贵州省遵义市布政中学2018年高三数学文下学期期末试卷含解析

贵州省遵义市佈政中学2018年高三数学文下学期期末
试卷含解析
一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。

在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的
1. 在同一直角坐标系中，函数且的图象可能是
（）
A. B.
C. D.
参考答案：
D
【分析】
本题通过讨论的不同取值情况，分别讨论本题指数函数、对数函数的图象和，结合选项，判断得出正确结论.题目不难，注重重要知识、基础知识、逻辑推理能力的考查.
【详解】当时，函数过定点且单调递减，则函数过定点
且单调递增，函数过定点且单调递减，D选项符合；当时，函数过定点且单调递增，则函数过定点且单调递减，函数
过定点且单调递增，各选项均不符合.综上，选D.
【点睛】易出现的错误有，一是指数函数、对数函数的图象和性质掌握不熟，导致判断失误；二是不能通过讨论的不同取值范围，认识函数的单调性.
2. 已知奇函数f(x)满足，若当时，，且
，则实数a的值可以是（）
A. B. C. D.
参考答案：
C
【分析】
根据奇函数满足可知函数周期，因此
，当时，令，可得，故可得的可能取值.
【详解】由可得，因为为奇函数，
所以，故，函数周期为，
所以，
当时，令，可得，所以可以，即，故选C.
【点睛】本题主要考查了函数的奇偶性、周期性，属于中档题.函数中一些常见结论需要理解记忆：
若可知函数的周期，
若，可知函数对称轴.
3. 已知集合，，则下列关系中正确的是（）
A. B. C.
D.
参考答案：
D
略
4. 从1，3，5三个数中选两个数字，从0，2两个数中选一个数字，组成没有重复数字的三位数，其中奇数的个数为（）
A．6 B．12 C．18 D．24
参考答案：
C
5. 边长为2的正三角形ABC中，D，E，M分别是AB，AC，BC的中点，N为DE的中点，将△ADE沿DE折起至A′DE位置，使A′M=，设MC的中点为Q，A′B的中点为P，则
①A′N⊥平面BCED
②NQ∥平面A′EC
③DE⊥平面A′MN
④平面PMN∥平面A′EC
以上结论正确的是( )
A．①②④B．②③④C．①②③D．①③④
参考答案：
C
考点：命题的真假判断与应用．
专题：空间位置关系与距离；简易逻辑．
分析：①由等边三角形的性质可得，可得
=A′M2．可得A′N⊥MN，又A′N⊥DE，利用线面垂直的判定定理即可得出．
②由于NQ∥AC，利用线面平行的判定定理可得NQ∥平面A′EC；
③由①可得A′N⊥平面BCED，A′N⊥DE，又DE⊥MN，利用线面垂直的判定定理即可得出；
④由于MN∩平面A′EC=A，因此平面PMN∥平面A′EC不正确．
解答：解：如图所示，
①由等边三角形的性质可得，
∴=A′M2．∴A′N⊥MN，
又A′N⊥DE，ED∩MN=N，∴A′N⊥平面BCED，正确．
②∵NQ∥AC，NQ?平面A′EC，AC?平面A′EC，∴NQ∥平面A′EC，正确；
③由①可得A′N⊥平面BCED，∴A′N⊥DE，又DE⊥MN，MN∩A′N=N，∴DE⊥平面
A′MN，正确；
④∵MN∩平面A′EC=A，∴平面PMN∥平面A′EC不正确．
综上可得：只有①②③正确．
故选：C．
点评：本题综合考查了线面面面平行与垂直的判定性质定理、三角形的中位线定理、勾股定理的逆定理，考查了空间想象能力，考查了推理能力与计算能力，属于难题．
6. 已知函数的零点，其中常数a，b满足
则的值是( )
A．B．-
1 C．0 D．1
参考答案：
B
7. 已知全集U={1，2，3，4，5，6，7，8}，集合A={2，3，5，6}，集合B={1，3，4，6，7}，则集合A∩?U B=（）
A．{2，5} B．{3，6} C．{2，5，6} D．{2，3，5，6，8}
参考答案：
A
【考点】1H：交、并、补集的混合运算．
【分析】由全集U及B，求出B的补集，找出A与B补集的交集即可；
【解答】解：∵全集U={1，2，3，4，5，6，7，8}，集合A={2，3，5，6}，集合B={1，3，4，6，7}，
∴?U B={2，5，8}，
则A∩?U B={2，5}．
故选：A．
