河北高一下学期第一次阶段性检测数学试题(解析版)

一、单选题
1．已知，则（ ） ()2
1i 32i z -=+z =A ．
B ．
C ．
D ．
3
1i 2
--3
1i 2
-+3i 2-+3i 2
--【答案】B
【分析】由已知得，根据复数除法运算法则，即可求解. 32i
2i
z +=
-【详解】，
()2
1i 2i 32i z z -=-=+. ()32i i 32i 23i 3
1i 2i 2i i 22
z +⋅+-+=
===-+--⋅故选：B.
2．已知（为虚数单位），则（ ） ,,3i (i)i a b a b ∈+=+R i A ． B ．
C ．
D ．
1,3a b ==-1,3a b =-=1,3a b =-=-1,3a b ==【答案】B
【分析】利用复数相等的条件可求.
,a b 【详解】，而为实数，故， 3i 1i a b +=-+,a b 1,3a b =-=故选：B.
3．已知空间非零向量，，满足，与方向相同，则a b c
,4
a b π= ()
2a b c ⋅+= b c c
r 的取值范围为（ ） A ． B ． C ． D ．
[0,2](0,1)(0,2)(1,2)【答案】C
【分析】根据向量共线定理及向量数量积的定义可得，进而即得.
21
c λ=+
【详解】由题可设，由可知，
()0b c λλ=>
,4
a b π= ,4a b c π+=
所以，
()
()2a b c a c c λ⋅+=⋅+== 所以，
21
c λ=+
∵， 0,11λλ>+>∴，即. 2
021
λ<
<+()0,2c ∈ 故选：C.
4．已知复数满足，则的最大值为（ ）
z 21z -=z
A ．1
B ．2
C ．3
D ．4
【答案】C
【分析】本题可根据得出点的轨迹为以为圆心、以为半径的圆，即可得出结果. 21z -=Z ()2,01【详解】因为，所以复数在复平面内所对应的点到点的距离为， 21z -=z Z ()2,01则点的轨迹为以为圆心、以为半径的圆， Z ()2,01故的取值范围为，的最大值为， z []1,3z 3故选：C.
5．已知，则（ ） 2i z =-()i z z +=A ． B ． C ． D ．
62i -42i -62i +42i +【答案】C
【分析】利用复数的乘法和共轭复数的定义可求得结果.
【详解】因为，故，故
2z i =-2z i =+()
()()2
222=4+42262z z i i i i i i i +=-+--=+故选：C.
6．已知平面四边形ABCD 满足，则四边形ABCD 是（ ）
AB DC =
A ．正方形
B ．平行四边形
C ．菱形
D ．梯形
【答案】B
【分析】根据平面向量相等的概念，即可证明，且，由此即可得结论.
AB DC =//AB DC 【详解】在四边形ABCD 中， ，所以，且， AB DC =
AB DC =//AB DC 所以四边形为平行四边形． ABCD 故选：B
7．在中，已知，，则（ ） ABC A 120B =︒AC 2AB =BC =
A ．1 B
C D ．3
【答案】D
【分析】利用余弦定理得到关于BC 长度的方程，解方程即可求得边长. 【详解】设，
,,AB c AC b BC a ===结合余弦定理：可得：， 2222cos b a c ac B =+-21942cos120a a c =+-⨯⨯⨯ 即：，解得：（舍去）， 22150a a +-=3a =5a =-故. 3BC =故选：D.
【点睛】利用余弦定理及其推论解三角形的类型： (1)已知三角形的三条边求三个角；
(2)已知三角形的两边及其夹角求第三边及两角； (3)已知三角形的两边与其中一边的对角，解三角形．
8．已知正三角形ABC 的边长为4，点P 在边BC 上，则的最小值为（ ） AP BP ⋅
A ．2
B ．1
C ．
D ．
2-1-【答案】D
【分析】选基底，用基向量表示出所求，由二次函数知识可得.
【详解】记，
BP x =
[0,4]x ∈因为，
AP BP BA =- 所以. 222222(1)11AP BP BP BA BP BP BP x x x ⋅=-⋅=-=-=--≥-
故选：D
二、多选题
9．在中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ．已知，
ABC A 1
sin cos sin cos 2
a B C c B A
b +=，，则下列说法中正确的有（ ）
2a =1b =
A ．
B ． 1sin 2
B =
cos B =cos B =
C ．三角形ABC 为直角三角形
D ．ABC S =
A 【答案】ACD
【分析】A 选项结合正弦定理边化角化简整理即可判断；B 选项结合边的大小求出角,a b 0,2B π⎛⎫
∈ ⎪
⎝⎭
，进而结合即可求出角，从而可判断；C 选项结合正弦定理求出角，从而可判
1sin 2B =6B π
=A 断；D 选项求出角，进而结合三角形面积公式即可求出结果.
