传染病传播的数学模型上课

微分方程模型
[学习目的]
1.加深对微分方程概念的理解，掌握针对一些问题通过建立微分方程的方法及微
分方程的求解过程；
2.了解微分方程模型解决问题思维方法及技巧；
3.领会建立微分方程模型的逐步改进法的核心及优点，并掌握该方法；
4.理解微分方程的解的稳定性的意义，会用稳定性判定模型的解是否有效；
5.体会微分方程建摸的艺术性。

在自然学科（如物理、化学、生物、天文）以及在工程、经济、军事、社会等学科中大量的问题可以用微分方程来描述。

正如列宁所说：“自然界的统一性显示在关于各种现象领域的微分方程式的‘惊人的类似中’．”（列宁选集第二卷，人民出版社1972年版第295页）。

要建立微分方程模型，读者必须掌握元素法（有关元素法，在高等数学中已有介绍）。

所谓元素法，从某种角度上讲，就是分析的方法，它是以自然规律的普遍性为根据并且以局部规律的独立的假定为基础。

在解决各种实际问题时，微分方程用得极其广泛。

读者通过下面的几个不同领域中的模型介绍便有所体会，要想掌握好它，在这方面应作大量的练习。

§17.1、传染病传播的数学模型
[学习目标]
1.通过学习建立传染病传播的数学模型的思维方法，能归纳出该类建模的关键性步骤及思
维方法；并能指出求解传染病传播的数学模型的方法技巧；
2.能用已知的传染病传播的数学模型，预报某种传染病的传播；
3.学会从简单到复杂的处理问题的方法。

由于人体的疾病难以控制和变化莫测，因此医学中的数学模型较为复杂。

生物医学中的数学模型分为两大类：传染病传播的数学模型和疾病数学模型。

以下仅讨论传染病的传播问题。

人们将传染病的统计数据进行处理和分析，发现在某一民族或地区，某种传染病传播时，每次所涉及的人数大体上是一常数。

这一现象如何解释呢？关于这个问题，医学工作者试图从医学的不同角度进行解释都得不到令人满意的解释。

最后由于数学工作者的参与，在理论上对上述结论进行了严格的证明。

同时又由于传染病数学模型的建立，分析所得结果与实际过程比较吻合，这个现象才得到了比较满意的解释。

传染病传播所涉及的因素很多，如传染病人的多少，易受传染者的多少，传染率的大小，排除率的大小，人口的出生和死亡等。

如果还要考虑人员的迁入与迁出，潜伏期的长短以及预防疾病的传播等因素的影响，那么传染病的传播就变得非常复杂。

如果一开始就把所有的因素考虑在内，那么将陷入多如乱麻的头绪中不能自拔，倒不
如舍去众多的次要因素，抓住主要因素，把问题简化，建立相应的数学模型。

将所得结果与实际比较，找出问题，修改原有假设，再建立一个与实际比较吻合的模型。

下面由简单到复杂将建模的思考过程作一示范，读者可以从中得到很好的启发。

模型一 、 考虑最简单的情形：
假设(1)，每个病人在单位时间内传染的人数是常数K 0；
假设(2)，一人得病后，经久不愈，并在传染期内不会死亡。

记i t ()表示t 时刻病人数，
K 0表示每个病人单位时间内传染的人数，i i ()00=，
即最初有i 0个传染病人。

则在∆t 时间内增加的病人数为
于是得微分方程 ⎪⎩⎪⎨⎧==0
0)0()()(i i t i K dt t di (1)， 其解为 i t i e k t ()=00
结果表明：传染病的传播是按指数函数增加的。