8. 本学期王老师任教两个平行班高三A班、高三B班，两个班都是50个学生，如图图反映的是两个班在本学期5次数学测试中的班级平均分对比，根据图表，不正确的结论是（）
A．A班的数学成绩平均水平好于B班
B．B班的数学成绩没有A班稳定
C．下次考试B班的数学平均分要高于A班
D．在第1次考试中，A、B两个班的总平均分为98
参考答案：
C
【考点】频率分布折线图、密度曲线．
【分析】求出A，B的平均数、方差，即可得出结论．
【解答】解：A班的数学成绩为=101，B班的数学成绩为
=99.2，
即A正确；
A的方差为（0+9+0+1+16）=5.2，B方差为（4.22+0.64+3.22+5.82+0.64）
=12.56，即B正确；
在第1次考试中，A、B两个班的总平均分为=98，即D正确；
下次考试B班的数学平均分要高于A班，不正确．
故选C．
9. 半径为2的球的内接三棱锥，则三棱锥的高为
A. B. C. D. 3
参考答案：
D
【分析】
在三棱锥P﹣ABC中，过点p作PM⊥平面ABC的垂足为M，则球心O在PM所在直线上，在三角形PBO中利用余弦定理可得∠BPM，然后求出∠PBM＝60°，进一步算出PM．
【详解】解：三棱锥P﹣ABC中，PA＝PB＝PC＝2，AB＝AC＝BC，如图，过点p作PM⊥平面ABC的垂足为M，则
球O的内接三棱锥P﹣ABC的球心O在PM所在直线上，
∵球O的半径为2，∴OB＝OP＝2，
∴由余弦定理得cos∠BPM＝＝
∴∠BPM＝30°，
∴在Rt△PMB中，∠PBM＝60°，∴PM＝PB sin∠PBM＝3．
故选：D．
【点睛】本题考查了球的内接三棱锥问题，考查了空间想象能力与逻辑思维能力，属基础题．
10. 已知，则函数的各极大值之和为
A. B. C. D.
参考答案：
A【知识点】利用导数研究函数的极值B12
∵函数f（x）=e x（sinx﹣cosx），
∴f′（x）=[e x（sinx﹣cosx）]′=e x（sinx﹣cosx）+e x（cosx+sinx）=2e x sinx；
令f′（x）=0，解得x=kπ（k∈Z）；
∴当2kπ＜x＜2kπ+π时，f′（x）＞0，原函数单调递增，
当2kπ+π＜x＜2kπ+2π时，f′（x）＜0，原函数单调递减；
∴当x=2kπ+π时，函数f（x）取得极大值，
此时f（2kπ+π）=e2kπ+π[sin（2kπ+π）﹣cos（2kπ+π）]=e2kπ+π；
又∵0≤x≤2015π，∴0和2015π都不是极值点，
∴函数f（x）的各极大值之和为：
eπ+e3π+e5π+…+e2011π+e2013π==．
故选：A．
【思路点拨】求出函数的函数，利用导函数判断函数的单调区间与极大值点，从而求出极大值；再利用等比数列的求和公式求出函数f（x）的各极大值之和.
二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分
11. 已知数列{a n}满足a1=33，a n+1﹣a n=2n，则的最小值为．
参考答案：
【考点】数列递推式；基本不等式在最值问题中的应用．
【分析】由累加法求出a n=33+n2﹣n，所以，设f（n）=，由此能
导出n=5或6时f（n）有最小值．借此能得到的最小值．
【解答】解：a n=（a n﹣a n﹣1）+（a n﹣1﹣a n﹣2）+…+（a2﹣a1）+a1=2[1+2+…+（n﹣
1）]+33=33+n2﹣n
所以
设f（n）=，令f′（n）=，
则f（n）在上是单调递增，在上是递减的，
因为n∈N+，所以当n=5或6时f（n）有最小值．
又因为，，
所以的最小值为
12. (坐标系与参数方程)在极坐标系中，定点A(2，π)，动点B在直线
上运动，则线段AB的最短长度为．
参考答案：
13. 已知函数若使得
，
则实数的取值范围是 .
参考答案：
略
14. 等比数列{a n}的前n项和为S n，，若，则______
参考答案：
【分析】
由等比数列的求和公式及得，再利用通项公式求即可
【详解】由题知公比，所以，解得，所以.
故答案为
【点睛】本题考查等比数列的通项及求和公式，熟记公式准确计算是关键，是基础题15. 某足球队共有11名主力队员和3名替补队员参加一场足球比赛，其中有2名主力和1名替补队员不慎误服违禁药物，依照比赛规定，比赛后必须随机抽取2名队员的尿样化验，则能查到服用违禁药物的主力队员的概率为。

