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江西省上饶县中学2019届高三数学上学期第三次月考试题文
时间:120分钟总分：150分
一、选择题
1.已知全集U={1，2，3，5，6，7，8}，集合A={1，3，5}，B={5，6，7，8），则
A∩（∁
U
B）=（）
A．{1，3} B．{1，5} C．{3，5} D．{1，3，5}
2. 若复数z满足（1﹣2i）•z=5（i是虚数单位），则z的虚部为（）
A．B．C．2i D．2
3. 下列命题正确的是（）
A．命题“若x=y，则sinx=siny”的逆否命题为真命题
B．命题“p∧q”为假命题，则命题p与命题q都是假命题
C．“am2＜bm2”是“a＜b”成立的必要不充分条件
D命题“存在x
∈R，使得”的否定：“对任意x∈R，均有x2+x+1＜0”．4. 《张丘建算经》卷上第22题为“今有女善织，日益功疾，初日织五尺，今一
月日织九匹三丈．”其意思为：现有一善于织布的女子，从第2天开始，每天比前一天多织相同量的布，第1天织了5尺布，现在一月（按30天计算）共织
390尺布，记该女子一月中的第n天所织布的尺数为a
n ，则a
14
+a
15
+a
16
+a
17
的值
为（）
A．55 B．52 C．39 D．26 5. 若下面的程序框图输出的S是30，则条件①可为（）
A．n≤3 B．n≤4
C．n≤5 D．n≤6
6. 若变量x，y 满足约束条件，且z=4x•2y的最大值为（）
A ．B．3 C．4 D．8
7. 将函数的图象上的所有点的横坐标变为原来的，纵坐标不
变，再将所得图象向右平移m（m＞0）个单位后得到的图象关于原点对称，则m 的最小值是（）
A ．
B ．
C ．
D ．
8．在2017年3月15日，某物价部门对本市5家商场某商品一天的销售额及其价格进行调查，5商场的价格x与销售额y之间的一组数据如表所示：
由散点可知，销售额y与价格x之间有较好的线性相关关系，且回归直线方程是=﹣3.2x+，则=（）
A．﹣24 B．35.6 C．40 D．40.5
+=-，AB=1，AC=3，M，N分别为BC的三等9. 在△ABC中，已知AB AC AB AC
分点，则=（）
A．B．C．D．
10．已知)(x f 是定义在R 上的偶函数，且)(x f 在[)∞+，
0上单调递增，若实数a 满足)1()(log 3f a f <，则a 的取值范围是（ ）
A ．⎪⎭
⎫
⎝⎛310，
B ．⎪⎭⎫ ⎝⎛331，
C ．⎪⎭
⎫ ⎝⎛∞+，31 D ．()∞+，
3
11. 某圆柱的高为2，底面周长为16，其三视图如图．圆柱表面上的点M 在正视图上的对应点为A ，圆柱表面上的点N 在左视图上的对应点为B ，则在此圆柱侧面上，从M 到N 的路径中，最短路径的长度为（ ）
A ．
B ．
C ．3
D ．2
12.若关于的不等式(1ln )2x x k kx ++>的解集为A ，且(2,)A +∞⊆则整数k 的最大
值为
A.6
B.5 C .4 D.3 二、填空题
13.