这个结果与传染病传播初期比较吻合，传染病传播初期，传播快，被传染人数按指数函数增长。

但由方程(1)的解可以推出，当t →∞时，i t ()→∞，这显然是不符合实际情况的。

问题在于两条假设均不合理。

特别是假设(1)，每个病人在单位时间内传染的人数是常数与实际不符。

因为在传播初期，传染病人少，未被传染者多；而在传染病传播中期和后期，传染病人逐渐增多，未被传染者逐渐减
少，因而在不同时期的传染情况是不同的。

为了与实际情况吻合，我们在原有基础上修改假设建立新的模型。

模型二 、 用i t s t (),()表示t 时刻传染病人数和未被传染人数，i i ()00=。

假设(1)，每个病人单位时间内传染的人数与这时未被传染的人数成正比，即 K Ks t 0=()；
假设(2)，一人得病后，经久不愈，并在传染期内不会死亡；
假设(3)，总人数为n ，即s t i t n ()()+=．
由以上假设得微分方程 di t dt Ks t i t s t i t n i i ()()()
()()()=+==⎧⎨⎪⎪⎩
⎪⎪00 (2)
用分离变量法求得其解为 i t n
n i e Knt
()=+-⎛⎝ ⎫⎭⎪-110 (3)
其图形如图17.1所示．
模型二可以用来预报传染较快的疾病前期传染病高峰到来的时间。

n
图17.1 图17.2
医学上称)/(t dt di -为传染病曲线，它表示传染病人增加率与时间的关系，如图17.2所示。

由(3)式可得
di dt Kn n i e n i e Knt Knt =-⎛⎝ ⎫⎭
⎪+-⎛⎝ ⎫⎭⎪⎡⎣⎢⎤⎦⎥--2002111 (4) 令 d i t dt 220()= ，得极大点为 t n i Kn
101=-ln() (5) 由此可见，当传染病强度K 或总人数n 增加时，t 1都将变小，即传染病高峰来得快，这与实际情况吻合。

同时，如果知道了传染强度K （K 由统计数据得出），即可预报传染病高峰t 1到来的时间，这对于防治传染病是有益处的。

t
0 t
模型二的缺点是：当t→∞时，由(3)式可知，i t n
()→，即最后人人都要生病，这显然是不符合实际情况的。

造成该问题的原因是假设(2)中假设了人得病后经久不愈。

为了与实际问题更加吻合，对上面的数学模型再进一步修改，这就要考虑人得了病后有的会死亡；另外不是每个人被传染后都会传染别人，因为其中一部分会被隔离。

还要考虑人得了传染病由于医治和人的自身抵抗力会痊愈，并非象前面假设的那样，人得病后经久不愈。

为此作出新的假设，建立新的模型。

模型三在此模型中，虽然要考虑比前面两个模型复杂得多的因素，但仍要把问题简单化。

设患过传染病而完全痊愈的任何人具有长期免疫力，不考虑反复受传染的情形，并设传染病的潜伏期很短，可以忽略不计，即一个人患了病之后立即成为传染者。

在这种情况下，把居民分成三类：
第一类是由能够把疾病传染给别人的那些传染者组成的，用I(t)表示t时刻第一类人数；第二类是由并非传染者但能够得病而成为传染者的那些人组成的，用s(t)表示t时刻第二类人数；第三类包括患病死去的人，病愈后具有长期免疫力的人，以及在病愈并出现长期免疫力以前被隔离起来的人，用R(t)表示t时刻第三类人数。

假设疾病传染服从下列法则：
(1) 在所考虑的时期内人口总数保持在固定水平N，即不考虑出生及其它原因引起的死亡，以及迁入迁出等情况；
(2) 易受传染者人数s(t)的变化率正比于第一类的人数I(t)与第二类人数s(t)的乘积；
(3) 由第一类向第三类转变的速率与第一类的人数成正比。

由(1)、(2)、(3)条得微分方程组
⎪⎪⎪⎩
⎪⎪⎪⎨⎧=-=-=I dt dR I rsI dt dI rsI
dt ds γγ (6) 其中r 、γ为两个比例常数，r 为传染率，γ为排除率。