（结果用分数表示）
参考答案：
16. 在△ABC中，已知|AB|=2，，则△ABC面积的最大值为．
参考答案：
【考点】9S：数量积表示两个向量的夹角；93：向量的模；HP：正弦定理．
【分析】由题意可得：|AC|=|BC|，设△ABC三边分别为2，a， a，三角形面积为S，根据海仑公式得：16S2=﹣a4+24a2﹣16=﹣（a2﹣12）2+128，再结合二次函数的性质求出答案即可．
【解答】解：由题意可得：|AC|=|BC|，
设△ABC三边分别为2，a， a，三角形面积为S，
所以设p=
所以根据海仑公式得：S==，
所以16S2=﹣a4+24a2﹣16=﹣（a2﹣12）2+128，
当a2=12时，即当a=2时，△ABC的面积有最大值，并且最大值为2．
故答案为．
17. 如果函数的图像关于点中心对称，那么的最小值为
_____
参考答案：
解析：函数的图像关于点中心对
称由此易得.
三、解答题：本大题共5小题，共72分。

解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤
18. 如图，上海迪士尼乐园将一三角形地块ABC的一角APQ开辟为游客体验活动区．已知∠A=120°，AB、AC的长度均大于200米．设AP=x，AQ=y，且AP，AQ总长度为200米．
（1）当x，y为何值时？游客体验活动区APQ的面积最大，并求最大面积；
（2）当x，y为何值时？线段|PQ|最小，并求最小值．
参考答案：
【考点】余弦定理；正弦定理．
【分析】（1）由已知利用三角形面积公式，基本不等式可得
，即可得解．
（2）利用已知及余弦定理可得PQ2=x2+y2﹣2xycos120°=（x﹣100）2+30000，根据二次函数的图象和性质即可解得线段|PQ|最小值．
【解答】（本题满分为14分）
解：（1）因为：AP=x，AQ=y且x+y=200，…2分
所以：．…4分
当且仅当x=y=100时，等号成立．
所以：当x=y=100米时，平方米．…6分
（2）因为：PQ2=x2+y2﹣2xycos120°
=x2+y2+xy…8分
=x2+2+x
=x2﹣200x+40000
=（x﹣100）2+30000．…10分
所以：当x=100米，线段米，此时，y=100米．…12分
答：（1）当AP=AQ=100米时，游客体验活动区APQ的面积最大为平方米．（2）当AP=AQ=100米时，线段|PQ|最小为．…14分．
19. 已知函数f(x)，其中e是自然教的底数，a∈R .
（I）当a<0时，解不等式f(x)>0；
（Ⅱ）若f(x)在[－1，1]上是单调增函数，求a的取值范围；
（Ⅲ）当a＝0时，求使方程f(x)＝x+2在[k，k+l]上有解的所有整数k的值。

参考答案：
20. （本大题9分）袋中有2个红球，n个白球，各球除颜色外均相同。

已知从袋
中摸出2个球均为白球的概率为，（Ⅰ）求n；（Ⅱ）从袋中不放回的依次摸出三个球，记ξ为相邻两次摸出的球不同色的次数（例如：若取出的球依次为红球、白球、白球，则ξ=1），求随机变量ξ的分布列及其数学期望Eξ。

参考答案：
（1）n=4
(2)
P(= P(=Eξ=
21. 已知各项为正的数列{a n}满足，，n∈N*．
（Ⅰ）证明：0＜a n＜a n+1＜1（n∈N*）；
（Ⅱ）求证：（n∈N*）．
参考答案：
【考点】数列的求和；数列递推式．
【分析】（Ⅰ）由，得
（a n+3），从而＞0，进而a n+1＜1，由，得0＜a n＜1，（n∈N*），由此证明0＜a n＜a n+1＜1（n∈N*）．
（Ⅱ）由=＜，得1﹣a n=（1﹣a1）
×××…×，由此能证明
（n∈N*）．
【解答】证明：（Ⅰ）由，
得（a n+3），
即，
得＞0，
∴
=＞0，
∴a n+1＜1，
又，∴0＜a n＜1，（n∈N*），
∴=（1﹣a n）＞0，
∴a n+1＞a n，
综上，得：0＜a n＜a n+1＜1（n∈N*）．
（Ⅱ）由（Ⅰ）知：
=＜=（1+）≤=，
则n≥2时，1﹣a n=（1﹣a1）×××…×，∴（1﹣a1）+（1﹣a2）+（1﹣a3）+…+（1﹣a n）＜
，
即n﹣（a1+a2+a3+…+a n）＜= [1﹣（）n]，
∴（n∈N*）．
22. 已知函数，不等式的解集为(－1,2).
（Ⅰ）求实数a的值；
（Ⅱ）若不等式的解集为，求实数m的取值范围.
参考答案：
（Ⅰ）由知，而的解集为，所以．
┄┄┄┄┄┄5分
（Ⅱ）由（Ⅰ）知，即的解集为，
令，则，
所以，故
．┄┄┄┄┄┄10分。