3
C π
=
【详解】A 选项：因为，结合正弦定理可得
1
sin cos sin cos 2
a B C c B A
b +=
，又因为，则，因此
1
sin sin cos sin sin cos sin 2
A B C C B A B +=()0,B π∈sin 0B >，所以，即，故A 正确；
1sin cos sin cos 2
A C C A +=
()1sin 2A C +=1
sin 2B =
B 选项：因为，则，且，则，因此B 错误；
a b >0,2B π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭1sin 2B =6B π=cos B =C 选项：结合正弦定理可得，即，则，因为，所以sin sin a b A B =21
1sin 2A =sin 1A =0,2A π⎛⎫
∈ ⎪⎝⎭
2A π=，故三角形ABC 为直角三角形，故C 正确;
D 选项：因为，，所以，所以D 正确， 2
A π
=6
B π
=
3
C π
=
11sin 2122ABC S ab C ==⨯⨯A 故选：ACD.
10．在中，a ，b ，c 分别为角A ，B ，C 的对边，已知
， ABC A cos cos 2B b C a c =-ABC S =△，则
3b =
A ．
B ．
C ．
D ．1
cos 2
B =
cos B =
a c +=a c +=【答案】AD
【分析】利用正弦定理边化角，再结合余弦定理即可求解. 【详解】. cos sin cos 22sin sin B b B
C a c A C
==--
整理可得:
sin cos 2sin cos sin cos B C A B C B =-可得
sin cos sin cos sin()sin 2sin cos B C C B B C A A B +=+==为三角形内角,
A sin 0A ≠ 故A 正确，
B 错误.
1
cos ,2B =
(0,)B π∈3
B π
∴=
3ABC S b =
=A
11sin 22ac B a c ==⨯⨯=解得 ,
3ac =由余弦定理得 22229()3()9a c ac a c ac a c =+-=+-=+-
解得故C 错误，D 正确. a c +=故选: AD.
【点睛】解三角形的基本策略：一是利用正弦定理实现“边化角”，二是利用余弦定理实现“角化边”.
11．某货轮在处看灯塔在货轮北偏东75°，距离为；在处看灯塔在货轮的北偏A
B A
C 西30°，距离．货轮由处向正北航行到处时，再看灯塔在南偏东60°
，则下列说法A D B 正确的是（ ）
A ．处与处之间的距离是；
B ．灯塔与处之间的距离是； A D 24n mile
C
D 16n mile C ．灯塔在处的西偏南60°； D ．在灯塔的北偏西30°．
C D D B 【答案】AC
【分析】根据题意作出图形，然后在中，结合正弦定理得求出，在中，由余弦定ABD △AD ACD A 理得，然后求出相关角度，进而逐项分析即可.
CD 【详解】
由题意可知，所以，
60,75,30ADB BAD CAD ∠=∠=∠= 180607545B ∠=--=
,
AB AC ==在中，由正弦定理得，所以，故A 正确；
ABD △sin sin AD AB
B ADB =∠
∠()24AD nmile =
=在中，由余弦定理得
，
ACD A CD =即，故B 错误；
)CD nmile =
=因为，所以，所以灯塔在处的西偏南，故C 正确； CD AC =30CDA CAD ∠=∠= C D 60 由，在灯塔的北偏西处，故D 错误. 60ADB ∠=o D B 60 故选：AC
12．[多选]向量，则下列说法正确的是（ ） 2,6a e b e ==-
A ．
B ．向量方向相反
//a b ,a b
C ．
D ．
||3||a b =
3a b =-
【答案】ABD
【分析】根据向量的数乘运算，即可得到答案；
【详解】因为 ，
2,6a e b e ==-
所以，故D 正确；
3a b =-
由向量共线定理知，A 正确；
－3<0，与方向相反，故B 正确；
a b
由上可知，故C 错误． ||3||b a =
故选：ABD
三、填空题
13．已知的三个内角A 、B 、C 所对的边分别是a 、b 、c ，且，则的最ABC A ::2:3:4a b c =ABC A 小角的余弦值为__________. 【答案】
## 7
8
0.875【分析】由题设可得最小，利用余弦定理可求其余弦值. A 【详解】因为，故可设，
::2:3:4a b c =2,3,4(0)a k b k c k k ===>因为，故最小，从而.
a b c <<A 222547
cos 2348
k k A k k -==⨯⨯故答案为：.
