【成才之路】2014-2015学年高中数学(北师大版)选修2-2课件：章末归纳总结4 第4章( 2014高考)

①分割；②近似代替；③求和；④取极限．
第四章
章末归纳总结
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2．定积分概念的注意事项 (1)关于定积分应注意 ①积分值仅与被积函数及积分区间有关，而与积分变量 的字母无关．
b b b 即 f ( x )d x ＝ f ( t )d t ＝ f(μ)dμ.
到一个厚度是Δxi的小圆片，如图所示．当Δxi很小时，第i个
小圆片近似于底面半径为yi＝f(xi)的小圆柱，因此，第i个小 圆台的体积Vi近似为Vi＝πf2(xi)Δxi.
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该几何体的体积V等于所有小圆柱的体积和 V≈π[f2(x1)Δx1＋f2(x2)Δx2＋…＋f2(xi)Δxi＋…＋f2(xn)Δxn]． 这个问题是积分问题，则有
第四章
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[点评]
求曲边梯形的面积或路程的估计值时，通常把
区间[a，b]n等分，分别利用等分后的各个小区间的左端点和
右端点的值来估计曲边梯形的面积或路程．
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(2)近似代替： 在每个小区间上以匀速直线运动的路程近似代替变速直 线运动的距离： i－1 i 在小区间[ n t0， n t0]上任取一时刻ξi(i＝1,2，…，n)， 用时刻ξi的速度v(ξi)近似代替第i个小区间上的速度．由匀速 直线运动的路程公式，每个小区间上物体运动所经过的距离 可以近似地表示为 Δsi≈v(ξi)Δt(i＝1,2，…，n)．
汽车作变速直线运动，汽车的速度v(单位：m/s)与时间 t(单位：s)之间具有如下函数关系：v(t)＝－t2＋2.试估计汽车 在0≤t≤1这段时间内行驶的路程s，并写出估计值的误差．
[分析]
路程问题和曲边梯形面积问题解决的过程都是
通过分割自变量的区间得到过剩估计值和不足估计值，分割 得越细，就越接近估计值．
成才之路 · 数学
北师大版 • 选修2-2
路漫漫其修远兮 吾将上下而求索
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第四章
定积分
第四章
定积分
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第四章 章末归纳总结
第四章
定积分
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若在[a，c]上，f(x)≤0，在[c，b]上，f(x)≥0，则S＝
b
c
c f(x)dx－ f(x)dx，如图所示．

a
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(2)由直线x＝a，x＝b(a<b)，x轴及曲线y＝f(x)，y＝g(x)
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(3)求和： 因为每个小区间上物体运动的距离可以用这一区间上做 匀速直线运动的路程近似代替，所以在时间[0，t0]范围内物 体运动的距离s，就可以用这一物体分别在n个小区间上做n 个匀速直线运动的路程和近似代替． 即s＝ ∑ Δsi≈ ∑ v(ξi)Δt.
a a c
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b (4)若在区间[a，b]上，f(x)≥0，则 f(x)dx≥0.

a
b b 推论 1： 若在区间[a， b]上， f(x)≤g(x)， 则 f ( x )d x ≤ g(x)dx.
[解析] (1)分割： 将时间区间[0，t0]分成n等份： i－1 i [ n t0，nt0](i＝1,2，…，n)， t0 每个小区间所表示的时间为Δt＝ n ， 各区间物体运动的距离记作Δsi(i＝1,2，…，n)．
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3 x 2 2 2 2 2 2 2 [解析] (1) (x ＋2x＋1)dx＝ x dx＋ 2xdx＋ 1dx＝ 1 3 1 1 1 1
n→∞i＝1 n
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[点评]
用分割、近似代替、求和、取极限这四个步骤
求曲边梯形的面积和变速运动物体在某段时间内的路程体现 了无限细分和无穷累积的思维方法．
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a a a
②定义中区间的分法和取法都是任意的．
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(2)定积分概念的引申 定积分的几何意义：
b ①f(x)>0， f(x)dx＝A>0，表示曲边梯形在 x 轴上方．
a
b ②f(x)<0， f(x)dx＝A<0，表示曲边梯形在 x 轴下方．
a a
b b 推论 2：| f ( x )d x | ≤ |f(x)|dx.
a a
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4．计算平面图形的面积 (1)由直线x＝a，x＝b(a<b)，x轴及曲线y＝f(x)所围成的
b 曲边梯形的面积S＝ |f(x)|dx.
b b 所围成的曲边梯形的面积S＝ f ( x )d x － g(x)dx，如图所示．
a a
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5．简单几何体的体积 设由曲线y＝f(x)，直线x＝a，x＝b与x轴围成的平面图形 (如图所示)绕x轴旋转一周所得旋转体的体积为V.
b b b (1) g ( x )]d x ＝ f ( x )d x ± [f(x)± g(x)dx；
a a a
b b (2) f(x)dx(k 为常数)； kf(x)dx＝k

