近年高考数学大一轮复习 第六章 数列 课时达标检测(三十二)数列的综合问题 理(2021年整理)

2018高考数学大一轮复习第六章数列课时达标检测（三十二）数列的综合问题理
编辑整理：
尊敬的读者朋友们：
这里是精品文档编辑中心，本文档内容是由我和我的同事精心编辑整理后发布的，发布之前我们对文中内容进行仔细校对，但是难免会有疏漏的地方，但是任然希望（2018高考数学大一轮复习第六章数列课时达标检测（三十二）数列的综合问题理）的内容能够给您的工作和学习带来便利。

同时也真诚的希望收到您的建议和反馈，这将是我们进步的源泉，前进的动力。

本文可编辑可修改，如果觉得对您有帮助请收藏以便随时查阅，最后祝您生活愉快业绩进步，以下为2018高考数学大一轮复习第六章数列课时达标检测（三十二）数列的综合问题理的全部内容。

课时达标检测（三十二) 数列的综合问题
［练基础小题-—强化运算能力］
1．数列{1＋2n－1}的前n项和为( ）
A．1＋2n B．2＋2n
C．n＋2n－1 D．n＋2＋2n
解析：选C 由题意得a n＝1＋2n－1,
所以S n＝n＋错误!＝n＋2n－1.
2．（2017·长沙模拟)已知数列｛a n｝的通项公式是a n＝（－1）n·(3n－2)，则a1＋a2＋…＋a10等于( ）
A．15 B．12 C．－12 D．－15
解析:选A ∵a n＝（－1）n(3n－2）,∴a1＋a2＋…＋a10＝－1＋4－7＋10－…－25＋28＝（－1＋4)＋（－7＋10)＋…＋(－25＋28）＝3×5＝15。

3．(2016·南昌三模)若数列{a n}的通项公式为a n＝2n＋1，令b n＝错误!，则数列{b n｝的前n项和为( )
A。

错误!B。

错误!－错误!
C。

错误!D。

错误!－错误!
解析：选B 易得a1＋a2＋…＋a n＝错误!＝n（n＋2），所以b n＝错误!＝错误!错误!，故T n＝错误! 1＋错误!－错误!－错误!＝错误!－错误!.
4。

1
2
＋错误!＋错误!＋…＋错误!的值为________．
解析:设S n＝错误!＋错误!＋错误!＋…＋错误!，①
得1
2
S n＝错误!＋错误!＋…＋错误!＋错误!，②
①－②得,错误!S n＝错误!＋错误!＋错误!＋…＋错误!－错误!＝错误!－错误!，
∴S n＝错误!＝2－错误!。

答案：2－n＋2 2n
5．(2017·江西八校联考)在数列{a n｝中，已知a1＝1,a n＋1＋(－1）n a n＝cos（n＋1）π，
记S n为数列｛a n}的前n项和,则S2 017＝________.
解析：∵a n＋1＋(－1）n a n＝cos(n＋1）π＝（－1）n＋1，∴当n＝2k时，a2k＋1＋a2k＝－1，k ∈N*，∴S2 017＝a1＋(a2＋a3）＋…＋（a2 016＋a2 017）＝1＋(－1)×1 008＝－1 007.
答案：－1 007
[练常考题点-—检验高考能力］
一、选择题
1．(2017·皖西七校联考）在数列{a n}中，a n＝错误!,若{a n｝的前n项和S n＝错误!,则n＝( )
A．3 B．4 C．5 D．6
解析:选D 由a n＝错误!＝1－错误!得S n＝n－错误!＋错误!＋…＋错误!＝n－错误!，则S n＝321
＝n－错误!,将各选项中的值代入验证得n＝6.
64
2．已知等差数列{a n｝的各项均为正数，a1＝1，且a3，a4＋错误!，a11成等比数列．若p－q ＝10，则a p－a q＝（)
A．14 B．15 C．16 D．17
解析：选B 设等差数列{a n｝的公差为d,由题意分析知d>0，因为a3,a4＋错误!，a11成等比数列，所以错误!2＝a3a11,即错误!2＝（1＋2d）·(1＋10d），即44d2－36d－45＝0，所以d＝错误!错误!，所以a n＝错误!.所以a p－a q＝错误!（p－q）＝15.
3．在数列｛a n}中，a1＝1，a2＝2，a n＋2－a n＝1＋(－1）n,那么S100的值为（）
A．2 500 B．2 600 C．2 700 D．2 800
解析：选B 当n为奇数时，a n＋2－a n＝0，所以a n＝1,当n为偶数时，a n＋2－a n＝2，所以a n＝n,故a n＝错误!于是S
＝50＋错误!＝2 600.
100
4．已知数列｛a n｝的前n项和为S n,a1＝1，当n≥2时，a n＋2S n－1＝n，则S2 017的值为( ）A．2 017 B．2 016 C．1 009 D．1 007
解析：选C 因为a n＋2S n－1＝n，n≥2，所以a n＋1＋2S n＝n＋1，n≥1，两式相减得a n＋1＋a n ＝1，n≥2.又a1＝1，所以S2 017＝a1＋(a2＋a3）＋…＋（a2 016＋a2 017)＝1 009，故选C。

