 的,面 长积 或 体 积 的 大 小,重 量 的 大 小 ,等 等,它 们 都 要 通 过 非 负 数 来 表 .因示 此,研 究 含 有 绝 对 值 的 不 等 式 具要 有意 重义.
解 设生活区应建碑 于的 公x第 路 k处 m路 ,两个
施工队每天往之 返和 的S为 路 xk程 m,则 Sx2| x10|| x20|.
因 |x 1 为 | |0 x 2 | |x 0 1 | |0 2 x 0 |
|x 1 0 2 0 x | 1,0 当且 x 1 仅 0 2 0 当 x0 时取 . 等号 解 x 不 1 2 0 x 0 等 0 ,得 1 x 式 0 2 . 0
探 究如果把1定 中理 的实 a,b数 分别换为向 量a,b,能 得 出 什 ?么 你能 结解果 释 它 的 何几 意 义?吗
在上面的不等式中 ,用向量 a,b y
分 别 替 换 a, b,当 向 量 a, b不 共 线 时,那么由向 量 加 法的 三角形
ab b
法则,向量 a b,a,b构成三角形 , 因此我们有向量形式的 不等式
为 了 更 好 地 理 1,我 解们 定再 理从 代 数 理 的 角 度 给 出.它 的 证 明 证当 明 a b 0 时 ,a b |a|b ,
|ab| ab2 a22abb2
|a|22|ab ||b|2
|a||b|2
| ab|
当 a b0 时 ,a b|a|b ,
|ab| ab2 a22abb2
a O
x
| a b || a | | b | .
从 不 等 式 的 背 景 可到 以,许 看多 不 等 关 系 都 涉 及 到 距 离短 的,面 长积 或 体 积 的 大 小,重 量 的 大 小 ,等 等,它 们 都 要 通 过 非 负 数 来 表 .因示 此,研 究 含 有 绝 对 值 的 不 等 式 具要 有意 重义.
解 设生活区应建碑 于的 公x第 路 k处 m路 ,两个
施工队每天往之 返和 的S为 路 xk程 m,则 Sx2| x10|| x20|.
因 |x 1 为 | |0 x 2 | |x 0 1 | |0 2 x 0 |
|x 1 0 2 0 x | 1,0 当且 x 1 仅 0 2 0 当 x0 时取 . 等号 解 x 不 1 2 0 x 0 等 0 ,得 1 x 式 0 2 . 0
探 究如果把1定 中理 的实 a,b数 分别换为向 量a,b,能 得 出 什 ?么 你能 结解果 释 它 的 何几 意 义?吗
在上面的不等式中 ,用向量 a,b y
分 别 替 换 a, b,当 向 量 a, b不 共 线 时,那么由向 量 加 法的 三角形
ab b
法则,向量 a b,a,b构成三角形 , 因此我们有向量形式的 不等式
为 了 更 好 地 理 1,我 解们 定再 理从 代 数 理 的 角 度 给 出.它 的 证 明 证当 明 a b 0 时 ,a b |a|b ,
|ab| ab2 a22abb2
|a|22|ab ||b|2
|a||b|2
| ab|
当 a b0 时 ,a b|a|b ,
|ab| ab2 a22abb2
a O
x
| a b || a | | b | .
选修45第一讲绝对值不等式及解法PPT课件
x 2 或 x5 原 不 等 式 的 解 集 为 { x |x 2 或 x 5 } . 变 式 练 习 : 解 不 等 式 |3 x 2 | 1 ． 答 案 :( ,0) (1 , )
2020/11/18
pzyandong
13
例 2 . 解 不 等 式 |x2 5 x| 6 ．
解 : 原 不 等 式 6 x 2 5 x 6
9
形如|x|<a和|x|>a (a>0)的不等式的解集: ①不等式|x|<a的解集为{x|－a<x<a}
－a
0
a
②不等式|x|>a的解集为{x|x<－a或x>a }
－a
0
a
想一想:如果 a≤0,以上不等式的解集是什么？
2020/11/18
pzyandong
10
解含绝对值不等式的四种常用思路。 方法一： 利用绝对值的几何意义观察 方法二： 利用绝对值的定义去掉绝对值符号，需要分类讨论 方法三： 两边同时平方去掉绝对值符号 方法四：利用函数图象观察 这四种思路将有助于我们有效地解决含绝对值不等式的问题。
|a x b | c (c 0 ) a a x x b b 0 c或 a x (a x b b ) 0 c
2020/11/18
pzyandong
12
例 1 . 解 不 等 式 |3 2 x| 7 .