7
8
14．已知AD 是的内角A 的平分线，，，，则AD 长为ABC A 3AB =5AC =120BAC ∠=︒________．
【答案】
158
【分析】先利用等面积法得到，再利用面积公式代值化简即可. ABD CAD ABC S S S +A A A ＝【详解】∵AD 是的内角A 的平分线，且， ABC A 120BAC ∠=︒∴， 60BAD CAD ∠∠︒＝＝∵ ， ABD CAD ABC S S S +A A A ＝∴
111
sin sin sin ,222
AB AD BAD AC AD CAD AB AC BAC ⋅∠+⋅∠=⋅∠
即 1113535222AD AD ⨯⨯=⨯⨯解得：.
15
8
AD =故答案为：
158
15．已知△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ．角B 为钝角．设△ABC 的面积为S ，若
，则sin A +sin C 的最大值是____________． ()2224bS a b c a =+-【答案】
9
8
【分析】根据已知，利用三角形面积公式、余弦定理可得，B 为钝角知
sin cos sin()2
B A A π
==-，由三角形内角和的性质得，即可求最大值. 2B A π
=
+219
sin sin 2(cos )48
A C
B +=-++【详解】由题设，，则， 1
sin 2
S ac B =
2222sin ()b c ab a c B a +=-∴，又 B 为钝角即为锐角，
222sin cos sin()22B A A bc b c a π
-=+==-A ∴，即，又，
2
B A π
π+
-=2
B A π
=
+()C A B π=-+∴且，
cos cos()sin 2
B A A π=+=-sin sin()cos 2B A A π
=+=而22sin sin sin sin()sin (1cos )cos sin sin cos cos A C A A B A B A B B B B
+=++=++=--，
2219
1cos 2cos 2(cos 48
B B B =--=-++∴当时，的最大值为.
1
cos 4B =-sin sin A C +98故答案为：
9
8
【点睛】关键点点睛：根据已知条件，利用三角形面积公式、余弦定理可得到，再应用
2
B A π
=
+三角形内角性质及三角恒等变换写出关于的二次函数式，求最值.
sin sin A C +cos B
16．在平面四边形中，，，，，则
ABCD AB AD ⊥120ADC ∠= CD =AC =9BC =________．
AB =【答案】
3
【分析】在中，由正弦定理得中，ACD A sin DAC ∠cos BAC ∠=ABC A 利用余弦定理求解即可.
【详解】解：因为，，
120ADC ∠= CD =AC =
所以在中，由正弦定理
得
ACD A sin sin CD AC
DAC ADC
=∠∠
sin sin CD ADC DAC AC ⋅∠∠===因为，
AB AD ⊥
所以
cos cos sin 2BAC DAC DAC π⎛⎫
∠=-∠=∠= ⎪⎝⎭
所以，在中，设，由ABC A AB x =222
cos 2AC AB BC BAC AC AB +-∠=⋅=，解得 2690x x -+=3x =所以，. 3AB =故答案为：
3
四、解答题
17．如图所示，已知向量，求作向量．
,,,a b c d ,a b c d --
【答案】答案见解析
【分析】平面内将的起点都移至O 点，令，即可作.
,,,a b c d ,,,OA a OB b OC c OD d ====
,a b c d -- 【详解】如图所示，在平面内任取一点O ，，
,,,OA a OB b OC c OD d ====
∴，即为所求．
,BA a b DC c d =-=-
18．如图．在中，是的中点，点在上，且，与交于点．若
ABC A D BC E AB 2BE EA =AD CE O ，求的值．
6AB AC AO EC
⋅=⋅
AB
AC
【分析】设，，由向量线性运算得
， AO AD λ= EO EC μ=
1223
AO AB AC AB AC λλμμ-=+=+ 由此可构造方程组求得，由可求得
,λμ11166443AB AC AO EC AB AC AC AB ⎛⎫⎛⎫⋅=⋅=+⋅- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
，由此可得结果.
