2019年华师大版中考总复习知识点梳理：第20讲特殊平行四边形.doc

第20讲特殊的平行四边形
如图，四边形
的形状是矩形.
图①图②
2019-2020学年数学中考模拟试卷
一、选择题
1．如图，等边三角形ABC 的边长为4，点O 是△ABC 的内心，∠FOG ＝120”，绕点O 旋转∠FOG ，分别交线段AB 、BC 于D 、E 两点，连接DE ，给出下列四个结论：①OD ＝OE ：②S △ODE ＝S △BDE ：③四边形ODBE 的面
；④△BDE 周长的最小值为6．上述结论中正确的个数是（ ）
A.1
B.2
C.3
D.4
2．如图，Rt △ABC 中．∠BAC ＝90°，AB ＝1，AC ＝2．点D ，E 分别是边BC ，AC 上的动点，则DA+DE 的最小值为（ ）
A. B. C. D.
3．下列各式中，是3x 2y 的同类项的是 （ ） A ．2a 2b
B ．－2x 2yz
C ．x 2y
D ．3x 3
4．在数轴上，与原点的距离是2个单位长度的点所表示的数是（ ） A ．2
B ．2-
C ．2±
D ．12
±
5．如图，直径为单位1 的圆从数轴上的原点沿着数轴无滑动地顺时针滚动一周到达点A ，则点A 表示的数是（ ）
A ．2
B C ．π D ．4
6．如图，为了美化校园，学校在一块边角空地建造了一个扇形花圃，扇形圆心角∠AOB ＝120°，半径OA 为9m ，那么花圃的面积为（ ）
A ．54πm 2
B ．27πm 2
C ．18πm 2
D ．9πm 2
7．已知x 1，x 2是一元二次方程x 2
﹣3x+1＝0的两实数根，则12
11
1313x x +--的值是（ ）
A ．﹣7
B ．﹣1
C ．1
D ．7
8．下列命题中哪一个是假命题（ ） A ．8的立方根是2
B ．在函数y ＝3x 的图象中，y 随x 增大而增大
C ．菱形的对角线相等且平分
D ．在同圆中，相等的圆心角所对的弧相等
9．如图，D 、E 分别是ABC ∆的边AB 、BC 上的点，DE AC ，AE 、CD 相交于点O ，则下列结
论一定正确的是（ ）
A ．
BD EO
AD AO
= B ．
CO CE
CD CB
= C ．
AB CO
BD OD
= D ．
BD OD
BE OE
= 10
x 的取值范围是( ) A ．x 3=
B ．x 3>
C ．x 3≥
D ．x 0≠
11．方程kx 2
﹣2x ﹣1＝0有实数根，则k 的取值范围是（ ） A.k≠0且k≥﹣1
B.k≥﹣1
C.k≠0且k≤﹣1
D.k≠0或k≥﹣1
12．已知直线y=x+1与反比例函数k
y x
=
的图象的一个交点为P(a,2),则ak 的值为（ ） A ．2 B ．
12 C ．-2
D ．-
12
二、填空题
13．如图，在平面直角坐标系xOy 中，
已知A ，B(0,6)，M(0,2)，点Q 在直线AB 上，把BMQ 沿着直线MQ 翻折，点B 落在点P 处，联结PQ ，如果直线PQ 与直线AB 所构成的夹角为60°，那么点P 的坐标是
____________
14．如图,正方形ABCD 的边长为2,点E 为边AB 上一动点,连接CE 并将其绕点C 顺时针旋转90°得到CF,连接DF,以CE 、CF 为邻边作矩形CFGE,GE 与AD 、AC 分别交于点H 、M,GF 交CD 的延长线于点N.