解 : 原 不 等 式 2 x 37
2 x 3 7 或 2 x 3 7
x 2
x
2
5x 5x
6 6
x x2 2 5 5x x 6 6 0 0 x12或 xx63 1x2 或 3x6 ,
原 不 等 式 的 解 集 为 ( 1 ,2 )( 3 ,6 ) . 变 式 练 习 : 解 不 等 式 1 |3 x 4 | 6 ．
2020/11/18
pzyandong
13
例 2 . 解 不 等 式 |x2 5 x| 6 ．
解 : 原 不 等 式 6 x 2 5 x 6
9
形如|x|<a和|x|>a (a>0)的不等式的解集: ①不等式|x|<a的解集为{x|－a<x<a}
－a
0
a
②不等式|x|>a的解集为{x|x<－a或x>a }
－a
0
a
想一想:如果 a≤0,以上不等式的解集是什么？
2020/11/18
pzyandong
10
解含绝对值不等式的四种常用思路。 方法一： 利用绝对值的几何意义观察 方法二： 利用绝对值的定义去掉绝对值符号，需要分类讨论 方法三： 两边同时平方去掉绝对值符号 方法四：利用函数图象观察 这四种思路将有助于我们有效地解决含绝对值不等式的问题。
|a x b | c (c 0 ) a a x x b b 0 c或 a x (a x b b ) 0 c
2020/11/18
pzyandong
12
例 1 . 解 不 等 式 |3 2 x| 7 .
解 : 原 不 等 式 2 x 37
2 x 3 7 或 2 x 3 7
x 2
x
2
5x 5x
6 6
x x2 2 5 5x x 6 6 0 0 x12或 xx63 1x2 或 3x6 ,
原 不 等 式 的 解 集 为 ( 1 ,2 )( 3 ,6 ) . 变 式 练 习 : 解 不 等 式 1 |3 x 4 | 6 ．
人教A版选修4-5 第1讲 2 第2课时 绝对值不等式的解法 课件(18张)
第一讲 不等式和绝对值不等式
二 绝对值不等式 第5课时 绝对值不等式的解法
基础知识梳理 题点知识巩固 提能达标过关
基础知识梳理
1．简单绝对值不等式的解法
(1)|x|<a⇔无__－解__a，_<_xa_<≤_a_0_.，a>0，
__x_<_－__a_或__x_>_a____，a>0， (2)|x|>a⇔x≠0，a＝0，
x∈R，a<0.
2．|ax＋b|≤c(c≥0)，|ax＋b|≥c(c>0)型不等式的解法
(1)|ax＋b|≤c(c>0)⇔__－__c_≤_a_x_＋__b_≤_c____. (2)|ax＋b|≥c(c>0)⇔___a_x_＋__b_≤_－__c_或__a_x_＋__b_≥_c_____.
3．|x－a|＋|x－b|≥c 或|x－a|＋|x－b|≤c 型不等式的解法
求解这类不等式，主要方法有如下三种： (1)利用绝对值的几何意义，借助数轴求解； (2)令绝对值符号内的式子为零，找出零点，这些零点把数 轴分成几个区间，分区间去掉绝对值，转化为多组不等式组求 解，最后取这些解集的并集为原不等式的解集； (3)构造函数利用函数的图象求解． 求解这类不等式时，可根据不等式的特点而适当选用不同 的方法求解．
题点知识巩固
知识点一 简单绝对值不等式的解法
1．已知函数 f(x)＝e|x|＋cos x，若 f(2x－1)≥f(x)，则 x 的取
值范围为( )
A.－∞，13∪[1，＋∞)
B.13，1
C.－∞，12
D.12，＋∞
解析：由 f(x)＝e|x|＋cos x，知 f(x)为 R 上的偶函数，且当 x≥0 时，f′(x)＝ex－sin x≥1－sin x≥0，f(x)为增函数，故 f(2x－1)≥f(x) 等价于不等式|2x－1|≥|x|，解得 x 的取值范围为－∞，13∪[1， ＋∞)，故选 A.
二 绝对值不等式 第5课时 绝对值不等式的解法
基础知识梳理 题点知识巩固 提能达标过关
基础知识梳理
1．简单绝对值不等式的解法
(1)|x|<a⇔无__－解__a，_<_xa_<≤_a_0_.，a>0，
__x_<_－__a_或__x_>_a____，a>0， (2)|x|>a⇔x≠0，a＝0，
x∈R，a<0.
2．|ax＋b|≤c(c≥0)，|ax＋b|≥c(c>0)型不等式的解法
(1)|ax＋b|≤c(c>0)⇔__－__c_≤_a_x_＋__b_≤_c____. (2)|ax＋b|≥c(c>0)⇔___a_x_＋__b_≤_－__c_或__a_x_＋__b_≥_c_____.
