精品2019高中数学 第一章 三角函数章末复习课学案 新人教A版必修4

第一章三角函数
章末复习课
[整合·网络构建]
[警示·易错提醒]
1．关注角的概念的推广
(1)由于角的概念的推广，有些术语的含义也发生了变化．如小于90°的角可能是零角、锐角或负角．
(2)注意象限角、锐角、钝角等概念的区别和联系，如锐角是第一象限角，但第一象限角不一定是锐角．
2．确定角所在象限的关注点
由三角函数值符号确定角α的象限时，不要忽视α的终边可能落在坐标轴上，如sin α<0时，α终边在第三、四象限或y轴负半轴上．
3．关注正切函数的定义域
(1)正切函数y ＝tan x 的定义域为⎩⎨⎧⎭
⎬⎫x ∈R ⎪⎪⎪x ≠k π＋π2，k ∈Z ，不可写为{x |x ≠k ·360°＋90°，k ∈Z}．
(2)有关正切的公式(同角三角函数商关系，诱导公式)应用时有限制条件． 4．平方关系应用的关注点
由平方关系sin 2
α＋cos 2
α＝1，开方后求另一个三角函数值，易错的地方是未对角所在象限进行讨论． 5．正确应用诱导公式
(1)明确诱导公式的基本功能：将k ·π
2±α(k ∈Z)的三角函数值化为α的三角函数值，实现变名、变号或变角
等作用．
(2)熟悉应用口诀解题，一方面注意函数名称，另一方面注意符号的变化． 6．关注三角函数的定义域、值域
(1)解正弦、余弦函数值问题时，应注意正弦、余弦函数的有界性，即－1≤sin x ≤1，－1≤cos x ≤1.
(2)解正切函数问题时，应注意正切函数的定义域，即⎩⎨⎧⎭
⎬⎫x ⎪⎪⎪x ≠k π＋π
2，k ∈Z .
7．正确掌握含三角函数的复合函数的单调性
(1)要求y ＝A sin(ωx ＋φ)或y ＝A cos(ωx ＋φ)(其中ω>0)的单调区间，先研究正弦函数y ＝sin x 和余弦函数y ＝cos x 的相应单调区间，再把其中的“x ”用“ωx ＋φ”代替，解关于x 的不等式即可求出所求的单调区间，但要特别关注A 的正负．
(2)正切函数只有单调递增区间无单调递减区间.
专题一 三角函数的概念
三角函数的概念所涉及的内容主要有以下两方面：理解任意角的概念、弧度的意义，能正确地进行弧度与角度的换算；掌握任意角的正弦、余弦、正切的定义及三角函数线，能够利用三角函数线判断三角函数的符号，借助三角函数线求三角函数的定义域．
[例1] (1)设角α属于第二象限，⎪⎪⎪⎪⎪⎪cos α2＝－cos α2，试判定α2角属于第几象限．
(2)求函数y ＝3tan x ＋3的定义域．
解：(1)依题意得2k π＋π
2<α<2k π＋π(k ∈Z)，
所以k π＋π4<α2<k π＋π
2(k ∈Z)．
当k ＝2n (n ∈Z)时，α
2为第一象限角；
当k ＝2n ＋1(n ∈Z)时，α
2为第三象限角．
又⎪
⎪⎪⎪⎪⎪cos α2＝－cos α2≥0，所以cos α2≤0.
所以α
2应为第二、三象限角或终边落在x 非正半轴上或y 轴上．
综上所述，α
2是第三象限角．
(2)3tan x ＋3≥0，即tan x ≥－
33
. 所以k π－π6≤x <k π＋π
2，所以函数y ＝3tan x ＋3的定义域为⎩⎨⎧⎭
⎬⎫x ⎪⎪⎪k π－π6≤x <k π＋π2，k ∈Z .
归纳升华
1．由α所在象限，判断
α
2
角所在象限时，一般有两种方法：一种是利用终边相同角的集合的几何意义，用数形结合的方法确定α
2
的所属象限；另一种方法就是将k 进行分类讨论．
2．求函数的定义域注意数形结合，应用单位圆中三角函数线或函数图象解题；求与正切函数有关问题时，不要忽视正切函数自身的定义域．
[变式训练] (1)若θ为第四象限的角，试判断sin(cos θ)·cos(sin θ)的符号；
(2)已知角α的终边过点P (－3cos θ，4cos θ)，其中θ∈⎝ ⎛⎭
⎪⎫π2，π，求α的正切值． 解：(1)因为θ为第四象限角，所以0<cos θ<1<π2，－π
2<－1<sin θ<0，
所以sin(cos θ)>0，cos(sin θ)>0， 所以sin(cos θ)·cos(sin θ)>0.
(2)因为θ∈⎝ ⎛⎭
⎪⎫π2，π，所以cos θ<0，
所以r ＝x 2
＋y 2
＝9cos 2
θ＋16cos 2
θ＝－5cos θ，
故sin α＝y r ＝－4
5
，
cos α＝x r ＝35，tan α＝y x ＝－4
3
.