现有以下结论:①△DCF ≌△BCE;②BE·AH=AE·DN;③若MN ∥EF,则④当AE=1时,DH 取得最小值
3
2
.其中正确的结论是__.(填写所有正确结论的序号)
15．抛物线y ＝2（x+3）2+4与y 轴交点坐标为_____．
16．定义运算“※”的运算法则为：a ※b ，则（2※3）※3＝_____． 17．请写出一个是轴对称图形的多边形名称：__________．
18．某商店三月份的利润是25000元，要使五月份的利润达到36000元，假设每月的利润增长率相同，那么这个相同的增长率是________ 三、解答题
19．如图1，一副直角三角板满足AB ＝BC ，AC ＝DE ，∠ABC ＝∠DEF ＝90°，∠EDF ＝30°将三角板DEF 的直角顶点E 放置于三角板ABC 的斜边AC 上，再将三角板DEF 绕点E 旋转，并使边DE 与边AB 交于点P ，边EF 与边BC 于点Q
（1）如图2，当
1CE
EA = 时，EP 与EQ 满足怎样的数量关系？并给出证明． （2）如图3，当2CE
FA
=时 ①EP 与EQ 满足怎样的数量关系？，并说明理由．
②在旋转过程中，连接PQ ，若AC ＝30cm ，设EQ 的长为xcm ，△EPQ 的面积为S （cm 2
），求 S 关于x 的函数关系，并求出x 的取值范围．
20．如图是某种品牌的篮球架实物图与示意图，已知底座BC ＝0.6米，底座BC 与支架AC 所成的角∠ACB ＝75°，支架AF 的长为2.5米，篮板顶端F 点到篮框D 的距离FD ＝1.4米，篮板底部支架HE 与支架AF 所成的角∠FHE ＝60°，求篮框D 到地面的距离．（精确到0.1米．参考数据：cos75°≈0.3，
sin75°≈0.9，≈1.4）
21．直觉的误差：有一张8cm×8cm 的正方形纸片，面积是64cm 2．把这些纸片按图1所示剪开成四小块，其中两块是三角形，另外两块是梯形．把剪出的4个小块按图2所示重新拼合，这样就得到了一个13cm×5cm 的长方形，面积是65cm 2，面积多了1cm 2，这是为什么？ 小明给出如下证明：如图2，可知，tan ∠CEF ＝
83，tan ∠EAB ＝5
2
，∵tan ∠CEF ＞tan ∠EAB ，∴∠CEF ＞∠EAB ，∵EF ∥AB ，∴∠EAB+∠AEF ＝180°，∴CEF+∠AEF ＞180°，因此A 、E 、C 三点不共线．同理A 、G 、C 三点不共线，所以拼合的长方形内部有空隙，故面积多了1cm 2
（1）小红给出的证明思路为：以B 为原点，BC 所在的直线为x 轴，建立平面直角坐标系，证明三点不共线．请你帮小红完成她的证明；
（2）将13cmx13cm 的正方形按上述方法剪开拼合，是否可以拼合成一个长方形，但面积少了1cm 2
？如果能，求出剪开的三角形的短边长；如果不能，说明理由．
22．先化简，再求值：22299
(6)3a a a a a
-+÷+-，其中a 2﹣4a+3＝0．
23．如图，某校准备给长12米，宽8米的矩形ABCD 室内场地进行地面装饰，现将其划分为区域Ⅰ（菱形PQFG ），区域Ⅱ（4个全等的直角三角形），剩余空白部分记为区域Ⅲ；点O 为矩形和菱形的对称中心，OP AB ，2OQ OP =，12AE PM =，为了美观，要求区域Ⅱ的面积不超过矩形ABCD 面积的18
，若设OP x =米.
（1）当3
x =
时，求区域Ⅱ的面积. （2）计划在区域Ⅰ，Ⅱ分别铺设甲，乙两款不同的深色瓷砖，区域Ⅲ铺设丙款白色瓷砖，
①在相同光照条件下，当场地内白色区域的面积越大，室内光线亮度越好.当x 为多少时，室内光线亮度最好，并求此时白色区域的面积.
②三种瓷砖的单价列表如下，,m n 均为正整数，若当2x =米时，购买三款瓷砖的总费用最少，且最少费用为7200元，此时m =__________，n =__________. 24．(1)解方程：x 2+x ＝8．
(2)解不等式组：53165142
x x x x ≤+⎧⎪
⎨-<+⎪⎩．
25．如图，在半圆弧AB 中，直径6AB =cm ，点M 是AB 上一点，2MB =cm ，
P 为AB 上一动点，PC
AB ⊥交AB 于点C ，连接AC 和CM ，设A 、P 两点间的距离为x cm ，A 、C 两点间的距离为1y cm ，C 、M 两点间的距离为2y cm.小东根据学习函数的经验，分别对函数1y 、2y 随自变量x 的变化而变化的规律进行了探究：
下面是小东的探究过程，请补充完整：
（1）按照下表中自变量x 的值进行取点、画图、测量，分别得到了1y ，2y 与x 的几组对应值；
（2）在同一平面直角坐标系xOy 中，描出补全后的表中各组数值所对应的点（x ，1y ），（x ，2y ），并画出函数1y ，2y 的图象；
（3）结合函数图象，解决问题：①当AC CM >时，线段AP 的取值范围是 ；②当AMC ∆是等腰三角形时，线段AP 的长约为 .
