高中数学苏教版选择性必修第二册8.2.4第2课时超几何分布的综合问题
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1234
解析 对于 A，答对 0 道题的概率为 P0＝CC31350＝112，答对 3 道题的概率 为 P3＝CC31350＝112，故 A 错误； 对于 B，答对 1 道题的概率为 P1＝CC15C31025＝152，故 B 错误； 对于 C，答对 2 道题的概率为 P2＝CC25C31015＝152，故 C 正确； 对于 D，合格的概率为 P＝CC25C31015＋CC31350＝12，故 D 正确.
(3)从该流水线上任取2件产品，设Y为质量 超过505克的产品数量，求Y的概率散布.
解 根据样本估计总体的思想，取一件产品，该产品的质量超过 505 克的
概率为1420＝130. 从流水线上任取 2 件产品互不影响，该问题可看成 2 重伯努利试验，质量 超过 505 克的件数 Y 的可能取值为 0,1,2，且 Y～B2，130， P(Y＝k)＝Ck2×130k×1－1302－k，k＝0,1,2， ∴P(Y＝0)＝C02×1702＝14090， P(Y＝1)＝C12×130×170＝5201，
1234
2.(多选)某人参加一次测试，在备选的10道题中，他能答对其中的5道. 现从备选的10道题中随机抽出3道题进行测试，规定至少答对2道题才 算合格，则下列说法正确的是 A.答对 0 道题和答对 3 道题的概率相同，都为18 B.答对 1 道题的概率为38
√C.答对 2 道题的概率为152 √D.合格的概率为12
P(Y＝2)＝C22×1302＝1900.
∴Y的概率散布为
Y
0
1
2
P
49 100
21 50
9 100
反思感悟 不放回抽样服从超几何散布，放回抽样服从二项散布，求 均值可利用公式代入计算.
跟踪训练2 在10件产品中有2件次品，连续抽3次，每次抽1件，求： (1)不放回抽样时，抽取次品数X的均值；
现调查了该市5个小区12月份的生活垃圾投放情况，其中可回收物中废 纸和塑料品的投放量如表所示：
废纸投放量(吨) 塑料品投放量(吨)
A小区 5 3.5
B小区 5.1 3.6
C小区 5.2 3.7
D小区 4.8 3.4
E小区 4.9 3.3
(1)从A，B，C，D，E这5个小区中任取1个小区，求该小区12月份的可 回收物中，废纸投放量超过5吨且塑料品投放量超过3.5吨的概率；
量为28件，X的可能取值为0,1,2，X服从超几何散布.
P(X＝0)＝CC222480＝16330， P(X＝1)＝CC112C240128＝6258， P(X＝2)＝CC212420＝11310， ∴X的概率散布为
X0 1
2
P
63 130
28 65
11 130
∴X的均值为
方法一 E(X)＝0×16330＋1×6258＋2×11310＝35. 方法二 E(X)＝2×4012＝35.
所以随机变量
X
的均值为
E(X)
＝
0×
1 6
＋
1×
1 2
＋
2×
3 10
＋
3×
1 30
＝
1.2或EX＝3× 104＝1.2.
反思感悟 求超几何散布均值的步骤 (1)验证随机变量服从超几何散布，并确定参数N，M，n的值. (2)根据超几何散布的概率计算公式计算出随机变量取每一个值时的概率. (3)利用均值公式求解.
跟踪训练1 某学校实行自主招生，参加自主招生的学生从8道试题中
随机挑选4道进行作答，至少答对3道才能通过初试.记在这8道试题中甲
能答对6道，甲答对试题的个数为X，则甲通过自主招生初试的概率为 11
__1_4__，E(X)＝__3___.
解析 依题意，知甲能通过自主招生初试的概率为 P(X＝3)＋P(X＝4)＝CC12C48 36＋CC4846 ＝47＋134＝1114. 由于 X 的可能取值为 2,3,4，P(X＝2)＝CC22C48 26＝134， 故 E(X)＝2×134＋3×47＋4×134＝3.
实际上，由随机变量均值的定义，令m＝max(0，n－N＋M)，r＝min(n， M)，有
E(X)＝k＝rmkCkMCCnNNn－－kM＝Mk＝rmCkM－－1C1CnNnN－－kM，
r
因为 CkM－－11CNn－－kM＝CnN－－11，
k＝m
所以 E(X)＝CMnNk＝rmCkM－－11CnN－－kM＝MCCnNnN－－11＝nNM＝np.