则f （f （2））的值为 ．
，14.在ABC 中，3
A π
∠=
,AB=2,且ABC 的面积为
则边BC 的长为
15.已知tan ,tan αβ是方程240x ++=的两个实数根，且,,22ππαβ⎛⎫
∈- ⎪⎝⎭
，则
αβ+=
16.平行四边形ABCD 中,AB=2,AD=3,120BAD ∠=，P 是 平行四边形ABCD 内一点，且AP=1，若AP xAB y AD =+，则3x+2y 的最大值为 三、解答题
17. 数列{a
n }满足a
n+1
=，a
1
=1．
（1）证明：数列{}是等差数列；
（2）设b
n =（n∈N*），S
n
=b
1
+b
2
+b
3
+…+b
n
，求 S
n
18.如图，四棱锥P﹣ABCD中，PA⊥底面ABCD，AD∥BC，AB=AD=AC=3，PA=BC=4，M
为线段AD上一点，AM=2MD，N为PC的中点．
（1）证明MN∥平面PAB；
（2）求四面体N﹣BCM的体积．
19.2018年6月14日，第二十一届世界杯足球赛在俄罗斯拉开帷幕，为了了解喜爱足球运动是否与性别有关，某体育台随机抽取100名观众进行统计，得到如下2×2列联表．
（1）将2×2列联表补充完整，并判断能否在犯错误的概率不超过0.001的前提下认为喜爱足球运动与性别有关？
（2）在不喜爱足球运动的观众中，按性别分别用分层抽样的方式抽取6人，再从这6人中随机抽取2人参加一台访谈节目，求这2人至少有一位男性的概率．附：，其中n=a+b+c+d
20. 已知点A，B是椭圆的左右顶点，点C是椭圆的上顶
点，若该椭圆的焦距为，直线AC，BC的斜率之积为
1
4 ．
（1）求椭圆L的方程；
（2）是否存在过点M（1，0）的直线l与椭圆L交于两点P，Q，使得以PQ为直径的圆经过点C？若存在，求出直线l的方程；若不存在，说明理由．
21.已知函数f（x）=x2+bx﹣alnx（a≠0）
（1）当b=0时，讨论函数f（x）的单调性；
（2）若对任意b∈[﹣2，﹣1]，都存在x∈（1，e），使得f（x）＜0成立，求实数a的取值范围．
22. 坐标系与参数方程
在平面直角坐标系中，以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，已知曲线C的极坐标方程为ρsin2θ=2acosθ（a＞0），过点P（﹣2，﹣4）的直
线l的参数方程为（t为参数），直线l与曲线C相交于A，B两点．
（1）写出曲线C的直角坐标方程和直线l的普通方程；
（2）若|PA|•|PB|=|AB|2，求a的值．
23.已知函数f（x）=|2x+1|﹣|x﹣a|．
（1）当a=4时，求不等式f（x）＞2的解集；
（2）若f（x）≥|x﹣4|的解集包含[2，3]，求实数a的取值范围．
高三年级上学期第三次月考数学试卷（文科）
参考答案
1-6ADABBD 7-12BCBBBC
13 2 14
15
2
3
π
- 16 2
17. （1）证明：∵数列{a
n }满足a
n+1
=，a
1
=1．
∴，
化简得，
故数列{}是以1为首项，2为公差的等差数列．（2）解：由（1）知，，
所以：，
∴=，
，
=，
=．
18. 证明：（Ⅰ）取BC中点E，连结EN，EM，
∵N为PC的中点，∴NE是△PBC的中位线
∴NE∥PB，
又∵AD∥BC，∴BE∥AD，
∵AB=AD=AC=3，PA=BC=4，M为线段AD上一点，AM=2MD，∴BE=BC=AM=2，
∴四边形ABEM是平行四边形，
∴EM∥AB，∴平面NEM∥平面PAB，
∵MN⊂平面NEM，∴MN∥平面PAB．
解：（Ⅱ）取AC中点F，连结NF，
∵NF是△PAC的中位线，
∴NF∥PA，NF==2，
又∵PA⊥面ABCD，∴NF⊥面ABCD，
如图，延长BC至G，使得CG=AM，连结GM，
∵AM CG，∴四边形AGCM是平行四边形，
∴AC=MG=3，
又∵ME=3，EC=CG=2，
∴△MEG的高h=，
∴S
===2，
△BCM
===．∴四面体N﹣BCM的体积V
N﹣BCM
19. 解：（1）根据题意填写列联表如下；
由表中数据，计算K2=≈16.67＞10.828，
∴能在犯错误的概率不超过0.001的前提下认为喜爱足球运动与性别有关；（2）用分层抽样法抽取6人，男生2人，记为A、B，女生4人，记为c、d、e、f，
从这6人中随机抽取2人，基本事件为
AB、Ac、Ad、Ae、Af、Bc、Bd、Be、Bf、cd、ce、cf、de、df、ef共15种，