【参考答案】*** 一、选择题
二、填空题
13．(-或(0,2)-或4) 14．①②④ 15．（0，22）. 16．2
17．正六边形(答案不唯一) 18．20% 三、解答题
19．(1)EP ＝EQ ，理由见解析；（2）①EQ ＝2EP ，理由见解析；②2
14
S x x =. 【解析】 【分析】
（1）连接BE ，根据已知条件得到E 是AC 的中点，根据等腰直角三角形的性质可以证明BE=CE ，∠PBE=∠C ，根据等角的余角相等可以证明∠BEP=∠CEQ ，即可得到全等三角形，从而证明结论；
（2）①作EM ⊥AB 于点M ，EN ⊥BC 于点N ，证明△MEP ∽△NEQ ，发现EP ：EQ=ME-NE=AE ：CE ，继而得出结果；
②设EQ=x ，根据上述结论，可用x 表示出S ，确定EQ 的最大值，及最小值后，可得出x 的取值范围．
【详解】
（1）连接BE ，如图2：
证明：∵点E 是AC 的中点，△ABC 是等腰直角三角形， ∴BE ＝EC ＝AE ，∠PBE ＝∠C ＝45°， ∵∠PEB+∠BEQ ＝∠QEC+∠BEQ ＝90°， ∴∠PEB ＝∠QEC ， 在△BEP 和△CEQ 中，
BEP CEQ BE CE
PBE C ∠=∠⎧⎪
=⎨⎪∠=∠⎩
， ∴△BEP ≌△CEQ （ASA ）， ∴EP ＝EQ ．
（2）①作EM ⊥AB 于点M ，EN ⊥BC 于点N ，如图3：
∵∠A ＝∠C ＝45°， ∴EM ＝AM ，EN ＝CN ，
∵∠MEP+∠PEN ＝∠NEQ+∠PEN ＝90°， ∴∠MEP ＝∠NEQ ，
又∵∠EMP ＝∠ENQ ＝90°， ∴△MEP ∽△NEQ ，
∴EP ：EQ ＝ME ：NE ＝ME ：CN ＝AE ：CE ＝1：2， 故EQ ＝2EP ；
②设EQ ＝x ，由①得，EP ＝1
2
x ， ∴S △EPQ ＝
12EP×EQ＝1
4
x 2， 当EQ ＝EF 时，EQ 取得最大，此时EQ
＝DE×tan30°＝30×
3
＝
当EQ ⊥BC 时，EQ 取得最小，此时EQ
＝EC×sin45°＝20×
2
＝
，
即x ≤
综上可得：S ＝14
x 2
（． 【点睛】
本题考查了几何变换综合题，涉及了等腰直角三角形的性质、全等三角形的判定与性质、相似三角形的判定与性质，综合考察的知识点较多，对于此类综合性较强的题目，关键还是需要同学们有扎实的基本功，注意培养自己的融会贯通能力． 20．篮框D 到地面的距离是2.9米． 【解析】 【分析】
延长FE 交CB 的延长线于M ，过A 作AG ⊥FM 于G ，解直角三角形即可得到结论． 【详解】
解：延长FE 交CB 的延长线于M ，过A 作AG ⊥FM 于G ， 在Rt △ABC 中，tan ∠ACB ＝
,AB
BC
∴AB ＝BC •tan75°＝0.60×3.732＝2.22， ∴GM ＝AB ＝2.22，
在Rt △AGF 中，∵∠FAG ＝∠FHE ＝60°，sin ∠FAG ＝
,FG
AF
∴sin60°＝
2.5FG = ∴FG ＝2.125，
∴DM ＝FG+GM ﹣DF≈2.9米． 答：篮框D 到地面的距离是2.9米．
【点睛】
考查解直角三角形的应用，构造直角三角形，选择合适的锐角三角函数是解题的关键. 21．(1) 见解析；(2) 5cm 【解析】 【分析】
(1)以B 为原点，BC 所在的直线为x 轴，建立平面直角坐标系，在Rt △EFC 中，求出EC 的长，在直角梯形ABFE 中，求出AE 长，若A 、E 、C 三点共线，则在Rt △ABC 中，利用勾股定理求出AC 长，比较AC 与
AE+EC的大小即可得出结论；
(2)设剪开的长方形短边长为xcm，根据题意可得关于x的方程，解方程即可求得答案.
【详解】
(1)以B为原点，BC所在的直线为x轴，建立平面直角坐标系，
在Rt△EFC中，EC
在直角梯形ABFE中，过点E作EM⊥AB，则四边形BFEM是矩形，
∴BM=EF=3，
∴AM=5-3=2，
∴AE
若A、E、C三点共线，则在Rt△ABC中，
AC=
≠
∴A、E、C三点共线不共线，
∴所以拼合的长方形内部有空隙；
(2)设剪开的长方形短边长为xcm，
根据题意可得：
(13﹣x)(13+13﹣x)＝13×13﹣1，
∴x2﹣39x+170＝0，
∴x＝5或x＝34(舍)，
∴可以拼成成一个长方形，但面积少了1cm2，剪开的三角形的短边长是5cm.
【点睛】
本题考查了勾股定理、矩形的判定与性质，正方形性质，一元二次方程的应用等，综合性较强，熟练掌握相关知识是解题的关键.
22．1
4
.
