高三数学开学考试试题文

0,
1==S i
1
+=i i 输出i 结束
开始
i 是奇数
12+*=i S
10<S
是
否
否 是
四川省雅安市雅安中学 高三数学开学考试试题 文
一、选择题：本大题共10小题，每题5分，共50分．在每题给出的四个选项中．只有一个是符合题目要求的．
1．已知全集为R ，集合
2
{|0},{|680}A x x B x x x =≥=-+≤，那么B C A R = A ．}0|{≤x x
B ．}42|{≤≤x x
C ．}420|{><≤x x x 或
D ．}420|{≥≤<x x x 或
2．以下说法错误的选项是
A ．两两相交且只是同一点的三条直线必在同一平面内；
B ．过直线外一点有且只有一个平面与已知直线垂直；
C ．若是共点的三条直线两两垂直，那么它们中每两条
直线确信的平面也两两垂直；
D ．若是两条直线和一个平面所成的角相等，那么这两条 直线必然平行；
3．若c b a ,,为实数，那么以下命题中正确的选项是
A ．假设a b >，那么22
ac bc >
B ．假设b a <，那么c b c a +<+
C ．假设b a <，那么bc ac <
D ．假设b a <，那么
b a 11>
4．若2log 4)(2+=x x f ，那么(2)(4)(8)f f f ++= A ．12 B ．24 C ．30 D ．48 5．阅读右边程序框图，若是输出5=i ，那么在空白 矩形框中应填入的语句为
A. i S *=2
B. 12-*=i S
C. 22-*=i S
D. 42+*=i S 6．一个棱锥的三视图如图，那么该棱锥的全面积是
A ．4+2 6
B ．4+ 6
C ．4+2 2
D ．4+ 2
7．已知向量a 是与单位向量b 夹角为0
60的任意向量，那么对任意的正实数t ，||ta b -的
最小值是
A ．0
B ．1
2
C ．3
2 D ．1
8．以下命题正确的是
①“62<<x ”是 “01242
<--x x ”的必要不充分条件；
②函数x x f 2tan )(=的对称中心是)
0,2(
πk （k Z ∈）；
③“32
,10x R x x ∀∈-+≤”的否定是“
01,23>+-∈∃x x R x ”； ④设常数a 使方程sin 3cos x x a +=在闭区间[0,2π]上恰有三个解123,,x x x ，
则1
23x x x ++=37π
. A ．①③ B ．②③ C ．②④ D ．③④ 9．函数()
f x 的零点与
()422
x g x x =+-的零点之差的绝对值不超过， 那么
()
f x 能够
是 A.
()2
(1)f x x =- B.
()41
f x x =-
C.
1
()ln()
2f x x =- D.
()1
x f x e =-
10．设函数()
y f x =在区间
(),a b 上的导函数为()f x '，()f x '在区间(),a b 上的导函数
为
()
f x ''，假设在区间
(),a b 上0)(<''x f 恒成立，那么称函数()f x 在区间(),a b 上为“凸
函数”；已知
2
34236121)(x x m x x f --=
在()1,3上为“凸函数”，那么实数m 的取值范围是
A ．
31(,
)9-∞ B ．31
[,5]9 C ．)2,(--∞ D ．),2[+∞
二、填空题:本大题共5小题，每题5分，共25分，把答案填在答题卡相应位置上. 11．若),(2)(R y x i y i i x ∈+=-，那么复数=+yi x
12．已知x 、y 知足约束条件
5003x y x y x -+≥⎧⎪
+≥⎨⎪≤⎩
，那么24z x y =+的最小值是
13．已知幂函数)(x f y =的图象过点)
22,21(,那么)]2([log 2f =
14．有两个等差数列2，6，10,…,190及2,8,14,…,200,由这两个等差数列的公共项按从小到
大的顺序组成一个新数列,那么那个新数列的各项之和为 15．以下命题中
①函数
1
()f x x =
在概念域内为单调递减函数；
②函数
)0()(>+
=x x a
x x f 的最小值为a 2；
③已知概念在R 上周期为4的函数()f x 知足(2)(2)f x f x -=+，那么()f x 必然为偶函数；
④已知函数32
()(0)f x ax bx cx d a =+++≠，那么0a b c ++=是()f x 有极值的必要不充
分条件；
⑤已知函数()sin f x x x =-，假设0a b +>，那么()()0f a f b +>.
其中正确命题的序号为 （写出所有正确命题的序号）.
三、解答题: 本大题共6小题，共75分，解许诺写出文字说明、证明进程或演算步骤 16．（本小题总分值12分)
在ABC ∆中，角,,A B C 的对边别离是,,a b c ，假设(2)cos cos a c B b C -=。

（Ⅰ）求角B 的大小；
（Ⅱ）假设3a =，ABC ∆的面积为33
，求BA AC ⋅的值。

17．（本小题总分值12分）
某学校举行元旦晚会，组委会招募了12名男志愿者和18名 女志愿者，将这30名志愿者的身高编成如下图的茎叶图 (单位：cm)，身高在175 cm 以上(包括175 cm)概念为“高
个子”，身高在175 cm 以下(不包括175 cm)概念为“非高个子”． （Ⅰ ）若是用分层抽样的方式从“高个子”和“非高个子”中
共抽取5人，再从这5人当选2人，求至少有一人是“高个子”的概率；
（Ⅱ ）假设从身高180 cm 以上(包括180 cm)的志愿者当选出男、女各一人，求这2人身高相差5 cm 以 18．（本小题总分值12分） 已知单调递增的等比数列{}n a 知足：23428a a a ++=，且32a +是24,a a 的等差中项.