3．|x－a|＋|x－b|≥c 或|x－a|＋|x－b|≤c 型不等式的解法
求解这类不等式，主要方法有如下三种： (1)利用绝对值的几何意义，借助数轴求解； (2)令绝对值符号内的式子为零，找出零点，这些零点把数 轴分成几个区间，分区间去掉绝对值，转化为多组不等式组求 解，最后取这些解集的并集为原不等式的解集； (3)构造函数利用函数的图象求解． 求解这类不等式时，可根据不等式的特点而适当选用不同 的方法求解．
题点知识巩固
知识点一 简单绝对值不等式的解法
1．已知函数 f(x)＝e|x|＋cos x，若 f(2x－1)≥f(x)，则 x 的取
值范围为( )
A.－∞，13∪[1，＋∞)
B.13，1
C.－∞，12
D.12，＋∞
解析：由 f(x)＝e|x|＋cos x，知 f(x)为 R 上的偶函数，且当 x≥0 时，f′(x)＝ex－sin x≥1－sin x≥0，f(x)为增函数，故 f(2x－1)≥f(x) 等价于不等式|2x－1|≥|x|，解得 x 的取值范围为－∞，13∪[1， ＋∞)，故选 A.
人教A版选修4-5 第一章 二 2.绝对值不等式的解法 课件(40张)
(3)原不等式⇔x－≤x－－21－x－2>3＋x 或－－2x<－x1<＋－x1＋2>3＋x或xx≥＋－1＋1x＋2>3＋x⇔ xx≤<－－22或－x<2－<x2<－1或xx≥>0－1⇔x<－2 或 x>0. 所以原不等式的解集为(－∞，－2)∪(0，＋∞)．
栏目 导引
第一讲 不等式和绝对值不等式
(1)本例第(1)小题的解法是平方法，此解法适用于解|f(x)|>|g(x)| 或|f(x)|<|g(x)|型不等式，此外该题还可以用零点分段法和图象 法求解． (2)本例第(2)(3)小题的解法都是零点分段讨论法，此解法适用 于解含两个及两个以上绝对值号的不等式，此外该题也可以用 函数图象法求解．
_x_＞__a__或__x_＜__－__a_____（a＞0）. 2．|ax＋b|≤c(c＞0)和|ax＋b|≥c(c＞0)型不等式的解法 (1)|ax＋b|≤c⇔___－__c_≤__a_x_＋__b_≤__c_____． (2)|ax＋b|≥c⇔__a_x_＋__b_≥__c__或__a_x_＋__b_≤__－__c________．
2．不等式|2x|－x＋13|－| 2＞0 的解集为(
)
A．x|x＞32或x＜－12
栏目 导引
第一讲 不等式和绝对值不等式
2．解不等式|2x－1|＜|x|＋1. 解：当 x＜0 时，原不等式可化为－2x＋1＜－x＋1，解得 x＞0， 又因为 x＜0，所以这样的 x 不存在． 当 0≤x＜12时，原不等式可化为－2x＋1＜x＋1，解得 x＞0， 又因为 0≤x＜12，所以 0＜x＜12. 当 x≥12时，原不等式可化为 2x－1＜x＋1，解得 x＜2，又因为 x≥12，所以12≤x＜2. 综上所述，原不等式的解集为{x|0＜x＜2}．
栏目 导引
第一讲 不等式和绝对值不等式
(1)本例第(1)小题的解法是平方法，此解法适用于解|f(x)|>|g(x)| 或|f(x)|<|g(x)|型不等式，此外该题还可以用零点分段法和图象 法求解． (2)本例第(2)(3)小题的解法都是零点分段讨论法，此解法适用 于解含两个及两个以上绝对值号的不等式，此外该题也可以用 函数图象法求解．
_x_＞__a__或__x_＜__－__a_____（a＞0）. 2．|ax＋b|≤c(c＞0)和|ax＋b|≥c(c＞0)型不等式的解法 (1)|ax＋b|≤c⇔___－__c_≤__a_x_＋__b_≤__c_____． (2)|ax＋b|≥c⇔__a_x_＋__b_≥__c__或__a_x_＋__b_≤__－__c________．
2．不等式|2x|－x＋13|－| 2＞0 的解集为(
)
A．x|x＞32或x＜－12
栏目 导引
第一讲 不等式和绝对值不等式
2．解不等式|2x－1|＜|x|＋1. 解：当 x＜0 时，原不等式可化为－2x＋1＜－x＋1，解得 x＞0， 又因为 x＜0，所以这样的 x 不存在． 当 0≤x＜12时，原不等式可化为－2x＋1＜x＋1，解得 x＞0， 又因为 0≤x＜12，所以 0＜x＜12. 当 x≥12时，原不等式可化为 2x－1＜x＋1，解得 x＜2，又因为 x≥12，所以12≤x＜2. 综上所述，原不等式的解集为{x|0＜x＜2}．
1新人教A版高中数学(选修4-5)《不等式》ppt课件]
![1新人教A版高中数学(选修4-5)《不等式》ppt课件]](https://img.taocdn.com/s3/m/a9281a5677232f60ddcca14c.png)
1 d 1 c cd cd 0,因此 1 d 1 c 0.