【解析】
【分析】
根据分式的运算法则即可求出答案．【详解】
原式＝
2(3)(3)(3)69
a a a
a a a a +-⋅-++
＝2
3(3)a a a a +⋅+ ＝
13
a + ∵a 2
﹣4a+3＝0，
∴a 1＝1 a 2＝3（舍去） ∴原式＝
14
【点睛】
本题考查分式的运算，解题的关键是熟练运用分式的运算法则，本题属于基础题型． 23．（1）8m 2
;（2）68m 2
;(3) 40，8 【解析】 【分析】
（1）根据中心对称图形性质和,OP AB ,12OM AB =,12AE PM =可得42x AE -=,即可解当8
3
x =时，4个全等直角三角形的面积；
（2）白色区域面积即是矩形面积减去一二部分的面积，分别用含x 的代数式表示出菱形和四个全等直角三角形的面积，列出含有x 的解析式表示白色区域面积，并化成顶点式，根据04OP <<，06OQ <≤，
1
968
II S ≤⨯，求出自变量的取值范围，再根据二次函数的增减性即可解答；
（3）计算出x=2时各部分面积以及用含m 、n 的代数式表示出费用，因为m,n 均为正整数，解得m=40，n=8. 【详解】
（1） ∵O 为长方形和菱形的对称中心，OP AB ，∴1
42
OM AB == ∵12AE PM =
，OP PM OM +=，∴42x AE -= ∴当83x =时，41223AE -=
=，2112
4468223
II S AM AE m =⨯⋅=⨯⨯⨯= （2）∵()2211442422I S OP OQ x x x m =⨯⋅=⨯⋅=，()2
14(246)2
II S AM AE x m =⨯⋅=-
∴I III
I I S AB BC S S =⋅--=-()2
2
2
34672474.254x x x m ⎛⎫++=--+ ⎪
⎝
⎭， ∵04OP <<，06OQ <≤，1
968
II S ≤
⨯ ∴04026124696
8x x x ⎧
⎪<<⎪
<≤⎨⎪⎪-≤⨯⎩
解不等式组得23x ≤≤，
∵40a =-<，结合图像，当3
4
x ≥
时，III S 随x 的增大而减小. ∴当2x =时， III S 取得最大值为()2
2
42627268m
-⨯+⨯+=
（3）∵当2x =时，S Ⅰ=4x 2=16 m 2，246II S x =-=12 m 2，III S =68m 2，总费用:16×2m+12×5n+68×2m=7200,化简得：5n+14m=600,因为m,n 均为正整数，解得m=40，n=8. 【点睛】
本题考查中心对称图形性质，菱形、直角三角形的面积计算，二次函数的最值问题，解题关键是用含x 的二次函数解析式表示出白色区面积. 24．(1)x
＝12
-±；(2)﹣1＜x≤8． 【解析】 【分析】
（1）利用根的判别式即可解答 （2）分别求出不等式的解集，即可解答 【详解】
(1)整理得：x 2+x ﹣8＝0， ∵a ＝1、b ＝1、c ＝﹣8，
∴b 2﹣4ac ＝12﹣4×1×(﹣8)＝1+32＝33＞0， 则x
； (2)解不等式组：53165142
x x x x ≤+⎧⎪
⎨-+⎪⎩①＜② ，
解不等式①得：x≤8， 解不等式②得：x ＞﹣1，
∴原不等式组的解集是﹣1＜x≤8． 【点睛】
此题考查解一元二次方程和不等式组的解，解题关键在于掌握运算法则 25．（1）见解析；（2）见解析；（3）①26AP <≤，②2或2.6. 【解析】 【分析】
（1）求出PM ，由y 2的值通过勾股定理求出PC 2，再次运用勾股定理即可求出y 1； （2）根据表格数据描点连线即可；
（3）①结合函数图像，找到y 1在y 2上方时x 的取值范围； ②观察函数图像，找到当y 1=y 2，y 1=4=AM 时x 的值即可. 【详解】
解：（1）∵AP=3， ∴PM=6-3-2=1，
∵CM=3.16,
∴PC 2
=22223.1618.9856CM PM -=-= ，
∴AC=y 1 4.24=≈，
补全下表：
（2）描点（x ，1y ），画出函数1y 的图象：
（3）①观察函数图像可知，当y 1＞y 2时，26x <≤， 线段AP 的取值范围是26AP <≤； ②观察图像可知，当y 1=y 2时,x=2, 当y 1=4=AM 时，x≈2.6， ∴线段AP 的长约为2或2.6 【点睛】
本题考查了圆的基本性质、勾股定理以及函数的相关知识，解题的关键是理解题意，学会利用数形结合的思想思考问题，属于中考常考题型．
2019-2020学年数学中考模拟试卷
一、选择题
1．若m ＞n ，则下列不等式正确的是（ ） A ．m+2＜n+2
B ．m ﹣2＜n ﹣2
C ．﹣2m ＜﹣2n
D ．m 2＞n 2
2．为落实“垃圾分类”，换位部门将某住宅小区的垃圾箱设置为,,A B C 三类。

广宇家附近恰好有,,A B C 三类垃圾箱各一个，广宇姐姐将家中的垃圾对应分为,A B 两包，如果广宇将两包垃圾随机投放到其中的两个垃圾箱中，能实现对应投放的概率是（ ） A ．
1
3
B ．
29
C ．
19
D ．
16