由(6)式的三个方程相加得
则 s t I t R t ()()()++=N （人口总数）
故 R t N s t I t ()()()=-- （7）
由此可知，只要知道了s(t)和I(t)，即可求出R(t)。

而(6)式的第一和第二个方程与R(t)无关。

因此，由
ds dt rsI
dI dt
rsI I =-=-⎧⎨⎪⎩⎪γ （8） 得 dI ds rsI I rsI rs =--=-+γγ1， I s s r
s c ()ln =-++γ。

当t t =0时，I t I ()00=，s t s ()00=，记ργ
=r ，有 I s I s s s s ()ln =+-+000
ρ （9） 下面讨论积分曲线(9)的性质。

由(8)式知
所以当s <ρ时，I(s)是s 的增函数，s >ρ时，I(s)是s 的减函数。

由连续函数中间值定理及单调性知，存在唯一点s ∞，00<<∞s s 使得
I s ()∞=0。

而当s s s ∞<≤0时，I(s) > 0。

由(7)知I = 0时，ds dt /=0，dI dt /=0。

所以(,)s ∞0为方程组(7)的平衡点．
当t t ≥0时，方程(9)的图形如图17.3
图17.3
如果ρ>0s ，则随着s(t)减小到ρ时，I(t)增加，且当s =ρ时，I(t)达到最大值。

当s t ()<ρ时，I(t)才开始减小。

由以上分析可以得出如下结论：只是当居民中的易受传染者的人数超过阈值 ργ
=r 时传染病才会蔓延。

用一般的常识来检验上面的结论也是符合的。

当人
口拥挤、密度高，缺乏应有的科学文化知识，缺乏必要的医疗条件，隔离不良而排除率低时，传染病会很快蔓延；反之，人口密度低，社会条件好，有良好的公共卫生设施和较好的管理而排除率高时，则疾病在有限范围内出现却很快被消灭。

如果起初易受传染者的人数s 0大于但接近于阈值ρ，即如果 ()s 0-ρ 与ρ相比是小量，则最终患病的人数近似于2()s 0-ρ．这就是着名的传染病学中的阈值定理。

生物数学家Kermack 和Mekendrick 在1927年首先证明了这个定理。

定理（传染病学中的阈值定理）：设s r 0=+ρ，且假设r /ρ 同1相比是小量。

并设最初传染者人数I 0很小，则最终患病的人数为2r 。

即易受传染者的人数最初比阈值高多少，那最终就会比阈值低多少。

证明略。

根据阈值定理就可以由起初易受传染者的人数来估计最终患病的人数。

这个定理解释了研究人员长期以来难以解释的为什么对于某一民族或地区，某种传染病传播时，每次所波及的人数大体上是一常数的现象。

在传染病发生过程中，不可能准确的调查每一天或每一星期得病的人数。

因为只有那些来医院就医者才能被人知道他们得了病，并把他们隔离起来防止传染。

因此，统计的记录是每一天或每一星期新排除者的人数，而不是新得病的人数。

所以，为了把数学模型所预示的结果同疾病的实际情况进行比较，必须解出（6）式中的第三个方程：
因为 ds dR ds dt dR dt rsI I r s s ==-=-=-γγρ
， ds s dR =-ρ， 所以 s R s e R ()/=-0ρ
有 dR dt
N R s e R =---γρ()/0 (10) 方程(10)虽是可分离变量的，但是不能用显式求解。

如果传染病不严重，则R ρ是小量，取泰勒级数
e R R R -=-+⎛⎝ ⎫⎭⎪+/ρρρ1122
Λ的前三项，取近似值得 其解为 ⎥⎦
⎤⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛-+-=ϕαγαρρt tg s s t R 211)(002 ， 其中 ()αρρ＝s s N s 02001212-⎛⎝ ⎫⎭⎪+-⎡⎣⎢⎢⎤⎦⎥⎥，⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=110ραϕs arctg ，
因此 ⎪⎭⎫ ⎝⎛-=ϕαγργαt s dt dR 21sec 22022 （11） 方程(11)在t dR dt -平面上定义了一条对称钟形曲线，称为疾病传染曲线．疾病传染曲线很好的说明了实际发生的传染病。

