(名校精品)2019届安徽省安庆市高三第二次模拟考试数学(文)(word版)

2019年安庆市高三模拟考试（二模）
数学试题（文） 第I 卷（选择题，共60分）
一、选择题：本大题共12小题.每小题5分。

满分60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1.若集合M= {023|2≤+-x x x } ,N= {-2，-1，0，1，2}，则=N M 等于 A. {1} B. {-2,-1} C. {1,2} D. {0,1,2}
2.设i 是虚数单位，则复数)43)(1(i i z -+=的模是 A.10
B. 25
C. 52
D. 10
3. 己知n S 是等差数列{n a }的前n 项和， 12642=++a a a ，则=7S
A.20
B.28
C.36
D.4
4.函数⎩⎨⎧≥-+=0
,20＜＜1,1)(x x x x x f ，若实数a 满足)1()(-=a f a f ，则=)1
(a f
A.2
B.4
C. 6
D.8
5. 如图，正三棱柱ABC —A 1B 1C 1的侧棱长为a ，底面边长为b ，一只蚂蚁从点A 出发沿每个侧面爬到A1，路线为A-M-N-A1，则蚂蚁爬行的最短路程是
A. 229b a +
B. 229b a +
C. 2294b a +
D. 22b a +
6. 函数x
x x f 2
ln )(=的图象的大致形状是
7.“勾股圆方图”是我国古代数学家赵爽设计的一幅用来证明勾股定理的图案，如图所示在“勾股圆方图”中，四个相同的直角三角形与中间的小正方形拼成一个大正方形。

若直角三角形中较小的锐角α满足
5
4
cos =
α，则从图中随机取一点，则此点落在阴影部分的概率是
A.
2524 B. 2516 C. 259 D. 25
1
8.为了计算2020
1
20191...4131211-++++-=S ，设计如图所示的程序框图，则在空白框中应填入
A. 1+=i i
B. 2+=i i
C. 3+=i i
D. 4+=i i
9.若函数m x six x f +-=2cos 24)(在R 上的最大 值是3，则实数=m A.-6 B. -5
C.-3
D. -2
10. 直线l 是抛物线y x 22=在点(-2,2)处的切线，点P 是圆0422=+-y x x 上的动点，则点 P 到直线l 的距离的最小值等于
A.0
B.
5
5
6 C.
5
2
56- D. 56
11.如图是某个几何体的三视图，根据图中数据（单位：cm) 求得该几何体的表面积是
A. 2)4994(cm π-
B. 2)427
94(cm π- C. 2)2994(cm π+ D. 2
)2
994(cm π-
12.将函数)2
|<|8,<<0(1)sin()(π
ϕϕϕω-+=x x f 的图象向左平移
48
11π
个单位后得到函数)(x g 的图象，且函数)(x f 满足)16
11()163(ππf f +，则下列命题中正确的是
A.函数)(x g 图象的两条相邻对称轴之间距离为2
π B.函数)(x g 图象关于点(
0,24
5π
)对称
C.函数)(x g 图象关于直线12
7π
=x 对称 D.函数)(x g 在区间)24
5,
0(π
内为单调递减函数 二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，满分20分。

13.向量)1,3(=a 与向量b (-1,2)的夹角余弦值是 .
14. 若双曲线142
2=-y a x 的一条渐近线方程是02=-y x ,则此双曲线的离心率为 . 15.设实数y x ,满足不等式⎪⎩
⎪
⎨⎧≤-+≥-+≥+-09230340
2y x y x y x ，则函数y x z 32+=的最大值为 .
16.在△ABC 中，AB= 1，BC =7，C4 = 3, 0为△ABC 的外心，若n m ⋅+⋅=，其中]1,0[,∈n m ，则点P 的轨迹所对应图形的面积是 .
三、解答题：本大题满分60分。

解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17.(本小题满分12分）
已知等比数列{n a }满足：4,121==S S . (I)求{n a }的通项公式及前n 项和n S ； (II)设1
32log )1(log +⋅+=
n n
n a n a b ,求数列{n b }的前n 项和n T ；
18.(本小题满分12分）
如图，在三棱柱ABC —A 1B 1C 1中，∠BAC = 0
90，AA 1丄平面ABC ，AB = AC ，E 是线段BB 1上的动点，D 足线段BC 的中点。