3．如图1．已知正△ABC 中，E ，F ，G 分别是AB ，BC ，CA 上的点，且AE ＝BF ＝CG ，设△EFG 的面积为y ，AE 的长为x ，y 关于x 的函数图象如图2，则△EFG 的最小面积为（ ）
C.2
4．如图，直线l 1⊥x 轴于点（1，0），直线l 2⊥x 轴于点（2，0），直线l 3⊥x 轴于点（3，0），……直线l n ⊥x 轴于点（n ，0）．函数y ＝x 的图象与直线l 1、l 2、l 3、…、l n 分别交于点A 1、A 2、A 3、…、A n ；函数y ＝2x 的图象与直线l 1、l 2、l 3、…、l n 分别交于点B 1、B 2、B 3、…、B n ．如果△OA 1B 1的面积记作S 1，四边形A 1A 2B 2B 1的面积记作S 2，四边形A 2A 3B 3B 2的面积记作S 3，…，四边形A n ﹣1A n B n B n ﹣1的面积记作S n ，那么S 2018＝（ ）
A ．2017.5
B ．2018
C ．2018.5
D ．2019
5．北京城市副中心生态文明建设在2016年取得突出成果，通过大力推进能源结构调整，热电替代供热面积为17960000平方米．将17960000用科学记数法表示应为（ ） A ．1.796×106
B ．17.96×106
C ．1.796×107
D ．0.1796×107
6．下面的图案中既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ）
A ．
B ．
C ．
D ．
7．如图，已知抛物线y ＝ax 2+bx+c 经过点(﹣1，0)，以下结论：①2a+b ＞0；②a+c ＜0；③4a+2b+c ＞0；④b 2
﹣5a 2
＞2ac ．其中正确的是( )
A ．①②
B ．③④
C ．②③④
D ．①②③④
8．如图为二次函数y=ax 2
+bx+c 的图象，给出下列说法：①ab ＜0；②方程ax 2
+bx+c=0的根为x 1=-1，x 2=3；③a+b+c ＞0；④当x ＜1时，y 随x 值的增大而增大；⑤当y ＞0时，x ＜-1或x ＞3．其中，正确的说法有（ ）
A ．①②④
B ．①②⑤
C ．①③⑤
D ．②④⑤
9．下列说法正确的是（ ）
A.了解“贵港市初中生每天课外阅读书籍时间的情况“最适合的调查方式是全面调查
B.甲乙两人跳绳各10次，其成绩的平均数相等，若22
s s 甲乙则甲的成绩比乙的稳定
C.平分弦的直径垂直于弦
D.“任意画一个三角形，其内角和是360°”是不可能事件
10．某校对部分参加研学旅行社会实践活动的中学生的年龄（单位：岁）进行统计，结果如表：
则这些学生年龄的众数和中位数分别是（ ） A ．15，14
B ．15，13
C ．14，14
D ．13，14
11．若一个多边形的内角和等于1620°，则这个多边形的边数为（ ） A ．9
B ．10
C ．11
D ．12
12．如图，将图1中阴影部分拼成图2，根据两个图形中阴影部分的关系，可以验证下列哪个计算公式（ ）
A ．（a+b ）（a ﹣b ）＝a 2﹣b 2
B ．（a ﹣b ）2＝a 2﹣2ab+b 2
C ．（a+b ）2＝a 2+2ab+b 2
D ．（a+b ）2＝（a ﹣b ）2+4ab
二、填空题
13．在直角三角形ABC 中，90ACB ∠=︒，AB =10，3
4
tanA =，点P 为边BC 的三等分点，连接AP ，则AP 的长为_____. 14．已知函数1
23m y x
-=+的图像是一条抛物线，则m=_______ .
15．计算：|1|=_____．
16．如图,直径分别为CD.CE 的两个半圆相切于点C,大半圆M 的弦与小半圆N 相切于点F,且AB ∥CD,AB=10,设弧CD.弧CE 的长分别为x .y ,线段ED 的长为z ,则)(y x z +的值为 ．
17．如图，在4×5的正方形网格中点A ，B ，C 都在格点上，则tan ∠ABC ＝_____．
18．若点P （m ，2）与点Q （3，n ）关于x 轴对称，则P 点关于原点对称的点M 的坐标为_____． 三、解答题
19．在平面直角坐标系中，对于点P （a ，b ），若点P′的坐标为（b
a k
+，ka b +）（其中k 为常数，且k≠0），则称点P′为点P 的“k 关联点”．
（1）点P （﹣3，4）的“2关联点”P′的坐标是_______________;
（2）若a 、b 为正整数，点P 的“k 关联点”P′的坐标为（3，9），请直接．．写出k 的值及点P 的坐标；
（3）如图，点Q 的坐标为（0，2 ），点A 在函数(0)y x x
=-
<的图象上运动，且点A 是点B 的“﹣
关联点”，求线段BQ 的最小值．
20．在平面直角坐标系xOy 中. 已知抛物线2
2y ax bx a =++-的对称轴是直线x=1. （1）用含a 的式子表示b ，并求抛物线的顶点坐标；
（2）已知点()0,4A -，()2,3B -，若抛物线与线段AB 没有公共点，结合函数图象，求a 的取值范围； （3）若抛物线与x 轴的一个交点为C （3，0），且当m x n ≤≤时，y 的取值范围是6m y ≤≤，结合函数图象，直接写出满足条件的m ，n 的值.