例1 某大学志愿者协会有6名男同学，4名女同学.在这10名同学中，3 名同学来自数学学院，其余7名同学来自物理、化学等其他互不相同的 七个学院.现从这10名同学中随机选取3名同学，到希望小学进行支教活 动(每位同学被选到的可能性相同). (1)求选出的3名同学是来自互不相同学院的概率；
解 设“选出的 3 名同学是来自互不相同的学院”为事件 A，则 P(A) ＝C13C27C＋310C03C37＝4690. 所以选出的 3 名同学是来自服从超几何散布的随机变量的均值是什么？
提示 设随机变量 X 服从超几何分布，则 X 可以解释为从包含 M 件次品 的 N 件产品中，不放回地随机抽取 n 件产品中的次品数.令 p＝MN，则 p 是 N 件产品的次品率，而Xn是抽取的 n 件产品的次品率，我们猜想 EXn＝ p，即 E(X)＝np.
第8章 8.2.4 超几何散布
学习目标
1.掌握超几何散布的均值的计算. 2.了解二项散布同超几何散布的区分与联系.
导语
上节课学习了超几何散布模型，这节课我们重点研究超几何散布模型 的应用.
内容索引
一、超几何散布的均值 二、二项散布与超几何散布的区分与联系 三、超几何散布的综合应用
随堂演练
课时对点练
解 记“该小区12月份的可回收物中废纸投放量超过5吨且塑料品投放 量超过3.5吨”为事件A. 由题意，得B，C两个小区12月份的可回收物中废纸投放量超过5吨且塑 料品投放量超过3.5吨， 所以 P(A)＝25.
废纸投放量(吨) 塑料品投放量(吨)
A小区 5 3.5
B小区 5.1 3.6
C小区 5.2 3.7
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3.盒子里有5个球，其中3个白球，2个黑球，从中任取两球，设取出白 6
球的个数为ξ，则E(ξ)＝__5___.
解析 E(ξ)＝2×5 3＝65.
1234
4.某校为了解高三学生身体素养情况，从某项体育测试成绩中随机抽 取n个学生成绩进行分析，得到成绩频率散布直方图(如图所示).已知 成绩在[90,100]的学生人数为8，且有4个女生的成绩在[50,60)中，则n ＝__5_0__，现由成绩在[50,60)的样本中随机抽取2名学生，记所抽取学
所以ξ的概率散布为
ξ0
1
2
3
P
1 120
7 40
21 40
7 24
均值 E(ξ)＝0×1120＋1×470＋2×4201＋3×274＝2110. 方差 D(ξ)＝0－21102×1120＋1－21102×470＋2－21102×2410＋3－21102×274＝14090.
反思感悟 超几何散布常应用在产品合格问题、球盒取球(两色)问题、 男女生选举问题等，这类问题有一个共同特征，就是对每一个个体而 言，只研究其相对的两种性质而不涉及其他性质，如产品的合格与不 合格、球的红色与非红色、学生的性别等.
二、二项散布与超几何散布的区分与联系
例2 某食品厂为了检查一条自动包装流水 线的生产情况，随机抽取该流水线上的40件 产品作为样本称出它们的质量(单位：克)， 质 量 的 分 组 区 间 为 (490,495] ， (495 ， 500]，…，(510,515]，由此得到样本的频率 散布直方图如图.
(2)设X为选出的3名同学中女同学的人数，求随机变量X的概率散布及均值.
解 根据条件，随机变量X服从超几何散布，其中N＝10，M＝4，n＝3，
且随机变量X的可能取值为0,1,2,3.
P(X＝k)＝C4kCC31360－k，k＝0,1,2,3. 所以X的概率散布为
X0 1
2
3
P
1 6
1 2
31 10 30
所以X的概率散布为
X0
1
2
P
3 10
3 5
1 10
E(X)＝0×130＋1×35＋2×110＝45.
课堂小结
1.知识清单： (1)超几何散布的均值. (2)超几何散布与二项散布的区分与联系. 2.方法归纳：类比. 3.常见误区：超几何散布与二项散布混淆，前者是不放回抽样，后者是 有放回抽样.