5．已知数列｛a n｝满足a n＋2－a n＋1＝a n＋1－a n，n∈N＊，且a5＝错误!，若函数f(x)＝sin 2x ＋2cos2错误!，记y n＝f（a n），则数列{y n}的前9项和为（)
A．0 B．－9 C．9 D．1
解析：选C 由已知可得,数列｛a n｝为等差数列，f(x）＝sin 2x＋cos x＋1，∴f错误!＝
1.∵f（π－x）＝sin(2π－2x）＋cos（π－x)＋1＝－sin 2x－cos x＋1，∴f（π－x)＋f(x)＝2。

∵a1＋a9＝a2＋a8＝…＝2a5＝π，∴f（a1）＋…＋f(a9)＝2×4＋1＝9，即数列{y n}的前9项和为9.
6．设S n是公差不为0的等差数列{a n｝的前n项和,S1，S2，S4成等比数列,且a3＝－错误!，则数列错误!的前n项和T n＝( )
A．－错误! B.错误!
C．－错误!D。

错误!
解析:选C 设｛a n}的公差为d，因为S1＝a1，S2＝2a1＋d＝2a1＋a
3
－a1
2
＝错误!a1－错误!,S4
＝3a3＋a1＝a1－错误!，S1，S2，S4成等比数列，所以错误!2＝错误!a1，整理得4a错误!＋12a1＋5＝0，所以a1＝－错误!或a1＝－错误!。

当a1＝－错误!时，公差d＝0不符合题意，舍去;当a1＝－错误!时，公差d＝错误!＝－1,所以a n＝－错误!＋(n－1)×(－1）＝－n＋错误!＝－错误!（2n －1)，所以错误!＝－错误!＝－错误!－错误!，所以其前n项和T n＝－1－错误!＋错误!－错误!＋…＋错误!－错误!＝－错误!＝－错误!，故选C。

二、填空题
7．(2016·浙江高考）设数列｛a n}的前n项和为S n.若S2＝4，a n＋1＝2S n＋1，n∈N*,则a1＝________，S5＝________。

解析：∵a n＋1＝2S n＋1，∴S n＋1－S n＝2S n＋1,∴S n＋1＝3S n＋1，∴S n＋1＋错误!＝3错误!，
∴数列错误!是公比为3的等比数列,∴错误!＝3.
又S2＝4，∴S1＝1，∴a1＝1，
∴S5＋错误!＝错误!×34＝错误!×34＝错误!，∴S5＝121。