由a 0及性质4 , 得
a d
a c
0.
由a b 0,
1 c
0及性质4 , 得
a d b c
a d b c .
a c
b c
0.
由性质2 , 得
0.
根据性质6, 有
从上述基本事实可知要比 , 较两个实数的大小 可以转 , 化为比较它们的差与的大 0 小.这是研究不等关系的一 个出发点 .
例1
比较 x 3 x 7 和 x 4 x 6
的大小 .
分析 通过考察它们的差与 的大小关系 0 , 得出这两个多项式的大 小关系.
解
因为 x 3 x 7 x 4 x 6
:
这个基本事实可以表示 ab ab 0; a b ab 0; a b a b 0.
上面的符号 相推出 .
为
" " 表示 " 等价于 " , 即可以互
0是正数 与负数 的 分界 点 , 它为 实数 比 较大小 提 供了 " 标杆".
思考
从上述基本事实出发 比较
,
你认为可以用什么方法 两个实数的大小 ?
2 2
x 10 x 21 x 10 x 24 3 0
所以 x 3 x 7 x 4 x 6 .
探究
我们知道 , 等式有 " 等式两边同 " "等
加 或减 一个 数 , 等式仍然成立 式两边 同乘
或除于 一个数
6 如果 a b 0, 那么n
由a 0及性质4 , 得
a d
a c
0.
由a b 0,
1 c
0及性质4 , 得
a d b c
a d b c .
a c
b c
0.
由性质2 , 得
0.
根据性质6, 有
从上述基本事实可知要比 , 较两个实数的大小 可以转 , 化为比较它们的差与的大 0 小.这是研究不等关系的一 个出发点 .
例1
比较 x 3 x 7 和 x 4 x 6
的大小 .
分析 通过考察它们的差与 的大小关系 0 , 得出这两个多项式的大 小关系.
解
因为 x 3 x 7 x 4 x 6
:
这个基本事实可以表示 ab ab 0; a b ab 0; a b a b 0.
上面的符号 相推出 .
为
" " 表示 " 等价于 " , 即可以互
0是正数 与负数 的 分界 点 , 它为 实数 比 较大小 提 供了 " 标杆".
思考
从上述基本事实出发 比较
,
你认为可以用什么方法 两个实数的大小 ?
2 2
x 10 x 21 x 10 x 24 3 0
所以 x 3 x 7 x 4 x 6 .
探究
我们知道 , 等式有 " 等式两边同 " "等
加 或减 一个 数 , 等式仍然成立 式两边 同乘
或除于 一个数
6 如果 a b 0, 那么n
人教版高中数学选修4-5-1-绝对值不等式ppt课件
备考知考情 1.以选择题的形式考查绝对值不等式， 同时与不等式的性质相 结合． 2.以考查绝对值不等式的解法为主，兼顾考查集合的交、并、 补运算.
J 基础回扣· 自主学习
理教材 夯基础 厚积薄发
知 知识点一
识
梳
理
绝对值三角不等式
定理 1：如果 a，b 是实数，那么 |a＋b |≤ |a |＋ |b |，当且仅当
答案
C
【规律方法】
两数和与差的绝对值不等式的性质
|a |－ |b |≤ |a± b |≤ |a |＋ |b | (1) 对绝对值三角不等式定理 |a |－ |b |≤ |a± b |≤ |a |＋ |b |中等号成 立的条件要深刻理解，特别是用此定理求函数的最值时． (2)该定理可强化为 ||a |－ |b ||≤ |a± b |≤ |a |＋ |b |，它经常用于证明 含绝对值的不等式．
对 知识点一
点
自
测
绝对值三角不等式
1.设 ab>0，下面四个不等式中，正确命题的序号是________． ①|a＋b |>|a |；② |a＋b |<|b |；③ |a＋b |<|a－b |；④ |a ＋b|>|a |－ |b |.
解析 确． ∵ab>0，∴a，b 同号，∴|a＋b |＝ |a |＋ |b |，∴①和④正
{x|0<x<2}
4．不等式|2 x＋1|－2|x－1|>0 的解集为________ ．
解析
原不等式化为 |2x＋1|>2|x－1|.
两边平方得：4x2＋4x＋1>4(x2－2x＋1) 1 即 12x>3，即 x> 4.
答案 1 {x|x> 4}
第一讲《不等式和绝对值不等式》课件(人教A选修4-5)
课本例5
例3
若Ｘ＞－１，则ｘ为何值时，
x 1 x 1
有最小值，并求出最小值？
解：∵ x 1 ∴ x 1 0
1 0 x 1
∴
x
1 x 1
=
x 1
1 1 x 1
2
(x 1) 1 1 2 1 1 x 1
当且仅当
x 1 1 即 x 1
x
0
时
x
1 x 1
有最小值1
例 4．⑴已知 0 x 3 ,求函数 y 2
新课讲解： 基本不等式
定理1（重要不等式） 如果a, b∈R, 那么 a2+b2≥2ab.