随堂演练
不清楚，只知道从这10名同学中随机抽取1名同学，该名同学的专业为 数学的概率为25 .
性别
专业
中文 英语 数学 体育
男
n 1m1
女
1111
现从这10名同学中随机选取3名同学参加社会公益活动(每名同学被选到
的可能性相同).
(1)求m，n的值；
解 设事件A为“从10名同学中随机抽取1名同学，该名同学的专业为 数学”， 由题意，可知数学专业的同学共有(1＋m)名， 则 P(A)＝1＋10m＝25， 解得m＝3. 因为m＋n＋6＝10，所以n＝1.
(1)根据频率散布直方图，求质量超过505克的产品数量；
解 质量超过505克的产品的频率为5×0.05＋5×0.01＝0.3， 所以质量超过505克的产品数量为40×0.3＝12(件).
(2)在上述抽取的40件产品中任取2件，设X 为质量超过505克的产品数量，求X的概率 散布，并求其均值；
解 质量超过505克的产品数量为12件，则质量未超过505克的产品数
D小区 4.8 3.4
E小区 4.9 3.3
(2)从A，B，C，D，E这5个小区中任取2个小区，记X为12月份投放的 废纸可再造好纸超过4吨的小区个数，求X的概率散布及均值.
解 因为回收利用1吨废纸可再造出0.8吨好纸，所以12月份投放的废纸 可再造好纸超过4吨的小区有B，C，共2个小区. X的所有可能取值为0,1,2. P(X＝0)＝CC2325＝130， P(X＝1)＝CC13·C25 12＝160＝35， P(X＝2)＝CC2225＝110.
解 方法一 由题意知X的可能取值为0,1,2. P(X＝0)＝CC31380＝175， P(X＝1)＝CC12C31028＝175， P(X＝2)＝CC22C31018＝115. ∴随机变量X的概率散布为
X0 1
2
P
7 15
7 15
1 15
E(X)＝0×175＋1×175＋2×115＝35. 方法二 由题意知 P(X＝k)＝C2kCC31380－k，k＝0,1,2， ∴随机变量X服从超几何散布，n＝3，M＝2，N＝10， ∴E(X)＝nNM＝31×02＝35.
(2)求选出的3名同学恰为专业互不相同的男生的概率；
解 设事件B为“选出的3名同学恰为专业互不相同的男生”， 则 P(B)＝C13CC2331＋0 1＝112.
(3)设ξ为选出的3名同学中是女生或专业为数学的人数，求随机变量ξ的 概率散布、均值及方差.
解 由题意，可知这10名同学中是女生或专业为数学的人数为7，ξ的可 能取值为0,1,2,3. P(ξ＝0)＝CC31330＝1120， P(ξ＝1)＝CC17C31023＝12210＝470， P(ξ＝2)＝CC27C31013＝16230＝2410， P(ξ＝3)＝CC31370＝13250＝274.
1.一个盒子里装有大小相同的红球、白球共 30 个，其中白球 4 个.从中任
取两个，则概率为C126CC1423＋0 C24的事件是
A.没有白球
√B.至少有一个白球
C.至少有一个红球 D.至多有一个白球
解析 C126CC1423＋0 C24＝CC12623C0 14＋CC23240表示任取的两个球中只有一个白球或两个 都是白球的概率，即至少有一个白球的概率.
(2)放回抽样时，抽取次品数Y的均值与方差.
解 由题意知，抽取 1 次取到次品的概率为120＝15， 随机变量 Y 服从二项分布 Y～B3，15， ∴E(Y)＝3×15＝35， D(Y)＝3×15×1－15＝1225.
三、超几何散布的综合应用
例3 某大学志愿者协会有10名同学，成员构成如表所示.表中部分数据
跟踪训练3 目前，有些城市面临“垃圾围城”的窘境，垃圾分类把不 易降解的物质分出来，减轻了土地的严重腐蚀，减少了土地流失.某市 将实行生活垃圾分类，分类标准为厨余垃圾、可回收物、有害垃圾和 其他垃圾四类，生活垃圾中有30%～40%可以回收利用，分出可回收垃 圾既环保，又勤俭资源.如：回收利用1吨废纸可再造出0.8吨好纸，可 以挽救17棵大树，少用纯碱240千克，降低造纸的污染排放75%，节省 造纸能源消耗40%～50%.