21．如图1，直线1：y ＝﹣x+1与x 轴、y 轴分别交于点B 、点E ，抛物线L ：y ＝ax 2+bx+c 经过点B 、点A （﹣3，0）和点C （0，﹣3），并与直线l 交于另一点D ．
（1）求抛物线L 的解析式； （2）点P 为x 轴上一动点
①如图2，过点P 作x 轴的垂线，与直线1交于点M ，与抛物线L 交于点N ．当点P 在点A 、点B 之间运动时，求四边形AMBN 面积的最大值；
②连接AD ，AC ，CP ，当∠PCA ＝∠ADB 时，求点P 的坐标．
22．在四边形ABCD 中，AB ＝AD ，请利用尺规在CD 边上求作一点P ，使得S △PAB ＝S △PAD ，（保留作图痕迹，不写作法）．
23．已知AB 为
O 的直径，EF 切O 于点D ，过点B 作BH EF ⊥于点H ，交O 于点C ，连接BD .
(Ⅰ)如图①，若BDH 65∠=︒，求ABH ∠的大小； (Ⅱ)如图②，若C 为BD 的中点，求ABH ∠的大小.
24．在平面直角坐标系中，ABC ∆的顶点坐标分别为(3,0)A ，(0,4)B ，(3,0)C -.动点M ，N 同时从点
A 出发，M 沿A C →，N 沿折线A
B
C →→，均以每秒1个单位长度的速度移动，当一个动点到达
终点C 时，另一个动点也随之停止移动，移动时间记为t 秒，连接MN .
（Ⅰ）如图1，当点N 移动到AB 中点时，求此时t 的值及M 点坐标； （Ⅱ）在移动过程中，将AMN ∆沿直线MN 翻折，点A 的对称点为1A . ①如图2，当点1A 恰好落在BC 边上的点D 处时，求此时t 的值；
②当点M 移动到点C 时，点1A 落在点E 处，求此时点E 的坐标（直接写出结果即可）.
25．如图，在平行四边形ABCD 中，点H 为DC 上一点，BD 、AH 交于点O ，△ABO 为等边三角形，点E 在线段AO 上，OD ＝OE ，连接BE ，点F 为BE 的中点，连接AF 并延长交BC 于点G ，且∠GAD ＝60°． （1）若CH ＝2，AB ＝4，求BC 的长； （2）求证：BD ＝AB+AE ．
【参考答案】*** 一、选择题
二、填空题
13．14．m=3
151 16．50π． 17．
12
18．（﹣3，﹣2） 三、解答题
19．（1）(-1,-2)； （2）3k =， P(1,6)或P(2,3)；（3）BQ 【解析】 【分析】
（1）根据题中的新定义求出点P （-3，4）的“2关联点”P′的坐标即可； （2）根据题中的新定义求出a 与b 的关系式即可；
（3）设点B 的坐标为（m ，n ），从而表示出点A 的坐标（
m+n ），由点A 在函数(0)y x x
=-
<
的图象上可得到m 、n 之间的关系n=4+m ．然后将BQ 2用m 的代数式表示，根据二次函数的最值性，求出BQ 最小值． 【详解】
（1）∵x=-3+42
=-1，y=2×（-3）+4=-2， ∴P′（-1，-2）； （2）设P （a ，b ），则P′（b a k +
，ka+b ） ∴39
b a k ka b ⎧+⎪⎨⎪+⎩＝＝， ∴k=3，
∴3a+b=9．
∵a 、b 为正整数
∴P′（1，6）、（2，3）；
（3）设点B 的坐标为（m ，n ），
∵点A 是点B
关联点”，
∴点A 的坐标为（
m+n ），
∵点A
在函数0)y x =<的图象上， ∴（
（
m+n ）
，且
＜0．
整理得：（
2=8．
∵
＜0， ∴
∴
m ．
∴点B 的坐标为（m ，
m ）．
过点B 作BH ⊥OQ ，垂足为H ，如图所示．
∵点Q 的坐标为（0，2），
∴QH 2=（m ）2=（m ）2，BH 2=m 2．
∴BQ 2=BH 2+QH 2
=m 2+（m ）2
=3m 2m+4
=3（2+43
∵3＞0，
∴当BQ 2最小，即BQ 2 =43．
∴． 【点睛】
本题考查了反比例图象上点的坐标特征、二次函数的最值等知识，考查了新定义下的阅读理解能力，有一定的综合性．
20．（1）2b a =-，抛物线的顶点为()1,2-；（2）10a -<<或0a >；（3）25m n =-⎧⎨
=⎩或25.m n ⎧=+⎪⎨=⎪⎩ 【解析】
【分析】
（1）由12b a
-=，则2b a =-.得到抛物线方程.则当1x =时，抛物线的顶点为()1,2-. （2）分条件讨论0a > ，0a <，将点B 代入方程得3442a a a -=-+-，解得1a =-.
由于抛物线与线段AB 没有公共点，则10a -<<或0a >.
（3）根据题意抛物线与x 轴的一个交点为C （3，0），且当m x n ≤≤时，y 的取值范围是6m y ≤≤，作出图象，即可得出答.
【详解】
解：（1）∵12b a
-
=， ∴2b a =-.
∴抛物线为222y ax ax a =-+-.