专题二 同角三角函数的基本关系与诱导公式
在知道一个角的三角函数值求这个角的其他的三角函数值时，要注意题中的角的范围，必要时按象限进行讨论，尽量少用平方关系，注意切化弦、“1”的妙用、方程思想等数学思想方法的运用，在利用诱导公式进行三角式的化简，求值时，要注意正负号的选取．
[例2] 已知2＋tan （θ－π）
1＋tan （2π－θ）＝－4，求(sin θ－3cos θ)·(cos θ－sin θ)的值．
解：法一：由已知2＋tan θ
1－tan θ
＝－4，
所以2＋tan θ＝－4(1－tan θ)，解得tan θ＝2， 所以(sin θ－3cos θ)(cos θ－sin θ)＝
4sin θcos θ－sin 2θ－3cos 2
θ＝
4sin θcos θ－sin 2
θ－3cos 2
θsin 2θ＋cos 2θ＝4tan θ－tan 2
θ－3
tan 2
θ＋1＝ 8－4－34＋1＝15
. 法二：由已知2＋tan θ1－tan θ＝－4，
解得tan θ＝2，即sin θ
cos θ＝2，
所以sin θ＝2cos θ，
所以(sin θ－3cos θ)(cos θ－sin θ)＝ (2cos θ－3cos θ)(cos θ－2cos θ)＝ cos 2
θ＝cos 2
θsin 2θ＋cos 2θ＝1tan 2
θ＋1＝1
5
.
归纳升华
三角函数式的化简，求值与证明问题的依据主要是同角三角函数的关系式及诱导公式．解题中的常用技巧有：(1)弦切互化，减少或统一函数名称；(2)“1”的代换，如：1＝sin 2
α＋cos 2
α(常用于解决有关正、余弦齐次式的化简求值问题中)，1＝tan π4等；(3)若式子中有角k π
2
，k ∈Z ，则先利用诱导公式化简．
[变式训练] 已知tan α＝2，求下列各式的值： (1)1
sin 2α－sin αcos α－cos 2
α； (2)2sin 2α－32
sin αcos α＋5cos 2
α.
解：(1)原式＝sin 2
α＋cos 2
αsin 2α－sin αcos α－cos 2
α＝tan 2
α＋1tan 2 α－tan α－1＝4＋1
4－2－1＝5. (2)原式＝2sin 2α－32
sin αcos α＋5cos 2
α
sin 2α＋cos 2
α ＝2tan 2
α－32
tan α＋5
tan 2
α＋1 ＝2×4－3
2
×2＋5
4＋1
＝2.
专题三 三角函数的图象及变换
三角函数的图象是研究三角函数性质的基础，又是三角函数性质的具体体现．在平时的考查中，主要体现在三角函数图象的变换和解析式的确定，以及通过对图象的描绘、观察来讨论函数的有关性质．
[例3] 函数y ＝A sin(wx ＋φ)的部分图象如图所示，则( )
A ．y ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π6
B ．y ＝2sin ⎝
⎛⎭⎪⎫2x －π3 C ．y ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π6 D ．y ＝2sin ⎝
⎛⎭⎪⎫x ＋π3 解析：由图象知T 2＝π3－⎝ ⎛⎭⎪⎫－π6＝π2，故T ＝π，因此ω＝2π
π
＝2.
又图象的一个最高点坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫π3，2，所以A ＝2，且2×π3＋φ＝2k π＋π2(k ∈Z)，故φ＝2k π－π6(k ∈Z)，
结合选项可知y ＝2sin ⎝
⎛⎭⎪⎫2x －π6.故选A.
答案：A
归纳升华
1．求解析式的方法：A ＝y max －y min
2
，k ＝
y max ＋y min
2，ω＝2πT ，由“五点作图法”中方法令ωx ＋φ＝0，π
2
，π，
3
2
π或2π求φ. 2．图象变换中应注意方向变化与解析式加减符号变化相对应．
[变式训练] 函数y ＝sin x
2的图象沿x 轴向左平移π个单位长度后得到函数的图象的一个对称中心是( )
A ．(0，0)
B ．(π，0)
C.⎝
⎛⎭⎪⎫π2，0
D.⎝ ⎛⎭
⎪⎫－π2，0
解析：函数y ＝sin x 2的图象沿x 轴向左平移π个单位长度后得到函数y ＝sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤12（x ＋π）＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫12
x ＋π2
＝cos 1
2x 的图象，它的一个对称中心是(π，0)．
答案：B
专题四 三角函数的性质
三角函数的性质，重点应掌握y ＝sin x ，y ＝cos x ，y ＝tan x 的定义域、值域、单调性、奇偶性、对称性等有关性质，在此基础上掌握函数y ＝A sin(ωx ＋φ)，y ＝A cos(ωx ＋φ)及y ＝A tan(ωx ＋φ)的相关性质．在研究
其相关性质时，将ωx ＋φ看成一个整体，利用整体代换思想解题是常见的技巧．
[例4] 已知函数f (x )＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π6＋a ＋1(其中a 为常数)． (1)求f (x )的单调区间；
(2)若x ∈⎣
⎢⎡⎦⎥⎤0，π2时，f (x )的最大值为4，求a 的值；
(3)求f (x )取最大值时x 的取值集合．
解：(1)由－π2＋2k π≤2x ＋π6≤π2＋2k π，k ∈Z ，解得－π3＋k π≤x ≤π
6＋k π，k ∈Z ，所以函数f (x )的单调
增区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π3＋k π，π6＋k π(k ∈Z)，由π2＋2k π≤2x ＋π6≤3π2＋2k π，k ∈Z ，解得π6＋k π≤x ≤2π3＋k π，k
∈Z ，
所以函数f (x )的单调减区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤π6＋k π，2π3＋k π
(k ∈Z)．
(2)因为0≤x ≤π2，所以π6≤2x ＋π6≤7π
6，
所以－12≤sin ⎝
⎛⎭⎪⎫2x ＋π6≤1，
所以f (x )的最大值为2＋a ＋1＝4，所以a ＝1， (3)当f (x )取最大值时，2x ＋π6＝π
2＋2k π，
所以2x ＝π3＋2k π，所以x ＝π
6＋k π，k ∈Z.