解析 对于 A，答对 0 道题的概率为 P0＝CC31350＝112，答对 3 道题的概率 为 P3＝CC31350＝112，故 A 错误； 对于 B，答对 1 道题的概率为 P1＝CC15C31025＝152，故 B 错误； 对于 C，答对 2 道题的概率为 P2＝CC25C31015＝152，故 C 正确； 对于 D，合格的概率为 P＝CC25C31015＋CC31350＝12，故 D 正确.
(3)从该流水线上任取2件产品，设Y为质量 超过505克的产品数量，求Y的概率散布.
解 根据样本估计总体的思想，取一件产品，该产品的质量超过 505 克的
概率为1420＝130. 从流水线上任取 2 件产品互不影响，该问题可看成 2 重伯努利试验，质量 超过 505 克的件数 Y 的可能取值为 0,1,2，且 Y～B2，130， P(Y＝k)＝Ck2×130k×1－1302－k，k＝0,1,2， ∴P(Y＝0)＝C02×1702＝14090， P(Y＝1)＝C12×130×170＝5201，
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2.(多选)某人参加一次测试，在备选的10道题中，他能答对其中的5道. 现从备选的10道题中随机抽出3道题进行测试，规定至少答对2道题才 算合格，则下列说法正确的是 A.答对 0 道题和答对 3 道题的概率相同，都为18 B.答对 1 道题的概率为38
√C.答对 2 道题的概率为152 √D.合格的概率为12
P(Y＝2)＝C22×1302＝1900.
∴Y的概率散布为
Y
0
1
2
P
49 100
21 50
9 100
反思感悟 不放回抽样服从超几何散布，放回抽样服从二项散布，求 均值可利用公式代入计算.
跟踪训练2 在10件产品中有2件次品，连续抽3次，每次抽1件，求： (1)不放回抽样时，抽取次品数X的均值；
现调查了该市5个小区12月份的生活垃圾投放情况，其中可回收物中废 纸和塑料品的投放量如表所示：
废纸投放量(吨) 塑料品投放量(吨)
A小区 5 3.5
B小区 5.1 3.6
C小区 5.2 3.7
D小区 4.8 3.4
E小区 4.9 3.3
(1)从A，B，C，D，E这5个小区中任取1个小区，求该小区12月份的可 回收物中，废纸投放量超过5吨且塑料品投放量超过3.5吨的概率；
量为28件，X的可能取值为0,1,2，X服从超几何散布.
P(X＝0)＝CC222480＝16330， P(X＝1)＝CC112C240128＝6258， P(X＝2)＝CC212420＝11310， ∴X的概率散布为
X0 1
2
P
63 130
28 65
11 130
∴X的均值为
方法一 E(X)＝0×16330＋1×6258＋2×11310＝35. 方法二 E(X)＝2×4012＝35.
所以随机变量
X
的均值为
E(X)
＝
0×
1 6
＋
1×
1 2
＋
2×
3 10
＋
3×
1 30
＝
1.2或EX＝3× 104＝1.2.
反思感悟 求超几何散布均值的步骤 (1)验证随机变量服从超几何散布，并确定参数N，M，n的值. (2)根据超几何散布的概率计算公式计算出随机变量取每一个值时的概率. (3)利用均值公式求解.
跟踪训练1 某学校实行自主招生，参加自主招生的学生从8道试题中
随机挑选4道进行作答，至少答对3道才能通过初试.记在这8道试题中甲
能答对6道，甲答对试题的个数为X，则甲通过自主招生初试的概率为 11
__1_4__，E(X)＝__3___.
解析 依题意，知甲能通过自主招生初试的概率为 P(X＝3)＋P(X＝4)＝CC12C48 36＋CC4846 ＝47＋134＝1114. 由于 X 的可能取值为 2,3,4，P(X＝2)＝CC22C48 26＝134， 故 E(X)＝2×134＋3×47＋4×134＝3.
实际上，由随机变量均值的定义，令m＝max(0，n－N＋M)，r＝min(n， M)，有
E(X)＝k＝rmkCkMCCnNNn－－kM＝Mk＝rmCkM－－1C1CnNnN－－kM，
r
因为 CkM－－11CNn－－kM＝CnN－－11，
k＝m
所以 E(X)＝CMnNk＝rmCkM－－11CnN－－kM＝MCCnNnN－－11＝nNM＝np.