(I)证明：AD 丄C 1E ；
(II)若AB = 2, AA 1=23,且直线AC1、C1E 所成角的余弦值为2
1
,试指出点E 在线段BB1上的位置，并求三棱锥B1-A1DE 的体积。

19.(本小题满分12分）
我们知道，地球上的水资源有限，爱护地球、节约用水是我们每个人的义务与责任。

某市政府为了对自来水的使用进行科学管理，节约水资源，计划确定一个家庭年用水量的标准。

为此，对全市家庭日常用水量的情况进行抽样调査，获得了 n 个家庭某年的用水量:(单位：立方米）。

统计结果如下表所示。

(I)分别求出的值；
(II)若以各组区间中点值代表该组的取值，试估计全市家庭年均用水量；
(Ⅲ)从样本中年用水量在[50,60](单位：立方米）的5个家庭中任选3个，作进一步的跟踪研究，求年用水里最多的家庭被选中的概率（5个家庭的年用水量都小相等）。

20.(本小题满分12分〉
如图，椭圆E:122
22=+b
y a x (a>b>0)的左、右顶点分别为A 、B,离心率
35
=
e ，长轴与短轴的长度之和为10.
(I)求椭圆E 的标准方程；
(II)在椭圆E 上任取点P （与A 、B 两点不重合），直线PA 交x 轴于点C ，直线PB 交y 轴于点D ，证明：⋅为定值。

21.(本小题满分12分）
设函数)2)(()(,24)(2-==+=x f te x g x x x f x
.其中R t ∈，函数)(x f 的图表在点A ))8
17
(,817(--
f 处的切线与函数)(x
g 的图象在点B （)0(,0g 处的切线互相垂直。

(I)求t 的值；
(II)若)(2)(x f x kg ≥在),2[+∞-∈x 上恒成立，求实数k 的取值范围。

请考生在第（22)、(23)题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分。

22.(本小题满分10分)选修4-4:坐标系与参数方程
在平面直角坐标系xOy 中，直线l 的参数方程为t t
y t
m x (252⎪⎩⎪⎨
⎧+=-=为参数）。

以原点0为极点，以x 轴非负半轴为极轴迮立极坐标系，两坐标系取相同的长度单位。

圆C 的方程为θρsin 52=. l 被圆C 截得的弦长为2. (I)求实数m 的值；
(II)设圆C 与直线l 交于点A 、B ，若点P 的坐标为（m ，5)，且m>0,求||||PB PA +的值. 23.(本小题满分10分)选修4-5:不等式选讲 已知|12||1|2)(-++=x x x f . (I)解不等式f(1)>)(x f /⑴； (II)若不等式n
m x f 1
1)(+≥
(m>0,n>0)对任意的R x ∈都成立，证明： 3
4≥
+n m .
2019年安庆市高三模拟考试（二模）
文科数学试题参考答案
一、 选择题（本题共12小题，每小题5分，共60分，每小题给出的四个选项中，
只有一
个选项是符合要求的
二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填写在题中横线上． 13. 102-
14. 2
5
15. 11 16. 637
三、解答题：本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
17．(本小题满分12分) 解析：（Ⅰ）由题可知{
1121214
S a S a a ===+=，解得23a =，即
{
113
a q ==. ……………3分
所以{}n a 的通项公式13n n a -=。