（Ⅰ）求数列
{}n a 的通项公式；
（Ⅱ）若2log n
n n b a a =，12n n s b b b =+++，求使12500n n s n +-⋅+<成立的正整数n
的最小值. 19．（此题总分值12分）
如图，圆O 为三棱锥P-ABC 的底面ABC 的外接圆，AC 是圆O 的直径，PA ⊥BC ，点M 是线段PA 的中点． （Ⅰ）求证: BC ⊥PB ；
（Ⅱ）设PA ⊥AC ，PA=AC=2，AB=1，求三棱锥P －MBC 的 体积；
（Ⅲ）在∆ABC 内是不是存在点N ，使得MN ∥平面PBC ？ 请证明你的结论. 20．（此题总分值13分）
已知函数()ln ,f x ax x a =+其中为常数． （Ⅰ）当1a =-时，求()f x 的单调区间；
（Ⅱ）当
1
0e a <-
<时，假设()f x 在区间(0,)e 上的最大值为3-，求a 的值；
（Ⅲ）当1a =-时，试推断方程|()|f x =
ln 1
2x x +
是不是有实数解． P
O
21．（此题总分值14分）
已知函数
3
21()3f x x x ax =
++．
（Ⅰ）当3a =-时，求()f x 的极值； （Ⅱ）讨论()f x 的单调性；
（Ⅲ）设()f x 有两个极值点1x ，2x ，假设过两点1
1(,())x f x ，22(,())x f x 的直线l 与x 轴
的交点在曲线()y f x =上，求a 的值．
三、解答题：
1六、解（1）∵(2)cos cos a c B b C -=，由正弦定理得：(2sin sin )cos sin cos A C B B C -=， ∴2sin cos sin cos cos sin sin()sin A B C B C B B C A =+=+=
∵0A π<<，∴sin 0A > ∴2cos 1B =，1
cos 2B =
又0B π<<
∴3B π
=
； ………………………………………………………………………………… 6分
（2）方式一：∵3a =，ABC △的面积为33
，∴1333sin 2
3c π⨯=
∴2c = ……8分 22223223cos
7
3
b π
=+-⨯⨯=，即7b =， …………………………………………… 9分
222
2(7)37
cos 227
A +-==
⨯⨯， …………………………………………………………… 10分
∴cos()BA AC bc A π=-7
27()1
=⨯⨯-=-. …………………………………………12分
方式二：2
()BA AC BA BC BA BA BC BA ⋅=-=⋅-
221
cos ,2321
2BA BC BA BC BA =⋅⋅〈〉-=⨯⨯-=-………………………………12分
17、解 (1)依照茎叶图知，“高个子”有12人，“非高个子”有18人， 用分层抽样的方式，每一个人被抽中的概率是530＝1
6
，
因此抽取的5人中，“高个子”有12×16＝2人，“非高个子”有18×1
6
＝3人．
“高个子”用A ，B 表示，“非高个子”用a ，b ，c 表示，那么从这5人当选2人的情形有(A ，
B)，(A ，a)，(A ，b)，(A ，c)，(B ，a)，(B ，b)，(B ，c)，(a ，b)，(a ，c)，(b ，c)，共10种， 至少有一名“高个子”被选中的情形有(A ，B)，(A ，a)，(A ，b)，(A ，c)，(B ，a)，(B ，b)，(B ，c)，共7种．
因此，至少有一人是“高个子”的概率是P ＝7
10. ………………………………………6分
(2)由茎叶图知，有5名男志愿者身高在180 cm 以上(包括180 cm)，身高别离为181 cm,182 cm,184 cm,187 cm,191 cm ；有2名女志愿者身高为180 cm 以上(包括180 cm)，身高别离为180 cm,181 cm.抽出的2人用身高表示，那么有(181,180)，(181,181)，(182,180)，(182,181)，(184,180)，(184,181)，(187,180)，(187,181)，(191,180)，(191,181)，共10种情形，
身高相差5 cm 以上的有(187,180)，(187,181)，(191,180)，(191,181)，共4种情形，故这2人身高相差5 cm 以上的概率为410＝2
5. …………………………………………………12分
1八、解（1）设等比数列{}n a 的首项为1a ，公比为q ，以题意有：3242(2)a a a +=+
代入
23428a a a ++=，得38a =
∴3
11231208a q a q a a q ⎧+=⎪⎨
==⎪⎩ ……………………………………………………………………… 3分
解之得：
1
132
2122a a q q =⎧=⎧⎪⎨⎨==⎩⎪⎩或 …………………………………………………………… 5分 又∵
{}n a 单调递增，∴12,2,a q ==
∴2n
n a = ………………………………………………………………………………… 6分 (2)22log 22n n n n b n ==⋅ …………………………………………………………… 7分 ∴
231222322n