当1x =时，222y a a a =-+-=-，
∴抛物线的顶点为()1,2-.
（2）若0a >，抛物线与线段AB 没有公共点；
若0a <，当抛物线经过点()2,3B -时，它与线段AB 恰有一个公共点，此时3442a a a -=-+-，解得1a =-.
∵抛物线与线段AB 没有公共点，
∴结合函数图像可知，10a -<<或0a >.
（3）根据题意作抛物线与x 轴交点图，通过图象即可得出25m n =-⎧⎨=⎩
或25.m n ⎧=⎪⎨=⎪⎩
【点睛】
本题考查二元一次函数和一元一次函数的综合，解题的关键是熟练掌握二元一次函数和一元一次函数的性质和求解.
21．（1）y ＝x 2+2x ﹣3；（2）①S 四边形AMBN 最大值为
252 ；②P 的坐标：P 13,05⎛⎫- ⎪⎝⎭ ，P 2（﹣15，0）． 【解析】
【分析】
（1）先求出B 的坐标，再将A 、B 、C 坐标代入y ＝ax 2+bx+c 列方程组，然后求解，即可求出抛物线的解析式；
（2）①根据S 四边形AMBN ＝12AB•MN＝214[(1)(23)]2x x x ⨯-+-+-＝﹣2（x+32）2+252
，所以当x ＝﹣32时，S 四边形AMBN 最大值为252
； ②先联立方程组．求出D 点的坐标，两种情况讨论：Ⅰ．当点P 在点A 的右边，∠PCA ＝∠ADB 时，△PAC ∽△ABD ；Ⅱ．当点P 在点A 的左边，∠PCA ＝∠ADB 时，记此时的点P 为P 2，则有∠P 2CA ＝∠P 1CA ．
【详解】
（1）∵y ＝﹣x+1，
∴B （1，0），
将A （﹣3，0）、C （0，﹣3），B （1，0）代入y ＝ax 2
+bx+c ， 9303
0a b c c a b c -+=⎧⎪=-⎨⎪++=⎩
， ∴123a b c =⎧⎪=⎨⎪=-⎩
∴抛物线L 的解析式：y ＝x 2+2x ﹣3；
（2）设P （x ，0）．
①S 四边形AMBN ＝12
AB•MN ＝214[(1)(23)]2
x x x ⨯-+-+- ＝﹣2（x+
32）2+252， ∴当x ＝﹣32时，S 四边形AMBN 最大值为252
； ②由2231y x x y x ⎧=+-⎨=-+⎩
，得1110x y =⎧⎨=⎩，2245x y =-⎧⎨=⎩， ∴D （﹣4，5），
∵y ＝﹣x+1，
∴E （0，1），B （1，0），
∴OB ＝OE ，
∴∠OBD ＝45°．
∴BD
＝
∵A （﹣3，0），C （0，﹣3），
∴OA ＝OC ，AC
＝AB ＝4．
∴∠OAC ＝45°，∴∠OBD ＝∠OAC ．
Ⅰ．当点P 在点A 的右边，∠PCA ＝∠ADB 时，△PAC ∽△ABD ．
∴AP AC AB BD
=，
∴4AP =，
∴125
AP =， ∴P 13(,0)5
-
Ⅱ．当点P 在点A 的左边，∠PCA ＝∠ADB 时，记此时的点P 为P 2，则有∠P 2CA ＝∠P 1CA ．
过点A 作x 轴的垂线，交P 2C 于点K ，则∠CAK ＝∠CAP 1，又AC 公共边，
∴△CAK ≌△CAP 1（ASA ） ∴AK ＝AP 1＝
125
， ∴K （﹣3，﹣125）， ∴直线CK ：135
y =--， ∴P 2（﹣15，0）．
P 的坐标：P 13(,0)5
-，P 2（﹣15，0）．
【点睛】
本题考查了二次函数，熟练掌握二次函数的基本性质和相似三角形的性质是解题的关键．
22．见解析
【解析】
【分析】
作∠P 的平分线交CD 边于点P ，则点P 即为所求．
【详解】
解：如图，点P 即为所求．
【点睛】
本题考查的是作图﹣复杂作图，熟知三角形的面积公式及角平分线的性质是解答此题的关键．
23．(Ⅰ)∠ABH=50°；(Ⅱ)60ABH ∠=︒.
【解析】
【分析】
(Ⅰ)连接OD ，由切线性质可得OD ⊥EF ，根据锐角互余的关系可求出∠ODB 和∠DBH 的度数，根据等腰三角形的性质可求出∠OBD 的度数，根据∠ABH=∠ABD+∠DBH 即可得答案；(Ⅱ) 连接OD ，OC ，由C 为BD 的中点可得DOC BOC ∠∠=，由平行线性质可得DOC OCB ∠∠=，根据等腰三角形的性质可得OCB OBC ∠∠=，即可证明△OCB 是等边三角形，即可得答案.
【详解】
(Ⅰ)连接OD .
∵EF 切O 于点D ，
∴OD EF ⊥.