……………4分
前n 项和1(1)31
12n n n a q S q ⋅--==
-. ………6分
数学试题（文）答案（共8页）第3页
（Ⅱ）311111
(1)log (1)1
n n b n a n n n n +=
==-+⋅++. ………9分
所以数列{}n b 的前n 项和
121111
11111223
111
n n n T b b b n n n n =++
+=-+-+
+
-=-=+++. ………12分 18．(本小题满分12分)
解析：（Ⅰ）因为1AA ABC ⊥平面，所以⊥1CC 平面ABC .
而⊂1CC 平面11B BCC ,所以平面⊥ABC 平面11B BCC . ………2分 因为线段BC 的中点为D ，且.ABC AD BC ∆⊥是等腰三角形，所以
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 答案 C B B D A A D B C C A D
而BC C CBB ABC ABC AD =⋂⊂11,平面平面平面,
11AD CBB C ⊥所以平面. 111C E CBB C ⊂又因为面，1.AD C E ⊥所以
………5分
（Ⅱ）1AA ABC ⊥平面，1AA AC ⊥则.90BAC ∠=，即AC AB ⊥.又AB AC A ⋂=，所以
11AC ABB A ⊥平面，故1111AC ABB A ⊥平面，所以11A EC ∆是直角三角形.
在三棱柱111ABC A B C -中，11//AC AC ，直线1AC C E 、所成角的余弦为1
2
，
则在11EC A Rt ∆中，111
cos 2
A C E ∠=
，112AC AC ==，所以1AE =.………7分
在E B A Rt 11∆中，112A B =，所以1B E =.因为1AA =E 是线段1BB 的靠近点B 的三等分点. ………9分
因为,3
2
4222221313111111=⨯⨯⨯⨯=⋅=∆-CA S V E B A E B A C
所以11B A DE V -=11D A B E V -=1112C A B E V -.3
2
2= ………12分
19．(本小题满分12分)
解析：（Ⅰ）用水量在[)20,30内的频数是50，频率是0.025100.25⨯=， 则50
2000.25
n =
=. ……………2分 数学试题（文）答案（共8页）第4页
用水量在[)0,10内的频率是
250.125200=，则0.125
0.012510
b ==.
用水量在[]50,60内的频率是50.025200=，则0.025
0.002510
a ==.
……………4分
（Ⅱ）估计全市家庭年均用水量为
.
25.2745.55)275.062.161.125.157.0125.0(5025
.05518.04523.03525.02519.015125.05=⨯=+++++=⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯
……………7分
（Ⅲ）设A ，B ，C ，D ，E 代表年用水量从多到少的5个家庭，从中任选3个，总的基本事件为ABC ，ABD ，ABE ，ACD ，ACE ，ADE ，BCD, BCE, BDE, CDE 共10个,其中包含A 的有ABC ，ABD ，ABE ，ACD ，ACE ，ADE 共6个. …………10分
所以53106==
P . 即年用水量最多的家庭被选中的概率是5
3
……………12分 20. (本小题满分12分)
解析：（Ⅰ）由题可知c e a =
=，2210a b +=，解得32a b ==，. 故椭圆E 的标准方程为14
9:2
2=+
y x E . ……………5分 （Ⅱ）解法1：设),(00y x P ，直线PA 交y 轴于点1(0)C y ，，直线PB 交y 轴于点2(0)D y ，.
则14922=+o o y
x ，即4992
2
=-o
o x y .易知OC OD 与同向，故21y y ⋅=⋅. ……………7分
因为(30)A -，，(30)B ，，所以得直线PA 的方程为
o o o o x x x y y y ---=
--3，令0x =，则o
o
x y y +=331；直线PB 的方程为
o
o o o x x x y y y --=--3，令0x =，则.3300
2x y y -=
所以=⋅=⋅21y y 4992
2
=-o
o
x y ，为定值. ……………12分 数学试题（文）答案（共8页）第5页
解法2：22221(0)x y a b a b +=>>的左、右顶点分别为A 、B ，则有.22
a b k k PB PA -=⋅
由（Ⅰ）知，设直线PA 、PB 的斜率分别为21,k k ，则124
9
k k ⋅=-.…………7分