这2人至少有一位男性的基本事件是
AB、Ac、Ad、Ae、Af、Bc、Bd、Be、Bf共9种，
故所求的概率为P==．
20. 解：（1）由题意可知，，，
有，
即a2=4b2，又a2=b2+c2，
解得a2=4，b2=1，所以椭圆C的方程为．
（2）假设存在过点M（1，0）d的直线l与椭圆交于两点P、Q，
使得以PQ为直径的圆经过点C，可得，CP⊥CQ，
若直线l的斜率为0，则A，B为点P，Q，
此时，此时CP，CQ不垂直，不满足题意，因此可设直线l的方程为：x=my+1，联立，
消x可得，（m2+4）y2+2my﹣3=0，
则有．①…（8分）
设P（x
1，y
1
），Q（x
2
，y
2
），由题意可知x
1
x
2
≠0，因为CP⊥CQ，
则k
CP k
CQ
=﹣1，即，
整理可得：（1+m2）y
1y
2
+（m﹣1）（y
1
+y
2
）+2=0，②
将①代入②可得：，
整理得3m2﹣2m﹣5=0，解得m=﹣1或者，
所以直线l的方程为：x+y﹣1=0或3x﹣5y﹣3=0．
21. 解：（1）b=0时，f（x）=x2﹣alnx，（x＞0），
f′（x）=2x﹣=，
a≤0时，f′（x）＞0，f（x）递增，
a＞0时，令f′（x）＞0，解得：x＞，
令f′（x）＜0，解得：0＜x＜，
故f（x）在（0，）递减，在（，+∞）递增；
（2）令g（b）=xb+x2﹣alnx，b∈[﹣2，﹣1]，则g（b）为关于b的一次函数且为增函数，
根据题意，对任意b∈[﹣2，﹣1]，都存在x∈（1，e）（e 为自然对数的底数），使得f（x）＜0成立，
则在x∈（1，e）上g（b）
max
=g（﹣1）=﹣x+x2﹣alnx＜0有解，
令h（x）=x2﹣x﹣alnx，只需存在x
0∈（1，e）使得h（x
）＜0即可，
由于h′（x）=2x﹣1﹣，
令φ（x）=2x2﹣x﹣a，x∈（1，e），φ'（x）=4x﹣1＞0，
∴φ（x）在（1，e）上单调递增，φ（x）＞φ（1）=1﹣a，
①当1﹣a≥0，即a≤1时，φ（x）＞0，即h′（x）＞0，h（x）在（1，e）上
单调递增，
∴h（x）＞h（1）=0，不符合题意．
②当1﹣a＜0，即a＞1时，φ（1）=1﹣a＜0，φ（e）=2e2﹣e﹣a
若a≥2e2﹣e＞1，则φ（e）＜0，所以在（1，e）上φ（x）＜0恒成立，即h′（x）＜0恒成立，
∴h（x）在（1，e）上单调递减，
∴存在x
0∈（1，e）使得h（x
）＜h（1）=0，符合题意．
若2e2﹣e＞a＞1，则φ（e）＞0，∴在（1，e）上一定存在实数m，使得φ（m）=0，
∴在（1，m）上φ（x）＜0恒成立，即h′（x）＜0恒成立，
∴h（x）在（1，e）上单调递减，
∴存在x
0∈（1，e）使得h（x
）＜h（1）=0，符合题意．
综上所述，当a＞1时，对任意b∈[﹣2，﹣1]，都存在x∈（1，e）（e 为自然对数的底数），使得f（x）＜0成立．
22. 解：（I）由ρsin2θ=2acosθ（a＞0）得ρ2sin2θ=2aρcosθ（a＞0）
∴曲线C的直角坐标方程为y2=2ax（a＞0）…（2分）
直线l的普通方程为y=x﹣2…（4分）
（II）将直线l的参数方程代入曲线C的直角坐标方程y2=2ax中，
得t2﹣2（4+a）t+8（4+a）=0
设A、B两点对应的参数分别为t
1、t
2
则有t
1+t
2
=2（4+a），t
1
t
2
=8（4+a）…（6分）
∵|PA|⋅|PB|=|AB|2
∴|t
1t
2
|=（t
1
﹣t
2
）2，即（t
1
+t
2
）2=5t
1
t
2
…（8分）
∴[2（4+a）]2=40（4+a）化简得，a2+3a﹣4=0
解之得：a=1或a=﹣4（舍去）∴a的值为1…（10分）
23. 解：（Ⅰ）当a=4时，f（x）＞2，即|2x+1|﹣|x﹣4|＞2．当x＜﹣时，不等式化为﹣2x﹣1+x﹣4＞2，解得：x＜﹣7；当﹣≤x≤4时，不等式化为2x+1+x﹣4＞2，解得：＜x≤4；当x＞4时，不等式化为2x+1﹣x+4＞2，解得：x＞4．
综上，不等式的解集为{x|x＜﹣7或x＞}；
（Ⅱ）f（x）≥|x﹣4|的解集包含[2，3]
⇔f（x）≥|x﹣4|在[2，3]上恒成立
⇔|2x+1|﹣|x﹣a|≥|x﹣4|在[2，3]上恒成立
⇔3x﹣3≥|x﹣a|在[2，3]上恒成立
⇔3﹣2x≤a≤4x﹣3在[2，3]上恒成立
⇔﹣1≤a≤5，
∴实数a的取值范围是[﹣1，5]．。