当且仅当a=b时等号成立。
证明：因为a2 b2 2ab (a b)2 0, 当且仅当a b时,等号成立， 所以，a2 b2 2ab,当且仅当a b时， 等号成立.
探究： 你能从几何的角度解释定理1吗？
S矩形BCGH+S矩形JCDI=2ab，其值等于图中有阴影部分的 面积，它不大于正方形ABCD与正方形CEFG的面积和。 即a2+b2≥2ab.当且仅当a=b时，两个矩形成为正方形， 此时有 a2+b2=2ab。
定称理为2a（,b基的本不等式） 如果a，称b为>a0，，b那的么
算术平均 a b ab
当a b c时，等号成立。
即：三个正数的算术平均不小于它们的几何平均。
思考：以上定理如何证明呢？
把基本不等式推广到一般情形：对于n个正数a1, a2, , an ,它们的算术平均不小于它们的几何平均， 即：
a1 a2 n
当且仅当a1 a2
an n a1a2 an , an时，等号成立。
∴函数 y x(3 2x) 的最 大值 为 3 2 ,当且 仅当 x 3 取
人教版高中数学选修4-5-不等式选讲(绝对值不等式)ppt课件
x 3、 解不等式|x＋3|－|2x－1|＜ ＋1. 2
x 解 ①当 x＜－3 时，原不等式化为－(x＋3)－(1－2x)＜ ＋1，解得 x＜10， 2 ∴x＜－3. 1 x 2 ②当－3≤x＜ 时，原不等式化为(x＋3)－(1－2x)＜ ＋1，解得 x＜－ ， 2 2 5 2 ∴－3≤x＜－ . 5 1 x ③当 x≥ 时，原不等式化为(x＋3)－(2x－1)＜ ＋1，解得 x＞2，∴x＞2. 2 2 2 综上可知，原不等式的解集为xx＜－5，或x＞2 .
第三节
绝对值不等式
[最新考纲] 1．理解绝对值的几何意义；理解绝对值三角不等式的代数 证明和几何意义，并了解其等号成立的条件；能利用绝对 值三角不等式证明一些简单的绝对值不等式． 2．掌握|ax＋b|≤c，|ax＋b|≥c，|x－a|＋|x－b|≤c型不等式 的解法．
1．绝对值三角不等式 (1)定理1：如果a，b是实数，则|a＋b| ≤ |a|＋|b| ，当且仅当 时，等号成立； ab≥0 (2)定理2：如果a，b，c是实数，则|a－c|≤ ， |a－b|＋|b－c| 当且仅当 时，等号成立． (a－ b)(b－c)≥0 (3)性质： ________≤| a±b|≤________；
∴原不等式的解集为(－∞，－3]∪[2，＋∞)．
法三：(数形结合法)将原不等式转化为|x－1|＋|x＋2|－5≥0.
－2x－6，x≤－2， 令 f(x)＝|x－1|＋|x＋2|－5，则 f(x)＝－2，－2＜x＜1， 2x－4，x≥1.
作出函数的图像，如图所示．
由图像可知，当 x∈(－∞，－3]∪[2，＋∞)时，y≥0， ∴原不等式的解集为(－∞，－3]∪[2，＋∞)．
|a|－|b| |a|＋|b|
1.2.2_绝对值不等式的解法_课件(人教A选修4-5)
分区间讨论的方法具有普遍性，但较麻烦；几何法和
图像法直观，但只适用于数据较简单的情况．
2．解不等式|x－2|－|x＋7|≤3.
解：令x＋7＝0，x－2＝0得x＝－7，x＝2. ①当x<－7时， 不等式变为－x＋2＋x＋7≤3， ∴9≤3.∴ 解集为空集．
②当－7≤x≤2时，
不等式变为－x＋2－x－7≤3，
(1)若不等式有解，则m∈(－∞，1)．
(2)若不等式解集为R，则m∈(－∞，－1)． (3)若不等式解集为∅，则m∈[1，＋∞)．
4．把本例中的“>”改成“<”，即|x＋2|－|x＋3|<m时，分别
求出m的范围． 解：由例题知－1≤|x＋2|－|x＋3|≤1，所以 (1)若不等式有解，m只要比|x＋2|－|x＋3|的最小值大即 可，即m∈(－1，＋∞)；
法二：设数x、3、4在数轴上对应的点分别 为P、A、B，由绝对值的几何意义，知|PA| ＋|PB|<a成立．又∵AB＝1， ∴数轴上的点到A、B的距离之和大于等于1，
即|x－4|＋|x－3|≥1.
∴当a>1时，不等式有解．
【名师点评】 解关于恒成立问题时注 意等价转化思想的应用． f(x)<a恒成立⇔f(x)max<a. f(x)>a恒成立⇔f(x)min>a.