例1 某大学志愿者协会有6名男同学，4名女同学.在这10名同学中，3 名同学来自数学学院，其余7名同学来自物理、化学等其他互不相同的 七个学院.现从这10名同学中随机选取3名同学，到希望小学进行支教活 动(每位同学被选到的可能性相同). (1)求选出的3名同学是来自互不相同学院的概率；
解 设“选出的 3 名同学是来自互不相同的学院”为事件 A，则 P(A) ＝C13C27C＋310C03C37＝4690. 所以选出的 3 名同学是来自服从超几何散布的随机变量的均值是什么？
提示 设随机变量 X 服从超几何分布，则 X 可以解释为从包含 M 件次品 的 N 件产品中，不放回地随机抽取 n 件产品中的次品数.令 p＝MN，则 p 是 N 件产品的次品率，而Xn是抽取的 n 件产品的次品率，我们猜想 EXn＝ p，即 E(X)＝np.
第8章 8.2.4 超几何散布
学习目标
1.掌握超几何散布的均值的计算. 2.了解二项散布同超几何散布的区分与联系.
导语
上节课学习了超几何散布模型，这节课我们重点研究超几何散布模型 的应用.
内容索引
一、超几何散布的均值 二、二项散布与超几何散布的区分与联系 三、超几何散布的综合应用
随堂演练
课时对点练
解 记“该小区12月份的可回收物中废纸投放量超过5吨且塑料品投放 量超过3.5吨”为事件A. 由题意，得B，C两个小区12月份的可回收物中废纸投放量超过5吨且塑 料品投放量超过3.5吨， 所以 P(A)＝25.
废纸投放量(吨) 塑料品投放量(吨)
A小区 5 3.5
B小区 5.1 3.6
C小区 5.2 3.7
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3.盒子里有5个球，其中3个白球，2个黑球，从中任取两球，设取出白 6
球的个数为ξ，则E(ξ)＝__5___.
解析 E(ξ)＝2×5 3＝65.
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4.某校为了解高三学生身体素养情况，从某项体育测试成绩中随机抽 取n个学生成绩进行分析，得到成绩频率散布直方图(如图所示).已知 成绩在[90,100]的学生人数为8，且有4个女生的成绩在[50,60)中，则n ＝__5_0__，现由成绩在[50,60)的样本中随机抽取2名学生，记所抽取学
所以ξ的概率散布为
ξ0
1
2
3
P
1 120
7 40
21 40
7 24
均值 E(ξ)＝0×1120＋1×470＋2×4201＋3×274＝2110. 方差 D(ξ)＝0－21102×1120＋1－21102×470＋2－21102×2410＋3－21102×274＝14090.
反思感悟 超几何散布常应用在产品合格问题、球盒取球(两色)问题、 男女生选举问题等，这类问题有一个共同特征，就是对每一个个体而 言，只研究其相对的两种性质而不涉及其他性质，如产品的合格与不 合格、球的红色与非红色、学生的性别等.
二、二项散布与超几何散布的区分与联系
例2 某食品厂为了检查一条自动包装流水 线的生产情况，随机抽取该流水线上的40件 产品作为样本称出它们的质量(单位：克)， 质 量 的 分 组 区 间 为 (490,495] ， (495 ， 500]，…，(510,515]，由此得到样本的频率 散布直方图如图.
(2)设X为选出的3名同学中女同学的人数，求随机变量X的概率散布及均值.
解 根据条件，随机变量X服从超几何散布，其中N＝10，M＝4，n＝3，
且随机变量X的可能取值为0,1,2,3.
P(X＝k)＝C4kCC31360－k，k＝0,1,2,3. 所以X的概率散布为
X0 1
2
3
P
1 6
1 2
31 10 30
所以X的概率散布为
X0
1
2
P
3 10
3 5
1 10
E(X)＝0×130＋1×35＋2×110＝45.
课堂小结
1.知识清单： (1)超几何散布的均值. (2)超几何散布与二项散布的区分与联系. 2.方法归纳：类比. 3.常见误区：超几何散布与二项散布混淆，前者是不放回抽样，后者是 有放回抽样.