n s n =⨯+⨯+⨯++⨯①
∴2341
2122232(1)22n n n
s n n +=⨯+⨯+⨯++-⨯+⨯②
∴②-①得：
123
22222n n n s n +=⨯-----=
1
2(21)
2
21n n n +-⨯-
-
=1
12
22n n n ++-+⋅+ …………………………………………………………………………9分
由12500n n s n +-⋅+<得12520n +-+<，∴12n +>52. 又当4n ≤时，
15
2232n +≤=＜52 当5n ≥时，1
62
264n +≥=﹥52
故使
1
2500n n s n +-⋅+<成立的正整数n 的最小值为5 ………………………………12分 1九、
（Ⅰ）证明：如图，因为，AC 是圆O 的直径，因此BC ⊥AB 1分
因为，BC ⊥PA ，又PA 、AB ⊂平面PAB ，且PA AB=A 2分
因此，BC ⊥平面PAB ，又PB ⊂平面PAB
3分
因此，BC ⊥PB
4分
（Ⅱ）如图，在Rt ∆ABC 中，AC=2，AB=1
因此，BC=3，因此，
3ABC S ∆=
6分
因为，PA ⊥BC ，PA ⊥AC ，因此PA ⊥平面ABC
因此，
13133
2133P MBC P ABC M ABC V V V ---=-=⋅⋅-⋅⋅=
8分
（Ⅲ）如图，取AB 得中点D ，连接OD 、MD 、OM ，那么N 为线段OD （除端点O 、D 外）
上任意一点即可，理由如下： 9分
因为，M 、O 、D 别离是PA 、AC 、AB 的中点 因此，MD ∥PB,MO ∥PC
因为，MD ⊄平面PBC ，PB ⊂平面PBC 因此，MD ∥平面PBC 10分 同理可得，MO ∥平面PBC 因为，MD 、MO ⊂平面MDO ，MD MO=M 所以，平面MDO ∥平面PBC 11分
因为，MN ⊂平面MDO 故，MN ∥平面PBC ． 12分
20、解：（Ⅰ）由已知明白函数()f x 的概念域为{|0}x x >
1分
N
D
P
C
O
当1a =-时，()ln f x x x =-+，因此
/11()1x f x x x -=-+
=
2分
当01x <<时，/()0f x >；当1x >时，/
()0f x <
因此，()f x 的单调增区间为(0,1)，减区间为(1,)+∞．
4分
（Ⅱ）因为，
/1()f x a x =+
，令/
()0f x =解得1
x a =- 5分
由/
()0f x >解得
10x a <<-
，由/
()0f x <解得1
x e a -<<
从而()f x 的单调增区间为1(0,)a -，减区间为1(,)
e a - 6分
因此，max 11
()()1ln()3
f x f a a =-=-+-=-
解得，2
a e =-．
8分
（Ⅲ）由（Ⅰ）知当1a =-时，
max ()(1)1f x f ==-，
因此，|()|f x ≥1
9分
令
ln 1()2x g x x =
+，那么/21ln ()x
g x x -=
当0x e <<时，/()0g x >；当x e >时，/
()0g x <
从而()g x 在(0,)e 上单调递增，在(,)e +∞上单调递减
因此，max 11
()()1
2g x g e e ==+<
11分
因此，|()|f x >()g x ，即|()|f x >ln 1
2x x +
因此，方程|()|f x =ln 1
2x x
+
没有实数根． 13分
2一、解：（Ⅰ）当3a =-时，
3
21()33f x x x x =
+-，那么
/2()23(3)(1)f x x x x x =+-=+-
令
/12()03,1f x x x ==-=得 1分
则/
,(),()x f x f x 的关系如下：
x (,3)-∞-
3- (3,1)-
1
(1,)+∞
/
()f x
+
0 -
+
()f x
增
9
减
53-
增
3分
因此，当3x =-时，()f x 的极大值为9；当1x =时，()f x 的极小值为5
3-
．…4分
（Ⅱ）∵
3
21()3f x x x ax =
++，∴()22()2=11f'x x x a x a =++++- …5分
① 当 1a ≥时，()0f'x ≥，且仅当=1
=1a x -，时()=0f'x ，因此()f x 在R 是增函数
6分
② 当 1a <时，()=0f'x 有两个根1
2=11,=11x a x a ----+-
当/
()0f x >时，得
12x x x x <>或，因此()f x 的单独增区间为： (,11),(11,)a a -∞----+-+∞；
当/
()0f x <时，得1
2x x x <<，因此()f x 的单独减区间为： (11,11)a a ----+-．
8分
（Ⅲ）由题设知，1x ，2x 是/
()=0f x 的两个根，∴1a <，且
221122=2=2x x a x x a ----， 因此
()3222111111111112()=2=3333f x x x ax x x a x ax x ax =
++--+++ ()()111122=
2=13333a
x a ax a x --+-- 9分
同理，()222()=
133a f x a x --。