每天报告的新病案的数目逐渐上升到峰值，然后又减少下来。

死亡人数
dt dR
1000
800
600
400
200
t o
r αϕ
2 5 10 15 20 30
星期数
图17.4 图17.5
Kermack 和Mekendrick 把(11)得到的dR dt 的值，同取自1905年下半年至1906年上半年在孟买发生的瘟疫资料进行比较，他们设
其中t 按星期计，在图17.5中，dR/dt 的实际数字（图上用“．”表示）同理论曲线非常一致。

这就表明了模型三是在固定的居民中传染病传播的准确而可靠的数学模型。

对于同一事物，可用不同的数学工具来描述它。

下面介绍一般随机传染病模型。

模型四 、 一般随机传染病的数学模型：
以上建立的常微分方程描述的传染病的传播是确定性的模型。

但人生病是随机的，因而建立随机的传染病的数学模型才能更实际的反映传染病的传播。

设X(t)表示t 时刻易受传染者人数，Y(t)表示t 时刻已受传染者人数，n 表示易受传染者总数，又设t 时刻有i(i>0)个易受传染者移入已受传染者中来。

这种传染病传播的机制如下：(1) 在群体中个体均匀的混和；
(2) 在区间(t t t ∆+,)内，一个新传染病例出现的概率为)(t o t xy ∆+∆λ，其中()0>λλ是传染率；
(3) 在区间(t t t ,+∆)内，排除一个个体的概率为μy t o t ∆∆+()，其中μμ()>0是排除率；
(4) 在区间(t t t ,+∆)内，有多次转移（即多个传染或排除）发生的概率为o t ()∆；
(5) 在区间(t t t ,+∆)内，无变化的概率为()()1-++λμx y t o t ∆∆，
令{}P t X t x Y t y xy ()(),()===Φ，x ≥0，y ≥0，t ≥0。

从(2)和(3)知有两种可能的转移(,)x x y y →-→+11及(y y →-1)。

因此，表征随机传染病流行过程的差分方程为：
⎪⎪⎩
⎪⎪⎨⎧+-=+++--+=+-+)()()()()1()()()()1)(1()(1,1,1t P n i dt t dP t P y t P x y t P y x dt t dP ni ni y x xy y x xy ρρρ (12) 其中000≤+≤+≤≤≤≤+x y n i x n y n i ,,。

在(12)式中ρμλ=/为相对排除率，并已对时间变量作了变换，使方程对传染率λ是无量纲的。

方程(12)的初始条件为
方程(12)所描述的随机传染病流行数学模型可以推得确定性模型(6)。

1942年Wilson 和Burker 讨论了潜伏期的重要性,他们用微分差分方程来描述传染病传播的数学模型．
其中A 是易受感染者乘以恢复健康的比率，σ是易受感染者变成传染者的潜伏期，r 是易受感染者与病人的接触率。

Cooke除了考虑潜伏期，还引进了阻尼阈值的概念，这个概念说明个别成员从易受感染者成为传染者之前可能反复发病，Cooke模型是很复杂的泛函微分方程。

还有人用最优控制理论的模型来描述传染病的传播，在这里就不再一一介绍了。

习题17.1
1.在传染病传播的数学模型中，假设给第二类人员（即易受传染者）注射预防针，注射的
速率λ同第二类人员数与第一类人员（即传染者）人数的平方之积成正比。

（1）试建立传染病传播的数学模型；
（2）求（1）的轨线；
（3）当疾病被消灭后，还剩有易受传染者吗？
2.本世纪初，在伦敦曾观察到一种现象，大约每两年发生一次麻疹传染病，生物数学家H•E 素帕（soper）试图解释这种现象.他认为易受传染者的人数因人口中增添新的成员而不断得到补充,试建立数学模型.。