∵BDH 65=︒，BH EF ⊥，
∴ODB DBH 25∠∠==︒.
∵OB OD =，
∴ABD ODB 25∠∠==︒.
∴ABH ABD DBH 50∠∠∠=+=︒.
(Ⅱ)连接OD ，OC .
由(Ⅰ)可得OD//BH ，
∴DOC OCB ∠∠=，
∵C 为BD 的中点，
∴DOC BOC ∠∠=.
∴OCB BOC ∠∠=.
∵OB OC =，
∴OCB OBC ∠∠=.
∴ΔOCB 为等边三角形，
∴ABH 60∠=︒.
【点睛】
本题考查了切线的性质、等腰三角形的性质及等边三角形的判定，圆的切线垂直于经过切点的半径；运用切线的性质来进行计算或论证，常通过作辅助线连接圆心和切点，利用垂直构造直角三角形解决有关问题．
24．（Ⅰ）52t =
,点M 坐标为1(,0)2; （Ⅱ）①3011t =; ②E 点坐标为117144(,)2525
- 【解析】
【分析】
(1)根据点的坐标，以求得AB 的长，由于N 是AB 的中点，可得AN 的长度，从而求出t ，即可求M 点胡坐标;
(2)①由翻着的性质可得四边形AMDN 为菱形，则有//DN x 轴，可得到BDN
BCA ∆∆，即DN BN CA BA
=，从而求出t. ②根据相似可以求出N(616-55，)，设E(x,y),根据勾股定理列出方程组:EM=6,EN=5,解得即可求出点E.
【详解】
（Ⅰ）∵(3,0)A ，(0,4)B ，
∴3OA =，4OB =，∴5AB =.
当点N 移动到AB 中点时，由题意可得52AN AM ==
， ∴52
t =. ∵51322OM OA AM =-=-
=， ∴点M 坐标为1
(,0)2
. （Ⅱ）①由题意可得AM AN t ==，
∵AMN ∆沿直线MN 翻折，点1A 落在点D 处，
∴AM AN MD ND t ====，
∴四边形AMDN 为菱形，
∴5BN t =-，//DN x 轴，
∴BDN BCA ∆∆， ∴DN BN CA BA =，565
t t -=， 解得3011
t =. （Ⅱ）②过N 做X 轴的垂线，垂足为Q ，由△CNQ ∽△BCO ，
又∵BN=1,AC=6,BC=5, ∴CQ CN NQ CO CB BO == ,∴N(616-55
，)， 设E(x,y),且CE=6,EN=5,
则()22223366162555x y x y ⎧++=⎪⎨⎛⎫⎛⎫++-=⎪ ⎪ ⎪⎝
⎭⎝⎭⎩ 解得：1172514425x y ⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩
E 点坐标为117144(,)2525
-.
【点睛】
此题是几何中的点及翻着问题，并涉及到了菱形的判定及性质，相似三角形的知识的灵活应用，有一定的综合性.
25．（1）BC=（2）详见解析
【解析】
【分析】
（1）延长AH、BC相交于点M，可证明△MCH∽△MBA，得出MH=AH，BM=2BC；由∠DOH=∠AOB=60°，∠ODH=∠OBA=60°，∠OHD=∠OAB=60°，可得△DOH是等边三角形，AE=OA-OE=OA-OD=2，得点E是OA的中点，
根据“三线合一”可得BE的长度、BE⊥OA，根据勾股定理求出BM的长，而BC=1
2
BM；
（2）AB=OB，由（1）知，AE=OE=OD，可证BD=OB+OD=AB+AE．【详解】
解：延长AH、BC相交于点M，
∵▱ABCD
∴CD＝AB＝4，CD∥AB
∴∠MHC＝∠MAB，∠MCH＝∠MBA
∴△MCH∽△MBA
MH MC CH
MA MB AB
∴==
∵CH＝2
MH MC21
∴===
MA MB42
∴MH＝AH，BM＝2BC
∵△ABO为等边三角形
∴∠AOB＝∠OAB＝∠OBA＝60°，OA＝AB＝4
∴∠DOH＝∠AOB＝60°
∴∠ODH＝∠OBA＝60°，∠OHD＝∠OAB＝60°
∴∠DOH＝∠ODH＝∠OHD
∴△DOH是等边三角形
∴OH＝OD＝DH＝2
∴MH＝AH＝OA+OH＝4+2＝6，EM＝OE+OH+MH＝10
∵OD＝OE＝2
∴AE＝OA﹣OE＝4﹣2＝2
∴点E是OA的中点
∵△ABO为等边三角形
∴BE⊥OA，∠ABE＝30°
∴==
BE
在Rt△BEM中，∠BEM＝90°
∴BE2+EM2＝BM2
222
∴+=
10BM
∴=
BM
BC
∴=
（2）∵△ABO为等边三角形
∴AB＝OB
由（1）知，AE＝OE＝OD
∵BD＝OB+OD
∴BD＝AB+AE
【点睛】
本题考查了等边三角形的判定和性质、勾股定理、相似三角形的判定和性质．这道题的关键是证明点E是OA的中点、BM=2BC．。