直线PA 的方程为1(3)y k x =+，令0x =得113y k =；直线PB 的方程为2(3)y k x =- 令0x =得223y k =-.所以121294OC OD y y k k ==-=. ……………12分
解法3：22194x y +
=的左、右顶点分别为A 、B ，则.94
-=⋅PB PA k k ……………7分
如题图所示，33)(⨯⨯-⋅==
=⋅PB PA k k 4933)(=⋅-=⨯⨯-⋅=PB PA PB PA k k k k . ……………12分 21. (本小题满分12分)
解析：（Ⅰ）由2()42f x x x =++得， ()24f x x '=+.
于是)1(2)2)(()(g +=-'=x te x f te x x x ，所以)2(2)(g +='x te x x .……… 2分 因为函数()f x 的图象在点))8
17
(,817(--f A 处的切线与函数)(g x 的图象在点))0(,0(g B 处的切线互相垂直，所以-1(0)g )8
17
(='⋅-
'f ， 即-1,44
1
=⋅-
t 1.=t ……… 5分
（Ⅱ）2()42f x x x =++，()2(1)x g x e x =+.
设函数()F x =482)1(2)(2)(g 2---+=-x x x ke x f x k x （2x ≥-）， 则()F x '=)2(2(2842)1(2)(2)(g -+=--++='-'x x x ke x x ke x ke x f x k ）. 由题设可知(0)F ≥0，即2≥k .令()F x '=0得，1x =02
ln
≤k
，2x =－2. （1）若－2＜1x ≤0，则222e k <≤，此时1(2,)x x ∈-，()F x '＜0，1(,)x x ∈+∞，
数学试题（文）答案（共8页）第6页
()F x '＞0，即()F x 在1(2,)x -单调递减，在1(,)x +∞单调递增，所以()F x 在x =1x 取
最小值1()F x .
而=)(1x F 0)2(248244482)1(21112
1112
111≥+-=---+=---+x x x x x x x x ke x ∴当x ≥－2时，()F x ≥0)(1≥x F ，即)(2)(g x f x k ≥恒成立. ……… 8分 ②若,21-=x 则22e k =，此时0)22(2(2)(2≥-+='+x e x x F ）
∴()F x 在(－2,+∞)单调递增，而(2)F -=0，∴当x ≥－2时，()F x ≥0， 即)(2)(g x f x k ≥恒成立. ……… 10分 ③若,21-<x 则22e k >，此时(2)F -=0)2(242222<--=+---e k e ke . ∴当x ≥－2时， )(2)(g x f x k ≥不能恒成立.
综上所述，k 的取值范围是[]
.2,22e ………12分 请考生在第（22）、（23）题中任选一题作答,如果多做,则按所做的第一题计分. 22．(本小题满分10分)选修4-4：坐标系与参数方程
解析：（Ⅰ）由ρθ=得220,x y +-=即22(5x y +=.………2分
直线l 的普通方程为05=--+m y x ， l 被圆C 所以圆心到l
，
即
,2
3
2
5
50=
--+m 解得33m m ==-或. ………5分 （Ⅱ）法1：当3m =时，将l 的参数方程代入圆C 的直角坐标方程得，
22(3))5+=
，即2220t -+=
，由于24420∆=-⨯=>，故可设12t t ，是上
述方程的两实根，所以1212
1t t l P t t ⎧+=
⎪⎨⎪=⎩过点，故由上式及t 的几何意义得，
PA PB +=122(|t |+|t |)=122(t +t
)=………10分
法2：当3m =
时点(3P ，易知点P 在直线l 上. 又5)55(322>-+，
数学试题（文）答案（共8页）第7页
所以点P 在圆外.联立⎪⎩⎪⎨⎧=--+=-+0
535
)5(22y x y x 消去y 得，2320x x -+=.
不妨设(1A B 、，所以PA PB +=23222=+.
23．(本小题满分10分)选修4-5：不等式选讲
解析：（Ⅰ）()(1)f x f >就是21215x x ++->. （1）当1
2
x >
时，5)12()1(2>-++x x ，得1x >. (2)当1
12
x -≤≤
时，()()21215x x +-->，得35>，不成立. ………2分 （3）当1x <-时，()()21215x x -+-->，得32
x <-
. 综上可知，不等式()(1)f x f >的解集是()312⎛⎫-∞-+∞ ⎪⎝⎭
，
，
.………5分 （Ⅱ）因为()()2121222122213x x x x x x ++-=++-≥+--=， 所以
11
3m n
+≤. ………7分 因为0m >，0n >
时，11m n +≥
3≤
23≥.
所以4
3
m n +≥≥
. ………10分
- 11 -。