2
∴|x－x2－2|＝|x2－x＋2|＝x2－x＋2.故原不等式等价于 x2－x ＋2>x2－3x－4⇔x>－3. ∴原不等式的解集为{x|x>－3}．
(3)不等式可转化为x2－3x－4>x＋1或x2－3x－4<－x－1， ∴x2－4x－5>0或x2－2x－3<0. 解得x>5或x<－1或－1<x<3， ∴不等式的解集是(5，＋∞)∪(－∞，－1)∪(－1,3)．
人教A版高中数学选修4-5第一讲二绝对值不等式上课课件
证明
3x 2 y 3a 3b 3 x a 2 y b
2 xa 3 yb
3 2 5
所以：3x 2 y 3a 2b 5 .
例2
两个施工队分别被安排在公路沿线的两 个地点施工，这两个地点分别位于公路路碑 的第10km和第20km处。现要在公路沿线建两 个施工队的共同临时生活区，每个施工队每 天在生活区和施工区地点之间往返一次。要 使两个施工队每天往返的路程之和最小，生 活区应该建在何处？
分析
本题是绝对值不等式的应用，第一把 实际问题划归为数学问题，即归结为求解 形如y x a x b 的函数的极值问题， 这类问题借助于绝对值三角不等式解答。
解：设生活区建于公路路碑的第xkm处，两个施 工队每天往返的路程之和为S(x)km,
则S x 2 x 10 x 20 .
因 ：x 10 x 20 x 10 20 x 10, 且 x 1020 x 0 取等 。
因此：a b a b .
其几何意义是三角形的两边之和大于 第三边（如下图）。
x
a+b b
由此可称 定理1为绝 对值三角
不等式
a
y
0
(2)当向量a,b共线时，分以下两种情况： 如果向量a,b方向相同时，a b a b ; 如果向量a,b方向相反时，a b a b .
一般地，我们有 a b a b .
.. . . x . . .. x
0 a b a+b
a+b b a 0
图1
(2)当ab<0时，又可以分a>0,b<0和a<0,b>0两 中情况.
如果a>0,b>0时，如图2-1，a b a b .
.. b a+b
3x 2 y 3a 3b 3 x a 2 y b
2 xa 3 yb
3 2 5
所以：3x 2 y 3a 2b 5 .
例2
两个施工队分别被安排在公路沿线的两 个地点施工，这两个地点分别位于公路路碑 的第10km和第20km处。现要在公路沿线建两 个施工队的共同临时生活区，每个施工队每 天在生活区和施工区地点之间往返一次。要 使两个施工队每天往返的路程之和最小，生 活区应该建在何处？
分析
本题是绝对值不等式的应用，第一把 实际问题划归为数学问题，即归结为求解 形如y x a x b 的函数的极值问题， 这类问题借助于绝对值三角不等式解答。
解：设生活区建于公路路碑的第xkm处，两个施 工队每天往返的路程之和为S(x)km,
则S x 2 x 10 x 20 .
因 ：x 10 x 20 x 10 20 x 10, 且 x 1020 x 0 取等 。
因此：a b a b .
其几何意义是三角形的两边之和大于 第三边（如下图）。
x
a+b b
由此可称 定理1为绝 对值三角
不等式
a
y
0
(2)当向量a,b共线时，分以下两种情况： 如果向量a,b方向相同时，a b a b ; 如果向量a,b方向相反时，a b a b .
一般地，我们有 a b a b .
.. . . x . . .. x
0 a b a+b
a+b b a 0
图1
(2)当ab<0时，又可以分a>0,b<0和a<0,b>0两 中情况.
如果a>0,b>0时，如图2-1，a b a b .
.. b a+b
1.2.2.绝对值不等式的解法 课件(人教A选修4-5)
1 可知，当且仅当 a≥ 或 a<－2 时，函数 2 y＝f(x)与函数 y＝ax 的图象有交点． 故不等式 f(x)≤ax 的解集非空时，a 的取 1 值范围为(－∞，－2)∪[ ，＋∞)． 2
本课时在高考中基本上以考查含绝对值不等式的解 法为主，2012年新课标全国卷将绝对值不等式的解法与恒 成立问题结合在一起进行考查，很好的考查了学生分析问 题、解决问题的能力．
[考题印证] (2012· 新课标高考)已知函数f(x)＝|x＋a|＋|x－2|. (1)当a＝－3时，求不等式f(x)≥3的解集；
(2)若f(x)≤|x－4|的解集包含[1,2]，求a的取值范围．
[命题立意]
[解]
本题主要考查含绝对值不等式的解法，
利用绝对值三角不等式求最值的方法．
(1)当 a＝－3 时，
[例3]
[研一题] 设函数f(x)＝|x－1|＋|x－a|.