答案:1 121
8．已知数列{a n｝满足a n＋1＝错误!＋错误!，且a1＝错误!，则该数列的前2 016项的和等于________．
解析:因为a1＝错误!，又a n＋1＝错误!＋错误!，所以a2＝1，从而a3＝错误!，a4＝1，即得a n ＝错误!故数列的前2 016项的和等于S2 016＝1 008×错误!＝1 512.
答案：1 512
9．对于数列{a n｝，定义数列｛a n＋1－a n}为数列｛a n}的“差数列”，若a1＝2,{a n｝的“差数列”的通项公式为2n，则数列｛a n}的前n项和S n＝________.
解析：∵a n＋1－a n＝2n，
∴a n＝(a n－a n－1）＋（a n－1－a n－2）＋…＋（a2－a1）＋a1
＝2n－1＋2n－2＋…＋22＋2＋2＝2－2n
1－2
＋2＝2n－2＋2＝2n.
∴S n＝错误!＝2n＋1－2.
答案:2n＋1－2
10．(2017·福建泉州五中模拟)已知lg x＋lg y＝1，且S n＝lg x n＋lg(x n－1y)＋lg(x n－2y2）＋…＋lg（xy n－1)＋lg y n，则S n＝________。

解析：因为lg x＋lg y＝1，
所以lg(xy）＝1.
因为S n＝lg x n＋lg(x n－1y）＋lg（x n－2y2)＋…＋lg(xy n－1)＋lg y n，
所以S n＝lg y n＋lg(xy n－1）＋…＋lg（x n－2y2)＋lg(x n－1y）＋lg x n，
两式相加得2S n＝(lg x n＋lg y n）＋［lg（x n－1y)＋lg(xy n－1）]＋…＋(lg y n＋lg x n)＝lg(x n·y n）＋lg（x n－1y·xy n－1)＋…＋lg（y n·x n)＝n［lg（xy)＋lg(xy）＋…＋lg(xy）]＝n2lg(xy）＝n2，所以S n＝错误!.
答案：错误!
三、解答题
11．数列{a n｝满足a1＝1，a n＋1＝2a n(n∈N＊)，S n为其前n项和．数列｛b n}为等差数列,且满足b1＝a1，b4＝S3。

（1)求数列｛a n｝，｛b n｝的通项公式；
（2）设c n＝
1
b n·log
2
a
2n＋2
，数列{c n｝的前n项和为T n，证明：错误!≤T n<错误!。

解:(1)由题意知，｛a n｝是首项为1,公比为2的等比数列,
∴a n＝a1·2n－1＝2n－1。

∴S n＝2n－1。

设等差数列｛b n｝的公差为d，则b1＝a1＝1，b4＝1＋3d＝7，∴d＝2，则b n＝1＋（n－1)×2＝2n－1.
（2)证明：∵log2a2n＋2＝log222n＋1＝2n＋1，
∴c n＝错误!＝错误!
＝错误!错误!,
∴T n＝错误!错误!＝
错误!错误!＝错误!。

∵n∈N*，∴T n＝错误!错误!〈错误!，
当n≥2时，T n－T n－1＝错误!－错误!＝错误!>0,
∴数列{T n｝是一个递增数列，∴T n≥T1＝错误!。

综上所述，错误!≤T n<错误!.
12．已知二次函数y＝f（x）的图象经过坐标原点,其导函数为f′(x)＝6x－2,数列{a n}的前n项和为S n，点(n，S n)（n∈N＊）均在函数y＝f(x)的图象上．
(1)求数列{a n}的通项公式；
(2）设b n＝错误!，试求数列｛b n｝的前n项和T n。

解:（1)设二次函数f（x)＝ax2＋bx(a≠0），
则f′(x)＝2ax＋b.
由于f′（x）＝6x－2，得a＝3,b＝－2,
所以f(x)＝3x2－2x.
又因为点（n,S n）（n∈N*）均在函数y＝f(x)的图象上，
所以S n＝3n2－2n。

当n≥2时，a n＝S n－S n－1＝(3n2－2n）－[3（n－1)2－2（n－1）］＝6n－5。

当n＝1时，a1＝S1＝3×12－2×1＝1＝6×1－5,
所以a n＝6n－5（n∈N＊）．
(2)由(1)得b n＝错误!＝错误!
＝错误!错误!，
故T n＝错误!1－错误!＋错误!＋…＋错误!－错误!＝错误!错误!＝错误!.。