22
3AB AC = 【详解】设，又，则； AO AD λ=
()12AD AB AC =+ ()
222
AO AB AC AB AC λλλ=
+=+ 设，
EO EC μ= ，
()
()1AO AE EO AE EC AE AC AE AE AC μμμμ∴=+=+=+-=-+ 又，，， 2BE EA =13AE AB ∴=
13
AO AB AC μμ-∴=
+ ，解得：，，，
1232
λμλμ
-⎧=⎪⎪∴⎨⎪=⎪⎩1214λμ⎧
=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩1144AO AB AC ∴=+ 13EC AC AE AC AB =-=- ，
22111136644322AB AC AO EC AB AC AC AB AB AC AB AC ⎛⎫⎛⎫∴⋅=⋅=+⋅-=-++⋅ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
223AB AC ∴= AB AC
=19．在中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且． ABC A ()()2
2cos 2cos
2
C a c A C b b +++=
(1)求B ；
(2)如图，若D 为外一点，且，，，AC ． ABC A 7π
12
BCD ∠=AB AD ⊥1AB =AD =【答案】(1) 2π3
B =
(2) AC =
【分析】（1）利用诱导公式、二倍角的余弦公式和正弦定理可得，进而得2sin cos sin A B A -=，从而得到；
1cos 2B =-2π3
B =
（2）连接BD ，由已知得，，可得，利用正弦定理可得2BD =tan ABD ∠=π
3
ABD ∠=
． 4BC =-AC =【详解】（1）由， ()()2
2cos 2cos 2
C
a c A C
b b +++=得， ()()22cos π2cos
12C a c B b ⎛⎫+-=- ⎪⎝
⎭即，
()2cos cos a c B b C -+=由正弦定理，得， ()2sin sin cos sin cos A C B B C -+=整理，得， 2sin cos sin cos sin cos A B C B B C -=+∴， ()2sin cos sin sin A B B C A -=+=又，∴，∴，
()0,πA ∈sin 0A >1
cos 2
B =-又，∴； ()0,πB ∈2π3
B =
（2）连接BD ，因为，，， AD AB ⊥1AB =AD =
所以，， 2BD =tan AD
ABD AB
∠=
=所以，所以． π
3ABD ∠=
π3
CBD ABC ABD ∠=∠-∠=
又，所以， 7π12
BCD ∠=ππ12BDC BCD CBD ∠=-∠-∠=在中，由正弦定理可得，即， BCD △sin sin BD BC BCD BDC =∠∠27ππsin sin 12
12
BC =所以 πππ2sin 2sin
341247πππsin sin 1234BC ⎛⎫- ⎪⎝⎭===-⎛⎫+ ⎪⎝⎭在中，由余弦定理可得
ABC A
2222cos AC AB BC AB BC ABC =+-⋅∠=((2
22π14
214cos 333
=+--⨯⨯-=-所以．
AC =
20．在中，a ，b ，c 分别为角A ､B ､C 的对边，.
ABC A ()22cos
cos c a B b A a b bc +=-+(1)求A ；
(2)若角A 的平分线AD 交BC 于D ，且BD =2DC ，a .
AD =【答案】(1)
3π(2)
【分析】（1）根据，利用正弦定理得到，再利用余()22cos cos c a B b A a b bc +=-+222c b a bc +-=弦定理求解；
（2）根据BD =2DC ，由角平分线定理得到c =2b ,再由，得到 ，再ABC ABD ACD S S S =+A A A ()2bc b c =+利用余弦定理求解.
【详解】（1）解：因为，
()22cos cos c a B b A a b bc +=-+所以,，
()22sin sin cos sin cos sin sin sin sin C A B B A A B B C +=-+即，
222sin sin sin sin sin C A B B C =-+即，
222c b a bc +-=
所以， 2221cos 22
c b a A bc +-==因为，
()0,A π∈所以；
3A π
=（2）因为角A 的平分线AD 交BC 于D ，且BD =2DC ，
由角平分线定理得：c =2b ,
又，
ABC ABD ACD S S S =+A A A 即， 111sin 60sin 30sin 30222
bc c AD b AD =⋅⋅+⋅⋅
所以 ， AD ==()2bc b c =+所以 ，
3,6b c ==由余弦定理得：，
2222cos 27a c b bc A =+-=
所以.
a =
21．在中，．
ABC A sin 2C C =(1)求；
C ∠
(2)若，且的面积为，求的周长．
6b =ABC A ABC A 【答案】(1)
6π
(2)6+
【分析】（1）利用二倍角的正弦公式化简可得的值，结合角的取值范围可求得角的值； cos C C C （2）利用三角形的面积公式可求得的值，由余弦定理可求得的值，即可求得的周长.
a c ABC A
【详解】（1）解：因为，则，
()0,C π∈sin 0C >2sin cos C C C =
可得，因此，. cos C =6C π=
（2）解：由三角形的面积公式可得，解得.
13sin 22ABC S ab C a ===A a =
由余弦定理可得，
2222cos 48362612c a b ab C =+-=+-⨯=c ∴=
所以，的周长为.
ABC A 6a b c ++=
22．在中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，已知．
ABC A 1a b c ===(1)求中的最大值；
sin ,sin ,sin A B C (2)求边上的中线长．
AC
【答案】(1)最大值为sin B (2)
12
【分析】（1）先判断为最大，再根据余弦定理可求其余弦值，从而可求其正弦值. sin B （2）由可得求中线长. 1()2
BD BA BC =+
【详解】（1），故有，
1>sin sin sin b a c B A C >>⇒>>
由余弦定理可得 cos B ==
又，，故 (0,)B π∈34
B π∴=
sin B （2）设边上的中线为，则， AC BD 1()2BD BA BC =+
， 2222223(2)()2cos 121cos 14
BD BA BC c a ca B π∴=+=++=++⨯= ，即边上的中线长为． 1||2BD ∴= AC 12。