a

a
b c b (3) f ( x )d x ＝ f(x)dx≥0. f(x)dx＋
a
b 若[a，b]上，f(x)≥0，则S＝ f(x)dx，如图所示．
a
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b 若在[a，b]上，f(x)≤0，则S＝－ f(x)dx，如图所示．

a
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第四章
章末归纳总结
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由于v是下降的，所以路程s的不足估计值为： 1 2 3 4 5 6 7 s1′＝[v(10)＋v(10 )＋v(10)＋v( 10 )＋v( 10)＋v(10 )＋v( 10 )＋ 8 9 1 v(10)＋v(10)]× 10＝1.615(m)． 无论用过剩估计值s1还是用不足估计值s1′表示s，误差都 不超过s－s1′＝1.715－1.615＝0.1(m)．
1
知 识 梳 理
3
专 题 研 究
2
知 识 结 构
4
即 时 训 练
第四章
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知识梳理
第四章
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1．曲边梯形的面积 设曲边梯形是由连续曲线 y＝f(x)，x轴与直线x＝a，x＝ b(a<b)所围成的，如图所示． 计算时可分为四步：
i＝1 i＝1 n n
①
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(4)取极限： t0 当所分时间区间越短，即Δt＝ n 越小时，和式①的值就 t0 越接近s.因此，当n→＋∞，即Δt＝ n →0时，和式①的极限就 是所求的物体在时间区间[0，t0]上所经过的路程． 由此得到s＝ lim ∑ v(ξi)Δt.
第四章
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由于v是下降的，所以路程s的过剩估计值为： 1 2 3 4 5 6 s1＝[v(0)＋v( 10 )＋v( 10 )＋v( 10 )＋v( 10 )＋v( 10 )＋v( 10 )＋ 7 8 9 1 v(10)＋v(10)＋v(10)]× 10＝1.715(m)．
专题研究
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定积分的概念
已知某运动物体做变速直线运动，它的速度v 是时间t的函数v(t)，求物体在t＝0到t＝t0这段时间内所经过 的路程s.
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1 2 3 4 5 6 分别用v( 10 )，v( 10 )，v( 10 )，v( 10 )，v( 10 )，v( 10 )， 7 8 9 1 1 2 v(10)，v(10)，v(10)，v(1)近似替代汽车在0～10s，10～10s， 2 3 3 4 4 5 5 6 6 7 7 8 10～10s，10～10s，10s～10s，10s～10s，10s～10s，10～10 8 9 9 s，10～10，10～1s内的平均速度，
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[解析] 首先，将行驶时间1 s平均分成10份． 1 2 3 4 5 6 分别用v(0)，v(10)，v(10)，v(10)，v(10)，v(10)，v(10)， 7 8 9 1 1 2 2 v( 10 )，v( 10 )，v( 10 )近似替代汽车在0～ 10 s， 10 ～ 10 s， 10 ～ 3 3 4 4 5 5 6 6 7 7 8 10 s， 10 ～ 10 s， 10 s～ 10 s， 10 s～ 10 s， 10 s～ 10 s， 10 ～ 10 s， 8 9 9 10～10，10～1s内的平均速度．
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在区间[a，b]内插入n－1个分点，使a＝x0<x1<x2<…<xn － 1<xn ＝ 1 ，把曲线 y ＝ f(x) ， a≤x≤b 分割成 n 个垂直于 x 轴的 “小长条”，如图所示．设第 i 个“小长条”的宽是 Δxi ＝ xi －xi－1，i＝1,2，…，n.这个“小长条”绕x轴旋转一周就得
a
③如图所示，当 f(x)在区间[a，b]上 一部分大于 0，另一部分小于 0 时，且各 部分面积分别为 A1，A2，A3，A4，则
b a
f(x)dx＝A1－A2＋A3－A4.
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3．定积分的性质 由定积分的定义，可以得到定积分的如下性质：
2 b 2 b V＝ f (x)dx. πf (x)dx＝π
a a
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知识结构
第四章
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定积分的计算
求下列定积分：
2 2 π (1) (x ＋2x＋1)dx；(2) (sinx－cosx)dx；

1

0
1 x (2) x－x ＋x dx；(4) 0－π(cosx＋e )dx.
2 1

2
[分析] 先由定积分性质将其分解，然后由牛顿－莱布 尼茨公式求解．