如果∀x∈R，f(x)≥2，求a的取值范围．
[精讲详析]
本题考查绝对值不等式的解法．解答本题
应先对a进行分类讨论，求出函数f(x)的最小值，然后求a的 取值范围． 若a＝1，f(x)＝2|x－1|，不满足题设条件．
x≤a， －2x＋a＋1 a＜x＜1， 若a＜1，f(x)＝ 1－a， 2x－a＋1， x≥1， 值为1－a. －2x＋a＋1， x≤1， 1＜x＜a， 若a＞1，f(x)＝a－1， 2x－a＋1， x≥a， f(x)的最小值为a－1.
3．|x－a|＋|x－b|≥c和|x－a|＋|x－b|≤c型不等 式的解法 (1)利用绝对值不等式的几何意义求解． (2)以绝对值的零点为分界点，将数轴分为几个区间， 利用“零点分段法”求解，体现分类讨论的思想．确定各个绝对 值符号内多项式的正、负性进而去掉绝对值符号是解题关键．
4-5.2.2绝对值不等式的解法_课件(人教A版选修4-5)
• 5．不等式|x－1|－|x＋4|＞1的解是_________. • 6．不等式x2－2|x|－15＞0的解集为________ .
• 7．若关于x的不等式|x＋2|＋|x－1|＜a的解集为空集，
•
则a的取值范围为 ( ) (A)(3,＋∞) (B)[3,＋∞) ∞,3) 围是 (A) m＞2 (C)(－∞,3] (D)(－
行讨论，如本例需对a+1的符号进行讨论，否则易导致错误结
果.
变式1 解不等式
|x－a|＞a．
例2 解不等式 | 5x-6 | < 6 – x
(Ⅰ)当5x-6≥0,即x≥6/5时，不等式化为 5x-6<6-x，解得x<2, 所以6/5≤x＜2 (Ⅱ)当5x-6<0,即x<6/5时，不等式化为 -(5x-6)<6-x，解得x>0 所以0<x<6/5 取(Ⅰ)、 (Ⅱ) 并集得原不等式解集为(0, 2)
5.2.1 含有绝对值的 不等式的解法
复习：
1.绝对值的定义: |x|= 2.几何意义:
x2
B O
x 0 -x
x>0 x=0 x<0
一个数的绝对值表示数轴上这个数对 应的点到原点的距离.
x1
A x
|x1| =OA |x2| =OB
|x2-x1| =AB
两个数的差的绝对值表示数轴上这两个 个数对应的两点间距离.
变式1.不等式|x－1|＞|x－2|的解集为 ______.
变式2
x－ 1＞ ( 2－x ) 2 ,
求它的解集.
【解析】
x－ 1 ＞( 2－x) (x－ 1) ＞ 2－x 3 x 2－2x 1＞x 2－4x 4 2x＞3 x＞ , 2 又2－x≥0，所以x≤2.
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5 5 {x| x } 2 2 5 5 {x| x 或 x } 2 2
（3）|2x|>5
（4）|x-1|<5
{ x | 4 x 6 }
（5）|2x-1|<5
（6）|2x2-x|<1 （7）|2x-1|<1
{ x | 2 x 3 }
1 {x | x 1} 2
-1 0 1
所以，不等式|x|<1的解集为{x|-1<x<1}
探索：不等式|x|<1的解集。 方法二： 利用绝对值的定义去掉绝对值符号， 需要分类讨论 ①当x≥0时，原不等式可化为x＜1
∴ 0≤x＜1
②当x＜0时，原不等式可化为－x＜1，即x＞－1
∴ －1＜x＜0
综合①②得，原不等式的解集为{x|－1<x<1}
x
2 1 (2) | x | 3 3 ( 4 ) |3 2 x | 7
( 6 )| x 3 x 3;1| | >1
三、本节小结
本节课我们通过求不等式|x|<1的解集，得 到了解含绝对值不等式的四种常用思路。 方法一： 利用绝对值的几何意义观察 方法二： 利用绝对值的定义去掉绝对值符号， 需要分类讨论 方法三： 两边同时平方去掉绝对值符号 方法四： 利用函数图象观察 这四种思路将有助于我们有效地解决含绝 对值不等式的问题。
－1 o 1
小结：不等式|x|<a和|x|>a (a>0)的解集。
① 不等式|x|<a的解集为{x|-a<x<a} -a 0
a
② 不等式|x|>a的解集为{x|x<-a或x>a }
-a
0
a
基础练习： 解下列不等式： （1）|x|>5 （2）2|x|<5
{ x |x 5 或 x 5 }
授课人：陈晓琳
一、知识联系
1、绝对值的定义 x ,x>0 |x|= 0 ,x=0 －x ,x<0 2、绝对值的几何意义 |x| x 0 x |x－x1|
x1
3、函数y＝|x|的图象
x ,x>0 y=|x|= 0 ,x=0 －x ,x<0 y