所以当f (x )取最大值时，x 的取值集合是
⎩⎨⎧⎭
⎬⎫x ⎪⎪⎪x ＝π
6＋k π，k ∈Z .
归纳升华
1．形如y ＝A sin(ωx ＋φ)＋k 单调区间求法策略：可把“ωx ＋φ”看作一个整体，代入正弦函数的相应区间求解．
2．求形如y ＝A sin(ωx ＋φ)＋k 的值域和最值时，先求复合角“ωx ＋φ”的范围，再利用y ＝sin x 的性质来求解．
[变式训练] (2014·安徽卷)设函数f (x )(x ∈R)满足f (x ＋π)＝f (x )＋sin x ，当0≤x ≤π时，f (x )＝0，则
f ⎝
⎛⎭
⎪⎫23π6＝( ) A.12 B.32 C ．0 D ．－12
解析：因为f (x ＋2π)＝f (x ＋π)＋sin(x ＋π)＝f (x )＋sin x －sin x ＝f (x )，所以f (x )的周期T ＝2π，
又因为当0≤x <π时，f (x )＝0，所以f ⎝
⎛⎭
⎪⎫5π6＝0，
即f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π6＋π＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π6＋sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π6＝0， 所以f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π6＝12
，
所以f ⎝
⎛⎭⎪⎫23π6＝f ⎝
⎛⎭⎪⎫4π－π6＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π6＝12.
答案：A
专题五 转化与化归思想
化归思想贯穿本章的始终，在三角函数的恒等变形中，同角关系式和诱导公式常化繁为简，化异为同，弦切互化；在研究三角函数的图象与性质时，常把函数y ＝A sin(ωx ＋φ)化归为简单的y ＝sin x 来研究．这些均体现三角函数中的转化与化归的思想方法．
[例5] 求函数y ＝12sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫
π4－23x 的单调区间．
解：将原函数化为y ＝－12sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫
23x －π4.
由2k π－π2≤23x －π4≤2k π＋π
2
(k ∈Z)，
得3k π－38π≤x ≤3k π＋9
8
π(k ∈Z)，此时函数单调递减．
由2k π＋π2≤23x －π4≤2k π＋32π(k ∈Z)，得3k π＋98π≤x ≤3k π＋21
8π(k ∈Z)，此时函数单调递增．
故原函数的单调递减区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤3k π－38π，3k π＋98π
(k ∈Z)，
单调递增区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤3k π＋98π，3k π＋218π(k ∈Z)．
归纳升华
1．求形如函数y ＝A sin(ωx ＋φ)，(ω<0)的单调区间时：先把此函数化为y ＝－A sin(－ωx －φ)的形式后，再利用函数y ＝sin x 的单调区间来求解是常用策略，其目的是使x 的系数为正数是关键．
2．在求形如y ＝A sin 2
x ＋B sin x ＋C 的值域或最值时，常令t ＝sin x 转化为一元二次函数来求解． [变式训练] 已知函数f (α)＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π2cos ⎝ ⎛⎭
⎪⎫3π2＋αtan （2π－α）
tan （α＋π）sin （α＋π）.
(1)化简f (α)；
(2)若f (α)·f ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π2＝－18，且5π4≤α≤3π2，求f (α)＋f ⎝
⎛⎭⎪⎫α＋π2的值；
(3)若f ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π2＝2f (α)，求f (α)·f ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π2的值． 解：(1)f (α)＝－cos α·sin α·（－tan α）
tan α·（－sin α）＝－cos α.
(2)由(1)知f ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π2＝－cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π2＝sin α， 因为f (α)·f ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π2＝－18，即cos α·sin α＝18， 可得(sin α－cos α)2
＝34，
又
5π4≤α≤3π
2
，cos α≥sin α， 所以f (α)＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π2＝sin α－cos α＝－32.
(3)由f ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π2＝2f (α)结合(2)得sin α＝－2cos α， 联立sin 2α＋cos 2α＝1，解得cos 2
α＝15
，
所以f (α)·f ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π2＝－cos α·sin α＝2cos 2
α＝25.。