随堂演练
不清楚，只知道从这10名同学中随机抽取1名同学，该名同学的专业为 数学的概率为25 .
性别
专业
中文 英语 数学 体育
男
n 1m1
女
1111
现从这10名同学中随机选取3名同学参加社会公益活动(每名同学被选到
的可能性相同).
(1)求m，n的值；
解 设事件A为“从10名同学中随机抽取1名同学，该名同学的专业为 数学”， 由题意，可知数学专业的同学共有(1＋m)名， 则 P(A)＝1＋10m＝25， 解得m＝3. 因为m＋n＋6＝10，所以n＝1.
(1)根据频率散布直方图，求质量超过505克的产品数量；
解 质量超过505克的产品的频率为5×0.05＋5×0.01＝0.3， 所以质量超过505克的产品数量为40×0.3＝12(件).
(2)在上述抽取的40件产品中任取2件，设X 为质量超过505克的产品数量，求X的概率 散布，并求其均值；
解 质量超过505克的产品数量为12件，则质量未超过505克的产品数
D小区 4.8 3.4
E小区 4.9 3.3
(2)从A，B，C，D，E这5个小区中任取2个小区，记X为12月份投放的 废纸可再造好纸超过4吨的小区个数，求X的概率散布及均值.
解 因为回收利用1吨废纸可再造出0.8吨好纸，所以12月份投放的废纸 可再造好纸超过4吨的小区有B，C，共2个小区. X的所有可能取值为0,1,2. P(X＝0)＝CC2325＝130， P(X＝1)＝CC13·C25 12＝160＝35， P(X＝2)＝CC2225＝110.
解 方法一 由题意知X的可能取值为0,1,2. P(X＝0)＝CC31380＝175， P(X＝1)＝CC12C31028＝175， P(X＝2)＝CC22C31018＝115. ∴随机变量X的概率散布为
X0 1
2
P
7 15
7 15
1 15
E(X)＝0×175＋1×175＋2×115＝35. 方法二 由题意知 P(X＝k)＝C2kCC31380－k，k＝0,1,2， ∴随机变量X服从超几何散布，n＝3，M＝2，N＝10， ∴E(X)＝nNM＝31×02＝35.
(2)求选出的3名同学恰为专业互不相同的男生的概率；
解 设事件B为“选出的3名同学恰为专业互不相同的男生”， 则 P(B)＝C13CC2331＋0 1＝112.
(3)设ξ为选出的3名同学中是女生或专业为数学的人数，求随机变量ξ的 概率散布、均值及方差.
解 由题意，可知这10名同学中是女生或专业为数学的人数为7，ξ的可 能取值为0,1,2,3. P(ξ＝0)＝CC31330＝1120， P(ξ＝1)＝CC17C31023＝12210＝470， P(ξ＝2)＝CC27C31013＝16230＝2410， P(ξ＝3)＝CC31370＝13250＝274.
1.一个盒子里装有大小相同的红球、白球共 30 个，其中白球 4 个.从中任
取两个，则概率为C126CC1423＋0 C24的事件是
A.没有白球
√B.至少有一个白球
C.至少有一个红球 D.至多有一个白球
解析 C126CC1423＋0 C24＝CC12623C0 14＋CC23240表示任取的两个球中只有一个白球或两个 都是白球的概率，即至少有一个白球的概率.
(2)放回抽样时，抽取次品数Y的均值与方差.
解 由题意知，抽取 1 次取到次品的概率为120＝15， 随机变量 Y 服从二项分布 Y～B3，15， ∴E(Y)＝3×15＝35， D(Y)＝3×15×1－15＝1225.
三、超几何散布的综合应用
例3 某大学志愿者协会有10名同学，成员构成如表所示.表中部分数据
跟踪训练3 目前，有些城市面临“垃圾围城”的窘境，垃圾分类把不 易降解的物质分出来，减轻了土地的严重腐蚀，减少了土地流失.某市 将实行生活垃圾分类，分类标准为厨余垃圾、可回收物、有害垃圾和 其他垃圾四类，生活垃圾中有30%～40%可以回收利用，分出可回收垃 圾既环保，又勤俭资源.如：回收利用1吨废纸可再造出0.8吨好纸，可 以挽救17棵大树，少用纯碱240千克，降低造纸的污染排放75%，节省 造纸能源消耗40%～50%.