1
－1
o 1
x
1
二、探索解法
探索：不等式|x|<1的解集。
方法一： 利用绝对值的几何意义观察 方法二： 利用绝对值的定义去掉绝对值符号， 需要分类讨论 方法三： 两边同时平方去掉绝对值符号 方法四： 利用函数图象观察
2 3 4
这是解含绝对值不等式的四种常用思路
探索：不等式|x|<1的解集。 方法一： 利用绝对值的几何意义观察
不等式|x|<1的解集表示到原点的距离小于1 的点的集合。
探索：不等式|x|<1的解集。 方法三： 两边同时平方去掉绝对值符号 对原不等式两边平方得x2<1
即 x2－1<0
即 (x+1)(x－1)<0
即－1<x<1
所以，不等式|x|<1的解集为{x|-1<x<1}
探索：不等式|x|<1的解集。 方法四： 利用函数图象观察 从函数观点看，不等式|x|<1的解集表示函数 y=|x|的图象位于函数y=1的图象下方的部分对 y 应的x的取值范围。 所以，不等式|x|<1的 解集为{x|-1<x<1} 1 y=1 x
{x| x1 }
（4）|x-1|<5 －4 1 6
1 5 | x | （5）|2x-1|<5 2 2
－2
1 2
3
巩固练习：
解下列不等式：
1 1 (1) | x | 4 2 ( 3 ) |5 x 4 | 6
( 5 ) 1 |3 x 4 | 6
( 7 )|3 2 | 1
（3）|2x|>5
（4）|x-1|<5
{ x | 4 x 6 }
（5）|2x-1|<5
（6）|2x2-x|<1 （7）|2x-1|<1
{ x | 2 x 3 }
1 {x | x 1} 2
-1 0 1
所以，不等式|x|<1的解集为{x|-1<x<1}
探索：不等式|x|<1的解集。 方法二： 利用绝对值的定义去掉绝对值符号， 需要分类讨论 ①当x≥0时，原不等式可化为x＜1
∴ 0≤x＜1
②当x＜0时，原不等式可化为－x＜1，即x＞－1
∴ －1＜x＜0
综合①②得，原不等式的解集为{x|－1<x<1}
x
2 1 (2) | x | 3 3 ( 4 ) |3 2 x | 7
( 6 )| x 3 x 3;1| | >1
三、本节小结
本节课我们通过求不等式|x|<1的解集，得 到了解含绝对值不等式的四种常用思路。 方法一： 利用绝对值的几何意义观察 方法二： 利用绝对值的定义去掉绝对值符号， 需要分类讨论 方法三： 两边同时平方去掉绝对值符号 方法四： 利用函数图象观察 这四种思路将有助于我们有效地解决含绝 对值不等式的问题。
－1 o 1
小结：不等式|x|<a和|x|>a (a>0)的解集。
① 不等式|x|<a的解集为{x|-a<x<a} -a 0
a
② 不等式|x|>a的解集为{x|x<-a或x>a }
-a
0
a
基础练习： 解下列不等式： （1）|x|>5 （2）2|x|<5
{ x |x 5 或 x 5 }
授课人：陈晓琳
一、知识联系
1、绝对值的定义 x ,x>0 |x|= 0 ,x=0 －x ,x<0 2、绝对值的几何意义 |x| x 0 x |x－x1|
x1
3、函数y＝|x|的图象
x ,x>0 y=|x|= 0 ,x=0 －x ,x<0 y
1
－1
o 1
x
1
二、探索解法
探索：不等式|x|<1的解集。
方法一： 利用绝对值的几何意义观察 方法二： 利用绝对值的定义去掉绝对值符号， 需要分类讨论 方法三： 两边同时平方去掉绝对值符号 方法四： 利用函数图象观察
2 3 4
这是解含绝对值不等式的四种常用思路
探索：不等式|x|<1的解集。 方法一： 利用绝对值的几何意义观察
不等式|x|<1的解集表示到原点的距离小于1 的点的集合。
探索：不等式|x|<1的解集。 方法三： 两边同时平方去掉绝对值符号 对原不等式两边平方得x2<1
即 x2－1<0
即 (x+1)(x－1)<0
即－1<x<1
所以，不等式|x|<1的解集为{x|-1<x<1}
探索：不等式|x|<1的解集。 方法四： 利用函数图象观察 从函数观点看，不等式|x|<1的解集表示函数 y=|x|的图象位于函数y=1的图象下方的部分对 y 应的x的取值范围。 所以，不等式|x|<1的 解集为{x|-1<x<1} 1 y=1 x
{x| x1 }
（4）|x-1|<5 －4 1 6
1 5 | x | （5）|2x-1|<5 2 2
－2
1 2
3
巩固练习：
解下列不等式：
1 1 (1) | x | 4 2 ( 3 ) |5 x 4 | 6
( 5 ) 1 |3 x 4 | 6
( 7 )|3 2 | 1